Оптимальное ядерное оценивание плотности методом статистического моделирования при случайном цензурировании наблюдений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 67

Tomsk State University Journal of Control and Computer Science

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ DATA PROCESSING

Научная статья УДК 519.234

doi: 10.17223/19988605/67/6

Оптимальное ядерное оценивание плотности методом статистического моделирования при случайном цензурировании наблюдений

Абдурахим Ахмедович Абдушукуров1, Сухроб Баходирович Бозоров2, Дилшод Равилович Мансуров3

1 Московский государственный университет, филиал в г. Ташкенте, Ташкент, Узбекистан, 2 Гулистанский государственный университет, Гулистан, Узбекистан 3 Навоийский государственный педагогический институт, Навои, Узбекистан 1 [email protected]

2 suxrobbek_8912@mail. ru 3 mathematicianmd@gmail. com

Аннотация. Рассматриваются задачи непараметрического оценивания вероятности безотказной работы и функции плотности распределения продолжительности работы некоторого физического устройства. Используются случайно цензурированные справа наблюдения. Строятся оценки сложной структуры: множительная, экспоненциальная, степенная, а также оценка с модификацией. Предлагаются новые оценки для плотности распределения с использованием ядерного метода. Приведены таблицы оптимального выбора параметров сглаживания, полученные с использованием статистического моделирования.

Ключевые слова: множительная оценка; экспоненциальная оценка; степенные оценки; ядерное оценивание; случайное цензурирование.

Для цитирования: Абдушукуров А.А., Бозоров С.Б., Мансуров Д.Р. Оптимальное ядерное оценивание плотности методом статистического моделирования при случайном цензурировании наблюдений // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 67. С. 49-59. doi: 10.17223/19988605/67/6

Original article

doi: 10.17223/19988605/67/6

Optimal kernel density estimation by statistical modeling with random censoring of observations

Abdurakhim A. Abdushukurov1, Sukhrob B. Bozorov2, Dilshod R. Mansurov3

1 Moscow State University branch in Tashkent, Tashkent, Uzbekistan 2 Gulistan State University, Gulistan, Uzbekistan 3 Navoi State Pedagogical Institute, Navoi, Uzbekistan [email protected]

2suxrobbek_8912@mail. ru [email protected]

Abstract. The problems of nonparametric estimation of the probability of failure-free operation and the density distribution function of the operating time of some physical device are considered. Randomly right-censored observa-

© А.А. Абдушукуров, С.Б. Бозоров, Д.Р. Мансуров, 2024

tions are used. Estimates of a complex structure are constructed: multiplying, exponential, as well as power estimates and an estimate with modification. New estimates for the distribution density using the kernel method are proposed. Tables of the optimal choice of smoothing parameters obtained using statistical modeling are presented.

Keywords: multiplier estimation; exponential estimation; power estimators; kernel estimation; random censoring.

For citation: Abdushukurov, A.A., Bozorov, S.B., Mansurov, D.R. (2024) Optimal kernel density estimation by statistical modeling with random censoring of observations. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 67. pp. 4959. doi: 10.17223/19988605/67/6

Введение

При анализе числовых данных типа времени жизни (в медико-биологических испытаниях индивидуума на выживаемость или в промышленных экспериментах на продолжительность безотказной работы технических устройств) интерес представляют неотрицательные случайные величины и их числовые характеристики. В этой связи рассмотрим случайную величину X на вероятностном пространстве (Г2,А,Р) со значениями в измеримом пространстве с абсолютно непрерывным распределением относительно меры Лебега на М+. Пусть ^ (г ) = Р (X <?),£еК+, - функция

распределения случайной величины X. Тогда мера dF имеет производную Радона-Никодима f Функция выживания, означающая вероятность безотказной работы испытываемого объекта, определяется выражением

1 - F (t) = P (X > t)=J f (u )du, t i

Плотность интенсивности отказов и функция кумулятивной (интегральной) интенсивности определяются формулами

= A(t H Mu )du,

Поскольку

функцию Х(г) также можно интерпретировать как скорость смертности в момент времени t. Справедливы следующие равенства [1-3]:

1-^(7) = ехр(-Л(7)), Л(¿) = -108(1-^)), ¿еМ+.

