CC BY
26
3/2006
ОПТИМАЛЬНОСТЬ В СИСТЕМАХ, ЛИНЕЙНЫХ ПО УПРАВЛЕНИЮ
Н.П. Осмоловский
Работа частично поддержана РФФИ, гранты 00-15-96109 и 04-01-00482a
1. Введение
уществует обширная литература по достаточным условиям второго порядка в задачах с нелинейно входящим управлением; см. Dunn [3], Левитин, Милютин, Осмоловский [6], Maurer [7], Maurer, Pickenhain [12], Maurer, Oberle [8], Милютин, Осмоловский [13], Осмоловский [15,16,17], Осмоловский, Lempio [19], Zeidan [27] и другую литературу, цитируемую в этих работах. Достаточные условия второго порядка предполагают, что некоторая квадратичная форма является положительно определенной на так называемом критическом конусе. В случае непрерывного управления положительная определенность формы может быть проверена с помощью соответствующего матричного уравнения Риккати, для которого должно существовать ограниченное решение, удовлетворяющее определенным граничным условиям. Для случая разрывных управлений (ломаных экстремалей) подход, связанный с уравнением Риккати, был распространен Осмоловским и Lempio [20].
Задачи оптимального управления с линейно входящим управлением приводят либо к бэнг-бэнг управлениям, либо к особым управлениям. Необходимые условия первого и высших порядков были использованы, например, Bressan [2], Schattier [23] и Sussmann [24,25,26] для иссследования общих свойств бэнг-бэнг управлений. Общие необходимые и достаточные условия второго порядка для экстремали с разрывным управлением могут быть получены (см. Осмоловский [17]) из общей теории условий высших порядков Левитина, Милютина и Осмоловского [6]. Основные результаты для бэнг-бэнг управлений, вытекающие из этих общих условий, даны в книге Милютина и Осмоловского [6]. Некоторые доказательства, отсутствующие в книге, имеются в статье автора [18]. Литература по достаточным условиям второго порядка для бэнг-бэнг управлений довольно бедна как в области теории, так и в и области вычислений. Лишь совсем недавно можно было наблюдать возрождение интереса к бэнг-бэнг управлениям, и несколько подходов к получению достаточных условий второго порядка были развиты почти одновременно.
Сарычев [22] получил условия оптимальности первого и второго порядков для задачи быстодействия с бэнг-бэнг управлениями. Из этой статьи не ясно, как можно использовать полученные условия в практических примерах. Noble, Schattier [14] получили достаточные условия для ломаных экстремалей, которые, однако, могут быть использованы только в предположении, что соответствующая траектория локально погружена в достаточно гладкое поле экстремалей. Felgenhauer [4] обсуждает бэнг-бэнг управления в случаае управляемой системы, линейной как по управлению, так и по фазе. Аграчев, Stefani, Zezza [1] исследуют задачу с бэнг-бэнг управлениями на фиксированном отрезке времени и сводят
МГСУ
ее к конечномерной задаче оптимизации, в которой переменными являются точки переключения управления. Нам неизвестны какие-либо практические приложения полученный условий в задачах с бэнг-бэнг управлениями помимо работы Ledzewicz, Schattier [5], где условия второго порядка использовались для числен-нык расчетов.
Маурером и Осмоловским была поставлена цель найти такую форму достаточных условий второго порядка для бэнг-бэнг управлений, которая могла бы быть эффективно использована для численных расчетов. Эта цель была достигнута путем различнык представлений квадратичной формы (полученной в монографии Милютина и Осмоловского [13]) на критическом конусе. Такие представления оказались более удобными для численных расчетов. Для задачи быстродействия с фиксированными значениями фазы на концах фазовой траектории данная программа была реализована в нашей работе [9]. В следующей работе [10] мы расширили подобный анализ для бэнг-бэнг управлений на случай произвольного функционала и очень общих граничных условий. Мы определили так называемую Q - трансформацию квадратичной формы на критическом конусе, которая позволяет привести форму к более удобному для исследования виду, используя решение Q линейного дифференциального уравнения. При определенных условиях Q - трансформация позволяет привести форму к сумме квадратов и тем самым установить ее положительную определенность. Указанный прием был проиллюстрирован в работах [9,10] численными примерами физического и экономического содержания. В работе [11] мы нашли новую, конечномерную форму представления квадратичных необходимы« и квадратичнык достаточных условий оптимальности бэнг-бэнг управлений из книги [13], расширив возможности их практического применения и связав их с результатами [1].
