CC BY
15
Вестнин НГИЭИ. 2018. №11 (90)
05.13.00 ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ
05.13.01 УДК 519.862
ОПТИМАЛЬНОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ РИТМИЧНОГО ПРОИЗВОДСТВА
©2018
Владимир Петрович Савельеву кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физико-математические науки»
Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия) Алексей Анатольевич Шамин, кандидат экономических наук, директор Института информационных технологий и систем связи Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, Княгинино (Россия)
Аннотация
Введение: в статье решена задача, связанная с планированием ритмичной работы предприятия, перерабатывающего сырье в конечный продукт, в условиях неритмичных поставок сырья. Математически такая задача известна, как задача «сглаживания» функции дискретного или непрерывного аргумента.
Материалы и методы: предполагается, что поставки сырья и его переработка осуществляются непрерывно, то есть описываются непрерывными (или кусочно-непрерывными) функциями времени. Наличие резервуара ограниченного объема для хранения сырья приводит к задаче оптимального управления с фазовыми ограничениями. Неявная форма ограничений на управление не позволяет применить принцип максимума Л. С. Понтря-гина для решения задачи. В то же время и методы вариационного исчисления, основанные на классических гладких вариациях, применимы лишь для траекторий, лежащих внутри допустимой области. Поэтому в работе использовались так называемые «игольчатые» вариации, что позволило получить условия оптимальности не только для частей траектории, лежащих внутри допустимой области, но и для участков траектории на границе допустимой области.
Результаты: получены необходимые условия оптимальности управления и разработан алгоритм построения оптимальной траектории на основе метода декомпозиции.
Обсуждение: в работе построена и исследована модель ритмичного процесса переработки сырья одного типа, однако ее можно обобщить и на случай, когда конечный продукт создается из нескольких типов сырья. Заключение: в работе проведено полное исследование модели ритмичного производства в виде задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями: получены условия оптимальности управления, разработан алгоритм построения оптимальной траектории, эффективность которого продемонстрирована на конкретном примере.
Ключевые словах вариационное исчисление, допустимая область, игольчатая вариация, математическая модель, метод декомпозиции, необходимые условия оптимальности, оптимальное управление, оптимальная траектория, принцип максимума Л. С. Понтрягина, ритмичное производство, фазовые ограничения.
Для цитирования: Савельев В. П., Шамин А. А. Оптимальное планирование ритмичного производства // Вестник НГИЭИ. 2018. № 11 (90). С. 68-76.
OPTIMAL PLANNING OF RYTHMICAL PRODUCTION
©2018
Vladimir Petrovich Savelyev, Ph. D. (Physics and mathematics), associate professor of the chair «Physics and mathematics»
Nizhny Novgorod state engineering-economic university, Knyaginino (Russia)
Aleksey Anatolievich Shamin, Ph. D. (Economics),
Director of the Institute of information technologies and communication systems Nizhny Novgorod state engineering-economic university, Knyaginino (Russia)
Abstract
Introduction: this article is devoted to a planning of rhythmical production subject to non-rhythmical providing of raw materials. This problem is known to be a problem of smoothing of functions of discrete or continuous variable.
68
Вестник НГИЭИ. 2018. №11 (90)
Materials and Methods: it is supposed providing and processing of raw materials be realized as continuous (or peace-vice continuous) functions of time. The presence of some reservoir of limited volume involves a problem of optimal control with phase constraints. These constraints do not allow using Pontryagin’s maximum principle. Methods of classical calculus of variations may be applied only for trajectories settled down inside the feasible domain. The use of so-called needle variations allowed to receive the conditions of optimality for parts of trajectories settled down inside the feasible domain and for parts settled at its border.
Results: the necessary conditions of control optimality are received and an algorithm of construction of optimal trajectory based on the method of decomposition is elaborated.
Discussion: this model of rhythmical processing of one type of raw materials may be generalized for the case of several types of raw materials used for production of final product.
Conclusion: a full investigation of the model of rhythmical production as a problem of optimal control with phase constraints is realized. Necessary conditions of optimality are obtained; an algorithm for construction of optimal trajectory is elaborated.
Keywords: calculus of variations, feasible domain, mathematical model, method of decomposition, needle variation, optimal control, optimal trajectory, rhythmical production, Pontryagin’s maximum principle, necessary conditions of optimality, phase constraints.
For citation: Savelyev V. P., Shamin A. A. Optimal planning of rhythmical production // Bulletin NGIEI. 2018. № 11 (90). P. 68-76.
