CC BY
13Клюев А.В., аспирант Клюев С.В., канд. техн. наук, доц. Лесовик Р.В., канд. техн. наук, доц. Шаптала В.Г. д-р, техн. наук, профессор Белгородский государственный технологический университет им. В. Г. Шухова
ОПТИМАЛЬНОЕ ПРОЕКТИРОВАНИЕ СТРОИТЕЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ УЧЕТЕ ПОТЕРИ УСТОЙЧИВОСТИ РАВНОВЕСИЯ
Klvuvev@vandex.ru
Предложена методика оптимального проектирования строительных конструкций при учете потери устойчивости равновесия. Рассмотрено проектирование конструкций при потери устойчивости равновесия первого и второго рода.
Ключевые слова: методика, строительные конструкции, устойчивость, равновесие
Рассмотрим различные задачи о потере устойчивости закрепленного деформируемого упругого тела в виде стержня или плоской стержневой системы. Для потери устойчивости таких систем характерен резкий переход к новой форме равновесия, которая возникает в результате деформаций. Первоначальная ось стержня или стержневой системы будет при этом неустойчивой, а та нагрузка, при небольшом превышении которой возможно осуществление новой формы равновесия, качественно отличной от первоначальной, носит название критической. Критическая нагрузка для деформируемых тел зависит от размеров и физических свойств материала этих тел. Потерю устойчивости оси деформируемого тела некоторые авторы называют потерей устойчивости напряженного состояния [2,
4].
При деформации достаточно жесткой конструкции должна сохраняться постоянной форма равновесия, близкая к первоначальному очертанию оси сооружения (прямолинейному, ломаному или криволинейному для арки). Необходимо обеспечить рациональный запас на устойчивость деформируемого сооружения, т. е. действующие нагрузки должны быть меньше критических по устойчивости.
а б
я2£7
Hl----
mè'.
В
Переход от первоначальной формы равновесия к новой, качественно отличной, при небольшом превышении критической нагрузки может происходить плавно или путем скачка.
По терминологии И.Я. Штаермана и А.Н. Динника [1] различают потерю устойчивости первого рода (или потерю устойчивости в смысле Эйлера) и потерю устойчивости второго рода, или, вернее, потерю несущей способности сооружения. Ниже мы под потерей устойчивости второго рода будем понимать именно потерю несущей способности. Потеря устойчивости первого рода вызывается такими критическими нагрузками, которые соответствуют вполне определенной новой форме равновесия. Примером может служить продольный изгиб прямолинейного стержня, т.е. изгиб стержня при действии центрально приложенной осевой силы. При приложении нагрузки, немногим превышающей низшее критическое значение, возможен переход из одного положения равновесия (прямолинейная форма оси) в другое положение равновесия (искривленная форма оси). При этом происходит качественное изменение процесса деформации стержня (вместо осевого сжатия - сжатие и изгиб).
4кЕ1 9кЧ:/ /•' --:— К =-
шш
Рис. 1. Призматический стержень(а) и различные формы его равновесия (б, в, г)
Если будем постепенно увеличивать осевую сжимающую силу, приложенную в центре верхнего сечения призматического стержня (рис. 1, а), то в процессе возрастания нагрузки окажутся возможными различные формы равновесия (рис. 1, б, в, г и т. д.).
Любому значению Р при отсутствии побудительных причин будет соответствовать прямолинейная форма равновесия. При небольшом превышении значения силы:
п2 Е1
F =■
1 1cr
l2
возможна новая искривленная форма равновесия (рис. 1, б). Пока Р < Р1сг прямолинейная
форма равновесия устойчива, так как стержень после удаления побудительных причин возвращается к ней.
При Р > Р1сг практически всегда возникает
криволинейная форма равновесия, которая сохраняется и при удалении причин, вызывающих появление искривления. Поэтому считают, что первоначальная прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой при Р > Р1сг, а
устойчивой оказывается криволинейная форма равновесия (рис. 1, б).
Всегда существуют причины, обусловливающие переход при Р > Р1сг от неустойчивой
формы (рис. 1, а) к устойчивой форме (рис. 1, б): случайный эксцентриситет, начальная искривленность, произвольно малая вибрация, неравномерность распределения материала и т. д. Поэтому в реальных условиях в силу постоянного наличия незначительных побудительных причин неизбежно при Р > Р1сг произойдет довольно резкое искривление стержня. Пусть теперь сила Р достигает значения
F2cr
4п2 Е1
l2 "
При этом значении силы и при наличии особых обстоятельств возможна новая криволинейная форма равновесия (рис. 1, в). При
9п2 Е1
F = F3cr =■
l2
имеет место новое разветвление форм равновесия: стержень теоретически может искривиться по трем полуволнам (рис. 1, г).
