CC BY
38
ОПТИМАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМ ОПЕРАТОРОМ *
Я.М. Севастьянов, В.П. Танана
В статье исследован оптимальный метод решения операторного уравнения в гильбертовых пространствах.
Ключевые слова: операторные уравнения, оптимальный метод, модуль непрерывности.
1. Введение
Впервые понятие оптимального на некотором классе решений Мг метода для уравнения с точно заданным оператором дано 15.11. Страховым в [1], кроме того в этой же работе был предложен метод, являющийся оптимальным для достаточно широкого круга задач.
Далее в работах [2; 3] было дано обобщение результатов [1] для уравнений первого рода с точно заданным оператором.
Для уравнений с приближенно заданным оператором [4] все результаты сводились лишь к доказательству оптимальности по порядку исследуемых методов.
В настоящей работе делается попытка исследования методов решения уравнений первого рода с приближенно заданным оператором на оптимальность, а также получение точных оценок погрешности для оптимальных методов,
2. Постановка задачи
Пусть Н сепарабельное гильбертово пространство, а А - линейный ограниченный оператор, отображающий Н в Н.
Рассмотрим операторное уравнение
Аи = /:и,/еЯ. (1)
* Работа поддержана грантом РФФИ Л*4 01-01-00300.
Предположим, ЧТО при / = /о существует точное решение По уравнения (1) такое, что //0 е Мг, где Мг = 113В - линейный ограниченный оператор, отображающий II г, //. а =
= {г : г Е //. ||г;|| < г}.
Точные значения оператора А и /0 будем считать неизвестными. Вместо них даны оператор .1/, п Е II такие, что ||Л. — А^\\ < к и Ц/г — /о|| < где 5 и к - известные нам положительные параметры.
Дополнительно предположим оператор Л/, положительным и самосопряженным со спектром Бр(А}1), совпадающим с отрезком [О, || Аь||], а операторы В и А^ — А являются функциями оператора А^.
Пусть Ан — А = г'(. 1/,). а В = д(А/1), где '■ Е Ф. а Ф множество действительных кусочнонепрерывных функций (р, определяемых на отрезке [0, Ц^йЦ], и таких, что вир{^(сг)| : а Е [0, Ц^йЦ]} < к.
Функция д(а) - непрерывная строго возрастающая на отрезке [О, Ц^йЦ] такая, что д(0) = 0, а д{о)/о монотонно убывает.
Требуется по 6, к и Мг найти приближенное решение
ибп уравнения (1), наименее уклоняющееся от точного решения щ на классе Мг.
Линейным методом (см, [4, с, 49]) для задачи, поставленной выше, будем называть линейный ограниченный оператор Р, отображающий пространство Н х {Ав Н, который начальным данным (/$, А^) ставит в соответствие приближенное решение и$н = Р(/в,А}1) уравнения (1),
Введем количественную характеристику точности метода Р на классе Мг (см, [4, с, 50])
А(Р) = вир {||м - Р(/ь Ак)\\ : и Е Мг, А - Ак = 1р(Ак),
(р Е Ф, IIАи - /5II < 5}. (2)
Линейный метод Рор1 будем называть оптимальным на классе Мг (см, [4, с, 50], если
Дор< = нгГ{Л(Р) : РЕН х {Ан} ^ #},
где Я х {4} Я - пространство линейных ограниченных операторов, отображающих Н х {Аь} в Н.
Линейный метод Р будем называть оптимальным по порядку на классе Мг, если Д(Р) ~ Дор<-
3. Оценка снизу для Аор,
Рассмотрим уравнение
гд(а) ■ а = гд{а)к + 6. (3)
Из свойств функции д(а) следует, что при условии
\\АН\\> к +5/гд{\\Ан\\) (4)
уравнение (3) имеет единственное решение а = а(5, К).
