Оптимальность «конвейерной» иерархии управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

ОПТИМАЛЬНОСТЬ «КОНВЕЙЕРНОЙ» ИЕРАРХИИ УПРАВЛЕНИЯ

Мишин С.П.

(Институт проблем управления РАН, Москва) smishin@newmail.ru

Введение

Любая экономическая система состоит из множества организованных некоторым образом сотрудников. Благодаря организации сотрудники действуют на основе определенных процедур и правил (механизмов), что позволяет достичь цели системы.

Сотрудники организации специализированы, что повышает их эффективность по сравнению с множеством одиночных (неорганизованных) агентов. Однако взаимодействие сотрудников с различной специализацией должно быть скоординировано для достижения общей цели системы. Это фундаментальная проблема любой организации, поскольку координация требует усилий, направленных на планирование совместной работы, контроль ее результатов, согласование целей отдельных сотрудников и т.д. Для реализации управленческих функций в организации создается иерархия1.

С одной стороны, иерархия позволяет снизить издержки взаимодействия сотрудников, например, с помощью планирования и контроля материальных, информационных и других потоков. С другой стороны, реализация управленческих функций требует затрат. В современных экономических системах доля менеджеров, выполняющих только управленческие функции, достигает 40% (см., например, [12]). Поэтому одним из ключевых факторов эффективности экономической системы является оптимальность иерархии, выполняющей управленческие функции с минимальными затратами.

1 Сотрудники на более высоких уровнях иерархии обладают большими правами, чем сотрудники нижних уровней. Это позволяет системе достичь цели даже в случае конфликтов между сотрудниками.

60

В работах [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7] рассмотрена достаточно общая математическая модель, позволяющая формально исследовать вопросы оптимальности иерархии. В рамках этой модели в данной работе рассмотрен критерий оптимальности иерархии специального вида - «конвейерной» (последовательной иерархии). Разделы 1 и 2 посвящены краткому описанию модели. В разделе 3 изложен основной результат - достаточное условие оптимальности последовательной иерархии.

1. Менеджеры и иерархии

Пусть Ы={м>\,...,м>„} - множество исполнителей, которые могут взаимодействовать друг с другом. Через М обозначим конечное множество менеджеров, управляющих взаимодействием исполнителей. Менеджеры необходимы того, чтобы исполнители взаимодействовали друг с другом в соответствии с некоторой технологией. Менеджеры будут обозначаться через т,т',т",тх,т2,...еМ .

У каждого менеджера имеются некоторые «полномочия», в соответствии с которыми он может принимать решения, обязательные для его подчиненных (исполнителей или других менеджеров). Определим подчиненность формально. Пусть V = N и М -все множество сотрудников организации (исполнителей и менеджеров). Тогда определим множество ребер подчиненности Е с V х М . Ребро подчиненности (V, т) е Е означает, что сотрудник V еV непосредственно подчинен менеджеру т е М . То есть ребро направлено от непосредственного подчиненного к его непосредственному начальнику. Сотрудник V еV является подчиненным менеджера т е М (менеджер т является начальником сотрудника V), если существует цепочка ребер подчиненности из V в т.

Будем также говорить, что начальник управляет подчиненным, или подчиненный управляется начальником.

Теперь можно дать строгое определение иерархии.

Определение 1. Ориентированный граф Н = (N и М,Е) с множеством ребер подчиненности Е с (N и М) х М назовем иерархией, управляющей множеством исполнителей N если Н

ацикличен, любой менеджер имеет подчиненных и найдется менеджер, которому подчинены все исполнители. Через 0.(Ы) обозначим множество всевозможных иерархий.

Ацикличность означает, что не существует «порочного круга» подчиненности. Определение также исключает ситуации, в которых имеются «менеджеры» без подчиненных, так как это противоречит роли менеджера, который должен управлять некоторыми сотрудниками. Определение требует, чтобы в иерархии был менеджер, который управляет (непосредственно или с помощью других менеджеров) всеми исполнителями. Такой менеджер способен разрешать конфликты между любыми исполнителями.

2. Подчиненные группы исполнителей и секционная функция затрат. Оптимальные иерархии

Группой исполнителей 5 с N назовем любое непустое подмножество множества исполнителей. По определению 1 каждый менеджер имеет по крайней мере одного подчиненного. Начав с любого менеджера т, мы можем двигаться «сверху вниз» к подчиненным менеджера т. В силу ацикличности в конечном итоге придем к подчиненной группе исполнителей. То есть каждому менеджеру т в любой иерархии Н подчинена некоторая группа исполнителей яН (т) с N . Будем также говорить, что менеджер т управляет группой исполнителей 5Н(т).

