CC BY
1
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 68
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ CONTROL OF DYNAMICAL SYSTEMS
Научная статья
УДК 519.6, 004.942
doi: 10.17223/19988605/68/1
Оптимальное управление процессом протекания каталитической реакции
Евгения Викторовна Антипина1, Светлана Анатольевна Мустафина2, Андрей Федорович Антипин3
12• 3 Уфимский университет науки и технологий, Уфа, Россия 1 stepashinaev@ya. ru 2 mustafina_sa@mail. ru 3 [email protected]
Аннотация. Статья посвящена разработке алгоритма определения оптимальных режимных параметров каталитической реакции. Сформулированы постановки задач оптимального управления, в которых в качестве параметров управления выступают температура и время протекания реакции. Для их решения приведен генетический алгоритм с вещественным кодированием. Эффективность работы алгоритма подтверждена результатами численных экспериментов для реакции олигомеризации этилена.
Ключевые слова: генетический алгоритм; программный комплекс; каталитическая реакция; оптимальные условия.
Для цитирования: Антипина Е.В., Мустафина С.А., Антипин А.Ф. Оптимальное управление процессом протекания каталитической реакции // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 68. С. 4-13. doi: 10.17223/19988605/68/1
Original article
doi: 10.17223/19988605/68/1
Optimal control of the catalytic reaction process Evgenia V. Antipina1, Svetlana A. Mustafina2, Andrey F. Antipin3
12• 3 Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russian Federation 1 stepashinaev@ya. ru 2 mustafina_sa@mail. ru 3 andrejantipin@ya. ru
Abstract. The article is devoted to the development of an algorithm for determining the optimal operating parameters of a catalytic reaction. Statements of optimal control problems are formulated, in which the temperature and time of the reaction act as control parameters. To solve them, a genetic algorithm with real coding is given. The efficiency of the algorithm is confirmed by the results of numerical experiments for the ethylene oligomerization reaction.
Keywords: genetic algorithm; software package; catalytic reaction; optimal conditions.
For citation: Antipina, E.V., Mustafina, S.A., Antipin, A.F. (2024) Optimal control of the catalytic reaction process. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 68. pp. 4-13. doi: 10.17223/19988605/68/1
© Е.В. Антипина, С.А. Мустафина, А.Ф. Антипин, 2024
Введение
В настоящее время оптимальное управление каталитическими процессами может осуществляться с помощью различных методов и технологий, таких как математическое моделирование, оптимизация, автоматизация и использование современного оборудования и программного обеспечения. Одним из подходов, объединяющим перечисленные технологии, является разработка цифровых двойников процессов. Цифровые двойники каталитических процессов - это виртуальные модели этих процессов, созданные на основе данных о состоянии и параметрах процесса. Они могут использоваться для прогнозирования будущих состояний процесса и анализа влияния изменений на параметры процесса. Цифровые двойники позволяют проводить различные сценарные анализы и оптимизацию процессов с использованием математических моделей и алгоритмов оптимизации.
В настоящее время имеются исследования, в которых на основе математических методов определяются оптимальные способы ведения каталитических процессов [1, 2].
Аналитические методы оптимизации процессов химической технологии (принцип максимума Понтрягина, вариационные методы) применяются для решения задач с небольшим количеством независимых переменных [3]. С увеличением количества переменных, а также при наличии ограничений применение аналитических методов становится затруднительным.
Для оптимизации многостадийных процессов химической технологии применяется динамическое программирование, эффективность которого показана в работе [4]. Динамическое программирование хорошо зарекомендовало себя при решении задач, в которых на каждой стадии имеется незначительное число переменных. Его применение для сложных химических реакций, содержащих большое количество промежуточных веществ, затруднительно ввиду высокой размерности задачи и, как следствие, ресурсоемких вычислений.