Пусть г - достаточно малое положительное число, а - решение уравнения (3), а 6 и к удовлетворяют условию (4),
Тогда, выбрав натуральное число щ такое, что
гд(о) - гд ^ - «И < £, (5)
рассмотрим подпространство Но, определяемое формулой
Щ = Кти - Е-п^-1 Н, (6)
п0
где {Еа : 0 < а < ЦА^Ц} - разложение единицы, порожденное оператором Ан (см, [5, с, 336]),
Теперь построим оператор А0 следующим образом:
Г а ■ Ани/гд(а) - а, и Е Я0,
Л"" = 1 с тт± (7)
[ АКи, и Е //„ .
где //„ — ортогональное дополнение подпространства Н0. Таким образом, из (5)-(7) следует, что Ан — А0 = Г'Ы/,). где (ро(а) - кусочно
непрерывна на отрезке [О, ЦА^Ц] и
\\АН - А0|| = вир{|<5£?0(сг)| : <7 е [0, ||АЛ||]} < Н.
Далее, пусть /() = 0. Тогда найдется элемент г„ Е //о такой, что 11г7011 = Г- Обозначив через щ элемент Вщ, а через й'0 - элемент ^Ву0, получим, что щ и й'0 Е Л/,., а ||А0й0|| = ||у4.0йо|| < 6.
и
(8)
Из (5) следует, что
(8)
Так как для любого метода Р : Н х —>• 0, на основании (2)
А(Р) = sup {||и0 - P(fs,Ah)|| : ч,, е Л/г. A- Ah = ip(Ah), uo,A,fs
(ре Ф, ||/г - Аи0|| < > sup {||г*0 - P(o,Ah)\\,
йо,й'0
_ 1 _ _ _
11г*о - Р(о,Ан)||} > -||и0 - Мо|| > гд(а) - е.
Ввиду произвольности г
А(Р) > гд(а),
где а - решение уравнения (3), а следовательно, и
Aopt > гд(а). (9)
4. Оценка сверху для Аор,
Для решения поставленной задачи введем регуляризующее семейство операторов, используемое ранее (см, [4, с, 53]) в методе проекционной регуляризации
Tih)f= [ 1 todE.f- 0<а<||Л||, (Ю)
где {Еа : 0 < а < ЦА^Ц} - разложение единицы Е, порожденное оператором Ан.
Для выбора параметра а используем уравнение
гд(а)а = гд{а)к + 6, 0 < а < ЦА^Ц, (11)
которое имеет единственное решение а = а(5, К) при условии, что г9(\\Ан\\)\\Ак\\ > гд{\\Ан\\)Ь + 8.
Перейдем к оценке погрешности Л(Т^) метода проекционной регуляризации.
Лемма 1. Если > гд^А^к + 8, то для Д(Т^) спра-
ведлива оценка
Д(4Ч) < '/їгд(а),
где а - решение уравнения (11).
Доказательство. Представим пространство Н в виде ортогональной суммы подпространств Н\ и //•>
н = Н1 + Н2
таких, что //1 = //. и //•_> = (Яц.4л|| — )//• Известно из (см, [4,
с, 336]),, что подпространства Ні и //„. инвариантны для операторов Ан, Ан- А и В.
Из того, что щ Є Л/г. следует существование элемента гп (г II такого, что ||г;о|| < г и
щ = В%)0. (12)
Разложив элемент Уо по ортогональной системе подпро-
странств Ні н II-,. получим
^0 = Ъ1 + и2,
где - метрические проекции рг(ио, Ні) точки г^о на подпространства IIг- і = 1,2,
Ввиду ортогональности элементов VI и у2
1ЫГЧЫГ + 1МГ. (13)
Так как Ц^о||2 < г2, то ||г;і||2 < г(, Ц^Ц2 < т\ и г\ + г\ = г2. Пусть
//( = І)г;. і = 1,2, Тогда из инвариантности подпространств II| и //•_>
для оператора /І следует, что для любого і = 1,2
Щ Є Яг. (14)
Из соотношения (10) находим, что на Ді оператор = 0, а на //•_> 4Л) = V, т.е.