Введение
Понятие сглаживания (smoothing) функций дискретной и непрерывной переменной очень широкое и имеет много вариантов постановки задачи и ее решения в связи с различными приложениями. В работе [1, с. 1627] для сглаживания массива данных предлагается использовать метод наименьших квадратов. В работах [2, с. 88; 3, с. 113; 4, с. 63; 5, с. 601; 6, с. 119] сглаживание применяется для прогноза (предсказания) так называемых временных рядов. В работе [7, с. 1833] появляется понятие оптимального сглаживания при наличии ограничений. В данной работе решается задача планирования на конечный промежуток времени ритмичного производственного процесса, заключающаяся в том, чтобы сгладить неравномерность поставок сырья, используя для этой цели резервуар ограниченной емкости. В дискретной версии эта задача поставлена и решена в форме задачи выпуклого программирования с большим числом переменных и ограничений. Были получены необходимые и достаточные условия оптимальности плана в целых числах [8, с. 14; 9, с. 114], в действительных числах [10, с. 137; 11, с. 115], а также предложен метод выявления активных ограничений [12, с. 120; 13, с. 216], что позволило построить эффективный алгоритм нахождения оптимального плана, основанный на декомпозиции исходной задачи на несколько подзадач такого же типа, но меньшей размерности. Эти результаты послужили основой для исследования непрерывной модели ритмичного производства [14, с. 156; 15, с. 127], когда поставки сырья и его переработка осуществляются непрерывно, то есть
описываются непрерывными (или кусочнонепрерывными) функциями времени. Эта модель реализована в виде задачи оптимального управления, при этом ограничения на управление не заданы в явной форме, а выражаются в виде фазовых ограничений, когда допустимые траектории должны лежать в некоторой заданной области. Это не позволяет применить для решения задачи принцип максимума Л. С. Понтрягина [16, с. 237]. С другой стороны, методы вариационного исчисления [17, с. 15], использующие классическую вариацию, предполагают, что рассматриваемые траектории должны лежать в открытой области, то есть не содержат частей, расположенных на границе. Поэтому для решения задачи был применен метод игольчатых вариаций, который позволяет получать вариацию траектории лишь на небольшом промежутке времени. Получены необходимые условия оптимальности управления и указан метод, позволяющий установить, где расположены участки границы допустимой области, входящие в состав оптимальной траектории. Получены условия сопряжения дуг оптимальной траектории, расположенных внутри допустимой области с дугами лежащими на ее границе. Эффективность полученных результатов проиллюстрирована на примере.
Материалы и методы Пусть p(t), 0 < t < Т, — непрерывная функция, задающая скорость поставки сырья для производства некоторого продукта, V — объем резервуара для сырья, u(t), 0 < t < Т, - кусочнонепрерывная функция, задающая скорость переработки сырья, x(t), 0 < t < Т, — количество сырья
69
Вестник НГИЭИ. 2018. №11 (90)
в резервуаре. Запишем уравнение баланса сырья в резервуаре:
х = p(t) - u(t), 0 <t<T. (1)
Проинтегрировав уравнение (1), получим формулу для количества x(t) сырья в резервуаре:
x(t) = х(0) + f*p(r)dr - u(r)dr, 0 < t < Т. (2)
В силу ограниченности объема резервуара разность между суммарным количеством P(t) =
х(0) + p(r)dr необработанного сырья к моменту времени t и суммарным количеством v(t) = переработанного сырья к моменту време-
ни t должна удовлетворять неравенству
О < x(t) = Р(0 - и( т) dT<V,0<t<T. (3)
В дальнейшем будем считать заданными значения х(0) Е (0,7) их(Т) Е (0,7), а также план Q переработки сырья на период [0, Т]
Q = /0Г иШт = Р(Т) ~ х(Т). (4)
Определение 1. Кусочно-непрерывную функцию и(т), 0 < т < Т удовлетворяющую условиям (3 ) - (4) будем называть допустимым управлением, а соответствующее ему решение (2) - допустимой траекторией.
В работе решается задача нахождения допустимого оптимального управления, доставляющего минимальное значение функционалу
/(“(О) = J0T/(u)dr, (5)
где f(u) —строго выпуклая функция класса С1.
Результаты Утверждение 1. Если при управлении
и°(т) = 0 < т < Т, выполняются ограничения
(3), то оно является оптимальным управлением.
