Оптимальное управление процессами с рециркуляцией взаимодействующих потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

Таким образом, в данной статье представлены результаты прогноза ледотермического режима Богучанской ГЭС и температурного режима водохранилища для летнего и зимнего периодов при нормальном подпорном уровне (НПУ) воды 185,0 и 208,0 м. Следует отметить, что летом в водохранилище будет формироваться существенная температурная стратификация.

Исследование влияния плотины Богучанской ГЭС на ледотермический режим реки Ангары на 30.. .40 км при поверхностном водозаборе и на 60.70 км для проектных условий водозабора показало, что в летний период для проектных условий водозабора температура воды, сбрасываемой из водохранилища в нижний бьеф, будет на 3.5 оС ниже бытовой для НПУ 185,0 м и на 4.6 оС для НПУ 208,0 м. Для поверхностного

расположения водозаборных отверстий температура воды, поступающей в нижний бьеф, близка к бытовой (14.17 оС в створе плотины ГЭС и 19.20 оС в устье Ангары). Изменения температурного режима в верхнем и нижнем бьефах Богучанской ГЭС в летний период могут оказать влияние на водные экосистемы.

Библиографические ссылки

1. Моделирование задач гидроледотермики водотоков / В. М. Белолипецкий, С. Н. Генова, В. Б. Туго-виков, Ю. И. Шокин ; Ин-т вычисл. технологий Сиб. отд-ния Рос. акад. наук. Красноярск, 1993.

2. Лед в водохранилищах и нижних бьефах ГЭС / Я. Л. Готлиб, Р. В. Донченко, А. И. Пехович, И. Н. Соколов. Л. : Гидрометеоиздат, 1983.

V. M. Belolipetskii, S. N. Genova

NUMERICAL INVESTIGATION OF HYDROTHERMAL AND ICE REGIMES

OF THE ANGARA RIVER

We consider a computer simulation of hydrothermal and ice regimes of the Angara river up and downsream from the dam of the Boguchanskaya HPP construction.

Keywords: hydroicethermics, HPP, length of water opening.

© Белолипецкий В. М., Генова С. Н., 2010

УДК 681.5.01

Н. Д. Демиденко, Ю. А. Терещенко

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССАМИ С РЕЦИРКУЛЯЦИЕЙ ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ПОТОКОВ

Представлена математическая модель для процессов с рециркуляцией взаимодействующих потоков. Сформулирована задача оптимального управления и получены необходимые условия оптимальности в форме Вейерштрасса. Разработан численный метод решения задачи оптимального управления.

Ключевые слова: оптимальное управление, системы с распределенными параметрами, процессы разделения многокомпонентных слоев.

Одной из характерных особенностей процессов ректификации является рециркуляция взаимодействующих потоков, что приводит к специфичным граничным условиям в краевых задачах. В этом случае технологический процесс описывается уравнениями в частных производных, а граничные условия - дифференциальными уравнениями с обыкновенными производными [1]. С учетом этих особенностей авторами сформулирована и решена задача оптимального управления.

Математическая модель управляемого процесса представлена следующими дифференциальными уравнениями в нормальной форме:

x; =

H

(L+L )С(1) +dL x+K (у - у* (x))+ FФxX

dl

x f

= X,

x =c

(1)

у; = HT[(W -L -FK(2)+ K(у* (x)-у)]

у, =C(2), О < t < T, О < l < 1, при краевых условиях:

x'kt = — [(L+F) x+(W - L - F) у - Wxk]

xk

у-a[у* (xk)-xk]-xk = ^ О <t <T, l

x'dl =7^ [ L + F - W ](у, - x, )= X,,

Hxd

(L + F - W) (уd - у) - L (xd - x) = 0, уd -у -Ed (у* (xd)-у) = ° О <t < T,

= О,

l = 1,

(1)

(2)

(3)

при начальных условиях:

Х (/,0) = Х0 (1) , У (/,0) = Уо (1) ,

0 < / < 1,

хс (0) = Х?0

(0) = .

0 < а, Ес < 1.

и ограничениях на управления:

(Ь - Ьшт )(Ьтах - Ь )- ^ = 0, (Ж - )(Гшах - Ж)-Г2 = 0.