Одним из развивающихся направлений в области оптимизации и оптимального управления динамическими процессами являются эволюционные вычисления [5, 6]. К методам эволюционного поиска относятся генетические алгоритмы, в основу которых заложены принципы эволюции живой природы [7-9]. Одно из преимуществ генетических алгоритмов - способность преодолевать попадание в локальный экстремум благодаря механизмам кроссовера и мутации. Поскольку поиск решения начинается не с одного начального приближения, а с некоторого множества первоначальных значений, то возможно более полное исследование области допустимых решений. Генетические алгоритмы можно легко модифицировать при увеличении количества переменных, описывающих состояние процесса, что значительно облегчает их практическую реализацию.
В задачах оптимального управления каталитическими реакциями управляющие параметры могут представляться в виде функций (например, температура, давление) или констант (например, длительность процесса, мольное соотношение реагентов). Одновременный поиск оптимальных значений таких параметров при управлении каталитическим процессом - актуальная задача, которая часто возникает на практике. Поэтому целью работы является разработка алгоритма и программного обеспечения для решения задач оптимального управления каталитическими процессами, в которых параметры управления выражаются функциональной зависимостью и / или константой.
1. Постановка задачи
Пусть динамика протекания каталитической реакции описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
dX
— = f(t, x(t),T(t)) (1)
dt
с начальными условиями
x(t0) = xq, (2)
где x(t) e Rn - вектор концентраций веществ, t e [0, x] - время, T(t) - температура, f(t, x(t), T(t)) - непрерывная вместе со своими частными производными вектор-функция.
Фазовыми переменными являются концентрации веществ.
Пусть параметры управления - температура протекания реакции T(t), влияющая на интенсивность химических превращений, и время контакта реагентов т, определяющее длительность процесса. На значения управляющих параметров наложены физико-химические ограничения
Tmn < T(t) < Tmax, t e [0, x], (3)
xmin < x < xmax, (4)
где Tmin, Tmax - минимальное и максимальное допустимые значения температуры, тшт, Tmax - минимальное и максимальное допустимые значения продолжительности реакции.
В качестве критерия оптимальности можно рассматривать выход целевых продуктов в конце реакции, содержание побочных веществ, степень превращения реагентов, селективность и другие показатели эффективности химического процесса.
Сформулируем задачи поиска оптимальных режимных параметров каталитической реакции, описываемой системой дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями (2).
Задача 1. Определить оптимальный температурный режим T (t) e [Tmin, Tmax ] при заданной продолжительности реакции x e [xmin, xmax], доставляющий максимум функционалу
I(T (t)) = g(x(x)). (5)
Задача 2. Найти оптимальное время контакта веществ x e[xmin, xmax] при заданной постоянной температуре T(t) = const, удовлетворяющей ограничению (3), при котором достигается максимум функционала
I (x*) = g (x(x*)). (6)
Задача 3. Определить оптимальный температурный режим T*(t)
e [Tmin ,Tmax ] и оптимальное время протекания реакции x e[xmin, xmax], при которых целевой функционал
I (T *(t), x*) = g (x(x*)) (7)
принимает максимальное значение.
2. Генетический алгоритм поиска оптимальных режимных параметров
каталитической реакции
Для решения сформулированных задач применим генетический алгоритм с вещественным кодированием. Принцип работы генетических алгоритмов основан на имитации процессов эволюции живой природы и включает в себя циклическое применение к популяции особей операций отбора, скрещивания, мутации и обновления.
Будем искать управление T(t) в классе кусочно-постоянных функций T(t) = Tj, t e[t j, tj+1],
j = aЩ to < ti < t2 < ... < tm+l, t0 = 0, tm+1 =x.
Для каждой задачи оптимального управления каталитической реакцией введем в рассмотрение множество векторов:
1) Pi = (T,1,Ti 2,-,T,m ), i = 1 S
2) P, = (xi), i =1, s;
3) P, ={T,1,T, 2,-,T,m, x, ), i = 1S-
Каждый вектор pi, представляющий собой возможное решение задачи, будем называть вектором-индивидом (особью), а совокупность всех векторов pi (i = 1, s) - популяцией. Введем общее обозначение для элементов вектора-индивида: pi = (рг1, pi 2,..., pir) = (p,j), j = 1, r, где 1) pl} = Tij, r = m - для задачи 1;
2) р у = тг-, г = 1 - для задачи 2;
|Ту, У = 1, т,
3) ру = < у г = т +1 - для задачи 3.