Действительно, пусть и(т), 0 < т < Т - любое другое допустимое управление, тогда, в соответствии с определением выпуклости для дифференцируемой функции [18, с. 301], справедлива оценка:
y(w(0) - /(У (0) = J [/(u(r)) - / dr >
~1 У)[“«4]л=о'
Утверждение 2. Пусть u°(t),x°(t), 0 < t < Т - соответственно оптимальное управление и оптимальная траектория. Если на некотором сегменте \tlft2] <= [0, Г] имеет место неравенство
0<x°(t)<7, (6)
ТО U°(t) = const Vt Е [ti,t2]-
Доказательство утверждения 2 проведем методом от противного. Предположим, что оптимальное управление не является постоянной величиной на отрезке \tlf t2]. Введем следующие обозначения:
М— шах и0(0,7П= min u°(t),a = te[tlft2] te[ti,t2]
= min (x°(t), 7 - x°(t)} > 0.
В силу непрерывности траектории x°(t), 0 < t <Т неравенство (6) запишется в виде
а < x°(t) <7 - a,t1<t <t2. (7)
Возьмем достаточно малое положительное число S, 0 < (М — т)8 < а, и интервал (t, t + 5) с (НД2Х на котором оптимальное управление не является постоянной величиной. Пусть с является средним значением оптимального управления на
интервале (t, t + 5), то есть J_t+5 и0(r)dr = cS. Отметим, что с Е (т, М).
Рассмотрим варьированное управление:
u(V) = (t,i + Sl
к J I c,te(t,t + 8), и соответствующую ему траекторию x(t), которая отличается от траектории x°(t) лишь на интервале (t, t + 5) , так как
( 0, если t 6 (£, £ + 5),
x(t) - x°(t) =
(8)
I c(£ — £) ■
■p
(r)dr, если t E (t, t + 5).
Далее, имея в виду неравенство (7), мы получим на интервале (t, £ + 5) неравенство
x(t) < x°(t) + (Af — m)(t — t)<
< x°(t) + (M - m)5 < x°(t) + a < 7 (9)
и неравенство
x(t) > x°(t) + (m - M)(t -t)>
> x°(t) — (M — m)5 > x°(t) — a > 0. (10)
Таким образом, траектория x(t),0 < t <T, соответствующая варьированному управлению (8), является допустимой, то есть удовлетворяет неравенству (3).
Оценивая управление u°(t), 0 < £ < Г и варьированное управление u(t), 0 < t < Т, которое равно постоянному значению с на интервале (£, £ + 8), мы получим
г t+S
J(U°(•)) -У(и(0) = [/(u0O)) - f(c)]dz >
It
rt + S
> J f'(c)[u0(r) - c]dr = 0.
Это неравенство противоречит оптимальности управления, если оно не равно некоторой постоянной величине на сегменте \tlrt2] с [0,Т] при выполнении неравенства (6).
Утверждение 3. Пусть и°(£), 0 < £ < Г, — оптимальное управление, причем в точке т имеет место равенство х°(т) = 0, (х°(т) = 7), тогда справедливо равенство и°(т — 0) = и°(т + 0) .
Докажем утверждение для случая х°(т) = 0. Таким образом, в некоторой окрестности точки т должно выполняться неравенство х°(£) > 0, то есть
70
Вестник НГИЭИ. 2018. №11 (90)
х°(т — 0) < 0 и х°(т + 0) > 0 . Из уравнения (1), с учетом непрерывности функции p(t), следует, что в точке т должно выполняться неравенство и0 (т — 0) > и°(т + 0). Покажем, что строгого неравенства быть не может. Предположим, что и0 (т — 0) > и0 (т + 0) и обозначим а = и0 (т — 0) — и0 (т + 0) >
0. Возьмем достаточно малое положительное число
8 Е (0,-) такое, что на сегменте [т — 8,т + 8] траектория x°(t) ограничена сверху: x°(t) <-. Рас-смотрим варьированное управление
(it°(t), t g [т — S,т + 5];
т]; (П)
u°(t)+^,te (т,т + 6).
Соответствующая ему траектория x(t) ограничена сверху как на сегменте [т — 8, т] 0 < x(t) = x°(t) + ^(t — (т — 5)) < x°(t) + ^ < -, так и на сегменте [т,т + 8] 0 < x(t) = х(т) + JTf [p(t) -
u0t+a4dt=aS4+x0t-a4t- т<V2+V4=34V.
Таким образом, варьированное управление (11) допустимо, так как соответствующая ему траектория x(t) непрерывна, поскольку х(т + 5) = х°(т + 5), и удовлетворяет ограничениям (3).
