ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ГИБРИДНОЙ СИЛОВОЙ
УСТАНОВКОЙ
С.А. Сериков, доцент, к.т.н., ХНАДУ
Аннотация. Получено решение оптимизационной задачи управления силовой установкой гибридного автомобиля методом динамического программирования.
Ключевые слова: система управления, оптимизация, динамическое программирование, силовая установка, гибридный автомобиль.
Введение
Развитие транспортных средств с гибридными силовыми установками (ГСУ) позволяет снизить выбросы вредных веществ в атмосферу в 10 - 15 раз по сравнению с традиционными транспортными средствами. Это может радикальным образом улучшить экологическую ситуацию на улицах городов. Еще одним достоинством ГСУ является их высокая экономичность. Однако достижение высокой эффективности ГСУ тесно связано с оптимизацией процессов управления системами и агрегатами, входящими в ГСУ.
Анализ публикаций
В [1] приведена формальная постановка задачи оптимизации управления ГСУ вида
| X = / ( X, и,\)
I у = h ( х, и )
где х = (ю, 5АВ) - вектор состояния;
и = (р, Мау'гп, М‘гт, у) - вектор управления;
= (а) - вектор возмущающих воздействий; у = (V, G) - вектор выхода; ю - скорость вращения коленчатого вала (КВ); 5АВ - состояние накопителя энергии; р - положение
дроссельной заслонки (ДЗ) ДВС; М*^ -дополнительный момент, развиваемый вспомогательной силовой установкой, приведенный к валу ДВС; М*гт - момент сопротивле-
ния, развиваемый системой гидравлического торможения, приведенный к валу ДВС; у -передаточное отношение трансмиссии автомобиля; а - уклон дороги; V - скорость автомобиля; G - секундный расход топлива ДВС.
При этом заданы ограничения на переменные состояния
X =
< ю < юп 0 < Sab < 1
но допустимые значения скорости вращения КВ соответственно. Ограничения на управляющие воздействия
U =
0 <р< 1
Mdv fn < Mdv fn < Mdv fn
Mmin M Mmax
Mtrm < Mtrm < Mtrm
min max
у . < у < у
min max
где и М^Х” - минимально и макси-
мально возможные значения приведенного дополнительного момента, развиваемого вспомогательной силовой установкой; М] и М
trm
min
- минимально и максимально возможные значения приведенного момента сопротивления системы гидравлического торможения; у и у - минимально и макси-
min max
мально возможные значения передаточного отношения трансмиссии.
T
где romin и ю - минимально и максималь-
T
Ограничение в виде дифференциального уравнения ГСУ
/Г (М<™) = ехр(• Мігт)-1;
^(^ ~сГ _М0™ (г Р) + Мйог (ю, у, а) -_ м^я" + Мігт = 0.
где М - момент вращения ДВС; М ог -момент сопротивления, приведенный к оси вращения КВ ДВС; J - суммарный момент инерции, приведенный к оси вращения КВ ДВС. Ограничение вида
{г, в} = ащ ((,М™ (г, Р)-МГ)г 0)
обеспечивает работу ДВС в допустимом режиме. Здесь М°П - минимально-допустимый момент вращения ДВС.
Цель управления ГСУ задается краевыми условиями, определяющими значение векторов начального состояния = х(^) в момент времени ^ и конечного состояния Ху = х('/) в момент времени '/ . Конечное состояние системы Ху с х представляет собой область в пространстве состояний
х/ =
ю = ю /
0 < SAB < 1
которая определяется заданной скоростью автомобиля (Vf), а также оптимальным при
данной скорости передаточным числом
трансмиссии (у^).
В качестве критерия оптимальности используется линейный функционал
‘/
I (х, и, т) = | /0 (X, и) & ,
где
+
/о (х,и) = К + Ко • ° (Г Р) +
+ К^ • (М^-‘", Хав )
+ К,т, • Л'т (М'т );
/Т‘" (М*"', Хав ) =
= ехр ( ^ • М*‘" (1 _ 2 • Хав ));
и Яігт - определяют скорость роста
штрафных функций; К(, Ка, весовые коэффициенты.