I?’/ = V/. /ЄЯ2. (15)
Таким образом,
11% - Т^/вII2 = 1Ы12 + \\и2 - Г^/йЦ2. (16)
Из равенства
тЧ^) / _ ГТ1(Н) Р _ гр(Н) Р . гр(Н) Р
а 1$ а 1$ а Л) + ^а ЛЬ
где /о = Ли,) получаем
\\П2-Т^Н)М\ < \\щ^Т^М\ + 6\\Т^\\. (17)
Из (10) и (15) следует, что
Т^;о = А-^Ь, (18)
где /2 = рг{/о; Я2).
Так как //2 инвариантно для оператора А, то, учитывая (14), находим
/2 = Аи2. (19)
Из (16) - (19) получаем
\\щ — Т^ }/о||2 = ||м1||2 + \\и2 — А111Аи2\\2. (20)
Из того, что функция д(а)/а монотонно убывает, а
и2 - Л/( 1 Лч2 = А,1 1 А/,и2 - А,1 1 Ли2 = А,11 (.1/, - А)Ву2, вытекает
||и2 — А^1Аи2\\2 < г\д2{а)к2/а2. (21)
Согласно (11), (17), (20) и (21) имеем
и 2 2/—, {г2д(а)Н + 8)2
\\Щ^Т^^6\\ <г1д(а) +-------------=2-------■ (22)
Наконец, из (11) и (22) следует, что
Д(4Л)) < у/2гд(а). (23)
□
Следствие 1. Если 6 = 0, то метод оптимален на классе Мг и для него выполняется, оценка погрешности
ДЙ4) < гд(а).
Доказательство. Заметим, что при 5 = 0 уравнение (11) имеет решение п = I). Кроме того, из (22) следует, что
1К - Т^М\2 < г\д2(а) + г1д2(а)к2/а2. (24)
Учитывая, что гд(а)а = гд{а)к.; из (24) получаем
||ио - 4"}/о|| < гд(а),
а сравнивая с оценкой (9), что
ДС4*°) = Дор< = гд(а).
□
Следствие 2. Если И = 0, то из леммы, 1 следует, что
Д(т1Ч) < тДгд(а),
а, с учетом работы, В.Н. Страхова, [1] эта оценка является 'точной и
Л(Т«) =
Таким образом, в случае погрешности 8 Ф 0 метод проекционной ре-
ггШ
гулярпзацпп /,, ни при каком значении параметра а не является оптимальным.
Теперь перейдем к исследованию точности метода М.М. Лаврентьева |6|, использующего регуляризующее семейство операторов : 0 < а < а0}, действующих из Я в Я и определяемых формулой
П{!:] = В{СН + аЕ)-\ (25)
В работе [1] В.Н, Страховым была доказана оптимальность этого метода в случае точно заданного оператора и при подходящим образом выбранном параметре регуляризации а.
В настоящей работе будет показано, что в случае приближенно заданного оператора дело обстоит далеко не так благополучно, как
при точном, а именно, что даже в самых простых ситуациях регу-ляризующее семейство операторов, определяемых формулой (25), не приводит к оптимальным решениям ни при каких значениях а.
Используя регуляризующее семейство операторов '■ 0 <
а < «о}, за приближенное решение уравнения (1) примем элемент
(26)
Лемма 2. Для любого а > 0 оператор R^ ограничен и
||д№||- — 9{<г)
max
o<<7<||Aft|| д(а) ■ а + а
Доказательство. Пусть {Еа : 0 < а < HAJI} - разложение единицы, порождаемое оператором Ah. Тогда
||i?W|| = sup (R^\f,f) = sup (B(Ch + aE)-1/,/
ll/ll=i ll/ll=i V
/ ІІ^/гІІ \
= sup I [ дУ\—d(Eaf,f) I = sup 9^
ir If / \ IAJ \ Л—J fj J ■ J I I UU.J^/ / 4 ■
11/11=1 \ J g{(j)o + a J 0<(T<||.4ft|| g{(j)o + a
4 о 7
Так как верхняя грань достигается в точке а = а' > 0, а д(а) непрерывна, то отсюда следует лемма, □
Лемма 3. Пусть г е II и ||w|| < г. Тогда
sup \\R^ChV — BvII = га max —,
IHI<r o<a<\\Ah\\ g(a)a + а
Доказательство. Пусть E(T.J как обычно, разложение единицы, порождаемое оператором А^. Тогда
WR^ChV - Bv|| = \\B(Ch + aE)-lChv - Bv|| =
= ||B(Ch + aE)-lChv - B(Ch + aE)-l(Ch + aE)v|| =
= \\B(Ch + aE)^lav|| = ra\\B(Ch + aE)^lv/\\v\\ ||,
Отсюда
к) О ки =1
га вир 1М1=1
вир \\rWChv - Ву\\ = га вир \\В(Сь + &Е) 1г«|| =
д(е)
Г 11-^11 -| |
дЧа) ЦЕ„ш,ш)
(д(а)а + а)2
о
га тах
о<<т<11,4^11 д(а)а + а'’ что н требовалось доказать, □
Теперь рассмотрим функцию Р\о, а)
Р(е, «) = (га + гд(а)к + 5) , 9^\ , (27)
д(^<7)о -г а
которая характеризует погрешность метода Ка в каждой спектральной точке а.
