CC BY
20
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 517.977.5-629.783 DOI: 10.17586/0021-3454-2021-64-3-183-191
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЬЕЗОАКТЮАТОРОМ ДЛЯ НАСТРОЙКИ РАДИООТРАЖАЮЩЕГО СЕТЕПОЛОТНА КОСМИЧЕСКОГО РЕФЛЕКТОРА
С. А. Кабанов, Ф. В. Митин
Балтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ" им. Д. Ф. Устинова,
190005, Санкт-Петербург, Россия Е-шаИ: fedor28@list.ru
Рассматривается процесс управления пьезоактюатором для настройки формы радиоотражающего сетеполотна крупногабаритного трансформируемого рефлектора космического базирования. Выбрана схема поточечной настройки. Вследствие ограниченного запаса электрической энергии на борту космического аппарата задача управления решается с учетом минимизации энергетических затрат в режиме реального времени. Разработан алгоритм последовательной оптимизации управления для автоматической настройки длины ванты за счет пьезоактюатора. Алгоритм позволяет минимизировать энергетические затраты и с высокой точностью выполнять терминальные условия. Посредством выбора весовых коэффициентов определяется наилучший вариант программы управления при разном конечном времени моделирования. Показана гибкость разработанного алгоритма при выборе критериев оптимизации.
Ключевые слова: алгоритм последовательной оптимизации, крупногабаритный трансформируемый рефлектор, радиоотражающее сетеполотно, пьезо-актюатор, математическая модель, моделирование
Введение. Быстрое развитие аэрокосмической промышленности выдвигает новые требования к космическим антеннам, такие как большая апертура, высокая точность, малый вес и др. [1, 2]. Из-за ограниченного пространства на ракетоносителях крупногабаритные космические рефлекторы выполняются в виде развертываемых конструкций [3—5]. Такие системы имеют три состояния: сложенное, фаза раскрытия, рабочее положение. Для развертываемых антенн характерно множество типов конфигураций, которые различаются способом поддержки радиоотражающего сетеполотна. Самой распространенной конструкцией является зонтичная с подвешенным сетеполотном между спицами. Тем не менее возникают новые концепции, позволяющие обеспечить более высокую точность формы отражающей поверхности и большую апертуру.
Описание системы и постановка задачи. В настоящей статье рассматривается процесс настройки радиоотражающего сетеполотна крупногабаритного трансформируемого рефлектора космического базирования с использованием тросовой (вантовой) системы поддержания формы рефлектора [6, 7]. Структурная схема рефлектора представлена на рис. 1. Конструкция состоит из силового каркаса и фронтальной сети, которая с помощью вант оттянута к тыльной сети для задания необходимой формы отражающей поверхности.
Тыльная сеть
Силовой каркас
Фронтальная се
Вант]
<
Рис. 1
Для образования и поддержания формы рефлектора фронтальная и тыльная сети соединены вантовыми подкреплениями (оттяжками). Ванты соединяют противолежащие узлы сетей. Рассмотрим плоскую модель управления формой сетеполотна: см. рис. 2, где 1 — шнур, соединяющий концы звеньев 2 и 3 спицы (позволяющие задать параболическую форму сетеполотна), 4 — главный радиальный шнур фронтальной сети, 5 — главный радиальный шнур тыльной сети, 6 — корневое звено спицы, 7 — ванты, соединяющие главные радиальные шнуры с узлами фронтальной и тыльной сетей. В каждой ванте содержится по одному актюатору. Настройка формы происходит путем изменения длины ванты в каждой точке крепления.
В качестве актюаторов применяются пьезоактюаторы. Пьезоэлектрические материалы и элементы на их основе высоконадежны, устойчивы к воздействию различных агрессивных сред, имеют малые массогабаритные показатели, высокую радиационную стойкость и термостойкость, диэлектрическую природу [8]. Указанные свойства особенно важны при проектировании аппаратуры, предназначенной для работы в космосе, что обусловливает целесообразность использования данного типа актюаторов в космической отрасли [9—11].
Так как запас необходимой энергии для осуществления миссии космического рефлектора ограничен [12—14], важной задачей является минимизация энергетических затрат. Выполнение этого условия позволит уменьшить массу накопителей энергии и увеличить срок эксплуатации оборудования.