К-, У = т +1
Фитнес-функцией, определяющей, подходит ли вектор-индивид в качестве решения, является целевой функционал (5), (6) или (7) каждой задачи. Так как осуществляется поиск максимального значения целевого функционала, наиболее подходящей (приспособленной) особи соответствует наибольшее значение целевого функционала. Чтобы вычислить значение фитнес-функции вектора-индивида, необходимо найти численное решение системы дифференциальных уравнений (1) с начальными условиями (2).
Работа генетического алгоритма состоит из следующих этапов:
1. Создание начальной популяции векторов-индивидов рг-, - = 1,Для каждого индивида вычисляется значение фитнес-функции.
2. Отбор. Из текущей популяции выбираются два индивидарк, рг с помощью оператора отбора:
а) панмиксия - случайным образом отбираются два вектора-индивида, при этом вероятность отбора у каждого из них одинакова;
б) турнирный отбор - выполняется два турнира: в первом турнире случайным образом выбирается два различных индивида, из которых случайным образом во втором турнире отбирается один вектор-индивид.
3. Кроссовер. Формируется новый индивид путем применения одного из оператора кроссовера:
а) простейший - создается два потомка V! = (Pиv", ркд, Plq+1,..., Р1г X ^ = (Pl1,.», Р^, Pkq+1,..., Ркг X где q е [1, г -1] - случайное число;
б) арифметический - создается два потомка v1 = Хрк + (1 -X)Р/, v2 = Хр} + (1 -X)рк, где X е (0,1) - случайное число.
4. Мутация. С целью преодоления попадания решения в точку локального экстремума сгенерированный на предыдущем шаге вектор-индивид подвергается действию случайной мутации: случайно выбранная координата каждого из векторов у1, у2 заменяется случайным значением из диапазонов, задаваемых неравенствами (3) и / или (4).
5. Обновление популяции. Из текущей популяции выбирается вектор-индивид с наименьшим значением фитнес-функции и заменяется вектором-потомком. Далее осуществляется переход на шаг 2, пока не будет достигнуто условие окончания поиска. В качестве условия завершения вычислений для генетических алгоритмов применяется ограничение на максимальное количество популяций или стабилизация приспособленности популяции на нескольких итерациях метода. Вектор-индивид с наибольшим значением фитнес-функции из последней популяции будет представлять собой приближенное решение задачи оптимального управления каталитической реакцией.
Особенностью алгоритма является его универсальность, так как он позволяет найти приближенное решение задач оптимального управления каталитическим процессом, содержащих управление-функцию (температура реакции ДО) и управление-константу (время реакции т), а также осуществить их одновременный поиск.
3. Вычислительный эксперимент
Применим генетический алгоритм для поиска оптимальных режимных параметров олигомери-зации этилена. Процессы каталитической олигомеризации и полимеризации олефинов имеют важное практическое значение в промышленном производстве. Продуктами олигомеризации этилена являются высшие а-олефины большей молекулярной массы, которые применяются в крупнотоннажных промышленных процессах сополимеризации этилена и пропилена в производстве полиэтилена средней и низкой плотности. Линейные а-олефины используются для получения низкомолекулярных продуктов: высших спиртов, кислот, основ синтетических масел и др. [1].