Во многих практических ситуациях невозможно полностью наблюдать случайную величину X. Тогда анализ данных опирается на неполные, а точнее - на цензурированные данные. В данной работе рассматриваются цензурированные справа наблюдения. Различные модели цензурирования приведены в исследованиях [3-13].

1. Математическая модель

Пусть Х1, Х2,... и у ,У2,... - две независимые последовательности независимых неотрицательных случайных величин, определенных на одном вероятностном пространстве (О, А, Р) с абсолютно непрерывными функциями распределений /'(/) и , I е г , с соответствующими плотностями /(г) и g (г) . При случайном цензурировании справа наблюдаются следующие пары:

с« = !</<«},

где Z = min (X ,Y) и 5,-= I (X — Y) - индикаторная случайная величина, показывающая, что Zi цензурирована (5, = 0) или не цензурирована (5, = 1). Через H обозначим функцию распределения Z = min (X ,Y):

H(t) = P(Z < t) = 1 - (1 - F(f))(l -G(t)) = Я(0) (t) + Hil) (t), t e №+,

где H(m) (t) = P(Z — t, 5 = m), m = 0,1, - субраспределения, для которых справедливы выражения

t t Я(0)(0 = f(l-F{u))dG(u), tf(1)(t) = \(l-G(u))dF(u), t . (1)

о 0

Таким образом, случайные величины Xi наблюдаемы лишь в случае 5; = 1. Тогда общее их число в выборке равно случайной величине v(n) = 5 + 5 +... + 5, имеющей биномиальное распределение Bi ( n; p ), где

p = P(X — Y) = H(1) (да) = J (1 - G(u))dF(u) e (0,1).

0

В этой модели задача состоит в оценивании распределения F, используя выборку С'"'. Естественно, в качестве искомой оценки для F сперва рассмотрим эмпирическую статистику

1 "

Fn(t) = -r\H^-l(Z,<t), tsR+, (2)

v(n)

использующую только наблюдаемые X в выборке

. В [3] установлено, что Fn(t)^F(t) =-Ц

и—> со 7 р

Видно, что F (t F (t), и равенство F (t ) = F (t) возможно лишь в случае отсутствия цензурирования (т.е. при G = 0). Следовательно, Fn является несостоятельной статистикой F.

2. Оценивание функции распределения

Анализ работ показал, что существующие к настоящему времени оценки для F имеют более сложную структуру, чем эмпирическая функция распределения. Впервые при случайном цензурировании справа PL (Product-Limit) оценка Каплана-Мейера [6] была предложена в 1958 г. Она имеет множительную структуру:

( 5,, ^

1 - п

FКМ (t) =

1 -- 'с:

t < Z,

(n

n - i +1

/

1 t > Z(n), S(n)= 1, (3)

неопределена, t > Z^y 8^ = 0,

где <<... <- порядковые статистики, построенные по Z-выборке \Zi, 1 < 1 <п а , 1 < 1 < п|, - сопровождающие их индикаторы. Оценка (3) имеет большое влияние на развитие

статистической теории цензурированных наблюдений. Как видно из формулы определения оценки (3), она в последней точке ^ > зависит от цензурирования. Тем не менее в литературе встречаются

разнообразные модификации этой оценки.

Однако (3) - не единственная оценка для F, построенная по выборке . Для введения других оценок нам необходимы некоторые дополнительные обозначения и определения. Оценим субраспределения Н (0) (г) и Н (1) (г) эмпирическими функциями

1

Н„(г) = -XI(2 ^ г, 5, = т), т = 0,1.