К
К -
Кігт
Цель и постановка задачи
Аналитическое решение задач оптимального управления возможно лишь в крайне простых случаях. Часто такие задачи могут быть сформулированы лишь благодаря далеко идущей идеализации, когда фактически вместо поставленной задачи решается совсем иная. Основным подходом к решению реальных задач является приближенная численная оптимизация [2].
Рассмотрим решение поставленной задачи методом динамического программирования [2 - 4]. Будем считать, что момент времени 1^- не задан и определяется в процессе решения оптимизационной задачи.
Синтез оптимального управления
Численная реализация процедуры решения оптимизационной задачи методом динамического программирования требует дискретизации фазовых координат и управляющих воздействий.
Дискретизация. Выберем шаг дискретизации процесса управления по времени АТ . Будем рассматривать векторные функции х (^) и и(^) только в дискретные моменты времени
ік = к • АТ, где к = 0,
7 _ АТ
пред-
полагаемое максимальное количество шагов управления; Ц - предполагаемое максимальное время достижения цели управления
(('к ) = и (' )|.
Если применить замену производной конечной разностью
х х (*к+1)- х (*к )
~ АТ
т
можно записать разностные уравнения ГСУ
Iх ('к+1 ) = х (ч ) + лт • / (х ('к),и ({к) ,4 ('к)) [у ('к ) = к (х ('к),и (*к))
Для того, чтобы замена операции дифференцирования взятием конечной разности была правомерна, необходимо, чтобы ЛТ было мало по сравнению с наименьшей из постоянных времени процесса управления.
Функционал качества в дискретной форме можно представить в виде
3 (х ('к), и ('к), к) = ЛТ • кЁ /о ( х ('к ), и ('к )) .
Теперь оптимизационная задача сводится к выбору последовательности управлений и* ('к) и переходного процесса х* ('к),
к = 0, N, обеспечивающих требуемое изменение состояния ГСУ: х^ ('0) а X/ () за N
шагов управления и доставляющих функционалу качества минимальное значение при наложенных ограничениях на векторы управления и состояния.
Главным фактором, определяющим сложность решения оптимизационных задач методом динамического программирования, является их размерность, которая определяется количеством шагов управления N, а также размерностями векторов состояния х, управления и и возмущений 4. Для уменьшения размерности задачи предположим, что за время отработки управляющего воздействия т состояние накопителя энергии, уклон дороги и выбранное передаточное отношение трансмиссии остаются неизменными
8лб ('к) = 8лб , а('к) = а, у('к ) = У.
Произведем квантование угловой скорости вращения КВ по уровню
вч = Ч-ЛР , Ч = ° ЛР—\
где Лр - шаг квантования.
Определение множества оптимальных управляющих воздействий. Для каждого г -го состояния ГСУ хг = (ю:, Блб ) , г = 0, т, определим оптимальные управляющие воздействия и*] =(Ргу,М*.:8",М‘™, у), переводящие систему в каждое j -е состояние х^ = (ю, 8лб ) , 7 = 0, т за время ЛТ .
Для этого введем новое управляющее воздействие, соответствующее требуемому дополнительному моменту, приведенному к оси вращения КВ
М^р = мА’гп — м'гт
Для каждого положения ДЗ , Ч = 0, Лр
требуемый дополнительный момент, обеспечивающий изменение состояния ГСУ хг а х7 за время ЛТ,
Ю ■ — Ю: ■_________:
ЛТ
— М°™ (юг, РЧ) + М*ог (юг, у, а).
Найдем оптимальное распределение М^'* между М^п и М^т из условия
<МЛ«п М'гт } =
\ Мд.ор1 , 1 д.ор'}
= ащ шт
М^ Р*, М‘гт
к*.» • /?“'(М, Ялб) + + К„т • /Г (М"т )
Учитывая, что М'™р< = МЧ1'^ — М",‘1г ■. записать условие стационарности
можно
юг = юШ1П + г • Лю , г = 0, т .
где т = -
Лю
количество уровней
квантования; Лю - шаг квантования.