Ниже в обозначении группы 5Н(т) мы будем опускать нижний индекс, если ясно о какой иерархии идет речь. Для удобства дальнейшего изложения считаем, что любому исполнителю w є N «подчинена» простейшая группа %^)=^}, состоящая из самого исполнителя. Также будем говорить, что исполнитель w є N «управляет» простейшей группой 5Н^)=^}.

Очевидно, что для любой иерархии Н и любого менеджера т єМ выполнено яН(т) = яН(у1) и к и яН(ук), где уь...,ук - все непосредственные подчиненные менеджера т. Для любого подчиненного V менеджера т выполнено яН (у) с яН (т).

Определение 2. Функцию затрат менеджера т е М в иерархии Н = ^ иМ, Е) еО^К) назовем секционной, если она имеет вид:

фн^1),...^н^к)), (1)

где vh...,vk- все непосредственные подчиненные менеджера т, ^Н(у1),.,эН(Ук) - группы, управляемые сотрудниками vh...,vh с(-) -функция, ставящая в соответствие любому набору групп1 неотрицательное действительное число. Затраты иерархии равны сумме затрат всех ее менеджеров2:

с(Н) = ЕтеМ С(*Н (V\), к, Эн (Ук )) . (2)

Функцию затрат иерархии (2) также назовем секционной. Иерархию назовем оптимальной, если она минимизирует затраты на множестве 0(Ы).

Секционная функция затрат иерархии складывается из затрат всех менеджеров, причем затраты каждого менеджера определяются только группами исполнителей (подразделениями организации), которыми управляют непосредственные подчиненные менеджера.

Поясним определение секционной функции на примере фрагмента иерархии, изображенного на рисунке 1. Менеджер т управляет группой исполнителей {11,12,13,14}. При этом т осуществляет управление с помощью двух непосредственно подчиненных менеджеров т1 и т2. Подчиненный т1 управляет группой исполнителей {11,12}, а подчиненный т2 управляет группой исполнителей {м>3,м>4}. Предполагается, что непосредственные подчиненные т1 и т2 справляются со своими обязанностями. В этом случае затраты менеджера т не зависят от того, как именно т1 и т2 управляют подчиненными исполнителями. Например, менеджеры т1 и т2 могут управлять подчиненными исполнителями напрямую или с помощью одного или нескольких подчиненных менеджеров.

1 Функция зависит именно от набора групп 5Н(уД...,.5-Н(ук), а не от их порядка. То есть затраты менеджера не зависят от того, в каком порядке пронумерованы его непосредственные подчиненные у],...,ук.

2 В выражении (2) и ниже одной и той же буквой с(-) обозначается и функция затрат иерархии, и функция затрат менеджера.

Это не отразится на затратах менеджера т, так как при «нормальной работе» т управляет напрямую только менеджерами т1 и т2.

Согласно определению 2 затраты менеджера зависят только от того, каким образом подчиненная группа исполнителей распределена между непосредственными подчиненными. В рассмотренном примере группа ^ 1^2^з^4} разделена на две непересекающиеся подгруппы: ^1^2^5^4}=^1^2} и ^5^4},

поэтому затраты менеджера т составят с(^^2},^5^4}).

То есть предполагается, что затраты менеджера зависят только от той «секции» («отдела», «звена» и т.п.), которой он управляет непосредственно. На рисунке 1 такая секция состоит из самого менеджера т и его непосредственных подчиненных т1 и т2. От остальной части иерархии затраты менеджера не зависят.

1 ^2 ^3 '4 '5 ' ' ' *п

Рисунок 1. Фрагмент иерархии

Кроме того предполагается, что затраты зависят только от объема управленческой работы (например, планирования и контроля), а не от персональных качеств менеджеров. Таким образом, секционная функция не изменяется при перестановке менеджеров, то есть обладает свойством анонимности. В частности это означает, что затраты с({'1,'2},{'3,'4}) менеджера т зависят только от набора групп ({w\,w2},{w3,w4}), а не от того, в каком порядке эти группы записаны (в каком порядке пронумерованы непосредственные подчиненные), то есть с({'’ь'’2},{',5,'’4})=с({'’5,'’4},{'’ь'’2}).

Кроме анонимности, секционная функция затрат обладает свойством аддитивности, то есть затраты иерархии складываются из затрат менеджеров, каждый из которых управляет одной «секцией» иерархии.