П ,=1

Введем кумулятивные функции интенсивности для G, F и H

Л(0)(г)= г др (и) = гн(0)(„) () 01 - р (и) 01 - н (и),

Л(1)(г)= \ д¥ (и ) = \дн(1)(и )

( ) 0 - ^ (и ) 0 1 - Н (и ),

л(г) = л(° '(0 + Л" >(0 = 1 ^

Введем их оценки

A?)(t)=} dH-,(u),л;'(t)=} dH-"(u)

'1 - H, ( u ) + -

n

'1 - Hn (u ) +

A, ( t ) = }

dH, ( u ) 1 - H, (u ) +

r = A,0)(t ) + AW(t ), H, ( t ) = H,0)( t ) + HniJ(t ),

J1'

- н-(0) I

(4)

(5)

(6)

где слагаемое — в знаменателе для оценок (6) добавлено для предотвращения деления на ноль при их п

вычислении.

Согласно формулам (5) и (6), естественной оценкой экспоненциального вида является следующая оценка Альтшулера-Бреслоу [10, 11]:

Ff (t) = 1 - exp (-A,,)) = 1 - exp

-z-

I (Zt< t, 8j= 1 )

1 - Hn ( Z ) + -

(7)

f

= 1 - exp

- z

v H<';

, - i + 1

= 1 -

П exp -

, - i + 1

Для сравнения с (7) используем следующую модификацию оценки (3):

FКМ (t ) =

1 - П

Г Ï

1-

, - i +1

t < Z

1,

t > Z,

П

, - i , - i +1

1,

t < Z ъ t > Z V

(8)

Поскольку при х ~ 0, е х ~ 1 — х, из формул (7) и (8) имеем аппроксимацию

-1о8(1-/^(0)«Л«(0, ^Г, (9)

что показывает близость этих оценок при больших п. Автором [8, 9] была предложена оценка степенного типа

|0, г < 2,

F,W( t ) = 1 -[1 - Hn ( t )]

R, (t )

1-

, - i

R, (t )

Z,, < t < Z,.+11 < i < , -1,

(10)

t > Z,

0

,

5

s

1

где Яя (г) = Л(1) (г) • [Л„ (г)] 1 - оценка дроби Я (г) = Л(1) (г) • [л(г)] 1. В работах [3, 8, 9] показано, что

оценка (10) идентифицируема с рассматриваемой моделью случайного цензурирования справа, т.е. для оценок структуры (10) имеет место аналог равенства

(1-^(г))(1-£(г)) = 1-я(г), геЖ+. (11)

Действительно, если С(1)(г) = 1 -[1 -Яи (г)] Яп() - оценка для О(г) вида (10), то очевидно

= (12)

Другими словами, оценки вида (10) определены во всех точках М+. Теперь рассмотрим условную вероятность

^(г) = р(8 = 1|г = г) = £[8|г = г],геМ+. (13)

Легко видеть, что справедливы равенства

H

(1 )(t ) = J p ( u )dH (u ), Л(1 )(t ) = J p (u )dA(u ), t <

Следовательно,

R (t) = [Л(t)]_1 Jp (u)dЛ(u),

t <

(14)

Так как вероятность (13) фактически является функцией регрессии, то ее естественно оценивать следующей статистикой Надарая-Ватсона [14, 15]:

Рп ( t ) =

1

iL 8, - k

ft - Z ^

nh (n ) j-; ' ^ h (n )

1

ft - zA

nh ( n ) j-; ^ h ( n )

(15)

Пусть кп (/) = [Ля (/)] ' • |рп (и)с/Ап (и), / - оценка для дроби (14), получаемая по формулам (6)

о

(третья) и (15). Тогда в формуле (10), заменив Яи (г) на Яп (г), получаем еще одну новую степенную оценку структуры (10):

|0, г <

Fj2)(t) = 1 -[1 - Hn (t)]-(t) =

Rn (t )

1-

1,

n - i

;\Rn (t)

'(1)'

ZM < t < Z. . ъ 1 < i < n -1,

(i) (i+1)'

(16)

t ^Z )■

(n)

Приведенный на рис. 1 график оценок построен с использованием объема выборки п = 100; 1 000 с уровнем цензурирования 30%.