Система дифференциальных уравнений, описывающих пьезоэлемент с исполнительным органом, имеет следующий вид [11]:
0
Ш
Рис. 2
X п = f (Хп, и, г),
где Хп = (1Гиэл)
Т
вектор состояния, или
I = V; V =
ККоиэл + / - Ку1 - КдV
и = еэл иэл К ПV
^ атт
С0^внКд С0^ш Кд С0Кд
(1)
где I — изменение длины (ход) актюатора, V — скорость выдвижения актюатора, N — количество элементов, Ко — коэффициент обратного пьезоэффекта, Тэл — электрическое напряжение, приложенное к электродам актюатора, /с — статическое усилие, Ку — коэффициент упругости, Кд — коэффициент внутреннего демпфирования, еэл — напряжение от источника электродвижущей силы, Со — емкость, — внутреннее сопротивление, Кп — коэффициент прямого пьезоэффекта, ш2 — суммарная масса, состоящая из массы самого
пьезоактюатора и перемещаемой массы.
Задача управления пьезоактюатором состоит в приведении его из начального положения Xп(0) в заданное конечное состояние Xп(t f) при минимизации энергетических
затрат и ограничении на управление, за которое принято напряжение от источника электродвижущей силы еэл, |еэл| < еэлтах .
Синтез алгоритма управления. Поскольку в поставленной задаче необходимо выполнить терминальные условия как для перемещений, так и для их производных, а также минимизировать энергетические затраты, то для ее решения предлагается использовать алгоритм последовательной оптимизации.
Используя алгоритм последовательной оптимизации по иерархии из двух критериев различных уровней значимости и соответствующие им функции управления, можно добиться удовлетворительных результатов как по одному, так и по другому критерию [15]. Для обеспечения малых значений производной от I по t в конечный момент времени t f с учетом
минимизации энергетических затрат в ходе работы пьезоактюатора исследуем задачу управления пьезоактюатором при наличии наблюдений за всеми компонентами вектора сосо-тояния Xп и отсутствии возмущений.
Если для системы из п уравнений оптимизация по одному критерию приводит к двухточечной краевой задаче для системы порядка 2п, то для иерархии из двух критериев число уравнений составляет 4п. Объем вычислений возможно уменьшить путем использования критериев обобщенной работы А. А. Красовского. В работе [15] показана целесообразность применения упрощенного варианта алгоритма, когда при рассмотрении второго уровня управление первого уровня считается реализованным. Исследования различных систем показали, что характер траекторий управляемого движения по упрощенному алгоритму не изменяется по сравнению с полным решением.
Рассмотрим расширенную систему XП = f (х, и, t), добавив к системе (1) уравнение
и = и . Положим
У = и, х = (( у) = (I V иэЛ)т, f = (XП и)Т .
В системе управления пьезоактюатором с обеспечением конечных условий для величины I при малых конечных значениях ее производной целесообразно использовать упрощенный вариант алгоритма, обеспечивающий минимизацию критериев
31 = V/ 1(ХП,г/) = Vг2(ХП,г/) + {[/0(хп,г)+0,5(и2 + и2)2^
ёг.
(2)
где V/1 = 0,5Р1 [V(г/)- V/, V/2 = 0,5АХп/р^ АХп/ ; /о = 0,5р2 [/(г)-/]2 + 0,5рзРэл (г);
Рл = ^(Р1,Р2,Р3,Р4), Р1, Р2, Рэ, ^2 — заданные коэффициенты; АХп/ = Хп)-Хп/,
Хп / = (// V/ иэл/ ) — заданные конечные значения соответствующих переменных;
Рл = ипI = (еэл - иэл ) / Явн — электрическая мощность, ип — полное приложенное напряжение, I — сила тока.