Воронин и Мишин (2003), Мишин (2003Ь) рассмотрели произвольные функции затрат, заданные на некотором множестве иерархий О. Для таких функций удалось обобщить свойства анонимности и аддитивности и доказать, что любая анонимная и аддитивная функция затрат иерархии будет секционной.

Таким образом, класс секционных функций достаточно широк. В рамках этого класса построены различные модели оптимизации иерархии управления [7], и есть основания полагать, что многие важные эффекты, связанные с иерархиями, могут быть промоделированы с помощью секционных функций. Поэтому важно их изучение и решение задачи об оптимальной иерархии. В данной работе рассмотрено достаточное условие оптимальности иерархии частного вида - «конвейерной» (последовательной) иерархии.

3. Условие оптимальности «конвейерной» иерархии

Определение 3. Иерархию назовем последовательной («конвейерной»), если в ней каждый менеджер управляет ровно двумя сотрудниками, хотя бы один из которых является исполнителем.

Рассмотрим последовательную иерархию Н. Высший менеджер т в Нуправляет всеми исполнителями: эн (т) = N. Менеджеру т непосредственно подчинен некоторый исполнитель и некоторый менеджер т', то есть эн (т) = N = эн (т1) и {''} . Аналогично, менеджеру т' непосредственно подчинен некоторый исполнитель и некоторый менеджер т", причем эн(т") = N\{'','"}. И так далее. Таким образом, последовательная иерархия имеет вид, приведенный на рисунке 2.

На рисунке 2 изображена последовательная иерархия общего вида. В ней исполнители '1,...,'п «расположены» в некотором порядке: сначала исполнитель с номером /ь затем исполнитель с

1 То есть функция с : О ® Я+, отображающая множество иерархий в множество неотрицательных действительных чисел.

номером і2, и так далее. Здесь (іь...,іп) - некоторая перестановка чисел (1,...,п). То есть в последовательной иерархии имеется п-1 менеджер: М={т1,...,тп-1} (см. рисунок 2). Первый менеджер непосредственно управляет исполнителями w1 и ^І2 . Второй

менеджер непосредственно управляет первым менеджером и исполнителем wiз . Третий менеджер непосредственно управляет

вторым менеджером и исполнителем wi4, и так далее. Высший

менеджер тп-1 непосредственно управляет исполнителем wi и

предыдущим менеджером тп-2.

тп

тп-2_

тп

т2щ+

т1

w,.

м>і

w.

w.

w.

Рисунок 2. Общий вид последовательной иерархии

Интерпретировать последовательную иерархию можно различными способами. Приведем несколько примеров.

Менеджеры последовательной иерархии могут выполнять контроль качества конвейерной сборки. Каждый менеджер может контролировать качество деталей, промежуточных узлов или готового изделия. При этом для упрощения контроля (уменьшения затрат) менеджер может использовать результаты предыдущих этапов контроля качества. Например, менеджер т1 может сообщать менеджеру т2 результаты испытаний прочности сварных швов. На основании сообщенных данных менеджер т2 может рассчитать прочность изделия. Без этих данных пришлось бы проводить испытания прочности всего изделия, что привело бы к росту затрат. Таким образом, затраты на контроль качества могут зависеть от порядка, в котором менеджеры контролируют качество работы исполнителей, то есть от перестановки (і1,.,іп).

Интересна также интерпретация последовательной иерархии как графа обработки информации. Кратко опишем подобные постановки.

66

п-2

п-1

В работе [11] предложена следующая модель обработки информации менеджерами организации. Предполагается, что по n входам поступает некоторая информация (например, характеризующая состояние организации). Входы можно сопоставить с исполнителями, которые сообщают менеджерам информацию. Менеджеры должны обработать информацию и найти управляющее воздействие, то есть вычислить некоторую функцию. Функция предполагается ассоциативной (например, сложение или взятие минимума).

Менеджеры организованы в древовидную иерархию. В результате менеджер получает информацию от непосредственных подчиненных и затрачивает время на вычисление и передачу результата непосредственному начальнику. Затрачиваемое время линейно зависит от числа непосредственных подчиненных. Высший менеджер вычисляет окончательный результат - управляющее воздействие. Каждое дерево характеризуется двумя параметрами -числом менеджеров и временем вычисления воздействия (задержкой). Требуется найти оптимальный баланс между этими параметрами. Например, можно рассматривать функцию затрат от задержки воздействия и от количества менеджеров [10]. Также возможно дополнительное ограничение - информация может поступать периодически. При этом свободные менеджеры могут начинать обработку новой информации в то время, пока остальные менеджеры еще обрабатывают предыдущую информацию. Можно рассматривать задачу построения иерархии с минимальными затратами, которая успевает обрабатывать всю поступающую информацию.