Одним из перспективных способов синтеза высших а-олефинов (С4-С8) является процесс олиго-меризации этилена с использованием металлокомплексных катализаторов. Кинетические закономерности процесса олигомеризации этилена на катализаторе №0/В20з-АЬ0з в среде жидкого растворителя гептана рассмотрены в работе [10]. Математическая модель процесса олигомеризации этилена позволяет описать динамику концентраций веществ в проточном реакторе и представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений
— 2к1^1 «2 Х1 (Х2 + Х3 + Х4 + Х5 ),
йг
dx2 dt
— А^Х^ k' X^X2 ^3 X2 (X2 + X3 + X4),
dx3 _j _j
— k2 X1X2 k2 X1X3 k3 X2 X3,
dt
— k' X1X3 + ^3 X' k'2 X1X4 ^3 X2 X4,
dt 2 1 3 3 2 2 1 4 3 2 4
(8)
йг
йх5_
— Х1Х4 + к"з Х2 Х3 «2 Х1Х5,
йг
йХ6_
—— — «2 Х1Х5 + к3 Х2 Х4
йг
с начальными условиями
х,(0) — Х0, I —1,6. (9)
Здесь Xi - концентрация углеводорода С2г- (моль/л), г е [0, х] - время (с), ^ - константа скорости 7-й стадии (1/с для 7 = 1, дм3/(мольх) для 7 = 2, 3), определяемая по уравнению Аррениуса
kj(T) — ko j exp
V RT У
где Т - температура реакционной смеси (К), ко/ - кинетическая константа (1/с для 7 = 1, дм3/(моль-с) для 7 = 2, 3), Е7 - энергия активации (кДж/моль), Я - универсальная газовая постоянная (8,31 ДжДмоль-К)).
Рис. 1. Окно программного комплекса Fig. 1. Window of the software package
Пусть на значения управляющих параметров наложены ограничения
323 К < T(t) < 473 К, t е [0, х], (10)
60 с <х< 1500с. (11)
В качестве критерия оптимальности зададим максимальное значение концентрации углеводородов фракции С4.
Начальные условия (9) заданы значениями (моль/л)
Xj(0) = 1,75, x2(0) = 0, i = 2,6. (12)
Для решения задач оптимального управления процессом олигомеризации этилена в среде визуального программирования Delphi разработан программный комплекс, реализующий сформулированный генетический алгоритм с вещественным кодированием. Приложение позволяет пользователю выбрать задачу оптимального управления, настроить параметры генетического алгоритма для поиска решения и визуализировать полученные результаты (рис. 1). Для поиска численного решения системы дифференциальных уравнений (8) с начальными условиями (12) в программе реализован предиктор-корректорный метод Адамса второго порядка.
3.1. Определение оптимального температурного режима
Пусть параметром управления является температура реакции. Необходимо найти оптимальный температурный режим T(t) процесса олигомеризации этилена, описываемого системой дифференциальных уравнений (8) с начальными условиями (12), удовлетворяющий неравенству (10), при котором целевой функционал
I(T (t)) = Х2(х) (13)
принимает максимальное значение (задача 1).
Вычисления проведены для максимально возможной продолжительности реакции т = 1 500 с. Генетический алгоритм применен со следующими параметрами: размер популяции - 70, оператор отбора - турнирный, оператор кроссовера - арифметический, максимальное число популяций - 1 000.
На рис. 2 показан рассчитанный оптимальный температурный профиль процесса олигомериза-ции этилена (задача 1), при котором наибольшее значение концентрации углеводородов С4 составляет 0,444 моль/л.
300-1-.-,-■-I-.-.-■
0 500 1000 1500
t, с
Рис. 2. Оптимальный температурный режим Fig. 2. Optimal temperature regime
В табл. 1 приведены значения концентрации целевых продуктов реакции, полученных в результате решения системы дифференциальных уравнений (8) с начальными условиями (12) при т = 1 500 с и постоянных значениях температуры, удовлетворяющих неравенству (10).
Таблица 1
Значения целевого функционала (13) при различных изотермических режимах
T, К Х2(т*), моль/л
323 0,409
348 0,398
373 0,329
398 0,258
423 0,205
448 0,168
473 0,141
Из табл. 1 следует, что при максимально возможной продолжительности реакции олигомериза-ции этилена в изотермических условиях целевой функционал принимает наибольшее значение при температурном режиме, вычисленном с помощью генетического алгоритма.