Результаты автора по условиям оптимальности бэнг-бэнг управлений, опубликованные в монографии Милютина и Осмоловского [13], никогда не печатались на русском языке. Данная публикация частично восполняет этот пробел. За недостатком места мы приведем здесь лишь формулировки условий оптимальности и проиллюстрируем их примером экономического содержания. Мы следуем в основном изложению статьи [10] и книги [13].
2. Задачи бэнг-бэнг управления на нефиксированных отрезках времени
2.1. Задачи оптимального управления с линейно входящим управлением
Рассмотрим задачу оптимального управления с линейно входящим управлением. Пусть x(t) е IRd(x) обозначает фазовую переменную, а u(t) е IRd(u) - переменную управления на интервале времени t еА = [t0,tj с нефиксированными начальным моментом t0 и конечным моментом t1.
Минимизировать J (t0, t„ x, u) = J (t0, x (t0), t„ x(tj))
(1)
при ограничениях
x(t) = f (t, x(t), u(t)), u(t) eU, (t, x(t)) e Q, t0 < t < t,
(2)
F(t0, x(0, t„ x(tj)) < 0, K(t0, x(O, t„ x(tj)) = 0,
(t0 , x (t0l t1.x (t1)) e P,
где управление входит линеино в управляемую систему
/ (1, х, и) = а(1, х) + В(1, х )и. (4)
Здесь Р, К, а - векторные функции, В - матричная функция размерности
ё(х) х ё(и) , Р е 1Я22ё(х) , Q е ГО.1+ё(х) - открытые множества, а и е 1Яё(и) -выпуклыИ многогранник. Функции J, Р, К предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми на Р, а функции а, В дважды непрерывно дифференцируемыми на Q. Размерности Р, К обозначаются , ё(Р), ё(К). Мы используем ради краткости обозначения
х0 = х(0' Х1 = х(0, Р = (10, х0, ¿1, х1)-
Управляемый процесс
Т = (х(1), и(1) | I е [I,, ¿11) называется допустимым, если функция х(-) абсолютно непрерывна, функция и(-) ограничена и измерима и пара функциИ (х(1),и(1)) на интервале А = [¿0, ¿1] с концами р = (¿0,х(10),¿1, х(11)) удовлетворяет ограничениям (2), (3).
Определение 2.1. Процесс Т доставляет понтрягинский минимум, если не существует последовательности допустимых процессов
Г = (х"(t),u(t) | t е к, n = 1,2,..., такой, что выполнены следующие условия с An = [t0n, tn ]
• J(Tn) < J(T) V n и t0n ^ t0, t'n ^ t1 при n ^ro;
• max | xn(t) - x(t) 0 при n ^ro ;
An nA
• J | u" (t) - u(t) | dt ^ 0 при n
An nA
Заметим, что на фиксированном отрезке времени А понтрягинскиИ минимум соответствует Ь1 - локальному минимуму по отношению к переменной управления.
2.2. Необходимые условия оптимальности первого порядка Пусть
Т = (х(1), и(1) | I е [¿0, ¿11)
есть фиксировынныИ допустимый процесс такоИ, что управление и(-) является кусочно постоянноИ функциеИ на отрезке А = [¿0, ¿1]. Для упрощения обозначениИ
мы не используем такие символы и индексы как ноль, шляпка или звездочка, чтобы выделить данную траекторию среди других. Обозначим через
в = (т,...,^}, ¿0 <Т1 < - <Т < Ч
конечное множество всех точек разрыва (скачка) управления и(1) . Тогда хх(1) - кусочно непрерывная функция, чьи точки разрыва принадлежат в, и следовательно, х(1) - кусочно гладкая функция на А. В дальнеИшем мы используем обозначение
[u] = uk + - uk -для скачка функции u(t) в точке t Ев
и = и(тк - 0), uk+ = и(тк + 0)
есть левое и правое предельные значения управления u(t) в тд., соответственно.
Аналогично, мы обозначаем через [x]k скачок функции x(t) в той же точке.