Покажем неоптимальноеть исследуемого метода в случае приближенно заданного оператора. Для этого предположим, что д(а) = а, г = 1, \\АН\\ = 1 и 5 = 0.
Тогда из (27) следует, что
Р(а, а) = (а + ок) —-------,
о1 + а
Теперь рассмотрим значение погрешности Р(а,а) в точке а = к.
Р(к, а) = к (28)
и вычислим производную Р^(к,а)
(У
П(ка) = ^¥>0. (29)
Из (29) следует существование точки о\ > к такой, что при любом значении а > 0
Р(о 1, а) > к. (30)
Из следствия 1 вытекает, что в этом случае
Дор< = к, (31)
а из (30) и (31) следует неоптимальноеть метода Р^К В этом случае ни при каких значениях а > 0,
Теперь найдем условия на г, 6 и /г, при выполнении которых оператор Е^а \ определяемый формулой (25), при некотором значении а = а является оптимальным методом при решении уравнения (1) е приближенно заданным оператором, В дальнейшем будем предполагать функцию д(а) непрерывно дифференцируемой на отрезке [О, \\Ак\\], и Г0(||ЛЛ||)||ЛЛ|| > гд(\\Ан\\) + 6, 6 > 0.
Теорема 1. Пусть значение параметра а является решением уравнения
гд(а) = гд(а)к + 6 (32)
и
Тогда при а = а, где
(33)
+
\
+ д(а)а
9 И , /-ч-
5' (а) г
метод оптимален на М.. и
Д(л5г‘)) = гд(а).
(34)
Доказательство. Пусть и$ е Мг. Тогда и$ = В?)$, где ||т;|| < г и уклонение приближенного решения и^н уравнения (1) от точного иа может быть оценено следующим образом:
И/іІ
\и
ей
Ио|| < / (сч +6/г + д(а)Н)
д{<?)
д(о)о + а
й(Еау 0,и0).
(35)
Так как при выполнении условия (33) существует единственное значение а, определяемое формулой (34), при котором
тах Е\а,а) = Е(а,а),
*Ф,ШЪ
где F(a, а) = (ot + - + g(a)h] —, а а удовлетворяет уравнению
V г Jg(a)a + a
(32), то ____ _
F(a,a) = д(а),
поэтому из (35) получаем
I\ugh - м0|| < rg(a), (36)
а из оценки (9) находим
&opt > гд{о) (37)
и
Дор* = гд(а).
Таким образом, метод регуляризации R^\ определяемый формулами (25) и (34), оптимален на классе решений Мг. □
Список литературы
1. Страхов В.Н. О решении линейных некорректных задач в гильбертовом пространстве // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 8. С. 14901495.
2. Melkman A., Micchelli С. Optimal estimation on linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SIAM J. Numer. Anal. 1979. Vol. 16, № 1.
3. Агеев A.J1. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1 рода // Изв. вузов. Математика. 1983. № 3. С. 6168.
4. Танана В.П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.
5. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.
6. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: Нзд-во СО АН СССР, 1962.
Челябинский государственный университет