3.2. Поиск оптимального времени взаимодействия реагентов
Определим оптимальную продолжительность реакции олигомеризации этилена в изотермических условиях. Пусть требуется для процесса олигомеризации этилена найти время контакта веществ т* с учетом ограничений (11), при котором достигается наибольшее значение концентрации углеводородов фракции С4 (задача 2), т.е.
I(т*) = х2(т*) ^ тах. (14)
Решение сформулированной задачи найдено для температуры реакции Т = 423 К с помощью генетического алгоритма с параметрами: размер популяции - 70, оператор отбора - турнирный, оператор кроссовера - арифметический, максимальное количество популяций - 1 000.
Результаты расчетов показали, что наибольшее значение концентрации целевого продукта реакции, равное 0,386 моль/л, достигается при т* = 196 с.
На рис. 3 показана динамика концентрации целевых продуктов реакции продолжительностью 1 500 с. Из рисунка видно, что наибольшее значение концентрации х2 наблюдается в момент времени, равный 196 с, что подтверждает корректную работу генетического алгоритма. Дальнейшее проведение реакции нецелесообразно, поскольку происходит уменьшение содержания в реакционной смеси углеводородов С4.
0,4
0,0-1-■-1---1---т—
0 500 1000 1500
U с
Рис. 3. Изменение концентрации углеводородов С4 Fig. 3. Changes in concentration of C4 hydrocarbons
В табл. 2 приведены результаты вычисления оптимального времени взаимодействия веществ для различных изотермических режимов процесса олигомеризации этилена (задача 2).
Таблица 2
Оптимальная продолжительность реакции олигомеризации этилена при постоянных допустимых значениях температуры
T, К т , с Х2(т*), моль/л
323 1 500 0,409
348 1 034 0,424
373 690 0,426
398 480 0,423
423 346 0,412
448 257 0,399
473 196 0,383
Из табл. 2 видно, что с повышением температуры оптимальная продолжительность реакции олигомеризации этилена уменьшается. Наибольшее же значение концентрации целевых продуктов реакции, равное 0,426 моль/л, достигается при постоянной температуре реакции, равной 373 К, и продолжительности реакции, равной 690 с.
3.3. Определение оптимального температурного режима и оптимальной продолжительности реакции
Пусть требуется найти оптимальное время контакта веществ т* и оптимальный температурный режим T"(t) процесса олигомеризации этилена, удовлетворяющие условиям (10), (11) и обеспечивающие максимум целевому функционалу (задача 3)
I (T*(t), т*) = х2(т*). (15)
Для решения данной задачи применен генетический алгоритм с параметрами: размер популяции - 100, оператор отбора - турнирный, оператор кроссовера - арифметический, максимальное количество популяций - 2 000.
В результате проведенных вычислений установлено, что концентрация углеводородов С4 достигает наибольшего значения, равного 0,512 моль/л, при продолжительности реакции т* = 1 185 с и температурном режиме, приведенном на рис. 4.
500-,
450-
Ï4
W 400 "
350-
300-1---1---,-.-,
0 500 1000 1500
t, с
Рис. 4. Оптимальный температурный режим процесса олигомеризации этилена, соответствующий оптимальной продолжительности реакции Fig. 4. Optimal temperature regime of the ethylene oligomerization process corresponding to optimal reaction duration
Вычисленные значения целевого функционала (15) для различных изотермических режимов (табл. 3) при оптимальной продолжительности реакции не превосходят его значения, рассчитанного для задач 1 и 2.