Функция управления вычисляется как и = и1 + и2, где и1 и и2 минимизируют критерии качества З и ^2 соответственно. На первом уровне производится подстройка прогнозирующей модели, например, таким образом, чтобы можно было принять и1 = 0, ит (г) = и (г) + Аи. С учетом сделанных допущений гамильтониан системы (1) примет вид
н = рТ f (хп)+/0,
Т
где р = [Р1 ру Ри Ри ] — вектор сопряженных переменных, или
Н = Р/У + Ру
К0иэл + - Ку/- КV
у
тУ
- + Ри
иэ
„ ^ к, У
V С0 ЯвнКд С0 ЯвнКд С0 Кд у
+Рии + "~Р2 ((-//)2 + -^РзР
2 2
1 и + и0
2
Уравнения прогнозирующей модели имеют следующий вид:
/ = V;
ш0иэл + - Ку/- К.V
V = ■
т
Е
у
иэ
КпV
иэл = ——----,
С0^внКд С0 ЯвнК д С0 К д
и = 0.
Для сопряженных переменных получаем
(3)
Ку
РI = Ру
т
в2 (( - // )
■ Кд Кп
Рv =-Р1 + Рv + Риэл тт тЕ эл С,
Ри ,„ = -Рг
Ж0
ту
' ^ Ри э
1
С0 Яви
+ Рз -Рзиэл, Ри =-Рп
1
0
-Рз^ + Рз
и э
Я Я эл С » Я Я
вн вн 0 вн вн ън
Р1 (г/) = Р1[/(г/) - // ], Рv (г/) = Р2^ (г/) - V/ ], Риэл (г/) = Рз^г/) - иэЛ / ],
Ри (г/ ) = 0.
Величина Аи выбирается путем итераций из условия V/1 = 0 с точностью до малого значения а >0 с помощью интегрирования уравнений модели первого уровня на интервале
г, г
/
. В данном случае из третьего уравнения системы (1) можно определить необходимую
для минимизации первого критерия функцию управления
г
г
0
Оптимальное управление пьезоактюатором для настройкирадиоотражающего сетеполотна 187 umоd = (иэл f — Тэл
(t))/(tf — t)] С0+ иэл + Кп^вн . (4)
Для определения и2 требуется найти функцию Р2и из систем уравнений (3) и (4) при Vу 1 = 0 . Иными словами, величину и1 = —£ Р1и (здесь £1 — коэффициент) следует задать в виде —£2Р1и =5(0 Л и, где Ли = umоd — и (^ , 5(^ — дельта-функция (приближенно можно принять 5(0 = 1/ Лt, где Лt — шаг численного интегрирования системы (1)).
Если оптимизировать конечное время, то исходную систему (1) можно представить в
виде
X = /(Xп,У,0, У = и,
где У = (и tf)T.
Тогда в двухуровневой задаче управления получаем и = и1 + и2, и1 =(иа 0) ,
и2 = (ъ и^), tf = щ = — к^ рг, р{ = Н (XП, p, и, t)|f, где £ — заданный коэффициент; иа, иъ,
и{ — соответствующие функции управления, т.е. управление конечным моментом формируется на втором уровне.
Результаты расчетов. Пьезоактюатор выдвигается из начального положения при 10 = 0
и фиксируется при достижении заданной длины Iу = 5 мм. Актюатор в начальном положении
находится в состоянии покоя, соответственно линейная скорость V = 0, напряжение
иэл0 = 0. Конечное значение линейной скорости Vf = 0. Пьезоактюатор преобразует
электрическое напряжение в механическое перемещение [8]. Когда к нему приложено электрическое напряжение он деформируется, при снятии напряжения приходит в исходное состояние. Примем конечное значение напряжения, исходя из ограничений, принятых на орбите: иэл у = 12 В. Время выдвижения tf = 2 с.
Для моделирования был выбран тонкопленочный пьезоэлектрический микроактюатор
—8
типа АПМ со следущими техническими характеристиками [16]: К0 = 3,425-10 Кл/м, шЕ= 0,125 кг, /с = 0, Ку = 7,611 Н/м, Кд = 1,9, С0 = 11,7 -10—5 Ф, Явн = 1,025 -102 Ом. Для осуществления выдвижения на заданную длину = 5 мм при ограничении на управление еэлтах = 12 В необходимо N = 305 .