В силу малости числа 8 > 0 можно считать, что управление и°(т) непрерывно на интервалах (т — 8, т) и (т, т + 5) , а потому имеют место следующие неравенства:
u°(t) > и°(т — 0) — для t Е (т — 8, т), (12)
4
u°(t) < it°(r + 0) + -,для t е (т,т + 5). (13)
Теперь оценим разность значений функционала (5) с учетом строгой выпуклости функции / (и) и неравенств (12)и(13):
/(u°(0)-/(u(-))
= Г lf(u°(t))-f(u°(t)-j)]dt Jt-S 4
+
Гт п а а
>1 №"(0-^*
JrT . / п а\ а
Гт+5 а а
-J /'(и°(т + 0) + —) —dr > 0.
Полученное неравенство противоречит оптимальности управления 0 < t <Т.
Аналогичным образом доказывается утверждение и для случая х°(т) = 7.
Следствие 1. Пусть 0 < х(0) < V и 0 < х(Т) < V. Тогда оптимальная траектория состоит из некоторого числа дуг 0 < x°(t) < V, Tj < t < tj,i = 1, m, = 0, tm = T, соответствующих постоянным значениям q оптимального управления, соединенных участками границ x°(t) = V или x°(t) = 0, определенных на отрезках [ti,Xi+1],i = 1, m — 1. Все дуги касаются соответствующих участков границ в точках ti и xi+1.
Следствие 2. Если x°(t) = V(x°(t) = 0) на некотором отрезке [ti,xi+1],TO оптимальное управление u°(t) = p(t) монотонно убывает (возрастает) на этом отрезке и q> ci+1 (q < q+1).
Действительно, предположим, что x°(t) = V (x°(t) — 0), u°(t) = p(t), q < t < Т;+1 и на отрезке [tif Ti+1] имеется интервал (a, /?), на котором оптимальное управление и0 (t) монотонно возрастает (убывает) от значения щ до значения и2. Заменим оптимальное управление на интервале (а,/?) управлением u(t) = difa < t < ($ , где — а) =
ff u°(r)dr.
Новое управление
u(t) = \U°^’f * (а’ ^’
I dut е(а,/?)
будет допустимым управлением, поскольку x(t) =
х°((х) + /^(р(т) — di)dr Е (0, Е), на интервале
(а,/?) и х(Ю = х°(/?) = V (х0?) = х° 0?) = 0). Сравнив эти два управления, как это сделано в утверждении 2, мы получим противоречие с оптимальностью управления u°(t).
Следующее утверждение дает возможность определить местонахождение отрезков [tif Ti+1\, соответствующих дугам x°(t) = V(x°(t) = 0).
Утверждение 4. Пусть x(t), 0 < t < Т является решением уравнения (1), соответствующим
управлению u(t) = р 0 < t <Т, a x°(t), 0 < t < Т
является оптимальной траекторией. Если при этом выполняется неравенство х(т) = min0<t<T x(t) < О (rr=maxO<t<Txt—V>0), то х0т=0 (хОт=Уг).
Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что х(т) = min0<t<T x(t) = х(0) + Р(т)----т < 0; но х°(т) = х(0) + Р(т) -
^u°(t)dt = а Е (0,V].
Отметим, что если х°(т) Е (0, Е), то точка т принадлежит некоторому интервалу (q, q), на котором оптимальное управление является постоянным: u°(t) — cit Tt < t < q. Если же х°(т) = V, то в соответствии со следствием 1, точка т принадлежит некоторому отрезку [tif q+1], на котором x°(t) = V.
I [f(u°(t))-f(u°(t)+-)]dt
71
Вестник НГИЭИ. 2018. №11 (90)
Для значений оптимального управления на отрезке [О, т] имеет место оценка
J0V(t)dt = х(0) + Р(т) -а<%т-а. (14)
Значение постоянной q на интервале (zit q) может быть А) меньше, чем значение —, В) больше, или равно значению ^ (отметим, что если i = 1, то в соответствии с оценкой (14) значение q может быть только меньше, чем р). Рассмотрим оба варианта.
A. Если ct < р то поскольку f* u° (t)dt < ^т,
т
а / w°(r)dr = Q, то должно выполняться неравенство
£u\t)dt>^(T-T). (15)
Это означает, что на отрезке [т, Т] существует хотя бы один интервал (q, q),y > i, соответствующий постоянному такому значению оптимального управления u°(t) = q, Tj < t < tj, что q < - < Cj . В соответствии со следствиями 1 и 2 должен существовать хотя бы один отрезок \tk,zk+1\,i <k<j, которому соответствует дуга x°(t) = 0. Если таких отрезков несколько, то выберем ближайший отрезок к интервалу (zif q). Тогда на интервале (zif tk) могут быть лишь отрезки [q, q+1],[tk-ltzk], соответствующие дугам x°(t) = Е. Это означает, что оптимальное управление монотонно убывает на интервале (ji, tk), так как постоянные значения оптимального управления на интервалах (тifti)f...>(Tk-lftk_1)f(Tkfh) удовлетворяют неравенствам q > ••• > ck-x > ck. Теперь подсчитаем разность значений траектории x(t) в точках tk и т:
Q
x(tk) - х(т) = х(0) + P(tk) --tk
- (t(o) + р(т) ~yt)
= P(tk) - Р(т) - Y (tk - t) =
rtk n Q
= J u°(t)dt--(tk-T)-a
Q
< Ci(tk - t) - - (tk - t) - a < 0.