Сформулируем необходимое условие первого порядка оптимальности процесса T - принцип максимума Понтрягина. С этой целью мы введем функцию Понтрягина
H (t, x,y, u ) = y f (t, x, u ) = y a (t, x ) + yB (t, x )u, (5)
где y есть вектор-строка размерности d(y) = d(x) , в то время как x, u, f, F и К - векторы-столбцы. Множитель при управлении u у функции Понтрягина называется функцией переключения
o(t, x, у) = DuH (t, x, y, u ) = yB(t, x ), (6)
которая является вектором-строкой размерности d(u). Обозначим через l концевую функцию Лагранжа
l («о ,a, в, p ) = «о J ( Р ) + aF ( p) + в К ( p ),
где a и в являются векторами-строками, причем d (a) = d ( F ), d (в) = d (К ) , а a0 есть число. Введем набор множителей Лагранжа
А = (a0 ,а,в,у(-),Уо(-))
такой, что функции
у(-):А^ IRd ( x ), y0(-):A^ IR1
непрерыны на А и непрерыно дифференцирумы на каждом интервале множества А \ в . В дальнейшем мы обозначаем первые и вторые частные производные по соответсвующим переменным с помощью нижних индексов.
Обозначим через M0 множество всех нормированных наборов X удовлетворяющих условиям принципа максимума для процесса T :
a0 > 0, a> 0, aF(p) = 0, a0 + ^ai 1= 1, (7)
yy = -H„, y/ 0 = -Ht Vt еА \ в, (8)
y(t0) = lx0, y(t1) = -lx1, У)(0 = lt0, У)(0 = 4, (9)
max H (t, x(t ),y(t ), u) = H (t, x (t),y(t ), u(t )) Vt еА \ в, (10)
ueU
H (t, x(t),y(t), u (t)) + y,(t) = 0 Vt еА \ в. (11)
Производные I и I берутся в точке (а0 р) , где р = , х(^0), х(^)) , а производные Их, И{ вычисляются в точке
х(^), п(1 )) , I еА \ в . Условие М0 представляет собой необходи-
мое условие первого порядка для понтрягииского минимума для процесса Т - т.н. принцип максимума Понтрягина, см., Понтрягин и др. [21].
Теорема 2.1. Если процесс Т доставляет понтрягинский минимум, то множество М0 не пусто. Множество М0 представляет собой конечномерный компакт,
причем проектор Я ^ (а0,а,в) инъективен наМ0.
В дальнейшем будет удобно использовать сокращенное обозначение (¿) вместо всех аргументов (¿, х(^), и(1 )) , например,
Н (Г) = Н (Г, х (Г), и (Г )), о(1) = ст(Г, х(Г )). Условия непрерывности пары функций )) в точках Тк ев представля-
ют собой обобщение необходимых условий Вейерштрасса-Эрдмана для негладких экстремалей. Мы сформулируем одно условие этого типа, которое окажется важным для условий второго порядка для экстремалей со скачками управления. А именно, для Я еМ0, тк ев рассмотрим функцию
к+\ тт/, „/'-А ,,,/'-А , к-\ _г, лк
( A kH )(t) = H (t, x (t ),¥(t), uk+ ) - H (t, x (t), ¥(t), uk - ) = c(t) [u]k. (12)
k = 1,...,
Предложение 2.1. Для каждого Ae M0 следующие равенства имеют место
lit (AkHН-0 = lit (AkH Следовательно, для каждого A e M0 функция (AkH)(t) имеет производную в каждой точке Tk e в . Определим величину
Dk (H ) =1 (A kH )(тк ). dt
Тогда из условия максимума (8) вытекает следующее свойство:
Предложение 2.2. Для любого A e M0 выполнены следуюие условия:
Dk(H) > 0, k = 1,...,(13)
Величина Dk(H) может быть также представлена в виде
Dk (H) = Hk+Hkw - Hk-Hk; + [Ht ]k
=kk+xk-+k>k - xk+-ВД,
где Hk- и Hk + - левое и правое предельные значения функции
Hx(t, x(t), u(t),k(t)) в точке Tk, соответственно, [Ht ]k - скачок функции Ht(t) в точке тк, и т.д. Из приведенного представления вытекает также, что
Dk (H ) = 6 )[u]k (14)
где значение производной справа 6 (т+) совпадают со значением производной
слева 6 (rk).