Как видно из рис. 1, a, если выбраны правильная функция ядра и соответствующий параметр ширины окна, то оценка (г) лучше, чем ^я(1) (г). При объеме выборки п = 1 000 (см. рис. 1, Ь)

оценки асимптотически неразличимы. Однако само изображение не дает достаточной информации для выводов. Поэтому, чтобы узнать, какая из этих оценок «лучше», мы создадим табл. 1-3 на основе N = 2 000 экспериментов значения выражения равномерной метрики

8ир|^(г)-^(г)|, при ^(г)= ^(г), ^(г), ^(г)

на разных уровнях цензурирования с объемом п = 100, 200, 500, 1000, 2 000 .

0

-1

N = 100 а

N = 1 000 b

Рис. 1. Оценки Fn(1) (t) и Fn(2) (t) Fig. 1. Estimations Fn(1)(i) and Fn(2) (t)

Таблица 1

Отклонение оценки F™ (t) от теоретического распределения

Теоретическое распределение F (t) = 1 - e ', t > 0

n n = 100 n = 200 n = 500 n = 1 000 n = 2 000

0% 0,08525 0,06047 0,03847 0,02735 0,01942

10% 0,08703 0,06173 0,03948 0,02793 0,01977

20% 0,09014 0,06405 0,04079 0,02889 0,02041

30% 0,09482 0,06781 0,04317 0,03052 0,02166

40% 0,10512 0,07564 0,04846 0,03456 0,02453

50% 0,12387 0,09182 0,06106 0,04431 0,03233

60% 0,15258 0,11939 0,08502 0,06528 0,05020

70% 0,23185 0,18872 0,14288 0,11633 0,09412

80% 0,36522 0,31959 0,26567 0,23120 0,20212

Таблица 2

Отклонение оценки F„(1) (t) от теоретической функции распределения

Теоретическое распределение F (t) = 1 - e ', t > 0

n n = 100 n = 200 n = 500 n = 1 000 n = 2 000

0% 0,08514 0,06041 0,03798 0,02696 0,01891

10% 0,08576 0,06065 0,03891 0,02778 0,01946

20% 0,08620 0,06132 0,03941 0,02832 0,01977

30% 0,08721 0,06303 0,04036 0,03006 0,02124

40% 0,08845 0,06424 0,04257 0,03195 0,02207

50% 0,10239 0,07618 0,05093 0,03661 0,02596

60% 0,14121 0,09419 0,07887 0,05906 0,03708

70% 0,18716 0,13896 0,12348 0,10134 0,07319

80% 0,21807 0,19675 0,16330 0,14907 0,12187

Таблица 3

Отклонение оценки —и(2) (г) от теоретической функции распределения

Теоретическое распределение - (г) = 1 - е ', г > 0

n n = 100 n = 200 n = 500 n = 1 000 n = 2 000

0% 0,08512 0,06023 0,03742 0,02716 0,01911

10% 0,08561 0,06044 0,03812 0,02767 0,01932

20% 0,08617 0,06126 0,03871 0,02830 0,01956

30% 0,08712 0,06212 0,03945 0,02902 0,02017

40% 0,08785 0,06345 0,04105 0,03112 0,02197

50% 0,09034 0,07332 0,04789 0,03538 0,02487

60% 0,12056 0,08919 0,07012 0,05423 0,02718

70% 0,17120 0,11998 0,10256 0,09558 0,07018

80% 0,19823 0,18678 0,14993 0,13554 0,11956

Сравнивая каждые столбец и строку табл. 1-3, видим, что оценка (10) ближе к функции распределения, чем оценка (3). Это особенно заметно, когда объем выборки небольшой и уровень цензурирования высок. Однако сравнивая табл. 2 и 3, легко видеть, что оценка (16) лучше, чем (10).