(4)

(5)

Здесь и , г — вспомогательные управления; х, у — концентрации целевого продукта в жидкой и паровой фазах, мольные доли; х}. — концентрация целевого

продукта в разделяемом сырье, мольные доли; F — поток сырья, кмоль/ч; Ь , V — потоки жидкости и пара в аппарате, кмоль/ч; Ф х (/) — функция распределения потока по длине объекта; Нх, Н — удерживающие способности аппарата, кмоль/м; Нч, Н —

удерживающие способности в кубе и дефлегматоре, кмоль/м; Ж — отбор продукта внизу объекта, кмоль/ч; D — отбор целевого продукта вверху объекта, кмоль/ч.

Сформулируем следующую задачу оптимального управления: во множестве кусочно-непрерывных

функций Ь , Ж, удовлетворяющих условиям (5), найти такие, что соответствующее им решение задачи (1).(4) дает минимум функционалу

Т 1

F = 11 (у (/, t) - ©* (/, t))2 ё/С,

0 0

где ©* (/, t) — заданное значение концентрации целевого продукта.

Для получения необходимых условий оптимальности в форме Лагранжа—Эйлера рассмотрим вспомогательный функционал [1; 2]:

где

Ь = (у - ©* )2 +£(1) (X - х)+£(2) (х - с(1))+

+ ц(1) (у,- у)+ц(2) (у, -С(2)),

~=хК (х,- )+хк2) (у - х- а (у* (х)- х))+

+ х<? (ха - ха ) + ^ ((Ь + F - Ж) (Ус! - у) - Ь (ха - х)) +

+ ^Сс3)(Ус - У - ЕС (у- ( ХС )-У)) + У(( Ь - Ашп )(Ьшах - Ь)-и ) + + В((Ж - Жтп )(Жшах - Ж)-Г2 ) ,

здесь Е,1-1, Е/2), , Ц(2) — функции, определенные

на

Пусть Ь , Ж — оптимальные управления; и, г — соответствующие им (согласно (5)) вспомогательные управления; х, у , хк, хЛ , ус — оптимальное решение задачи (1).(4), соответствующее этим уравнениям; 5Ь, 5 Ж — вариации управлений Ь , Ж ; 5и , 5г — соответствующие вариации фиктивных управлений и , г ; 5х, 5у , 5хк, 5хс, 5ус — соответствующие вариации решений. Тогда, используя аргументацию вариационного исчисления, получим сопряженную задачу относительно функций Лагранжа £ , ц, х^,

х?, у , е:

— при 0 < , < Т , 0 < / < 1

£ - ЬН+Ь- £ = ку (у*)

' J__________________ц

V Нх НУ У

, Ь + F - Ж ,

Ц;---------Н----Ц; =-ку

НУ

— при / = 0, 0 < , < Т

( * \ J_________ц

V Н НУ У

£ Хк1)

Н Н„

= 0,

х хк

V НУ Нк У

с х1

(1)

с

(Ь + F - Ж )-Хк2) = 0,

= — Хк’) +Хк2) |^-а (ук ) + а -О, хк ^ '

хк1} (Т ) = 0;

при , = Т , 0 </ < 1

£ = 0, Ц = 0, при I = 1, 0 < , < Т

^Н^ + хС2)^|Ь-Х<3)Ес (У-)'= 0,

-+х

(2)

(Ь + F - Ж) + (1 - Ес )Х<3)= 0

V Ну

СХС“- Ь+? - х.Ч’-хС11 ь, х>-’(Т ) = 0,

Л

Н

V Нх

V хс

□ (□ = {(,,,) |0 < I < 1,0 <, < Т}); хк0, хс', у , е — функции, определенные на [0, Т ] (их можно счи- 0 тать определенными на 30), причем е = х^ = 0 на 30/{(,,,) |/ = 0}, у = х = 0 на 30/{(,,,) |/ = 1}.