Таблица 3
Значение целевого функционала (15) при постоянных допустимых значениях температуры (т* = 1 185 с)
T, К X2(l*), МОЛЬ/Л
323 0,393
348 0,421
373 0,377
398 0,309
423 0,251
448 0,207
473 0,175
Заключение
Таким образом, разработанный генетический алгоритм можно применять для поиска оптимальных режимных параметров ведения каталитических процессов. Алгоритм сочетает в себе возможность поиска управления-функции (температура реакции) и / или управления-константы (время реакции). На основе алгоритма разработан программный комплекс для определения оптимальных условий протекания процесса олигомеризации этилена. Приложение позволяет найти оптимальный температурный режим процесса олигомеризации этилена при заданной продолжительности протекания реакции, определить оптимальное время взаимодействия реагентов в изотермическом режиме, а также вычислить оптимальный температурный профиль и оптимальное время взаимодействия веществ. Разработанный программный комплекс можно применять для исследования закономерностей протекания каталитического процесса олигомеризации этилена, не прибегая к проведению лабораторного эксперимента, и определять стратегию управления процессом.
Список источников
1. Джамбеков А.М., Щербатов И.А. Оптимальное управление процессом каталитического риформинга бензиновых фракций //
Вестник Тамбовского государственного технического университета. 2017. Т. 23, № 4. С. 557-571. doi: 10.17277/vestnik.2017.04
2. Антипина Е.В., Мустафина С.А., Антипин А.Ф. Теоретическая оптимизация режимных параметров каталитической реакции
с переменным реакционным объемом // Вестник Тверского государственного университета. Сер. Химия. 2022. № 2 (48). С. 67-78. doi: 10.26456/vtchem2022.2.8
3. Cao X., Jia S., Luo Y., Yuan X., Qi Z., Yu K.-T. Multi-objective optimization method for enhancing chemical reaction process //
Chemical Engineering Science. 2019. V. 195. P. 494-506. doi: 10.1016/j.ces.2018.09
4. Fu K., Zou Y., Li S. Iterative Unit-based Adaptive Dynamic Programming with Application to Fluid Catalytic Cracker Unit //
2019 Chinese Automation Congress. 2019. P. 5010-5015. doi: 10.1109/CAC48633.2019.8996670
5. Карпенко А.П. Эволюционные операторы популяционных алгоритмов глобальной оптимизации // Математика и матема-
тическое моделирование. 2018. № 1. С. 59-89. doi: 10.24108/mathm.0118.0000103
6. Антипина Е.В., Мустафина С.И., Антипин А.Ф., Мустафина С.А. Численный алгоритм решения задачи оптимального
управления с терминальными ограничениями для динамических систем // Автометрия. 2020. Т. 56, № 6. С. 132-140. doi: 10.15372/AUT20200615
7. Трокоз Д.А. Метод параметрической оптимизации для широких нейронных сетей с использованием генетических алгорит-
мов // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2021. Т. 23, № 2. С. 51-56. doi: 10.37313/19905378-2021-23-2-51-56
8. Stastny J., Skorpil V., Balogh Z., Klein R. Job Shop Scheduling Problem Optimization by Means of Graph-Based Algorithm //
Applied Sciences. 2021. V. 11, is. 4. Art. 1921. doi: 10.3390/app11041921
9. Gulbaz R., Siddiqui A.B., Anjum N., Alotaibi A.A., Althobaiti T., Ramzan N. Balancer Genetic Algorithm-A Novel Task Sched-
uling Optimization Approach in Cloud Computing // Applied Sciences. 2021. V. 11, is. 14. Art. 6244. doi: 10.3390/app11146244
10. Волков А.А., Булучевский Е.А., Лавренов А.В. Кинетика олигомеризации этилена на катализаторе NiO/B2O3-AkO3 в жидкой фазе // Журнал Сибирского федерального университета. Сер. Химия. 2013. Т. 6, № 4. С. 352-360.