3. Оценивание плотности вероятности

йИ(1) (t)

Согласно определению субплотности Н(1) (г) =-— в (1) следует, что (1 - О (г)) / (г) = Н(1)( г),

т.е. / (0 = -^. ^

у> 1 - О (г)

Отсюда имеем две оценки для основной плотности / (г):

/(к)(г)= ^г) . , к = 1,2, (17)

1 - О{(к)(г) + 1

п где

h«( t ) = L 8,-k f

n ( ) nh (n )L ' f h (n )

(18)

есть ядерная оценка субплотности Н(1)( г) (числитель оценки (15)),

о« (г) = 1 - [1 - Ип (г)]1-я(г), о(2) (г) = 1 - [1 - я (г)]1-Я(г)

1

есть степенные оценки для О (г) структур (10) и (16) соответственно, а слагаемое — в знаменателе в (17)

п

добавлено для предотвращения операции деления на ноль при их вычислении. На рис. 2 приведена оценка О(к)(г).

Кроме того, для плотности / (г) вычислим следующие гистограммные оценки, использующие степенные оценки для — (г), вычисляемые по формулам (10) и (16):

ч Ек)(г + Н(п))--(к)(г-Н(п))

/ (г) = -( - п (-^, к = 1,2,

2Н ( п )

где Н (п ) = п-ш

Рис. 2. Оценки G(„k)(t) Fig. 2. Estimations G® (t)

Рисунок 3 построен с использованием выборки объема n = 100 с уровнем цензурирования 30%. Как видно из рис. 3, если выбраны правильная функция ядра и соответствующие параметры ширины

окна, оценка f^ (t) по сравнению с оценкой f1 (t) ближе к f (t).

Ä )

)

b

Рис. 3. Оценки fn(1)(i) и f„(2)(i) Fig. 3. Estimations f„(1) (t) and f„(2) (t)

То же самое можно сказать и об оценках /(к) (г). Это можно объяснить преимуществом оценки

*П(2)( г).

Теперь, чтобы проверить, как оценка /(2) (г) зависит от параметра ширины окна и существует ли оптимальный параметр ширины окна, мы можем составить табл. 4 из средних значений

/П(2)(г) — / (г)

sup

t >0

в 20 000 экспериментах.