Численное моделирование перевода системы из начального состояния х(0) = (0 0 0) в конечное х(1 у- ) = (1^ 0 иэл у ) при минимизации энергии Рэл и отсутствии перерегулирования по длине I при начальном значении tf = 2 с проводилось методом Эйлера с шагом
Дt = 0,00001 с. Расчеты показали, что при значениях параметров критериев 31 и /2 : Р1 = 104,
8 2 2 Р2 = 10 , Р3=0, Р4=0, Р1 =0, Р3 =0, £2 = 1, кг = 1 — алгоритм успешно решает поставленную
задачу. При этом за счет управления конечным моментом времени tj• = 4,0675 с. Затраченная
мощность на перевод системы из начального состояния в конечное равна Рэл = 0, 0075 Вт при
максимальной силе тока /тах = 0,0069 А. На рис. 3 и 4 представлены графики зависимостей
I (0 и V (0 соответственно.
Конечное значение /(г у) =0,00502 м отличается от заданного на 0,00002 м. Линейная скорость при выдвижении актюатора не превышает 0,0025 м/с, а в конечный момент V (гу ) = 2,361-10—5 м/с, что является характерным для исследуемого алгоритма.
о-3
3
2,5 2
/•10-3, м
^10-3, м/с
6 5 4 3 2 1
0
1,5 1
0,5 0
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 г, с 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 г,с
Рис. 3 Рис. 4
Для сравнения энергетических затрат было проведено моделирование системы (1) при использовании ПИД-регулятора с ограничениями на управление. Для перевода системы из начального состояния Хп(0) в конечное Хп(гу) за время г у = 2 с при значениях коэффициентов усиления пропорциональной, интегрирующей и дифференцирующей составляющих
3 3 5
регулятора — кп = 10, ки = 4,2 • 10 , кд = 10 — была затрачена мощность Рэл = 0,032 Вт при /тах = 0,049 А. При таком управлении затраченная мощность на порядок больше, чем при использовании алгоритма оптимального управления, а максимальное значение силы тока выросло более чем в 7 раз.
При Р3 = 106 удается снизить затраченную мощность до 0,0014 Вт при /тах = 0,0031 А и г у = 4,0485 с. С увеличением коэффициента Р2 удается уменьшить время г у, но при этом
3
возрастает затраченная мощность; при Р2 = 30 -10 результаты аналогичны ПИД-регулиро-ванию. Значение /тах возникает в начале процесса, когда существенно возрастает и, в
—8
конечный момент / (г у ) = 10 А.
Особенность траекторий / (г) — достижение заданного конечного значения с малыми по абсолютной величине производными. Затраченная мощность Рэл существенно ниже соответствующего значения при использовании алгоритма коррекции параметров структуры управления [11, 12].
Преимущество алгоритма последовательной оптимизации заключается в возможности реализовать управление в режиме реального времени и управлять конечным моментом времени г у- до тех пор, пока не будут выполнены терминальные условия с определенной точностью.
Если рассматривать оптимизацию только по второму критерию (2), то приходим к алго-
3
ритму с прогнозирующей моделью [15, 17]. В этом случае реализация алгоритма при Р1 = 10 , Р2 = 108
22
Р3 =0, р4=0, Р3 =0, к2 = 1, кг = 1 приводит к следующим результатам:
1 (гг )=0,
=0,0057 м
, V (гг) =
= 8,245 -10—5 м/с.
Заключение. Разработан алгоритм последовательной оптимизации для изменения длины пьезоактюатора при настройке формы радиоотражающего сетеполотна крупногабаритного трансформируемого рефлектора. С помощью данного алгоритма удалось добиться необходимой точности и качества регулирования. Алгоритм может быть реализован в режиме реального времени, его использование позволяет минимизировать энергетические затраты при выполнении терминальных условий.
Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 20-08-00646 А.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Terada M., Bludworth N., Moore J. et al. Deployable reflector system for satellite applications // IEEE MTT-S Intern. Conf. on Microwave and Optoelectronics, Brazil. 2005. P. 647—656.
2. Li T. Deployment analysis and control of deployable space antenna // Aerospace Science and Technology. 2012. Vol. 18, N. 1. P. 42—47.