Полученное неравенство противоречит выбору точки т.
B. Пусть теперь q > р Из неравенства (14) и
следствия 1 вытекает, что существует интервал (т/, < i, на котором оптимальное управление
является постоянной величиной и0 (t) = q,q <t< tj, причем Cj < ^ < q. В соответствии со следствием 2 между интервалами (Zj, tj') и (q, q) должен
существовать отрезок \tk,zk+1\,j < k < i, на котором x°(t) = 0. Если таких отрезков несколько, то выберем ближайший отрезок к интервалу (q,q). При этом может оказаться, что zk+1 = Zi, и тогда справедливо неравенство q_i < q. Если же zk+1 < q, то на интервале (тfc+i>Ti) могут быть лишь отрезки \tk+1,zk+2], —,[ti-i>Ti\ , соответствующие дугам x°(t) = Е. Это означает, оптимальное управление монотонно убывает на интервале (.тк+1>тд> а постоянные значения оптимального управления на интервалах (jk+1,tk+\),
будут удовлетворять неравенствам ск+1 > ••• > q_! > q > -. Теперь подсчитаем разность значений траектории x(t) в точках тк+1 и т:
Q
х(Тк+1) - *С0 = *(0) + Р(тЛ+1) - - тЛ+1
- (х(0) + Р(т)
= Р(Тк+1) - ВД + ~ (т - Tfc+1)
= f(T~ Tfc+l)+ *°(Tfc+l) - а
— f u°(t)dt
fc+i
rT
= 7 (t - Tfe+i) - а - u° (t)dt.
1 J?k+i
Если rk+1 = Tj, to x(rk+1) - x(r) = - (r - Tj) - а - JT. Cidr < -a < 0.
Если же zk+1 < zif to x(zk+1) — x(r) <
7 (t - Tfc+i) - а - JrTfc+i ctdT < -a < 0.
В обоих случаях имеем противоречие с утверждением 4 относительно выбора точки т.
Аналогичным образом доказывается утверждение 4 и для случая, когда х(т) = max0<t<T(x(t) - Е) > 0.
Алгоритм построения оптимальной траектории
На основе утверждения 4 и следствий 1 и 2 можно построить эффективный алгоритм нахождения управления и траектории, удовлетворяющих необходимым условиям оптимальности, поскольку знание точки т позволяет декомпозировать исходную задачу с граничными условиями х(0),х(Т) на две подзадачи с граничными условиями х(0),х(т) = 0 (либо х(0),х(т) = Е) и х(т)/х(Г) соответственно. Если 0 < х(0) < Е и отрезок [tlfz2] соответствует дуге x°(t) = Е, то значения постоянной с1 и момента q определяются из уравнений
*(°) + I^PCOdt - ctt± = V, Р(к) - Ci = 0.
(16)
72
Вестник НГИЭИ. 2018. №11 (90)
Далее, если мы знаем, что следующий отрезок времени [£2,т3] соответствует дуге х°(t) = 0, то моменты времени т2 и £2, а также значение с2 оптимального управления на интервале (т2, t2) находятся из трех уравнений
(V + - С2&2 - ъ) = О,
] р(т2)-с2 = О, (17)
{ P(t 2)-с2 = 0.
Наконец, если известно, что 0 < л^Г) < V и х°(ё) =0 на последнем отрезке [£^_то значения тт и ст находятся из системы двух уравнений
f£mP(t)dt-cm(T-тт) = х(Т); ^
I у(тт)-ст=0.
Пример
Рассмотрим процесс ритмичной обработки сырья, скорость поставки которого р(£),0 <£< 20, задается формулой
{O.Sf+4, 0 < £ < 4;
6, 4 < £ <6;
-£ + 12, 6 <t<10; (19)
2, 10 < £ < 14;
0.5f — 5, 14 < £ <20.
