Оптимальное управление токами трехфазного асинхронного двигателя Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 517.977.5, 621.313.32

Макаров В.Г.

(Казанский государственный технологический университет, г. Казань, electroprivod@list.ru)

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТОКАМИ ТРЕХФАЗНОГО АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Эффективные системы частотно-регулируемого электропривода с асинхронными двигателями (АД) невозможно реализовать без решения тех или иных задач оптимизации. Сформулируем задачу оптимального управления АД, принимая традиционные для обобщенной электрической машины допущения. Одним из таких допущений является отсутствие насыщения магнитной системы. Предположим, что механические процессы протекают более медленно, чем электромагнитные, т.е. условимся, что имеет место квазистационарный режим протекания токов. Потери энергии в стали не учитываем.

Уравнения баланса напряжений обобщенной машины на основе АД для квазистационарного режима имеют вид:

'ии = К1(И -Ш1 + МшЫ )

и

Ц = К1(1„ + Ш1 (А'и + МшЧл )

(1)

О = 12а -ш2 (Ь2+ Мт1ц )

О = К212« + Ш2 (^2(2Л + Мт(И )> где иы, и1д - напряжения фаз обмотки статора; 1Ы, , ¡2а , -токи фаз обмоток статора и ротора; К1, К2, Ь1, Ь2 - активные сопротивления и индуктивности фаз обмоток статора и ротора; Мт -взаимная индуктивность; Ю1 - частота вращения системы координат б, щ, эл. рад/с; ш2 - частота скольжения, определяемая как разность

частоты вращения системы координат Ш1 и частоты вращения ротора ш.

Электромагнитный момент определяется выражением: Мэ = РпМт - (1,(2, ) , (2)

где рп - число пар полюсов.

Предположим, что напряжения фаз обмотки статора не превышают допустимых значений. Следовательно, уравнения баланса на-

пряжений фаз обмотки статора системы (1) при оптимизации можно не учитывать. Тогда система (1) принимает вид:

ГО = Riu - ш2 (L2i2q + MJlt)

[О = R i2q + Ш2 (lL2 i2d + Mmhd )•

Условимся также, что электромагнитный момент, определяемый выражением (2), равен требуемому значению

Mэ = РпMm (iiqi2d - ii А, ) = M0 . (4)

Задача оптимизации решается при фиксированных значениях угловой частоты вращения ротора Ш . Угловая частота вращения системы координат d, q рассчитывается вычислительным устройством по формуле:

Ш1 =Ш+Ш2. (5)

Требуется определить токи i1d , i1q, i2d , i2q , создающие требуемый электромагнитный момент M° при минимальных потерях в обмотках

АР = R fa + i2lq )+ R (i2d + i2q ) ^ njjn . (6)

Следовательно, может быть сформулирована следующая задача оптимизации: при заданных Ш и M° требуется найти четыре тока -

i1d , i1q, i2d , i2q и частоту скольжения Ш2 при четырех функциях ограничений типа равенства:

Gl = РпMm (ilqi2d - ildi2q )- M0 = 0 ;

G2 = R2i2d - Ш 2 (L2i2q + M mi1q )= 0 ;

в3 = R^ + ш2 (Ь21гл + Мт,и ) = 0;

GA = ш1 - ш - ш 2 = 0, когда критерием оптимизации является выражение (6).

От такой постановки задачи оптимизации перейдем к постановке и решению задачи оптимального изменения угловой частоты скольжения

Ш2 в функции угловой частоты вращения ротора ш из условия минимума мощности потерь в обмотках при заданном значении электромагнитного момента . Для решения задачи оптимизации имеем два

уравнения системы (3), а также уравнения (4), (5). Основные результаты

1. Соотношение между величинами векторов токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора ОЭМ на основе АД

Условимся, что вектор тока статора направлен по оси d ОЭМ:

i1d = I1m ; hq = о ■ (7)

Тогда из системы (3) и уравнения (2) следует:

О = R2i2d -ш2L2i2,;

О = R2»2, + Ю 2 (L2»2d + MmI1m \ (8)

Mэ = -РпMmhmh, • Из уравнений системы (8) следуют выражения:

= - Ю 2 MmR2 I . . =- Ю2 L2 m j

2q R22 + ю2l22 J 1m; 2d R22 +Ю2L^ J 1m (9)

Тогда величина вектора тока ротора ОЭМ определяется выражением:

Ю 2 Mm

4*2 +Ю2 Li

12m = Ji2d + = , J" m . Ilm ■ (10)

l2 1 2 2

Выражение мощности потерь в обмотках будет иметь вид:

АР = Ri (ild + il, )+ R2 ("d + i2, )= Rl Ilm + R2 IL

С учетом (10) запишем выражение для мощности потерь в виде

АР = RI2 + R Ю2 Mm 12 (11)