Вышеуказанные задачи рассматриваются во многих работах (см., например, [9, 10, 13, 14]. При различных условиях оптимальными будут различные иерархии. В частности, в работе [8] оптимальная иерархия сочетает в себе последовательную иерархию («conveyer belt») и иерархию классического вида, в котором менеджерам следующего уровня подчинены только менеджеры предыдущего уровня.

Таким образом, может быть интересна интерпретация последовательной иерархии как графа обработки информации. В последовательной иерархии (см. рисунок 2) сначала свои операции

производит первый менеджер, затем второй, и так далее. То есть в каждый момент времени в обработке задействован только один менеджер. Остальные менеджеры в это время простаивают.

Итак, последовательная иерархия может соответствовать последовательной обработке информации, поступающей от исполнителей. Подобная иерархия требует большого времени на обработку. Однако последовательная иерархия может справляться с обработкой интенсивного потока информации.

Поскольку под обработкой понимается вычисление ассоциативной функции, можно надстраивать любую последовательную иерархию, поскольку для любого порядка исполнителей (іьі2,...,іп) результат вычислений будет одним и тем же. Однако от разных исполнителей может поступать информация, требующая различного времени обработки или затрат на обработку. То есть, последовательная иерархия с минимальными затратами может соответствовать эффективному последовательному вычислению.

Рассмотрим задачу поиска последовательной иерархии с минимальными затратами. Во многих частных случаях эта задача решается аналитически (см. [7]). Согласно рисунку 2 последовательная иерархия полностью определяется перестановкой (іь...,іп). Для произвольной секционной функции п! / 2 последовательных иерархий могут иметь различные затраты . Однако для поиска иерархии с минимальными затратами не требуется сравнивать все эти варианты. В работах [1, 4] построен алгоритм с порядком

2П ^ ^

, позволяющий найти последовательную иерархию с минимальными затратами. Для произвольной секционной функции алгоритм решает задачу за разумное время, если число исполнителей не превышает трех-четырех десятков.

С точки зрения структуры обработки информации важна задача построения оптимальной иерархии, вычисляющей не одну, а нескольких функций. Как отмечает Я^пег [13], в настоящее время

1 Всего имеется п! различных последовательных иерархий. Однако перестановка местами первого и второго исполнителя (см. рисунок 2) не влияет на затраты иерархии. Следовательно, иерархий с различными затратами может быть п!/2. Несложно подобрать секционную функцию, при которой все эти иерархии будут иметь различные затраты.

68

неизвестны методы решения этой задачи. Алгоритм, построенный в работах [1, 4], позволяет находить последовательную иерархию с минимальными затратами, вычисляющую несколько функций (подробнее см. [7]).

В работе [7] было введено определение сужающей функции затрат: функция затрат названа сужающей, если для любого менеджера т с непосредственными подчиненными уь...,ук, к > 3 можно без увеличения затрат иерархии переподчинить нескольких сотрудников из уь...,ук новому менеджеру т1 и непосредственно подчинить т1 менеджеру т. В [7] доказано, что для сужающей функции затрат найдется оптимальная 2-иерархия, в которой у каждого менеджера два непосредственных подчиненных.

Рассмотрим ограничение на функцию затрат, при выполнении которого существует оптимальная последовательная иерархия. Это требование сильного сужения. При его выполнении задача об оптимальной иерархии решается вышеуказанным алгоритмом поиска последовательной иерархии с минимальными затратами или аналитически. Приведем формальное определение сильного сужения, а затем поясним его.

Определение 4. Сужающую функцию затрат назовем сильно сужающей, если для любых групп s1, s2 из двух или более исполнителей выполнено по крайней мере одно из двух условий:

a) для любого wє і1: с(^1, s2) > с^^^}, s2) + с^^^}) и 52,^}),

b) для любого wєs2: с(^1, s2) > с(^1,52\^}) + с(^1 и (52 \^}),^}).

В случае сужающей функции затрат найдется оптимальная 2-иерархия Н. Условия а) и Ь) определения 4 позволяют перестроить Н до оптимальной последовательной иерархии. Поясним это перестроение с помощью рисунка 3.