Будем предполагать, что объем резервуара равен 10, а также известно начальное количество сырьял^О) = 4 и его конечное количество х(20) = 1. Интегрируя функцию р(£) на интервале (0,20) и принимая во внимание начальное и конечное количество сырья, мы получим, что Q = 80,Т = 20, — = 4. В соответствии с утверждением 4 исследуем поведение траектории (2) при управлении v(t) = 4,0 < £ < Т. Эта траектория имеет максимальное значение *(8) = 14 и минимальное значение х(18) = 0. Это означает, что точка £ = 8 расположена на некотором отрезке [£i,t2], которому соответствует дуга x(t) = 10, а точка £=18 расположена на некотором отрезке [£2, т3], которому соответствует дуга x(t) =0.
Решив систему (16) при заданной функции (19) и значении V = 10, получим ^ = 7.483, с± = 4.517. Аналогично, решив систему (17), получим т2 = 8.428, £2 = 17.144, с2 = 3.572. Наконец, решая систему (18), мы найдем значения т3 = 18,с3 = 4. Эти результаты пр едставлены на рисунке 1.
Рис. 1. Эффект оптимального сглаживания потока сырья р(£),0 < £ < Т при его обработке Fig. 1. The effect of optimal smoothing ofraw material flowp (t), 0<t<T, during its processing
Обсуждение
Производственный процесс состоит из трех блоков: на входе мы имеем сырье, которое поступает в технологический блок для его переработки, и на выходе имеем конечный продукт. Как отмечено в [19, с. 14], анализ требований, предъявляемых к управлению непрерывным технологическим процессор показывает, что к числу доминирующих должны быть отнесены проблемы, связэнные с бес-
перебойным обеспечением сырьем На предприятиях с конвейерной системой технологический процесс должен пр отекать с минимальными отклонениями от некоторой постоянной скорости. В условиях прогнозируемых неритмичных поставок сырья роль « гасителя» неритмичности выполняет резервуар для хранения сырья В данной работе решена задача оптимального сглаживания неритмичности поставок сырья при фиксированном объеме резер-
73
Вестник НГИЭИ. 2018. №11 (90)
вуара. В математическом плане задача представляет собой задачу оптимального управления с фазовыми ограничениями. Условия оптимальности управления, полученные в работе, позволяют построить алгоритм его нахождения. Эффективность алгоритма продемонстрирована на конкретном примере. Отметим, что в условиях примера при увеличении объема резервуара до значения V = 14 оптимальным управлением будет идеальный ритм обработки сырья u(t) = 4,0 < t < Т. Методика получения условий оптимальности, предложенная в работе, может быть обобщена [20, с. 216] на случай, когда при изготовлении конечного продукта используется несколько типов сырья.
Заключение В работе проведено исследование непрерывной модели ритмичного производства, когда поставки сырья и его переработка осуществляются
непрерывно, то есть описываются непрерывными (или кусочно-непрерывными) функциями времени. Эта модель реализована в виде задачи оптимального управления, при этом ограничения на управление выражаются в виде фазовых ограничений, то есть допустимые траектории должны лежать в некоторой допустимой области. Получены необходимые условия оптимальности управления и указан метод, позволяющий установить, где расположены участки границы допустимой области, входящие в состав оптимальной траектории. Получены условия сопряжения дуг оптимальной траектории, расположенных внутри допустимой области, с дугами, лежащими на ее границе. На основе полученных условий оптимальности разработан алгоритм построения оптимальной траектории. Эффективность алгоритма проиллюстрирована на примере.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Savitzky A., Golay М. J. Е. Smoothing and differentiation of data by simplest least squares procedures, Analytical Chemistry. 1964. V. 36. P. 1627-1639.
2. Robert Goodell Brown. Smoothing, forecasting and Prediction of Discrete Time Series. Inglewood Cliffs, NJ: Prentice-yall, 1963.468 p.
3. Hoang Pham. Springer Handbook of engineering statistics. Springer, 2006.
4. Brockwell Peter Richard A. Davis. Time Series: Theory and Methods, 2nd edition, Springer, 2009.
5. Calaba R. Leigh Tesfatsion, Exact sequential filtering, smoothing and prediction for nonlinear systems I I Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 1988. № 12 (6). P. 599-615.
6. Garry A. Einicke. Smoothing, filtering and Prediction - Estimating The Past, Present and Future, Publisher: InTech, 2012.
7. Hiroyuki Kano, Hiroyuki Eujioka, Clyde F. Martin. Optimal smoothing and interpolating splines with constraints 11 Applied Mathematics and Computation, 2011. № 218 (5). P. 1831-1844.