^ 2 тъ2 . 2x2 im '

R2 +Ю2 L2

Выражение электромагнитного момента системы (8) с учетом (9) принимает вид

M = Рп Mm

э r2 + Ю24 ■ ( }

Анализ выражений (11), (12) показывает, что мощность потерь и

электромагнитный момент зависят от угловой частоты скольжения Ю2 ■

Выбирая в качестве критерия оптимизации удельную мощность потерь, можем записать:

АР _ R1R2 + RlЮ2L22 + R2ю22M2n

M э ю2 Ю

^ min ■ (13)

Приравняв производную от (13) нулю, получаем выражение оптимальной частоты скольжения

Ю°

R R22

--Г ■ (14)

R1 l22+R2 Mm

Анализ выражения (14) показывает, что оптимальная частота скольжения не зависит от требуемого момента и от частоты вращения

Ш , т.е. постоянна. Очевидно, что в этом случае токи I

' 2й > 12д

при изменении частоты вращения будут оставаться постоянными.

Таким образом, при заданных ш и м° могут быть определены

частота скольжения ш2 , частота вращения магнитного поля Ш1

и токи

, 1

Ы , 11« , 12й , 12«

При заданном значении электромагнитного момента Мэ на основании (12) можем определить величину вектора тока /1т :

1т

1

й + (ш2°Уи м° Рп мт у (ш° ) э

Подставив (14) в (10), получим следующее соотношение между величинами векторов токов и сопротивлениями фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины на основе АД

1т

— + 2— й м2

(15)

В (15) фигурируют величины векторов токов обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины, для которых можем записать выражения:

т ^ / *2 *2 т ^ / • 2 *2

/1т = 3 V + 11« ; / 2т = 3 V 124 + ^ '

На основании двух первых уравнений системы (2) с учетом (8) и (10) можем записать следующие выражения фазных напряжений

и

ы

' , Ш1Ш2 мт уЛ й1 + „2 ,2.2

и

1«

V

ю,

й2 +ш2^2 у

и -

ш2имтЛ й2 +ш2 ,

1т

Очевидно, что напряжения иы и и1« зависят не только от параметров фаз обмоток статора и ротора, но и от частот Ш1, Ш2 .

Действующее значение фазного напряжения статора определяем по формуле

2 2 «Ы +

и = (16)

2. Результаты численного решения задачи оптимизации

Выше показано, что критерием оптимизации является минимум удельной мощности потерь. Однако важной энергетической характеристикой является коэффициент полезного действия (КПД), который можем определить по формуле:

п = —2— ■ Р +ЛР

При этом мощность на валу Р2 определяем без учета механических потерь

Р = шМ 3

г2 ~ ■ Рп

С использованием рассмотренного математического описания произведено решение задачи оптимизации мощности потерь в обмотках обобщенной машины на базе асинхронного двигателя АИР80А6У2 в зависимости от частоты скольжения. Решение задачи оптимизации производилось методом квадратической интерполяции при условии, что требуемый электромагнитный момент равен номинальному. Результаты решения задачи оптимизации приводятся на рис. 1 - рис. 3.

На рис. 1, а приведена зависимость мощности потерь в обмотках от частоты скольжения, а также зависимость удельной мощности потерь в обмотках от частоты скольжения. На рис. 1, б приводятся зависимости КПД от частоты скольжения, которые отмечены цифрами от 1 до 5 и получены при фиксированных значениях угловой частоты вращения ротора Ш от 60 эл. рад/с до 300 эл. рад/с с шагом 60 эл. рад/с. Отметим, что зависимости на рис. 1 получены при требуемом электромагнитном моменте, равном номинальному значению.

Рис. 1. Зависимости мощности потерь в обмотках, удельной мощности потерь в обмотках и КПД от частоты скольжения

На рис. 2 приводятся оптимальные зависимости частоты скольжения Ш2 и частоты вращения магнитного поля Ш1 от частоты вращения Ш . При этом значения требуемого электромагнитного момента задавались от 0,25 до 1,25 номинального с шагом 0,25 как при положительных, так и при отрицательных значениях требуемого электромагнитного момента. Кривые 1 и 2 на рис. 2 представляют собой оптимальные зависимости частоты Ш1 от частоты вращения Ш , а кривые 3 и 4 - оптимальные зависимости частоты скольжения Ш2 от частоты вращения Ш . Зависимости 1 и 3 получены при положительных значениях требуемого электромагнитного момента, а зависимости 2 и 4 - при отрицательных значениях требуемого электромагнитного момента. Очевидно,

что оптимальные частоты вращения Ш1 и Ш2 от величины требуемого электромагнитного момента не зависят.

В процессе решения задачи оптимизации проводился анализ выполнения выражения (15). Результаты решения задачи оптимизации, приведенные в таблице 1, подтверждают, что соотношение (15) выполняется при любых значениях электромагнитного момента.