Для строительной техники имеет важнейшее практическое значение наименьшая критическая сила
F =
1 1 cr
п2 Е1 l2 '
т. е. сжимающая сила, при небольшом превышении которой прямолинейная форма равновесия становится неустойчивой. При силе F = F1cr, как показывает точное решение задачи, еще не происходит изгиба стержня, если, конечно, удалены те дополнительные силы, которые вызывают начальное искривление стержня.
Таким образом, при продольном изгибе имеем качественное изменение процесса: небольшое количественное изменение силы за критический предел F1cr приводит к новой искривленной форме равновесия и к новому виду деформации (изгиб и сжатие).
Сделаем следующие основные выводы по характеристике потери устойчивости первого рода применительно к продольному изгибу стержней.
1. При небольшом превышении критической нагрузки возможен переход к новой искривленной форме равновесия. В критическом состоянии происходит разветвление форм равновесия. Практически важно найти наименьшее значение критической нагрузки.
2. При превышении наименьшей критической силы имеет место процесс очень быстрого искривления гибкого стержня, ведущий к неизбежному разрушению его. Поэтому критическую силу следует считать не менее опасной, чем предельную нагрузку при растяжении.
На рис. 2 представлены законы изменения максимального прогиба Vmax при F > Fcr для
явления продольного изгиба идеально упругого стержня. Первой форме искривления соответствует кривая АВ с очень быстро нарастающими ординатами упругой линии.
V
•max
Рис. 2. Закон изменения максимального прогиба стержня от величины продольной силы
Кривые А1В1 и А 2В2 дают законы изменений прогибов для высших форм искривления; ординаты этих кривых естественно значительно меньше вследствие наличия точек перегиба. Число возможных форм равновесия равно на этом графике числу точек пересечения вертикали с семейством кривых
V max = f (F X
а также с осью абсцисс, соответствующей первоначальной прямолинейной форме равновесия, например, при
F >
4п2 Е1 l2
имеем три различных формы равновесия: точки 1, 2 и 3.
Практическое значение имеет первая форма искривления (кривая АВ), так как уже при незначительном превышении силой F критического значения:
= пгш_
icr i2 '
получаются столь большие прогибы, что они ведут к быстрому разрушению стержня.
Однако представленную картину следует уточнить. В действительности, для гибких стержней из пластичных материалов закон изменения прогибов vmax при F > F1cr (даже если
F1cr вызывает напряжение ниже предела упругости) будет отличен от кривой АВ, так как по мере роста прогибов краевые напряжения быстро достигнут предела текучести. При дальнейшем развитии пластических деформаций закон изменения прогибов будет выражаться иной кривой, именно кривой АЕ. После достижения точки D кривая зависимости
V max = f (F )
начнет загибаться влево, прогибы возрастут при сниженном значении силы F и стержень полностью потеряет свою способность сопротивляться, т. е. утратит свою несущую способность. Точка D соответствует особому критическому состоянию потери устойчивости второго рода. Таким образом, для очень гибкого стержня, для которого критическое эйлерово напряжение меньше предела упругости, при превышении силой F эйлерова значения (т.е. после потери устойчивости первого рода) в результате быстрого нарастания деформаций происходит
при Р = Р потеря несущей способности (потеря устойчивости второго рода). Ввиду почти вертикального положения участков АС и АО значения Р1сг и Рпр оказываются близкими друг
к другу, и, следовательно, эйлерова сила должна рассматриваться как разрушающая.
Характерным для потери устойчивости первого рода (продольный изгиб идеально упругих стержней), таким образом, является неоднозначность величины нагрузки и прогиба: данной величине нагрузки Р (абсцисса точки 1) может соответствовать несколько форм равновесия (точки 1, 2 и 3); с другой стороны, определенной искривленной форме (точка 3) соответствует вполне определенная величина нагрузки.
Продольному изгибу аналогичны более сложные явления:
1) потеря устойчивости тонкого кольца и арки, оси которых заданы по кривым давления;
2) потеря устойчивости рамы со сжатыми стержнями при узловой нагрузке или при очертании оси рамы по многоугольному давлению от действующей нагрузки;
3) потеря устойчивости плоской формы изгиба балок и арок.
В отличие от потери устойчивости первого рода, устанавливается понятие о потере устойчивости второго рода, которая может произойти при наличии как упругих, так и пластических деформаций.
Ярким примером потери устойчивости второго рода является потеря несущей способности сжато-изогнутого стержня, т. е. стержня, подверженного действию поперечной нагрузки Q и продольной силы Р (рис. 3, а), действующей с самого начала процесса деформации.
Рассмотрим сначала случай идеально упругого стержня, предполагая, что при данной постоянной поперечной нагрузке продольная сила Р непрерывно нарастает. Зависимость между прогибом и силой представится при этом графиком (рис. 3, б), причем каждому значению силы будет соответствовать определенное значение прогиба.