1 ( е А

х, .у;

Нх ' н /' у

(6)

-2 (у-©*);

(7)

(8)

(9)

(Ь + F - Ж )-хсз) = 0;

х(1) х(1)

с/ - ;н^ (х (0,,)-у (0,,))+Н~+

+ (ус + хс ) + хс2) (у (1,,)-уа + хс - х (1,, ))-

-У (Ьшт + Ьшах - 2Ь) = 0,

х

к

к

х(‘)

I-nr У; dl - Н~(у,- x,)+Hr(xk- у (0,t ))-

0 НУ

yd ' xd ,) + “rr (xk

Hxk

- х<2) (у (1,,)- Ус ) +е("шт + - 2Ж) = 0,

уи = 0, ег = 0.

Эти необходимые условия отличаются от известных условий стационарности соотношениями (10). Это отличие связано с тем, что управления Ь , Ж являются граничными управлениями, но одновременно входят и в уравнения процесса, так что их вариации в

О и на 30 не являются независимыми.

Теперь получим необходимые условия оптимальности в форме Вейерштрасса. Пусть Ь, Ж — оптимальные управления. Приращение функционала, вызванное переходом от оптимальных управлений Ь , Ж и соответствующих им решений х, у , хк системы (1).(4) к произвольным допустимым управлениям Ь = Ь + ДЬ , Ж = Ж + Д Ж и соответствующим им решениям х + Дх, у + Ду , хк + Дхк представим в виде

Т

Д1 = | [ ^дь+вд ж с+Ц е1с/с, +1 е2с,,

где

1 1 1 1 1

A = н~ I лу;,; - н- I|x;dl+НГ а (У (0t)- x (0t))-

Ну 0 Hx 0 Hxk

і і

- ~Н~ ( x (і,t)-у (і,t));

і 1 а а

B=nr I лу;,; - н- (xk(t)-у(0, t))-(у(1, t)-x (1,t));

Ну о nxt Н

ДL . ДW

єі = Ду2 +—-—АК+0 (^);

Hx ну

є2 = -ДЬ (Дx (^t )|(1, t )-Дx (0t Н(0, t ))-

Hx

+ Д^ (Ду (і, t) л (і, t)- Ду (°t) л (0, t))+

H,

(ДW Дxk-ДЬ^ (0, t) + ДW Ду ( 0, t))-

H

ДW (Ду (і, t )-Дx (і, t)) + О (Д).

Здесь hx, Ду , hxk определяются из уравнений

hx дx;-( l+дь+Ь )дx; =

£ - ky (У-)

дl

Дx + ky Ду + x\ ДЬ + 0 (Дx),

(11)

Ну Ду; + (V + ДV )Ду; = ky (у*) Ax - kyДy - y'fiV+О (Д) О < l < і, 0 < t < T ,

Hxt Дxk =( L + ДЬ + F ) Дx (0, t )-

- (V + ДV) Ду (0, t) + (W + ДW )dxk +

+x (0, t )ДЬ - у ( 0, t ^V + xk ДW,

(12)

Ду (0, t) = ^a (y* ) - a +1| Дxк + О (Дк ) , l = 0 0 < t < T ,

HXd д; (і, t ) = (v+дv )(Ду (і, t)-д (і, t))+ + ( у (1, t)-x (1, t )^V,

l = 1, 0 < t < T ,

Д (l,0) = Ду (l,0) = dxk (0) = Д (1,0) = 0 0 < l < 1,

ДV = ДЬ-ДW.

(13)

(14)

(15)

Производные Дх,, Ду, считаем ограниченными.

Для оценки приращений используем следующий результат, легко получаемый из известного неравенства Гронуолла: если

( , \

ф(;)|<м рі+К|ф(т)+у(т )) d т

Pl, М = const,

у(т)> 0, t0 <т, t < T , (16)

тогда

|ф( t )| < Мх I Pt +1 у(т) dт

V ;о

Мх = const, t0 < t < T . (17)

Из первого уравнения (12) получим неравенство

|Дхк (,)| < NI (|Дхк (х)| + |Д(0,х)| +1 Ду (0, т)|) сх-

0

Т

+ *2 |(| ДЬ (, )|+|дж (, )|) с,,

0

а в силу (17) будем иметь

Дк (,)| < N31(| Дх(0, х)| +1Ду (0, т)|) сх +

0

Т

+ N 1(1 дь (, )|+|дж (, )|) с,.

0

Из второго уравнения (12) и (17) следует оценка

| Ду (0,,)| < *5 ||Дх (0, х)| сх +

0

Т

+1(1 ДЬ (, )|+|дж (, )|) с,.