Если в 2-иерархии Н каждому менеджеру подчинен хотя бы один исполнитель, то это последовательная иерархия (см. определение 3). Иначе рассмотрим менеджера т, которому непосредственно подчинены два других менеджера т1 и т2 (см. рисунок 3а)). Если таких менеджеров несколько, то в качестве т рассмотрим менеджера наиболее низкого уровня. То есть подчиненные менеджеры т1 и т2 непосредственно управляют хотя бы одним исполнителем. На рисунке 3а) менеджер т1 непосредственно управляет

исполнителем м>' и сотрудником V . Менеджер т2 непосредственно управляет исполнителем w" и сотрудником V .

Свойства сильно сужающей функции (см. определение 4) позволяют без увеличения затрат перестроить иерархию, изображенную на рисунке За). Обозначим 51=5н(т1), 52=5н(т2) - группы, подчиненные менеджерам т1 и т2. Тогда сотруднику V подчинена группа 5 \ , сотруднику V" подчинена группа s2 \ .

Если для групп 51 и s2 выполнено условие а) определения 4, то можно перестроить иерархию так, как показано на рисунке ЗЬ). То есть нанять менеджера т3 и непосредственно подчинить ему менеджера т2 и сотрудника V, а менеджеру т непосредственно подчинить исполнителя w' и менеджера т3. До перестроения затраты менеджера т равны с(5ь52) (левая часть неравенства а) определения 4). После перестроения суммарные затраты менеджеров т3 и т равны с^^^'},52) + £((5^^'})и52,^'}) (правая часть неравенства а) определения 4). Затраты остальных менеджеров не изменились.

Таким образом, условие а) определения 4 позволило без увеличения затрат непосредственно подчинить менеджеру т исполнителя w'. Аналогично, при выполнении условия Ь) определения 4 можно без увеличения затрат непосредственно подчинить менеджеру т исполнителя w" (см. рисунок Зс)).

Утверждение 1. Для сильно сужающей функции затрат существует оптимальная последовательная иерархия.

w

w' w'

Рисунок 3. Перестроение 2-иерархии при сильно сужающей функции

Я

w

Доказательство утверждения 1. Рассмотрим оптимальную 2-иерархию Н (которая существует для любой сужающей функции, см. 7). Если в ней некоторые сотрудники v1 и v2 управляют одинаковыми группами, то сотрудника v1 можно переподчинить всем непосредственным начальникам сотрудника v2, а сотрудника v2 удалить. Иерархия при этом останется оптимальной. Итак, считаем, что в Н все сотрудники управляют различными группами.

Менеджера назовем неправильным, если ему непосредственно подчинены два других менеджера. Если Н не содержит неправильных менеджеров, то каждому менеджеру подчинен хотя бы один исполнитель. То есть Н - искомая оптимальная последовательная иерархия. Если в Н имеются неправильные менеджеры, то будем уменьшать их количество, перестраивая иерархию без увеличения затрат.

Рассмотрим неправильного менеджера т, которому подчинены только правильные менеджеры. т имеет двух непосредственных подчиненных т1 и т2. Правильные менеджеры т1 и т2 непосредственно управляют хотя бы одним исполнителем. То есть менеджер т1 непосредственно управляет некоторым исполнителем w' и сотрудником Vі. Менеджер т2 непосредственно управляет некоторым исполнителем w" и сотрудником V". Соответствующий фрагмент иерархии выглядит так, как показано на рисунке За).

Обозначим группы, управляемые менеджерами т1 и т2, через 51=5Н(т1) и 52=5Н(т2). Сотрудник V' не может управлять исполнителем w', поскольку в этом случае т1 и V управляли бы одной и той же группой. То есть 5Н (V' ) = 51 \ '} . Аналогично

5н (V" ) = 52\К' }.

Если для групп 51 и 52 выполнено условие а) определения 4, то без увеличения затрат можно нанять нового менеджера т3 и непосредственно подчинить ему сотрудников V' и т2. А менеджеру т непосредственно подчинить исполнителя w' и менеджера т3. На рисунке ЗЬ) изображен результат перестроения.

Новый менеджер управляет группой (5 \ ^' }) и 52. До перестроения затраты менеджера т составляли с(51,52). В новой иерархии изменились только затраты менеджера т и добавились затраты т3. Таким образом, разница затрат старой и новой иерархии равна

с(51,52) -с(51 \{w'},52) -с((51 \^'}) иs2,{w'}) > 0 . Следовательно, затраты не увеличились и полученная иерархия оптимальна.