2.3. Интегральный функционал, несущественные переменные, сильный минимум
Хорошо известно, что любая задача управления с целевым функционалом в интегральном виде
ч
J = J f0(t, x (t), u(t)) dt
(15)
может быть приведена к канонической форме (1) с помощью введения новой фазовой переменной у, удовлетворяющей уравнению
У = fc(t,x,uX У (t0) = 0 • (16)
Тогда целвой функционал приобретает вид J = у (t1). Предполагается, что управление входит линейным образом в функцию f0,
fo(t, x, u) = ao(t, x) + Bo(t, x )u. (17)
Компонента у называется несущественной в расширенной задаче. Общее определение несущественной компоненты следующее.
Определение 2.2. Фазовая переменная xь т.е. i-я компонента фазового вектора x, называется несущественной, если функция f не зависит от x, а функции F, J, K зависят аффинно от xi0 = xi (t0) и xi1 = xi (tj) .
Несущественные компоненты не должны участвовать в определении минимума. Это приводит к определению сильного минимума более сильного типа, чем понтрягинский минимум в определении 1. Сильный минимум связан связан с понятием близости только фазовых компонент управляемых процессов. В дальнейшем через x мы обозначаем вектор, составленный из всех существенных компонент фазового вектора x.
Определение 2.3. Будем говорить, что процесс T доставляет сильный минимум, если не существует последовательности допустимых процессов
Tn = (xn(t),un(t) | t £ [tn0, tn]), n = 1,2,...
такой, что
• J(Tn) < J(T),
• t0n ^ t0, ? ^ t1, xn(t0) ^ x(t0) (n
• max | xn(t) - x(t) 0 ( n ), где An = [t0n, t?].
&n n A
Строгий сильный минимум определяется аналогично с той лишь разницей, что строгое неравенство (а) следует заменить на нестрогое и потребовать, чтобы процесс Тп был отличен от процесса Т для всех п.
2.4. Бэнг-бэнг управление
Интуитивное представление о бэнг-бэнг управлении состоит в том, что это -управление, принимающее значения только в вершинах допустимого многогранника и в (2). Нам потребуется несколько более ограничительное определение бэнг-бэнг управлениия для того, чтобы получить достаточные условия в теореме 3.2. Пусть
Аг§ так о0>
есть множество точек V е и , в которых достигается максимум линейной функции о^^. Для данного экстремального процесса Т = {(х(^), и(1)) | I еА } с ку-
0
сочно постоянным управлением u(t) мы скажем, что u(t) есть бэнг-бэнг управление если существует набор Я = (а0,a,ß,y0е M0 такой, что
Arg max veU o(t)v = [u(t - 0), u(t + 0)], (18)
где [u(t - 0), u(t + 0)] обозначает отрезок с концами u(t - 0) и u(t + 0) в IRd(ul
Заметим, что [u(t - 0Xu(t + 0)] есть одноточечное множество {u(t)} в каждой точке непрерывности управления u(t), причем u(t) в такой точке является вершиной многранника U. Только лишь в точках тк ев отрезок [uk-,uk + ] совпада-
ет с ребром многогранника.
В случае скалярного управления, т.е. при ё(и) = 1 и и = [итт,итах во «бэнг-бэнг» эквивалентно условию
а (г) * 0 V г еА \ в из которого следует формула для управления
если а (г) > 0
] , свойст-
u
V t еА \ в.
(19)
u(t) = ,
[ umn, если 0(t) <
Для векторозначного управления условие (18) накладывает дополнительные
ограничения. Например, если и = {и е 1Яа(и) | | иг |< 1 V/'} есть куб в 1Яё(и), условие (18) исключает возможность одновременного переключения нескольких компонент управления. Однако условие (18) выполнено во многих примерах. Более того, это условие является абсолютно необходимым в анализе чувствительности бэнг-бэнг управлений.