а

Таблица 4

Зависимости оценки f^it) от параметров

% цензурирования

0% 10% 20% 30% 40% 50% 60%

0,01 0,03413 0,03783 0,04328 0,05058 0,06089 0,07820 0,10967

0,02 0,01655 0,01839 0,02107 0,02429 0,02870 0,03591 0,04857

0,03 0,01233 0,01369 0,01563 0,01784 0,02108 0,02622 0,03484

0,04 0,01102 0,01194 0,01388 0,01577 0,01875 0,02327 0,03071

0,05 0,01081 0,01219 0,01357 0,01541 0,01843 0,02316 0,03007

0,06 0,01113 0,01230 0,01398 0,01589 0,01908 0,02281 0,03112

0,07 0,01174 0,01301 0,01480 0,01683 0,02029 0,02504 0,03313

0,08 0,01254 0,01393 0,01587 0,01807 0,02186 0,02697 0,03574

0,09 0,01346 0,01500 0,01712 0,01952 0,02366 0,02922 0,03876

0,1 0,01447 0,01617 0,01849 0,02110 0,02565 0,03169 0,04208

0,11 0,01554 0,01741 0,01994 0,02280 0,02776 0,03435 0,04562

0,12 0,01667 0,01872 0,02147 0,02459 0,02997 0,03713 0,04933

0,13 0,01783 0,02006 0,02305 0,02644 0,03225 0,04002 0,05317

0,14 0,01902 0,02145 0,02467 0,02835 0,03460 0,04298 0,05711

0,15 0,02024 0,02286 0,02632 0,03031 0,03700 0,04602 0,06113

0,16 0,02149 0,02430 0,02801 0,03230 0,03944 0,04910 0,06521

0,17 0,02275 0,02575 0,02971 0,03432 0,04191 0,05223 0,06934

0,18 0,02403 0,02722 0,03143 0,03637 0,04442 0,05538 0,07350

0,19 0,02532 0,02871 0,03317 0,03844 0,04694 0,05857 0,07769

0,2 0,02662 0,03021 0,03492 0,04053 0,04948 0,06177 0,08190

0,23 0,03058 0,03475 0,04020 0,04686 0,05716 0,07143 0,09456

0,25 0,03324 0,03781 0,04375 0,05111 0,06230 0,07788 0,10297

0,3 0,03994 0,04547 0,05263 0,06175 0,07512 0,09387 0,12373

0,4 0,05324 0,06063 0,07012 0,08258 0,10001 0,12458 0,16310

0,5 0,06611 0,07522 0,08686 0,10232 0,12331 0,15289 0,19886

0,6 0,07836 0,08904 0,10262 0,12069 0,14472 0,17853 0,23088

0,7 0,08992 0,10202 0,11732 0,13763 0,16424 0,20160 0,25937

0,8 0,10077 0,11415 0,13096 0,15318 0,18196 0,22226 0,28460

0,9 0,11092 0,12544 0,14357 0,16743 0,19802 0,24077 0,30679

1 0,12042 0,13594 0,15522 0,18046 0,21257 0,25733 0,32618

Из табл. 4 мы видим, что для каждого процента цензурирования существует оптимальный параметр ширины окна. В табл. 4 минимальные значения выделены жирным шрифтом. При использовании оптимальной ширины окна оценка становится ближе к функции плотности.

Заключение

Исследования в области статистики цензурированных наблюдений показали, что степенные оценки вероятности безотказной работы испытываемого на надежность физического устройства (или индивидуума) обладают рядом преимуществ по сравнению с их аналогами, построенными на основе множительных оценок. Особенно это заметно у заранее сглаженной оценки дроби кумулятивных ин-тенсивностей. Методом статистического моделирования показано, что такое преимущество сохраняется и для ядерных и гистограммных оценок плотности.

Список источников

1. Байхельт Ф., Франкен П. Надежность и технической обслуживание : математический подход. М. : Радио и связь, 1988.

387 с.

2. Кошкин Г.М. Основы страховой математики. Томск : Том. гос. ун-т, 2002. 112 с.

3. Абдушукуров А.А. Оценки неизвестных распределений по неполным наблюдениям и их свойства. Saarbrucken : LAP

Lambert Academic Publishing, 2011. 308 с.

4. Burke M.D., Csörgö S., Horväth L. Strong approximations of some biometric estimates under random censorship // Z. Wuhschein.

Verw. Gebiete. 1981. V. 56. P. 87-112.

5. Csörgö S., Horväth L. On random censorship from the right // Acta Scienticarum Mathematicarum. 1982. V. 44. P. 23-24.

6. Kaplan E.L., Meier P. Nonparametric estimation from incomplete observation // J. Am. Stat. Assoc. 1958. V. 53. P. 457-481.

7. Abdushukurov A.A., Sayfullayeva G.S. Asymptotic properties of modifier empirical Kac processes under general random censor-

ship model // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. №. 61. С. 26-36. doi:10.17223/19988605/61/3

8. Abdushukurov A.A., Nonparametric estimation of the distribution function based on relative-risk function // Commun. Stat. Theory

Meth. 1998. V. 27. P. 1991-2012.

9. Abdushukurov A.A. On nonparametric estimation of reliability indices by censored samples // Theory Probab. Appl. 1999.

V. 43 (1). P. 3-11.

10. Altshuler B. Theory for the measurement for the competing risks in animal experiments // Math. Biosciences. 1970. V. 6. P. 1-11.

11. Breslow N. Discussion on professer Cox's paper // J. Rayal. Statist. Society. Ser A. 1972. V. 34. P. 216-217.

12. Шуленин В.П. Асимтотические свойства и робастность оценок урезанных вариантов стандартного отклонения и среднего абсолютных отклонений // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2021. № 55. С. 91-102. doi:10.17223/19988605/55/11

13. Зенкова Ж.Н. Учет информации об Sa-равноплечной симметрии при обработке цензурированных данных // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 2 (15). С. 32-45.