*М^п
кл.„п • /?*’ (М, Ялб) +
+к(гт • /'гт (М^п — Мг*р )
Ю —Ю
шах шт
Произведем квантование положения ДЗ ДВС по уровню
при М^п = М*0рп, или
КЛ-р, ' Кс!'.вп ’С1 — 2 ’ $ЛБ ) Х X ехр (Я^рп • М*Ор; ’(1 — 2 • Блб )) +
+К
ггт Яггт Х
X ехр (Ят •( М^—м‘;*р )) = 0 Откуда
ределение М*уорп в данных точках не требу-
ется.
Как не соответствующие ограничениям необходимо также исключить из рассмотрения
те управляющие воздействия {р*, М* *}, для которых Мтъ' (юг, вЧ ) < .
К% (< *, SлБ ) =
Я1гт — 8п + 2 • Я
рп • $ЛБ
где
Л = 1п
К
Я
К*,рп • рп • ( 2 • ^ЛБ — 1)
Очевидно, что минимизируемый функционал имеет точки сингулярности при 8лб = 0,5 и Я — Я
о й'.яп Чгт тт
ЬЛБ =------------. Из анализа ограничений
2 • КЛ’8п
на управляющие воздействия видно, что оп-
Допустимые значения М^8 и М*™, обеспечивающие изменение состояния ГСУ хг а х^ за время ЛТ при выбранном положении ДЗ ДВС р*, определим по схеме, приведенной в табл.1.
Таким образом, для каждого возможного изменения состояния ГСУ хг а х^ мы определили векторы управляющих воздействий иЧ = (в Ч, <.8п, М™, у), удовлетворяющие заданным ограничениям.
Таблица 1 Распределение требуемого дополнительного момента между вспомогательной силовой установкой и гидравлическим торможением
М».*Р > М^п шах
Нет решения
М,г * < м"’81'
шах
о"
VI
се
Мс
М
М = 0
М р < М
. рп
м*'8п = м“':8п; М” = м"'ф — М‘
ш1П " п
М*-йр > М*£
Мс
М
М = 0
Ма;-8п < 0
Ь. орг
М > 0
Мъ.ор" < 0
МЬГ-8Пп > 0
Ь. орг
М'Г.Ф — М*■* < М“
Ь.орг шах
м^8П = М^;; м1
Ь.орг '
М1гф — М*'‘п,
Ь.орг
М" ф < М“
шах
М
М<г.ф — М^' < М*■
Ь.орг шах
м^8п = М^;;
Ь.орг '
М
М*.ф — м
> мг
м*'8п = м*Яр + м*т; мггт = м&т
шах шах
м
м
> м
м*'..п = м»* + м *т; м1гт = м *т
шах шах
м:о8: < мш'п8п
м
Нет решения
м= м^у + м ; м1"" = м1""
шах шах
м 8П = 0; м
м*.ф > м
м*.* = м»* + мггт; мггт = мггт
мгг.*р < мггт
мл'8П = 0; м
мdv'8n = м 8П; мггт
м^.ф — мdv:8n
< м*'8п — м
Субоптимальный вектор управляющих воз- функционала качества при изменении со-
действий Ы: ■ =
(Р. ,
М*™, у), перево-
стояния
составит
дящих ГСУ из і -го состояния в у -е за время АТ, найдем из условия
К; }= arg тіп /о (, Ы) .
Хі (ік ) а ^ )
Т* (ік )= топ (Г + /*(ік+1));
у =0, т 4 '
При этом значение
а оптимальным управляющим воздействием на шаге 1к оказывается управление, переводящее ГСУ в состояние хг (гк+1)
ТЬ = /0 (хі, )'АТ
** Ы (ік )= иі, г
представляет собой приращение функционала качества при данном управлении.
Определение оптимальной последовательности управлений. На множестве дискретных
состояний ГСУ х, г = 0, т , выберем состоя-
где
г = ащ пт (^ (^+1 )) .