Ш1 и Ш2 от частоты вращения Ш

Из рис. 1, а видно, что мощность потерь в обмотках и удельная мощность потерь от частоты вращения ротора не зависят, поскольку при различных фиксированных значениях ш получаем одни и те же кривые. Минимум указанных зависимостей наблюдается при оптимальной частоте скольжения ш^ , равной 8,785 эл. рад/с. Анализ зависимостей на рис. 1, б показывает, что с увеличением частоты вращения ротора наблюдается увеличение КПД и при любых значениях ш максимум КПД наблюдается при оптимальной частоте скольжения ш° , равной 8,785 эл. рад/с.

Из рис. 2 видно, что оптимальная частота скольжения от величины требуемого электромагнитного момента не зависит и остается постоянной при любых значениях частоты вращения ш . Однако при изменении знака требуемого электромагнитного момента знак частоты скольжения изменяется. Следует отметить, что кривые ш2 = / (ш) при различных значениях электромагнитного момента симметричны относительно начала координат. При этом оптимальное значение частоты ш2 равно

8,785 эл. рад/с при положительных значениях требуемого электромагнитного момента и - 8,785 эл. рад/с - при отрицательных значениях.

Таблица 1

Обозначения величин и параметров, единицы измерения Значения величин и параметров

Значения требуемого электромагнитного момента в долях от номинального Мн 0,25 0,5 0,75 1 1,25

1 К2 + 2 Ь\ , о.е. мт 1,683

11т , А 1,118 1,580 1,936 2,235 2,499

12т , А 0,664 0,939 1,150 1,328 1,485

1хт , о.е. 12 т 1,683 1,683 1,683 1,683 1,683

Данные таблицы 1 показывают, что при задании оптимальной частоты скольжения минимум потерь в обмотках для требуемых значений электромагнитного момента может быть достигнут при выполнении соотношения (15).

На основании (16) получены зависимости напряжений фаз обмотки статора от угловой частоты вращения при различных значениях момента, представленные на рис. 3.

200 у /У

/2,-

100 у

со. с

-1

300

150

150

-300

-150

0

а)

\4\ 200

\3\' Ч2\

100

(О, С 1

150

б)

Рис. 3. Оптимальные зависимости напряжения и1 от частоты вращения ш : а - при положительных значениях момента; б - при отрицательных значениях момента

Кривые фазных напряжений статора отмечены цифрами 1 до 5 и получены при фиксированных значениях требуемого электромагнитного момента от 0,25 до 1,25 номинального значения с шагом 0,25 от номинального значения. Указанный диапазон и шаг изменения задавался

как для положительных, так и для отрицательных значений момента. Отметим, что минимум зависимости и1 = / (ш) наблюдается на частоте - 44,64 эл. рад/с при положительных значениях электромагнитного момента и 44,64 эл. рад/с при отрицательных его значениях. Именно

на этой частоте происходит изменение знака функции = / (ш).

Выводы:

1) Для постановки и решения задачи оптимизации мощности потерь в обмотках асинхронного двигателя в зависимости от частоты скольжения целесообразно использовать математическое описание обобщенной электрической машины в установившемся режиме.

2) Показано, что критериями оптимизации могут быть мощность потерь в обмотках и удельная мощность потерь.

3) В ходе решения задачи оптимизации аналитическими методами получено выражение оптимальной частоты скольжения, а также соотношение между величинами токов и параметрами фаз обмоток статора и ротора обобщенной электрической машины на основе асинхронного двигателя.

4) Результаты численного решения задачи оптимизации позволили выявить, что мощность потерь и удельная мощность потерь от частоты вращения ротора не зависят. Каждая из этих зависимостей является унимодальной функцией. Кроме того, установлено, что зависимости КПД от частоты скольжения при различных частотах вращения ротора обладают свойством подобия и имеют точку явно выраженного максимума.

4) В ходе численного решения задачи оптимизации получены зависимости фазных напряжений статора от частоты вращения при различных значениях электромагнитного момента. Эти зависимости подобны, каждая из них является унимодальной функцией.

УДК 62-83: 621-31

Гурентьев Е.А., Ишматов З.Ш. (Уральский федеральный университет, г. Екатеринбург, ка£е-dra@ep.etf.ustu.ru)

МОДИФИЦИРОВАННАЯ МЕТОДИКА СИНТЕЗА РОБАСТНЫХ РЕГУЛЯТОРОВ АСИНХРОННОГО ЭЛЕКТРОПРИВОДА

Любая система управления электроприводом функционирует в условиях изменяющихся с течением времени параметров и при наличии внешних и внутренних возмущающих воздействий. Эти факторы препятствуют качественному управлению координатами замкнутой системы. Применение метода полиномиальных уравнений (ПУ) для синтеза