CC BY
11
Владикавказский математический журнал Январь март, 2003, Том 5, Выпуск 1
УДК 517.51
ОПТИМАЛЬНОЕ ВОССТАНОВЛЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПО ИХ ЗНАЧЕНИЯМ В РАВНОМЕРНОЙ СЕТКЕ НА ОКРУЖНОСТИ1
К. Ю. Осипенко
В работе строится оптимальный метод восстановления аналитических в единичном круге функций, первая производная которых ограничена, по информации о значениях этих функций в равномерной сетке на окружности |г|=р, 0 < р < 1.
Обозначим через //'х. г Е Ъ+, множество функций, аналитических в единичном круге комплексной плоскости 1) = {.гЕС:|.г|<1}, удовлетворяющих условию ^ 1, г Е И. Под задачей оптимального восстановления функции / 6 //'ч в точке £ Е I? по ее значениям в системе точек ... ,г„ Е I? понимается задача о нахождении величины
/'-(ч- //'х-:......:„) ^ эир |/(С),/(гп))|, (1)
^ог-мс /ея^
называемой погрешностью оптимального восстановления, а также функции <р, на которой достигается нижняя грань в (1), называемой оптимальным методом восстановления.
При г = 0 задача (1) была поставлена и решена в работах [1, 2], Случай г > О является более сложным и здесь известны результаты лишь при , гп Е (— 1. 1)
(см, [3]) и = ... = £„ = О (см, [4]),
Данная работа посвящена случаю г 1. £ С I) и г, рег^_1)27Г/п,
= 0<р<1, Оптимальный метод восстановления для этого случая при-
водился в работе [4] без доказательства (при этом для его построения эвристически применялся принцип Лагранжа), Здесь приводится построение оптимального метода восстановления с полным доказательством, используя метод параметризации экстремальной функции, предложенный в работе [3],
Начнем с одного простого вспомогательного результата.
Лемма 1. Пусть комплекснозначная функция /(.г) дифференцируема в точке г0 Е С как функция вещественных переменных х,у (г = х + гу). Тогда если |/(г)| имеет экстремум в точке то в этой точке выполняется равенство
Ж + 7^=о.
ог ш
© 2003 Осипенко К, Ю,
Работа выполнена при фина ний (гранты №02-01-39012 и №02-01-00386) и программы «Университеты России» (УР.04.03.013).
1
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследова-
<1 Пусть /(г) = и (г) + т(г). Тогда из необходимого условия экстремума вытекает, что в точке го
ди ду ди ду
ох ох ду ду
Отсюда
Умножив второе равенство на г и сложив его с первым, будем иметь
^ /1 / ди ^ ду \ % ( ду ди \2 \дх ду) 2 \дх ду
+ у Л /ди 9у\ ^ { /ду ^ ди\\ _ ^.д/ ^уд/ _ ^ ^
\2 \дх ду) 2 \дх ду)) дг дг
Из общих результатов о задачах восстановления (см, [2, 5]) вытекает, что в задаче (1) существует линейный оптимальный метод восстановления
п 3=1
а для погрешности оптимального восстановления имеет место равенство
//'.-:,.....:„) вир |/(С)|- (3)
/ея^
f(z1) = ...=f(zn)=о
Теорема 1. Пусть £ е Б, 0 < р < 1, ^ = ^О'-1)2""/" И т- = р^ ^ = \_ _ _ _ _ п. Тогда
| сп _ „п |
,т„) = ^-(4)
п
а единственным линейным оптимальным методом восстановления является метод
п {п — 1 \
/(е)*-£ Еье;* /(тд
j=l \/г=0 /
где Ьо = 1,
Ьк = рпып~к- сп+к)+е(гк - дк\е(п~к))
рк(гк^р2п) ' ^
п + к (2 п^к)(п + к)
Як = Г) гк = Г7 ГТ ) к = 1, . . . , П — 1.