8. Маремъянин В. А., Савельев В. 77. Целочисленная задача оптимизации ритмичности производства // Межвузовский сборник «Динамика систем». 1989. Н. Новгород, С. 14-18.
9. Савельев В. 77. Целочисленная задача оптимизации переменного ритма производства с ограниченным объемом склада // Межвузовский сборник «Комбинаторно-алгебраические методы в дискретной оптимизации». 1991, Н. Новгород, С. 114-118.
10. Savelyev V. Р., Fokina V. N. On optimal Rhythmical Production. Final Program and Abstracts of the Sixth SIAM Conference on Optimization, 1999, Atlanta, 137 p.
11. Савельев В. 77. Оптимизация производства в смысле ритмичности и минимального числа переключений режимов работы // Вестник ННГУ. 2007. № 4. С. 115-119.
12. Savelyev V. Р.у Borovkov A. A. The Lower Bound of Changes in Production Operations // Proceedings of the International Conference «Numerical Computations: Theory and Algorithms», Falerna, Italy, June 2013. P. 120.
13. Боровков А. А., Савельев В. 77. О нижней границе ритмичности производства с двумя типами сырья // Вестник ННГУ. 2013. Вып. 4 (1). С. 216-218.
14. Savelyev V. Р. A problem of rhythmical production // VI International Conference on Optimization Methods and Applications (OPTIMA-2015), Petrovac, Montenegro, September 2015. PROCEEDINGS, Moscow, pp. 156-157.
15. Savelyev V. P., Shamin A. A. Continuous Model of Rhythmical Production 11 VII International Conference on Optimization Methods and Applications (OPTIMA-2016), Petrovac, Montenegro, September 2016. PROCEEDINGS, Moscow, P. 127-128.
16. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. Москва : Наука, 1969. 408 с.
74
Вестнин НГИЭИ. 2018. №11 (90)
17. Ахиезер Н И. Лекции по вариационному исчислению. Москва, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1955. 248 с.
18. Фихтенголъц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Том 1, Москва. Изд-во «Наука», Главная редакция физико-математической литературы, 1966. 607 с.
19. Боровков А. А., Савельев В. 77. О нижней границе ритмичности производства с двумя типами сырья //Вестник ИНГУ. 2013. Выл. 4 (1). С. 216-218.
20. Бигелъ Дж. Управление производством. Количественный подход. Москва, Издательство «Мир», 1973.304 с.
Дата поступления статьи в редакцию 20.08.2018, принята к публикации 1.10.2018.
Информация об авторах.
Савельев Владимир Петрович, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Физико-математические науки»
Адрес: Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, 606340, Россия, Нижегородская область, Княгинино, улица Октябрьская, 22а E-mail: vpsavelyev@rambler.ru Spin-код: 8864-0786
Шамин Алексей Анатольевич, кандидат экономических наук, директор Института информационных технологий и систем связи
Адрес: Нижегородский государственный инженерно-экономический университет, 606340, Россия, Нижегородская область, Княгинино, улица Октябрьская, 22а E-mail: ngiei-spo@mail.ru Spin-код: 9288-8362
Заявленный вклад авторов:
Савельев Владимир Петрович: постановка задачи, вывод условий оптимальности, основной текст статьи. Шамин Алексей Анатольевич: разработка и описание алгоритма нахождения оптимальной траектории, его реализация на конкретном примере, техническое оформление текста.
Авторы прочитали и одобрили окончательный вариант рукописи.
REFERENCES
1. Savitzky A., Golay М. J. Е. Smoothing and differentiation of data by simplest least squares procedures, Analytical Chemistry. 1964. Vol. 36. pp. 1627-1639.
2. Robert Goodell Brown. Smoothing, forecasting and Prediction of Discrete Time Series. Inglewood Cliffs, NJ: Prentice-yall, 1963. 468 p.
3. Hoang Pham. Springer Handbook of engineering statistics. Springer, 2006.
4. Brockwell Peter J., Richard A. Davis. Time Series: Theory and Methods, 2nd edition, Springer, 2009.
5. Calaba R. Leigh Tesfatsion, Exact sequential filtering, smoothing and prediction for nonlinear systems, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 1988. No. 12 (6). pp. 599-615.
6. Garry A. Einicke. Smoothing, filtering and Prediction - Estimating The Past, Present and Future, Publisher: InTech, 2012.
7. Hiroyuki Kano, Hiroyuki Fujioka, Clyde F. Martin. Optimal smoothing and interpolating splines with constraints, Applied Mathematics and Computation, 2011. No. 218 (5). pp. 1831-1844.