3. Квадратичные необходимые и достаточные условия оптимальности
В этом разделе мы сформулируем квадратичное необходимое условие понт-рягинского минимума (см. определение 2.1) для данного бэнг-бэнг управления. Усиление этого квадратичного условия приводит к достаточному условию сильного минимума (определение 2.3). Эти квадратичные условия основаны на свойствах квадратичной формы на так называемом критическом конусе, чьи элементы представляют собой вариации первого порядка вдоль данного управляемого процесса Т. Основные результаты этого раздела принадлежат автору (теоремы 3. 1 и 3.2); см. книгу Милютина и Осмоловского [13], часть 2, глава 3. Часть доказательств, не вошедших в книгу, была опубликована в статье автора [18].
3.1. Критический конус
Для данного процесса Т мы определим пространство Z(в ) и критический конус К е 2(в). Обознчим через РвС1{А, 1Яй(х)) пространство кусочно непрерывных функций
х (• ): А ^ Ш.ё(х),
непрерывно дифференцируемых на каждом интервале множества А \ в . Для каждого х еРвС1(А,ТЯё(х)) и для тк ев положим
= х(т - 0),
-к+
= х (тк + 0), [ х ]к =
-к+
Положим У = (70,7х) , где 70,71 е ГО , ГО/ , х е РвС\АЖНх)) ■ Таким образом,
Г е г (в) := ГО2 х ГО/ х РвС1 (А, ГО',(1)).
Для каждого г положим
Хо = ) + т х(1 ), XI = Щ) + 7х(/,), Р = (То, Хо, Тъ XI). (20)
Вектор р рассматривается как вектор-столбец. Заметим, что I о = О , соответственно, Т\ = 0 для фиксированного начального момента времени t(ь соответственно, конечного момента времени tЛ. Обозначим через
множество индексов всех активных концевых неравенств Р{(р)< О в точке р = (¿п,х(^п),^,х(^)) . Обозначим через К множество всех 1 е 2(6) удовлетворяющих следующим условиям:
Пр)Р< о, Р,(р)р<0\/1^1Р(Р\ К'(р)р = О, (21)
т = /х(^х(0,и(0)х(0, [х]А=[х]А^, к = 1,(22)
где р = (х(Ш0,х(Шл) .
Очевидно, что К - выпуклый конечномерный и конечногранный конус в пространстве 7(0 ). Мы называем его критическим конусом. Каждый элемент г е К однозначно определяется числами t о, /1, вектором £ и начальным значением Щ,) функции х(0.
Предложение 3.1. Для любых ЯеМ(1 и 1 & К имеем
+4/(0 = 0. (23)
Предложение 3.2. Для любых Я е М0 и 1 е К имеем
^аДрр + рКрр = 0. (24)
;=1
Два важных свойства критического конуса вытекают из предложения 3.2. Предложение 3.3. Для любых Я е М() и е К , имеем
а(Д'(р)р = 0, аД(р)р = 0 \/1е1р(р).
Предложение 3.4. Предположим, что существует Я е Мп с а() > 0 . Тогда добавив равенства
аД(р)р = 0\/1(=1р(р),
к системе (21), (22) определяюгцей К, можно опустить неравенство
Г(Р)Р< О,
в этой системе не изменив К.
Таким образом, К определен условием (22) и условием р е К0 , где К0 - конус в ГО2й(х) 2 заданный условием (21). Но если существует X е М0 с а0 > 0 , то мы можем положить
-6ттКо = {р е ГОа^+2 | Д (р)р < 0, аД (р)р = 0 V г е 1Р (р), К'(р)р = 0}. (25) Если кроме того а > 0 выполнено для всех г е 1Р (р), то К0 есть подпространст-
во в ГО.
й ( х )+2
3.2. Квадратичное необходимое условие оптимальности
Определим квадратичую форму на критическом конусе К помощью условий (21), (22). Для каждого X е М0 и Г е К положим
0(Х,Г) = (Ар,р) + £ (Бк(Н)ек - 2[Нх]кхкЛУ ЦН„т, т)¿г, (26)
к=1
где
(Ар, р) = {1ррр,р)- 2Ц (д х 0 г 0- (у 0(0 - Ц (0х (а г
+2у (О Х1Т1 + (у 0(0 -у (О Х^)^,
1рр = 1рр(а0,а,Р,р), р = (г0,х(г0),г1,х(ОХ Нхх = Нхх(г, х(гXи(г),¥(г)).