у =0, т х '
Оптимальное количество шагов управления N, необходимых для изменения состояния
ния х% и х-, наиболее близкие к начальному ГСу х- (іо) а х- (ін ) , можно определить из
/
х3 и конечному X/ состояниям ГСУ, соответственно:
= а^ тіп р(Xж, х:) = arg тіп (ю - ю )2;
і=0, т
і=0, т
/ = а^ тіп р (х г, х:) = arg тіп (ю г - )
і=0 т ' ' і=0 т ' '
где — / є{0,1,...,т}; р(П) - евклидова норма разности векторов.
Очевидно, что на предпоследнем шаге управления іп перевод ГСУ из произволь-
условия
N = п тш (/* (ік )) .
к=0, (N-1)
Оптимальная длительность переходного процесса составит
т = і/ - ^ = N • АТ .
Значение функционала качества, соответствующее оптимальному управлению
/ ' = т'п х (/* (Ік )) .
к=0, (N-1
ного возможного состояния х ^ 1), г = 0, т , в требуемое состояние х%. ^) осуществляется при помощи управляющего воздействия и* ^—1) = и* / . Приращение функционала
качества на данном шаге управления составит
3 (V ,)=-О.
Последовательно рассматривая предыдущие
шаги управления гк = к • ЛТ, к = (NN — 2) ,0
для каждого возможного состояния ГСУ х (гк) , г = 0, т, видим, что приращение
Оптимальный переходной процесс х* (гк),
к = 0, N, обеспечивающий требуемое изменение состояния ГСУ
х%, при к = 0;
х* (ік ) =
хг, при к = 1, (N -1), х-, при к = N.
где г = а^ ш1п (/п 7 + 3* (!К,)); п - номер
7=0, т ' '
дискретного состояния хп (гк—1) на предыдущем шаге; к' = к + N — N .
*
Последовательность управляющих воздействий и* (гк ), к = 0, N, соответствующая оптимальному переходному процессу
* , ч I и* ■, при к = 0, (N — 1),
и (гк И
[0, при к = N.
где г - номер дискретного состояния на текущем шаге управления хг (гк) ; 7 - номер дискретного состояния на следующем шаге управления х7- (1к+1) .
Выводы
Полученный вычислительный алгоритм определения субоптимальных управляющих воздействий и переходного процесса ГСУ может быть использован при синтезе системы автоматического управления силовой установкой гибридного автомобиля.
При этом помимо конкретизации ограничений на управляющие воздействия и переменные состояния требуется идентификация математической модели объекта управления в виде статических скоростных характеристик ДВС МШ5 (ю, р), зависимости приведенного момента инерции от передаточного отношения трансмиссии 3(у) и приведенного момента сопротивления М*°г (ю, у, а), учитывающего аэродинамическое сопротивление, сопротивление качению и сопротивление уклона дороги.
Коэффициенты К1, Ка , К*. 8п , Кггт , входящие в функционал качества, позволяют необходимым образом настроить критерий оптимальности управления.
Коэффициенты Яс1у 8п и Яггт, а также вид штрафных функций /^8п (М*' 8п, Блб ) и
/£т (м‘гт) позволяют учесть особенности контура рекуперации энергии.
Литература
1. Сериков С.А. Постановка задачи опти-
мального управления гибридной силовой установкой // Вестник ХНАДУ: Сб. научн. тр. - Харьков: ХНАДУ. - 2008.
2. Мирошник И.В. Теория автоматического
управления. Нелинейные и оптимальные системы. - СПб.: Питер, 2006. - 272 с.
3. Теория автоматического управления. Ч. II.
Теория нелинейных и специальных систем автоматического управления: Учеб. пособие для вузов / Под ред. А.А. Воронова. - М.: Высш. школа, 1977. - 288 с.
4. Методы классической и современной тео-
рии автоматического управления: Учебник: В 5 т. - 2-е изд., перераб. и доп. / Под ред. К.А. Пупкова и Н.Д. Егупова. -М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - Т.4: Теория оптимизации систем автоматического управления. - 744 с.
Рецензент: О.П. Алексеев, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Статья поступила в редакцию 1 августа 2008 г.