п — к к(п — к)
<1 Напомним, что произведением Бляшке порядка п называется функция вида
B(z) = А Д
z — а,-
1 — OLiZ J = 1 3
где |А| = 1, а |«¿| < 1, j = 1,... ,п. В работе [6] было доказано, что если функция /0 такова, что /0(^1) = • • • = /о(%п) = 0 и — произведение Бляшке порядка п — 1, то она является экстремальной в задаче (3) при г = 1, Отсюда вытекает, что для г = 1 и = Т7, = 1,... , п, экстремальной функцией в задаче (3) является функция
fo(z) =
zn — рп п
Тем самым доказано равенство (4),
Займемся теперь построением оптимального метода. Положим Во (г) = 1 и
Bk(z) =
zBk_i(z) + £k 1 + £kzBk_1(z) '
k = 1,... , n — 1,
где \ек\ < 1, к = 1.....// — 1. Легко убедиться, что В„ 1 Е II ч. Для Р =
(ер, £1,... , еп-1) Е Вп рассмотрим функцию
fp(z) =е0+ £„_i(z) efe.
Очевидно, что /р Е и /р0 = /0, где Ро = (—рп/п, 0,... ,0), Пусть метод (2) является оптимальным в задаче (1) при г = 1, Тогда при всех Р Е -С" имеет место неравенство
мо-Е^/рЫ
i = l
Следовательно, модуль функции
<i/po(e)i-
д(е0,£ь--- ,£п-1) =/Р(С)
3 = 1
в точке Ро достигает своего максимума. Из леммы 1 вытекает, что в точке Ро должны выполняться равенства
9р-+9^- = 0, i = 0,1,... ,п-1.
ae¿ ae¿
(6)
В силу того, что
дВп_ г
де}
_ п-з-
~ де ■
Р=Р0 иь3
j = 1,... ,n- 1,
р=р0
имеем
уП-З
де3
р=р0 п 3 Аналогичные вычисления дают
д/р
3 = 1.,... ,п- 1, = 1.
ое п
д/р
3 Р=Р0
уП+3
п + З
3 = 1,... ,п- 1, =
ое о
Тем самым
дд
де3
дд
дЁ1
р=р0 п 3 1
^-(г-^Е ътг')
•>ч к=1 у
р=р0
,п - 1,
и, кроме того,
де0
%
= о.
Учитывая, что = рп, к = 1,... ,п, из уравнения (6) будем иметь
Г "рП (Т~3ЕёьГк3)-(с*-(Г*Е= °> Э =
« - .?
/г=1
и ^ С, = 1. Положим
3 = 1
Тогда
Ьз =
к=1
Е^'к3 = Е^пк~3 =1
^*
/г=1
/г=1
Положив а = — рп), равенство (7) можно переписать в виде
п — ^ V / п + ^
Введя обозначения
получаем систему
2га П + -2? С
р- = е -р , т = -,
гс-.? р
,п-1,
(7)
(8)
Ь3 - р3Ьп-3 = тп+3 - р3тп з = 1,... , п - 1.
Взяв из этой системы равенство, сопряженное к равенству, получаемому при j = n — k, и равенство при j = к, будем иметь
-Pkh + К-к = т2п~к - Рп-ктк, bk^pkbn-k = тп+к -pfcr"_fc, к = 1,... ,n- 1.
Отсюда
ь = РкГ-к(тп - 1) + тк(тп - ркрп_к) 1 —РкРп — к
Это выражение для Ьк легко привести к виду (5), Из равенств (8) и того, что 6q = 1, получаем
^ п — 1 fc=0
Литература
1. Осипенко К. Ю. Оптимальная интерполяция аналитических функций // Мат. заметки.—1972.— Т. 12, № 4,—С. 465-476.
2. Осипенко К. Ю. Наилучшее приближение аналитических функций по информации об их значениях в конечном числе точек // Мат. заметки.—1976.—Т. 19, № 1.—С. 29-40.
3. Осипенко К. Ю. Об оптимальных методах восстановления в пространствах Харди — Соболева // Мат. сб.—2001.—Т. 192,— С. 67-86.
4. Magaril-Il'yaev G. G, Osipenko К. Yu., Tikhomirov V. M. Optimal recovery and extremum theory // CMFT.—2002,—V. 2, № 1. (в печати).
5. Магарил-Ильяев Г. Г., Осипенко К. Ю. Об оптимальном восстановлении функционалов по неточным данным // Мат. заметки.—1991.—Т. 50, № 6.—С. 85-93.
6. Horwitz A., Newman D. J. An extremal problem for analytic functions with prescribed zeros and r-th derivative in H°° // Trans. Amer. Math. Soc.—1986.—V. 295, № 2,—P. 699-713.
г. Москва
Статья поступила 13 февраля 2003 г.