References
1. Dzhambekov, A.M. & Shcherbatov, I.A. (2017) Optimal'noe upravlenie protsessom kataliticheskogo riforminga benzinovykh fraktsiy [Optimal control of the process of catalytic reforming of petrol fractions]. Vestnik Tambovskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. 23(4). pp. 557-571. DOI: 10.17277/vestnik.2017.04.pp.557-571
2. Antipina, E.V., Mustafina, S.A. & Antipin, A.F. (2022) Teoreticheskaya optimizatsiya rezhimnykh parametrov kataliticheskoy
reaktsii s peremennym reaktsionnym ob"emom [Theoretical optimization of regular parameters of a catalytic reaction with a variable reaction volume]. Vestnik Tverskogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Khimiya. 2. pp. 67-78. DOI: 10.26456/vtchem2022.2.8
3. Cao, X., Jia, S., Luo, Y., Yuan, X., Qi, Z. & Yu, K.-T. (2019) Multi-objective optimization method for enhancing chemical reac-
tion process. Chemical Engineering Science. 195. pp. 494-506. DOI: 10.1016/j.ces.2018.09
4. Fu, K., Zou, Y. & Li, S. (2019) Iterative Unit-based Adaptive Dynamic Programming with Application to Fluid Catalytic Cracker
Unit. 2019 Chinese Automation Congress. pp. 5010-5015. DOI: 10.1109/CAC48633.2019.8996670
5. Karpenko, A.P. (2018) Evolyutsionnye operatory populyatsionnykh algoritmov global'noy optimizatsii [Evolutionary operators
for global optimization population-based algorithms]. Matematika i matematicheskoe modelirovanie. 1. pp. 59-89. DOI: 10.24108/mathm.0118.0000103
6. Antipina, E.V., Mustafina, S.I., Antipin, A.F. & Mustafina, S.A. (2020) Chislennyy algoritm resheniya zadachi optimal'nogo
upravleniya s terminal'nymi ogranicheniyami dlya dinamicheskikh system [A numerical algorithm for solving optimal control problems with terminal constraints for dynamical systems]. Avtometriya. 56(6). pp. 132-140. DOI: 10.15372/AUT20200615
7. Trokoz, D.A. (2021) Metod parametricheskoy optimizatsii dlya shirokikh neyronnykh setey s ispol'zovaniem geneticheskikh algo-
ritmov [The parametric optimization method for wide neural networks using genetic algorithms]. Izvestiya Samarskogo nauch-nogo tsentra Rossiyskoy akademii nauk. 23(2). pp. 51-56. DOI: 10.37313/1990-5378-2021-23-2-51-56
8. Stastny, J., Skorpil, V., Balogh, Z. & Klein, R. (2021) Job Shop Scheduling Problem Optimization by Means of Graph-Based
Algorithm. Applied Sciences. 11(4). pp. 1921. DOI: 10.3390/app11041921
9. Gulbaz, R., Siddiqui, A.B., Anjum, N., Alotaibi, A.A., Althobaiti, T. & Ramzan, N. (2021) Balancer Genetic Algorithm-A Novel
Task Scheduling Optimization Approach in Cloud Computing. Applied Sciences. 11(14). pp. 6244. DOI: 10.3390/app11146244
10. Volkov, A.A., Buluchevskiy, E.A. & Lavrenov, A.V. (2013) Kinetika oligomerizatsii etilena na katalizatore NiO/B2O3-Al2O3 v zhidkoy faze [Kinetics of Ethylene Oligomerization on NiO/B2O3-AkO3 in Liquid Phase]. Zhurnal Sibirskogo federal'nogo universiteta. Ser. Khimiya - Journal of Siberian Federal University. Chemistry. 6(4). pp. 352-360.
Информация об авторах:
Антипина Евгения Викторовна - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник управления научных исследований и разработок Уфимского университета науки и технологий (Уфа, Россия). E-mail: [email protected] Мустафина Светлана Анатольевна - профессор, доктор физико-математических наук, проректор по цифровой трансформации Уфимского университета науки и технологий (Уфа, Россия). E-mail: [email protected]
Антипин Андрей Федорович - доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики и программирования Уфимского университета науки и технологий (Уфа, Россия). E-mail: [email protected]
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Antipina Evgenia V. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Mustafina Svetlana A. (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Vice-Rector for Digital Transformation, Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Antipin Andrey F. (Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Ufa University of Science and Technology, Ufa, Russian Federation). E-mail: [email protected]
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 12.03.2024; принята к публикации 03.09.2024 Received 12.03.2024; accepted for publication 03.09.2024