3. Каzаntsеv Z. А. Deployment concept mechanical system of a radar antenna for space purposes // Сибир. журн. науки и технологий. 2017. № 4. С. 858—867.
4. Xuelin D., Jingli D., Hong B., Guohui S., Deployment analysis of deployable antennas considering cable net and truss flexibility // Aerospace Science and Technology. 2018. Vol. 82—83. P. 557—565.
5. Wang H. Multifrequency spaceborne deployable radiometer antenna designs // IEEE Aerospace and Electronic Systems Magazine. 2020. Vol. 35, N 5. P. 28—35.
6. Кабанов С. А., Зимин Б. А., Митин Ф. В. Разработка и анализ математических моделей раскрытия подвижных частей трансформируемых космических конструкций. Часть I // Мехатроника, автоматизация, управление. 2020. Т. 20, № 1. C. 51—64.
7. Кабанов С. А., Зимин Б. А., Митин Ф. В. Разработка и анализ математических моделей раскрытия подвижных частей трансформируемых космических конструкций. Часть II // Мехатроника, автоматизация, управление. 2020. Т. 21, № 2. C. 117—128.
8. Бобцов А. А. и др. Исполнительные устройства и системы для микроперемещений. СПб: СПбГУ ИТМО, 2011. 131 с.
9. Tanaka H., Shimozono N., Natori M. C. A design method for cable network structures considering the flexibility of supporting structures // Trans. of the Japan Society for Aeronautical and Space Sciences. 2008. Vol. 50, N 170. P. 267—273.
10. Gajbhiye S. C., Upadhyay S. H., Harsha S. P. Nonlinear vibration analysis of piezo-actuated flat thin membrane // J. of Vibration and Control. 2015. Vol. 21, N 6. P. 1162—1170.
11. Кабанов С. А., Митин Ф. В., Кривушов А. И., Улыбушев Е. А. Управление пьезоактюатором для настройки отражающей поверхности рефлектора космического базирования // Изв. вузов. Авиационная техника. 2018. № 4. С. 111—116.
12. Кабанов С. А., Митин Ф. В. Оптимизация процессов раскрытия и создания формы трансформируемого рефлектора космического базирования // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2021. № 2. С. 106—125.
13. Zhenxing S., Huijian L., Xiaoning L., Gengkai H. Thermal-structural dynamic analysis of a satellite antenna with the cable-network and hoop-truss supports // J. of Thermal Stresses. 2019. Vol. 42, N 11 P. 1339—1356.
14. Петровичев М. А. Гуртов А. С. Система энергоснабжения бортового комплекса космических аппаратов: Учеб. пособие. Самара: Изд-во Самар. гос. аэрокосм. ун-та, 2007. 88 с.
15. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб: Изд-во СПбГУ, 1997. 200 с.
16. Панич А. Е. Пьезокерамические актюаторы. Ростов-на-Дону: ЮФУ, 2008. 159 с.
17. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.
Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; БГТУ „ВОЕНМЕХ" им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем управления и компьютерных технологий; E-mail: kaba-sa@mail.ru
канд. техн. наук; БГТУ „ВОЕНМЕХ" им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем управления и компьютерных технологий; ст. преподаватель; E-mail: fedor28@list.ru
Поступила в редакцию 22.12.2020 г.
Ссылка для цитирования: Кабанов С. А., Митин Ф. В. Оптимальное управление пьезоактюатором для настройки радиоотражающего сетеполотна космического рефлектора // Изв. вузов. Приборостроение. 2021. Т. 64, № 3. С. 183—191.
OPTIMAL CONTROL OF THE PIEZO ACTUATOR FOR TUNING THE RADIO-REFLECTING MESH OF SPACE REFLECTOR
S. A. Kabanov, F. V. Mitin
D. F. Ustinov Baltic State Technical University VOENMEH, 190005, St. Petersburg, Russia
E-mail: fedor28@list.ru
The process of controlling a piezo actuator for adjusting the shape of radio-reflecting mesh of a large-sized transformable space-based reflector is considered. A point-by-point adjustment scheme is selected. Due to the limited supply of electrical energy on board the spacecraft, the control problem is solved with the account for energy costs in real time. An algorithm has been developed for sequential control optimization for automatic cable length adjustment using a piezo actuator. The algorithm allows minimizing energy costs and fulfilling terminal conditions with high accuracy. By choosing the weighting factors, the best version of the control program is determined for different finite simulation times. The flexibility of the developed algorithm is shown when choosing the optimization criteria.