0

Аналогично из (13):

|Дх (1,,)| < N7 ||Ду (1, х)| сх +

0

Т

+ N 1(1 ДЬ (, )|+|дж (, )|) с,.

(18)

(19)

Учитывая, что левые части (11) представляют производные вдоль характеристик (с точностью до постоянного множителя), и интегрируя вдоль этих характеристик, получим:

d

О

d

+

+

d

г

|Лх(/,г)| < И9{(|Лх(/(х),х)| + |Ау(/(х),х)|

г0

+ |ЛЬ (х)| + |АЖ (х)|) d х + |Ах (/0, г'0 )|,

откуда

(20)

г

| Ау (/,г)| < Ию|(| Ах(/ (х), х)| +1Ау (/ (х),х)| +

г0 ,

+|аь (х)|+|лж (х)|) d х+|Ах (/0', г'0 )|,

где (/0' , г'0), (/0", г”0) - начальные точки соответствующих характеристик, 0 < г'0, г'0 < г, причем г'0 = 0 или /0 = 1, г'0 = 0 или /'" = 0.

Пусть

а(г) = тах|Ах(/,х)| , р(г) = тах|Ау(/,х)|.

0<х<г,1 0</<1

0<х<г,1 0</<1

Тогда из (19) и (20) имеем

г Т

|лх (/, г)| < N9 |(а(х) + Р(х)) d х + N9 Цаь (г )| dг +

00 г Т

+ и7 {р(х) d х + и8 {(|аь (г )| + |лж (г )|) dг,

откуда

а(г) < И111(а(х) +Р(х))dх + И12{(|ЛЬ(г)| + |АЖ (г)|)dt. 0 0

Аналогично можно получить оценку

г Т

р(г) < И131 (а(х) + р(х)) dх + И141 (|АЬ (г)| + |АЖ (г)|) dt.

00

Еще раз применим (18):

г Т

а(г) < И15 |р(х) d х+И161 (|аь (г )|+|лж (г )|) dг,

(21)

Р( г ) < И171 а(х) d х+И181 (|аь (г )| + |аж (г )|) dг. 0 0 Интегрируя от 0 до ст , учитывая, что при f (х) > 0

ст г ст ст

| dг | f (х) d х =| d х{ f (х) dг =

0 0 0 х

стст

= {(ст-х) f (х) d х< Т | f (х) d х,

00 ст

(ст

0

и заменяя ст на г, получим

, , Т

|а(х)сх < ^|р(х)сх + N201(|ДЬ (,)| +|ДЖ (,)|)с, ,

0 0 0

, , Т

|р(х)сх < N2!|а(х)сх + N221 (|ДЬ (,)| + |ДЖ (,)|) С . 000 Подставляя в (21) и еще раз применяя (17), приходим к оценкам вида

Т

а(, )< Р |(| ДЬ (,)|+|дж (,)|) с,

0

Т

«' )<Р 1(1 ДЬ (,)| + |дж (,)|) с,

|лх (/, г)| < р {(| ль (г)| +1 а ж (г )|) dг,

і

|АУ ( I г )|< р {(I ль (г)|+|лж (г)|) dг.

(22)

Теперь мы можем оценить е1 , е2 . Обозначая 5(,) = |ДЬ (,)|+|ДЖ (,)| ; q — наибольшее количество слагаемых в формулах для е1, е2; 51 — максимум модулей коэффициентов при приращениях в этих формулах, получим:

( т Л2 т

|е1 (/,,)| < Р21 15(,) С I 5^5(,) Р15(,) С,

Т

|е2 (/,,)|< q515(t) Р15(,) С . (23)

0

Сформулируем необходимые условия оптимальности в виде теоремы.

Теорема. Если Ь (,), Ж (,) — оптимальное управление, х, у , хк — соответствующее решение задачи (1).(4), то в точках непрерывности управлений

АДЬ + вдж > 0

для всех допустимых приращений ДЬ , ДЖ , или что то же самое,

Ь (г ) =

[Ьтах при А (г)< 0,

[Ьтіп при А (г)> 0,

/ч |Жшах при в (г)< 0,

ж (г ) = <! шх w

Кт при в (г)> 0.