Если для групп 51 и 52 выполнено условие Ь) определения 4, то можно перестроить иерархию аналогичным образом, непосредственно подчинив менеджеру т исполнителя w". На рисунке Зс) изображен результат перестроения.

Итак, в случае сильно сужающей функции можно построить оптимальную 2-иерархию, в которой менеджер т будет правильным. В построенной иерархии менеджер т3 может управлять той же группой, что и некоторый менеджер т . В этом случае менеджеру т можно непосредственно подчинить менеджера т вместо т3, а менеджера т3 удалить . Иерархия при этом останется оптимальной, менеджер т останется правильным.

Если менеджер т3 был удален или т3 - правильный менеджер, то построена иерархия, в которой на одного неправильного менеджера меньше, чем в исходной иерархии Н. Предположим, что в полученной иерархии остался неправильный менеджер т3. В этом случае ему подчинена меньшая группа, чем менеджеру т. То есть вместо неправильного менеджера т появился неправильный менеджер т3, которому подчинена меньшая группа. Можно повторить перестроение, рассматривая менеджера т3 вместо т. Поскольку число исполнителей, подчиненных неправильному менеджеру, постоянно уменьшается, придем в итоге к оптимальной иерархии, в которой на одного неправильного менеджера меньше, чем в исходной иерархии Н.

Повторяя аналогичные перестроения, будем уменьшать количество неправильных менеджеров. В итоге придем к иерархии без неправильных менеджеров, то есть к искомой оптимальной последовательной иерархии. ■

Утверждение 1 позволяет, проверив для сужающей функции неравенство определения 4, свести задачу об оптимальной иерархии к поиску последовательной иерархии с минималь-

1 По построению т - единственный непосредственный начальник менеджера т3. Поэтому такое перестроение не изменит групп, которыми управляют менеджеры, оставшиеся в иерархии, и не изменит их затраты.

72

ными затратами. Как указано выше, такая иерархия может быть найдена аналитически или с помощью алгоритмов.

Класс сильно сужающих функций значительно уже, чем класс сужающих функций. Однако, в [3, 7] показано что, некоторые функции, интересные с содержательной точки зрения, будут сильно сужающими. Таким образом, утверждение 1 позволяет находить вид оптимальной иерархии для подобных функций затрат.

Литература

1. Воронин А. А., Мишин С.П. Алгоритмы поиска оптимальной структуры организационной системы // АиТ. 2002a. №5. С. 120-132.

2. Воронин А. А., Мишин С.П. Моделирование структуры организационной системы. Об алгоритмах поиска оптимального дерева // Вестн. Волг. ун-та. 2001. Сер. 1: Математика. Физика. С.78-98.

3. Воронин А. А., Мишин С.П. Модель оптимального управления структурными изменениями организационной системы // АиТ. 2002b. №8. С. 136-150.

4. Воронин А.А., Мишин С.П. Оптимальные иерархические структуры. М.: ИПУ РАН, 2003. - 214 с.

5. Мишин С.П. Динамическая задача синтеза оптимальной иерархической структуры // Управление большими системами. Выпуск 3. М.: ИПУ РАН, 2003. С. 55-75.

6. Мишин С.П. Оптимальное стимулирования в многоуровневых иерархических структурах // Автоматика и телемеханика, №5, 2004. С. 96 - 119.

7. Мишин С.П. Оптимальные иерархии управления в экономических системах. М.: ПМСОФТ, 2004. - 205 с.

8. Bolton P., Dewatripont M. (1994) The Firm as a Communication Network. Quarterly Journal of Economics, CIX, pp 809-839.

9. Keren M., Levhari D. (1983) The Internal Organization of the Firm and the Shape of Average Costs. Bell Journal of Economics, 14, pp. 474-486.

10. Keren M., Levhari D. (1989) Decentralization, Aggregation, Con-

trol Loss and Costs in a Hierarchical Model of the Firm. Journal of Economic Behavior and Organization, 11, pp 213-236.

11. Marschak T. A., Radner R. (1972) Economic Theory of Teams. New Haven, CT: Yale U. Press.

12. Radner R. (1992) Hierarchy: The Economics of Managing. Journal of Economic Literature, 30, No. 3, pp 1382-1415.

13. Radner R. (1993) The Organization of Decentralized Information Processing. Econometrica, 61, No. 5, pp 1109-1146.

14. Van Zandt T. (1995) Continuous Approximation in the Study of Hierarchies. RAND Journal of Economics, 26, No. 4, pp 575-590.