8. Marem’yanin V. A., Savelyev V. P. Tselochislennaya zadacha optimizacii ritmichnosti proizvodstva [Integer problem of optimization of production rhythm], Mezhvuzovskij sbornik «Dinamika sistem» [Interuniversity collection «Dynamics of systems»], 1989. N. Novgorod, pp. 14-18.
9. Savel’ev V. P. Tselochislennaya zadacha optimizatsii peremennogo ritma proizvodstva s ogranichennym ob'emom sklada [Integer problem of optimization of variable rhythm of production with a limited volume of warehouse], Mezhvuzovskij sbornik «Kombinatorno-algebraicheskie metody v diskretnoj optimizatsii» [Interuniversity collection «Combinatorial-algebraic methods in discrete optimization»], 1991, N. Novgorod, pp. 114-118.
75
Вестник НГИЭИ. 2018. №11 (90)
10. Savelyev V. Р.? Fokina V. N. On optimal Rhythmical Production. Final Program and Abstracts of the Sixth SIAM Conference on Optimization, 1999, Atlanta, 137 p.
11. Savelyev V. P. Optimizaciya proizvodstva v smysle ritmichnosti i minimal?nogo chisla pereklyuchenij rezhimov raboty [Optimization of production in terms of rhythm and the minimum number of switching modes], Vestnik NNGU [Bulletin NNSU], 2007. No. 4. pp. 115-119.
12. Savelyev V. P., Borovkov A. A. The Lower Bound of Changes in Production Operations, Proceedings of the International Conference «Numerical Computations: Theory and Algorithms», Falerna, Italy, June 2013. pp. 120.
13. Borovkov A. A., Savel'ev V. P. О nizhnej granice ritmichnosti proizvodstva s dvumya tipami syr'ya [On the lower limit of the rhythm of production with two types of raw materials], Vestnik NNGU [Bulletin NNSU], 2013. Vol. 4 (1). pp. 216-218.
14. Savelyev V. P. A problem of rhythmical production, VI International Conference on Optimization Methods and Applications (OPTIMA-2015), Petrovac, Montenegro, September 2015. Proceedings, Moscow, pp. 156-157.
15. Savelyev V. P., Shamin A. A. Continuous Model of Rhythmical Production, VII International Conference on Optimization Methods and Applications (OPTIMA-2016), Petrovac, Montenegro, September 2016. Proceedings, Moscow, pp. 127-128.
16. Boltyanskij V. G. Matematicheskie metody optimal'nogo upravleniya [Mathematical methods of optimal control], Moscow : Nauka, 1969. 408 p.
17. Ahiezer N. I. Lektsii po variacionnomu ischisleniyu [Lectures on calculus of variations], Moscow, Gosudarstvennoe izdatel'stvo tekhniko-teoreticheskoj literatury, 1955. 248 p.
18. Fihtengol'c G. M. Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischisleniya [Course of differential and integral calculus], Vol. 1, Moscow. Publ. «Nauka», Glavnaya redakciya fiziko-matematicheskoj literatury, 1966. 607 p.
19. Borovkov A. A., Savelyev V. P. О nizhnej granice ritmichnosti proizvodstva s dvumya tipami syr'ya [On the lower bound of the rhythm of production with two types of raw materials], Vestnik NNGU [Bulletin NNSU], 2013. Vol. 4(1). pp. 216-218.
20. Bigel' Dzh. Upravlenie proizvodstvom. Kolichestvennyj podhod [Production management. Quantitative approach], Moscow, Publ. «Mir», 1973. 304 p.
Submitted 20.08.2018, revised 1.10.2018.
About of authors:
Vladimir P. Savelyev, Ph. D. (Physics and mathematics), associate professor of the chair «Physics and mathematics sciences»
Address: Nizhny Novgorod state engineering-economic university, 606340, Russian Federation,
Nizhny Novgorod region, Knyaginino, Oktyabrskaya Str., 22a
E-mail: vpsavelyev@rambler.ru
Spin-code: 8864-0786
Aleksey A. Shamin, Ph. D. (Economics),
director of the Institute of information technologies and communication systems
Address: Nizhny Novgorod state engineering-economic university, 606340, Russian Federation,
Nizhny Novgorod region, Knyaginino, Oktyabrskaya Str., 22a E-mail: ngiei-spo@mail.ru Spin-code: 9288-8362
Contribution of the authors:
Vladimir P. Savelyev: statement of the problem, conclusion of the conditions of optimality, main text of the paper. Aleksey A. Shamin: construction of the algorithm to find the optimal trajectory, its realization for an example, technical support of the text.
All authors have read and approved the final manuscript.
76