(24)

Доказательство. Пусть ,0 — точка, в которой условия (19) нарушаются, например для Ь (,). Возьмем е > 0 так, что при ,0 < , < ,0 + е

А (, )< 22А (,0),

Ь (,)< 2 (Ь (,0 ) + Ьшах ) в случае А (,0 )< 0,

А (,)> 2 А (,0 ) ,

Ь (,)> ^ (Ь (,0 )+ Ьш;п ) в случае А (,0 )> ^ и выберем приращения

0 при , е[0,,0] и[,0 +е,Т],

Ьшах - Ь (,0 ) при ,0 < , < ,0 +е

ль (г ) =

в случае А (г0) < 0,

Ьшіп - Ь (г0 ) при г0 < г < г0 +Є

в случае А (г0) > 0,

АЖ (г) = 0.

+

Тогда при ґ0 < ґ < ґ0 +8

А (ґ )АА (ґ) < а < 0 .

для управляющих функций такие же, как в первых пяти вариантах (рис. 3).

где

4 А (ґ0 )(Апах - А (Ґ0 )) ПРИ А (Ґ0 )< 0 1 А (Ґ0 )(Апш - А (Ґ0 )) пРи А (Ґ0 )> 0,

I 1

ДААА + BАW]dґ < а8, |б(ґ)dґ

< Ь8 ,

т

1 ю4 < Ь182 , |82 dґ < Ь 2 2

о 0

где Ь, Ь1, Ь2 - постоянные, не зависящие от в; А/ < ав + ^в2 + Ь2в2 при достаточно малом в, что противоречит оптимальности управлений Ь (t) , Ж (t) . Аналогично рассматривается случай, когда (24) не выполняется для Ж (t) .

Как видим, доказательство теоремы указывает на способ улучшения управлений, если условия (24) не выполнены. Это позволяет построить итеративный процесс улучшения управлений при нарушении условий (24).

В качестве примера рассмотрим задачу оптимизации пускового режима для промышленной колонны К-34. Исходные данные: F = 103,65 кмоль/ч, Р = 0, D = 27,06 кмоль/ч, Ьа = 45,21 кмоль/ч,

Ж = 76,59 кмоль/ч, Н = 50 кмоль, Н = 30 кмоль,

xd хк

РН = 3,6 ат, РВ = 3,5 ат. Коэффициенты Ри, Р2., Р3. получены методом наименьших квадратов с использованием таблицы зависимости давления чистых компонентов от температуры. Состав сырья:

хк = 0,222151, хи = 0,043 89,

х, = 0,14395,

/з

Хи = 0,420 21,

х{ = 0,029 63,

/1

хи = 0,044 52, х^ = 0,096 3 [3].

Выберем целью управления достижение в выходных потоках концентраций компонентов хл ст и х. ст.

В этой задаче возмущением является начальное состояние управляемого процесса, при котором концентрации компонентов по длине колонны равны концентрациям этих компонентов в сырье. Время управления Т возьмем 20 ч.

Были проведены расчеты шести вариантов задачи оптимизации пускового режима.

В первых пяти вариантах задача оптимизации решается с одной управляющей функцией. Значения остальных четырех функций и начальное значение управляющей функции заданы такими же, как и при расчете статического режима (рис. 1, 2). При начальном управлении значение функционала для всех вариантов задачи одинаково: Р0 = 34,0.

В шестом варианте задачи в качестве управляющих взяты все пять параметров. Начальные значения

Рис. 1. Графики переходных процессов по концентрации бутана в дефлегматоре и кубе в пусковом режиме:

1, 2 - в дефлегматоре; Г, 2' - в кубе; 1, Г - при начальном управлении; 2, 2'- при оптимальном управлении; управляющий параметр - отбор вверху колонны

Рис. 2. Графики оптимальной функции управления (отбор вверху колонны):

1 - в пусковом режиме; 2 - совместно с другими оптимальными управляющими функциями Ьа, Р, I/, х/2

Рис. 3. Графики переходных процессов по концентрации бутана в дефлегматоре и кубе в пусковом режиме:

1, 2 - в дефлегматоре; 1’, 2' - в кубе; 1, 1’ - при начальном управлении; 2, 2' - при оптимальном управлении; управляющие параметры: отбор вверху колонны, орошение, расход сырья, концентрация бутана в сырье, координата ввода сырья

В результате решения было получено, что наиболее эффективной управляющей функцией является Ьа (поток орошения) (см. таблицу). Однако следует заметить, что увеличение потока орошения значительно увеличивает энергетические затраты.