(27)
—к 1 (—к- , —к+\ Х ау = 2( Х + Х ).
Заметим что функционал 0(Х, Г) линеен по X и квадратичен по Г. Заметим также, что для задачи на фиксированном отрезке [г0, г1] мы имеем 70 = 71 = 0 и,
следовательно, квадратичная форма (27) приобретает вид {Ар, р) = (1ррр, р}. Следующая теорема дает основное необходимое условие оптимальности второго порядка.
Теорема 3.1. Если процесс Т доставляет понтрягинский минимум, то выполнено следующее условие А: множество М0 непусто и
тах 0(Х, Г) > 0 для всех Г е К.
ХеМ 0
Мы называем условие А необходимым квадратичным условием, хотя оно действительно является квадратичным лишь в случае, когда М0 есть одноточечное множество.
3.3. Квадратичное достаточное условие оптимальности
Естественное усиление необходимого условия А превращает его в достаточное условие оптимальности не только для понтрягинского минимума, но также для сильного минимума; см. определение 2.3. Следующая теорема была получена автором; см. книгу [13], часть 2, глава 3, параграф 12.4. Некоторые доказательства, отсутствующие в книге, опубликованы в статье автора [18].
Теорема 2. Пусть следующее условие В выполнено для процесса Т
• и(() - бэнг-бэнг управление, для которого выполнено условие (19),
• существует Я еМ(1 такой, что 1)к(Н) > 0,к = 1,...,л,
• шах 0( А, ¥) > О для всех ¥ е К \ {0}.
аём0
Тогда Т- строгий сильный минимум.
Отметим, что условие (с) выполнено автоматически, если К = {0}, что представляет собой достаточное условие первого порядка для сильного минимума в задаче. Также заметим, что условие (с) автоматически выполнено, если существует Я е М() такой, что
0( А,Г) > 0 для всех {0}. (28)
Пример: Задача о размещении ресурсов. (Этот пример был рассмотрен X. Ма-урером в работе [10].) Пусть х(?) - запас ресурса, и пусть управление и(?) есть скорость инвестиций. Задача управления состоит в максимизации полного потребления
с?1
на фиксированном интервале времени [0,1^] при ограничениях
х(0 = х(0 г/(0, х(0) = х„ >0, 0 < г/(0 < 1.
Функция Понтрягина для (5) для соответствующей задачи минимизации имеет вид
Н = -а0х(и -1) + у/ хн = апх + от/, сг(х,1//) = -х(ап - у/).
Непосредственное примененение принципа максимума показывает, что оптимальное управление имеет одну точку переключения 11=^ - 1 при ^ > 1. Более того, можно взять ад = 1 и найти
и (г) = (х(г ),ц(г)) =
|1 , 0 < г <т11
[ 0 , т1 < г < г1 )'
[(V,е~(г-Т1)) , 0 < г <Т1 I (Х0^,-г+г) , Т1 < г < г
Функция переключения есть о(г) = -х(г)(1 -у (г)) , для нее вычисляем сС(т1) = -х0еч Ф 0 . Здесь к = 1, [и]1 = -1 и таким образом,
Н) = с(т1)[и]1 = -с(т1) > 0
в силу (12) и (14). Следовательно, условия (а) и (Ь) теоремы 3.2 выполнены. Проверка условия (с) довольно проста, поскольку квадратичная форма (26) имеет
здесь вид 0(Х, Г) = Б\Н)^12. Этот вид вытекает из условий Нхх = 0 и
[Нх]1 = -(1 -ц(т1))[и]1 = 0 и того факта, что квадратичная форма (27) обращается в ноль. Заметим, что данная задача оптимального управления не относится к классу выпуклых задач. Это означает, что необходимые условия не обеспечивают автоматически оптимальности полученного решения.
Литература
[1] Agrachev, A.A., Stefani, G. and Zezza, P.L. (2002) Strong optimality for a bang-bang trajectory, SIAM J. Control and Optimization, , 991-1014.
[2] Bressan, A. (1985) A high order test for optimality of bang-bang controls, SIAM J. Control and Optimization, , 38-48.
[3] Dunn, J.C. (1995) Second order optimality conditions in sets of Lш functions with range in a polyhedron, SIAM J. Control Optimization, , 1603-1635.