Keywords: sequential optimization algorithm, large-size transformable reflector, radio-reflective mesh, piezo actuator, mathematical model, modeling
REFERENCES
1. Terada M., Bludworth N., Moore J. et al. IEEE MTT-S International Conference on Microwave and Optoelectronics, Brazil, 2005, pp. 647-656.
2. Li T. Aerospace Science and Technology, 2012, no. 1(18), pp. 42-47.
3. Kazantsev Z.A. Siberian Journal of Science and Technology, 2017, no. 4, pp. 858-867. (in Russ.)
4. Xuelin D., Jingli D., Hong B., Guohui S. Aerospace Science and Technology, 2018, vol. 82-83, pp. 557-565.
5. Wang H. IEEE Aerospace and electronic systems magazine, 2020, no. 5(35), pp. 28-35.
6. Kabanov S.A., Zimin B.A., Mitin F.V. Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2020, no. 1(20), pp. 51-64. (in Russ.)
7. Kabanov S.A., Zimin B.A., Mitin F.V. Mekhatronika, Avtomatizatsiya, Upravlenie, 2020, no. 2(21), pp. 117-128. (in Russ.)
8. Bobtsov A.A. et al. Ispolnitel'nye ustrojstva i sistemy dlya mikroperemeshchenij (Actuators and systems for micro-displacement), St. Petersburg, 2011, 131 p. (in Russ.)
9. Tanaka H., Shimozono N., Natori M.C. Transactions of the Japan Society for Aeronautical and Space Sciences, 2008, no. 170(50), pp. 267-273.
10. Gajbhiye S.C., Upadhyay S.H., Harsha S.P. Journal of Vibration and Control, 2015, no. 6(21), pp. 1162-1170. (in Russ.)
11. Kabanov S.A., Mitin F.V., Krivushov A.I., Ulybushev E.A. Russian Aeronautics, 2018, no. 4, pp. 111-116 (in Russ.)
12. Kabanov S.A., Mitin F.V. Izv.RAN. Teoriya i sistemy upravleniya, 2021, no. 2, pp. 106-125. (in Russ).
13. Zhenxing S., Huijian L., Xiaoning L., Gengkai H. Journal of Thermal Stresses, 2019, no. 11(42), pp. 1339-1356.
14. Petrovichev M.A., Gurtov A.S. Sistema energosnabzheniya bortovogo kompleksa kosmicheskih appa-ratov: ucheb. posobie (The Power Supply System of the Onboard Complex of Spacecrafts: the Textbook), Samara, 2007, 88 p. (in Russ.)
15. Kabanov S.A. Upravlenie sistemami na prognoziruyushchih modelyah (Control Systems Based on Predictive Model), St. Petersburg, 1997, 200 p. (in Russ)
16. Panich A.E. P'ezokeramicheskie aktyuatory (Piezoceramic Actuators), Rostov-na-Donu, 2008, 159 p. (in Russ.)
Сергей Александрович Кабанов
Федор Васильевич Митин
17. Krasovskij A.A., ed., Spravochnik po teorii avtomaticheskogo upravlenija (Handbook on the Theory of Automatic Control), Moscow, 1987, 712 p. (in Russ)
Data on authors
Sergey A. Kabanov — Dr. Sci., Professor; D. F. Ustinov Baltic State Technical University VOEN-
MEH, Department of Control Systems and Computer Technologies; E-mail: kaba-sa@mail.ru
Fedor V. Mitin — PhD; D. F. Ustinov Baltic State Technical University VOENMEH, Depart-
ment of Control Systems and Computer Technologies; Senior Lecturer; E-mail: fedor28@list.ru
For citation: Kabanov S. A., Mitin F. V. Optimal control of the piezo actuator for tuning the radio-reflecting mesh of space reflector. Journal of Instrument Engineering. 2021. Vol. 64, N 3. P. 183—191 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2021-64-3-183-191