14. Nadaraya E.A. On estimating regression // Probab. Theor. Relat. Fields. 1964. V. 61. P. 405-415. doi: 10.1137/1109020

15. Watson G.S. Smooth regression analysis. // Sankhya. Ser. A. 1964. V. 26. P. 359-372.

References

1. Baykheit, F. & Franken, P. (1988) Nadezhnos' i tekhnicheskoy obsluzhivanie. Matematicheskiy podkhod [Reliability and technical

maintenance. A mathematical approach]. Moscow: Radio i svyaz'.

2. Koshkin, G. M. (2002) Osnovy strakhovoy matematiki [Fundamentals of insurance mathematics]. Tomsk: Tomsk State University.

3. Abdushukurov, A.A. (2011) Otsenki neizvestnykh raspredeleniy po nepolnym nablyudeniyam i ikh svoystva [Estimation of the

unknown distribution based on incomplete observations and their properties]. LAP Lambert Academic Publishing.

4. Burke, M.D., Csörgö, S. & Horväth, L. (1981) Strong approximations of some biometric estimates under random censorship.

Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 56. pp. 87-112.

5. Csörgö, S. & Horväth, L. (1982) On random censorship from the right. Acta Scientiarum Mathematicarum. 44. pp. 23-24.

6. Kaplan, E.L. & Meier, P. (1958) Nonparametric estimation from incomplete observation. Journal of the American Statistical

Association. 53. pp. 457-481.

7. Abdushukurov, A.A. & Sayfullayeva, G.S. (2022) Asymptotic properties of modified empirical Kac processes under general ran-

dom censorship model. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 61. pp. 26-36. DOI: 10.17223/19988605/61/3

8. Abdushukurov, A.A. (1998) Nonparametric estimation of the distribution function based on the relative-risk function. Communi-

cations in Statistics - Theory and Methods. 27. pp. 1991-2012.

9. Abdushukurov, A.A. (1999). On nonparametric estimation of reliability indices by censored samples. Theory of Probability

and Its Applications. 43(1). pp. 3-11.

10. Altshuler, B. (1970) Theory for the measurement of competing risks in animal experiments. Mathematical Biosciences. 6. pp. 1-11.

11. Breslow, N. (1972) Discussion on Professor Cox's paper. Journal of the Royal Statistical Society. A(34). pp. 216-217.

12. Skulenin, V.P. (2021). Asymptotic properties and robustness of trimmed versions estimates of standard deviation and mean absolute deviation. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 55. pp. 91-102. DOI: 10.17223/19988605/55/11

13. Zenkova, Zh.N. (2011) Using an amount of information about ss-equal - shoulder symmetry at the processing of censored data. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 15(2). pp. 32-45.

14. Nadaraya, E.A. (1964) On estimating regression. Probability Theory and Related Fields. 61. pp. 405-415. DOI: 10.1137/1109020

15. Watson, G.S. (1964) Smooth regression analysis. Sankhya: The Indian Journal of Statistics. A(26). pp. 359-372. Информация об авторах:

Абдушукуров Абдурахим Ахмедович - доктор физико-математических наук, профессор Московского государственного университета, филиала в г. Ташкенте (Ташкент, Узбекистан). E-mail: [email protected]

Бозоров Сухроб Баходирович - докторант Гулистанского государственного университета (Гулистан, Узбекистан). E-mail: [email protected]

Мансуров Дилшод Равилович - кандидат физико-математических наук, доцент Навоийского государственного педагогического института (Навои, Узбекистан). E-mail: [email protected]

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Abdushukurov Abdurakhim Akhmedovich (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Moscow State University, branch in Tashkent, Tashkent, Uzbekistan). E-mail: [email protected]

Bozorov Sukhrob Bakhodirovich (Post-Graduate Student, Gulistan State University, Gulistan, Uzbekistan). E-mail: [email protected]

Mansurov Dilshod Ravilovich (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Navoi State Pedagogical Institute, Navoi, Uzbekistan). E-mail: [email protected]

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 27.02.2024; принята к публикации 03.06.2024 Received 27.02.2024; accepted for publication 03.06.2024