Следующим по эффективности управляющим параметром является концентрация бутана в сырье х^ .

Управление этим параметром связано со значительным перераспределением выходных потоков в предыдущей колонне, что не всегда допустимо.

а

Сравнительная оценка управляющих параметров при оптимизации пускового режима колонны

uJ D Fl Il Ld x, j2

Fmin 28,5 29,6 30,4 20,9 26,2

Наименее эффективным управляющим параметром является координата ввода сырья 1А, однако изменение этого параметра осуществляется практически без дополнительных энергетических затрат.

Библиографические ссылки

1. Демиденко Н. Д. Управляемые распределенные системы. Новосибирск : Сиб. изд. фирма Сиб. отд-ния Рос. акад. наук «Наука», 1999.

2. Демиденко, Н. Д. Моделирование и оптимизация тепломассообменных процессов в химической технологии. М. : Наука, 1991.

3. Демиденко Н. Д., Потапов В. И., Шокин Ю. И. Моделирование и оптимизация систем с распределенными параметрами. Новосибирск : Изд-во Сиб. отд-ния Рос. акад. наук, 2006.

N. D. Demidenko, Ju. A. Tereschenko

OPTIMAL CONTROL OF PROCESSES WITH RECIRCULATION OF INTERACTING FLOWS

A mathematical model for the processes with recirculation of interactive flows is given. A problem of optimal control is formulated. Necessary optimal conditions in the form of Veyershtrass are obtained. A numerical method of optimization problems solving is developed.

Keywords: optimal control, systems with distributed constants, processes of multicomponent layering.

© Демиденко Н. Д., Терещенко Ю. А., 2010

УДК 681.5.01

Н. Д. Демиденко, Ю. А. Терещенко ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЦЕССОВ РАЗДЕЛЕНИЯ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СМЕСЕЙ

Предложена математическая модель процессов разделения многокомпонентных смесей. Сформулирована задача оптимального управления, получены необходимые условия оптимальности. Разработан численный метод решения задач оптимизации, проведены численные эксперименты.

Ключевые слова: многокомпонентная смесь, оптимальное управление, нелинейные процессы.

Исследование и проектирование систем химической технологии представляет собой сложную задачу, так как при ее постановке используются нелинейные системы дифференциальных уравнений в частных производных [1-5]. Математическая формулировка таких задач и вопросы их корректности, как правило, требуют специального рассмотрения. Трудности, прежде всего, связаны с нелинейностью уравнений и сложностью граничных условий, содержащих обыкновенные дифференциальные уравнения. С другой стороны, эти трудности обусловлены многомерностью задач, поскольку технологические процессы характеризуются довольно большим числом теплофизических и конструктивных параметров. Выбор эффективной методики решения задач моделирования и управления принято считать центральным вопросом в проблеме моделирования нестационарных режимов управляемых процессов разделения.

Основным инструментом проектирования технологических процессов и систем управления является вычислительный эксперимент, включающий в себя анализ многообразия технологических режимов, по-

строение их физических и математических моделей, разработку и исследование вычислительных алгоритмов, их программную реализацию и проведение серии расчетов [3].

В настоящей работе формулируются и решаются задачи анализа математических моделей процессов разделения, задачи оптимального управления и численных экспериментов с целью проектирования энергосберегающих технологий разделения многокомпонентных смесей для промышленных объектов и создания соответствующих оптимальных систем управления.

Процесс разделения многокомпонентных смесей осуществляется в ректификационных колоннах на контактных устройствах (тарелках), распределенных по длине аппарата. Технологический процесс происходит в конечном числе точек объекта, однако его можно рассматривать непрерывным по длине, поэтому для моделирования возможно применение дифференциальных уравнений в частных производных. Оценка погрешности перехода от дискретной модели к непрерывной приведена в [1]. Концентрации целе-