[4] Felgenhauer, U. (2003) On stability of bang-bang type controls, SIAM J. Control and Optimization, , 1843-1867.
[5] Ledzewicz, U. and Schattler, H. (2002) Optimal bang-bang control for a 2-compartment model in cancer chemotherapy, to appear in J. of Optimization Theory and Applications.
[6] E.C. Левитин, A.A. Милютин, Н.П. Осмоловский (1978) Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями, Успехи математических наук, т. 33, вып. 6, 97-168.
[7] Maurer, H. (1981) First and second order sufficient optimality conditions in mathematical programming and optimal control, Mathematical Programming Study, , 163-177.
[8] Maurer, H. and Oberle, H.J. (2002) Second order sufficient conditions for optimal control problems with free final time: the Riccati approach, SIAM J. on Control and Optimization, , 380-403.
[9] Maurer, H. and Osmolovskii, N.P. (2001) Second order sufficient conditions for time optimal bang-bang control problems, submitted to SIAM J. Control and Optimization.
[10] Maurer, H. and Osmolovskii, N.P. (2003) Second order optimality conditions for bang-bang control problems, Control and Cybernetics, vol. , No 3, 555584.
[11] Maurer, H. and Osmolovskii, N.P. (2005) Equivalence of Second Order Optimality Conditions for Bang-Bang Control Problems. Part 1: Main Results, Control and Cybernetics, vol. , No 3, 927-950.
[12] Maurer, H. and Pickenhain, S. (1995) Second order sufficient conditions for optimal control problems with mixed control-state constraints, J. Optim. Theory and Applications, , 649-667.
[13] Milyutin, A.A. and Osmolovskii, N.P. (1998) Calculus of Variations and Optimal Control, Translations of Mathematical Monographs, Vol. , American Mathematical Society, Providence.
[14] Noble, J. and Schattler, H. (2001) Sufficient conditions for relative minima of broken extremals in optimal control theory, submitted.
[15] Осмоловский Н.П. (1988) Необходимые и достаточные условия высших порядков для понтрягинского и ограниченно-сильного минимумов в задачах оптимального управления Доклады АН СССР, , 1052-1056.
[16] Осмоловский Н.П. (1988) Теория условий высших порядков в оптимальном управлении, докторская диссертация, Москва.
[17] Osmolovskii, N.P. (1995) Quadratic conditions for nonsingular extremals in optimal control (A theoretical treatment), Russian J. of Mathematical Physics, , 487-516.
[18] Osmolovskii, N.P. (2004) Quadratic optimality conditions for broken extremals in the general problem of calculus of variations, submitted to Journal of Math. Science, Vol. , No. 3, 3987-4122..
[19] Osmolovskii, N.P. and Lempio, F. (2000) Jacobi-type conditions and Riccati equation for broken extremal, Journal of Math. Science, , No.5, 2572-2592.
[20] Osmolovskii, N.P. and Lempio, F. (2002) Transformation of quadratic forms to perfect squares for broken extremals, Journal of Set Valued Analysis, Vol. , 209-232.
[21] Понтрцгин JI.C., Болтцнский В.Г., Гамкрелидзе P.B., Мищенко Е.Ф. (1961) Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 391 с.
[22] Sarychev, А. (1997) First and second-order sufficient optimality conditions for bang-bang controls, SIAM J. Control and Optimization, , 315-340.
[23] Schattler, H. (1988) On the local structure of time-optimal bang-bang
trajectories in IR , SIAM J. Control and Optimization, , 186-204.
[24] Sussmann, H.J. (1979) A bang-bang theorem with bounds on the number of switchings, SIAM J. Control and Optimization, , 629-651.
[25] Sussmann, H.J. (1987) The structure of time-optimal trajectories for
single-input systems in the the plane: the C№ nonsingular case, SIAM J. Control and Optimization, , 433-465.
[26] Sussmann, H.J. (1987) The structure of time-optimal trajectories for single-input systems in the the plane: the general real analytic case, SIAM J. Control and Optimization, , 868-904.
[27] Zeidan, V. (1994) The Riccati equation for optimal control problems with mixed state-control constraints: necessity and sufficiency, SIAM J. Control and Optimization, , 1297-1321.