Для гибкого стержня при приближении силы к эйлеровому значению прогибы окажутся столь значительными, что это вызовет краевые напряжения, равные предельным по прочности, и стержень разрушится уже при силе Рпр,
меньшей Рэ, где Рэ - эйлерова сила (рис. 3, в).
Рис. 3. Сжато - изогнутый стержень (а) и формы потери устойчивости первого (б) и второго (в) рода
Для стержня малой длины потеря несущей способности происходит при значении силы Рэ ,
существенно меньшем эйлерова значения, что особенно подчеркивает необходимость анализа потери несущей способности стержней малой и средней гибкости. При этом для стержней из хрупкого материала и для всех материалов, не имеющих четко выраженного предела текучести, для предельного состояния нет аналитического максимума значения силы Р .
Наоборот, для сжато-изогнутых стержней из пластичного материала потеря несущей способности характерна достижением этого состояния (см. рис. 1, в). Пока сила ¥ < ¥'р , для увеличения прогиба сжато-изогнутого стержня необходимо увеличивать и силу. Но когда сила ¥ достигает особого предела ¥'р , теоретически имеет
место дальнейшее возрастание прогиба Vтах при падении значения силы. В действительности явление осложняется.
Сила ¥'р, соответствующая рассмотренному особому критическому состоянию, может быть названа критической силой при потере устойчивости второго рода. При достижении сжимающей силой критического предела прогиб увеличивается и при уменьшении силы; кривая V тах = I (Р) загибается влево. Критерий критического состояния будет иметь такой вид: с1¥
^ „
= 0,
что отражает условие аналитического максимума силы для точки В (см. рис. 3, в).
Однако многочисленные тщательно поставленные опыты на продольный изгиб стержней из различных сталей показали, что до достижения максимума силы Р развиваются столь значительные прогибы, что происходит полная потеря жесткости и сопротивляемости стержня, и поэтому
¥ < ¥' .
пр пр
Для идеально упругих стержней, для стержней из сталей, не имеющих четко выраженной площадки текучести, а также для стержней из хрупких материалов (железобетонные стержни) предельную нагрузку необходимо определять по условию разрушения стержня вследствие достижения предела прочности в результате нарастания деформаций. Это явление также можно отнести условно к разряду потери устойчивости второго рода.
Таким образом, в известном смысле потеря устойчивости второго рода может произойти не только при работе материала стержня за пределами упругости, но и для идеально упругих стержней и для стержней из хрупкого материала.
Характерная особенность процесса деформации сжато-изогнутого стержня при увеличении сжимающей силы заключается в том, что здесь происходит лишь количественное изменение, если исключить, конечно, область за предельным состоянием (см. рис. 3, в). В самом деле, каждому значению силы ¥ < ¥сг соответст-
вует определенное значение прогиба и никаких «разветвлений» состояний равновесия нет. Явление развивается в одном и том же направлении.
При потере устойчивости первого рода одной и той же силе соответствует несколько возможных форм равновесия. При потере устойчивости второго рода форма равновесия в целом не меняется, но в критическом состоянии выявляется возрастание прогиба.
Эта однозначность и непрерывность зависимости перемещений от сил значительно облегчает нахождение предельных сил для конструкций из идеально упругих сжато-изогнутых стержней, определяющих так называемую устойчивую прочность по терминологии Н.В. Корноухова [3].
Явление продольного изгиба является лишь теоретической схемой фактического случая процесса деформации стержня при наличии очень малого всегда существующего эксцентриситета.
Для сжато-изогнутых стержней и составленных из них конструкций критические эйлеровы силы имеют лишь условное значение, так как при значениях сжимающих сил, меньших
чем эйлеровы, происходит потеря несущей способности (потеря устойчивости второго рода).
В заключение отметим, что явление потери устойчивости второго рода, кроме сжато -изогнутых стержней, имеет место для самых различных конструкций, в частности, для:
1) рам со сжато-изогнутыми и изогнутыми стержнями (при действии внеузловой нагрузки);
2) арок, очерченных не по кривым давления;
3) ферм плоских и пространственных.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Динник, А.Н. О продольном изгибе при распределенной нагрузке и стержни переменного сечения / А.Н. Динник / Известия горного института. -М., 1914. - С. 62 - 70..
2. Клюев, С.В. Оптимальное проектирование стержневых систем. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2007. - 130 с.
3. Корноухов, Н.В. Прочность и устойчивость стержневых систем / Н.В. Корноухов. - М.: СИ, 1949. - 341 с.
4. Юрьев, А.Г. Вариационные принципы механики / А.Г. Юрьев, С.В. Клюев. - Белгород: Изд-во БГТУ им. В.Г. Шухова, 2007. - 80 с.
