ОПТИМАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ГАУССОВСКИХ ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ПЛАНИРОВАНИЯ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Научный вестникНГТУ. - 2013. -№ 4(53)

УДК 618.5.015

Оптимальное оценивание параметров

моделей гауссовских линейных дискретных систем

*

на основе планирования начальных условии

В.М. ЧУБИЧ, O.e. ЧЕРНИКОВА

Рассмотрены теоретические и прикладные аспекты проблемы оптимального оценивания параметров моделей гауссовских линейных дискретных систем на основе планирования начальных условий. Рассмотрен случай вхождения неизвестных параметров в уравнения состояния и наблюдения, а также в ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений. Представлены оригинальные результаты. Приведен пример оптимального оценивания параметров одной модельной структуры.

Ключевые слова: оценивание параметров, метод максимального правдоподобия, планирование начальных условий, информационная матрица, критерий оптимальности.

ВВЕДЕНИЕ

Применение методов теории планирования эксперимента при построении математических моделей динамических систем позволяет повысить эффективность и качество проводимых исследований. При этом основное внимание отечественных и зарубежных исследователей сосредоточено на планировании входных сигналов (см., например, [1-6]). Другая возможность повысить точность оценивания неизвестных параметров связана с планированием начальных условий [7], что особенно актуально при анализе автономно функционирующих динамических систем.

При заданной структуре математической модели процедура оптимального оценивания параметров предполагает выполнение следующих этапов:

1) вычисление оценок неизвестных параметров по измерительным данным, соответствующим некоторому плану эксперимента;

2) синтез на основе полученных оценок оптимального плана эксперимента;

3) пересчет оценок параметров по измерительным данным, соответствующим синтезированному плану.

В настоящей работе приводятся результаты последних исследований авторов по оптимальному оцениванию параметров на основе планирования начальных условий применительно к гауссовским линейным дискретным системам, описываемым моделями в пространстве состояний.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Рассмотрим следующую наблюдаемую, идентифицируемую модель стохастической линейной дискретной системы в пространстве состояний:

'&+1 )2 а (tk) + A (tk)' (tk ) + г(^)w (tk) > Ш

Статья получена 15 февраля 2013 г. Работа выполнена при финансовой поддержке Интеграционного проекта Министерства образования и науки РФ в 2013 г. (Регистр. №01201256089).

У (гк+1 )2 6 (гк+1) + Н (1к+1) х (гк+1) + V (гк+1), к = 0,1,..., N -1. (2)

Здесь х(^) - и-вектор состояния, -¿»-вектор возмущения, у^+О - да-вектор измерения

(выхода), v(г¿+1) - да-вектор ошибки измерения. Предположим, что:

• случайные векторы и образуют стационарные белые гауссовские последовательности, для которых

Е [м(гк)] 2 0, Е [м(гк )мт (г,)] 2 , Е ^(гк)] = 0, Е [v(гк+1 )vГ (г,+1)] 2 ты, Е\у(гк)мт (г,)] 2 о

для любых к, г = 0,1,...,N -1 (£ [•] - оператор математического ожидания, - символ Кро-некера);

• начальное состояние х(го) имеет нормальное распределение с параметрами х (г00), Р(1{]) и не коррелирует с \\(1к) и у(1к |) при любых значениях переменной к.

Будем считать, что структура модели (1), (2) задана с точностью до неизвестных параметров © = (6|,Вт,---,0Л), которые могут входить в различных комбинациях в элементы матриц р(1к), т(1к), Н(1к+1), е, Л, р(г0) ивекторов а(1к), А(1к+1).

Необходимо для математической модели (1), (2) с учетом высказанных априорных предположений разработать процедуру оптимального оценивания параметров на основе планирования начальных условий, исследовать ее эффективность и целесообразность применения.

2. ОЦЕНИВАНИЕ НЕИЗВЕСТНЫХ ПАРАМЕТРОВ

Оценивание неизвестных параметров математической модели будем осуществлять по данным наблюдений Е в соответствии с критерием идентификации /((-);Е). Сбор числовых данных происходит в процессе проведения идентификационных экспериментов, которые выполняются по некоторому плану

Предположим, что экспериментатор может произвести V запусков системы, причем на_1 _2

чальное условие х (го) используется к раз,начштьное условие х (го) - к2 раза и т.д.,на-

конец,с начальное условие х Я (го) - к^ раз.В этом случае дискретный (точный)нормиро-ванный план эксперимента представляет собой совокупность точек

х1(го), х2(го),..., хЯ(го) ,н^ьтаемых спектром плана,и соответствующих им долей повторных запусков:

N х(го) еХх(го^ ' 2 1, 2 Я

Множество планирования с 7?" задает ограничения на условия проведения экспери-

мента.

х1(го), х2(го), з, хЯ(го)

'у 2 1 к 1 к 2 к

V V

' Я V

Обозначим через Yt у =

(/] (ti) )Г, (yiJ (t 2) )Г ,..., (yiJ itN) )

у-ю реализацию выход-

ного еш-нала (j = 1,2, ..., кг ^соответствующую г-му начальному условию х' ('0) (/ = 1,2,...,^). Тогда в результате проведения по плану идентификационных экспериментов будет сформировано множество

: "((t0 X Yi,w ). J = 1,2.... ki. v 2 12..... . Z ki =v .

i=1

Априорные предположения, высказанные при постановке задачи, позволяют воспользоваться для оценивания неизвестных параметров методом максимального правдоподобия. В соответствии с этим методом необходимо найти такие значения параметров © из области допустимых значений , для которых

© = arg min [%(©;Н)] = arg min Г-InL(©;Н)], 0efi© 0еП©

где lnL(©;H) - логарифмическая функция правдоподобия. Согласно [8] критерий идентификации имеет вид

N 1 N-1

p(©; Н) = N^V In 2 л + "2 vZ lndet Bv (tx+1) +

2 2 k=0

1

q ki N-1

+2ZZZ r"(tk+1) bv(tk+1) 2 i=1 j=1 k=0

j

(tk+1)

где е(Д+1) при фиксированных /,/и Вг(д+1) вычисляются по уравнениям дискретного фильтра Калмана [9]:

'и] ('к+1 \ 'к) = А ('к)''] ('к\'к)+«('к); Я ('к+1 \'к) = А ('к )Я ('к \ 'к )ГТ('к) + Г('к )ОВТ{Ь); у''] ('к+1 \ 'к) = 1 ('к+1)] ('к+1 \ 'к)+6 ('к+1); г'] ('к+1) = у] ('к+1) - У'] ('к+1 \ 'к); ('к+1) = I ('к+1)Я ('к+1 \ 'к )т ('к+1)+к;

F (tk+1) = $ (tk+11 tk )iT (tk+1)[Äv (tk+1 )]-1;

' ^ (к+11/к+1)2 X] (+1 \1к) + К (+1) 6 г>] (+1);

$ (к+1 \ /к+1) 2 [ I - К (/к+1) н (/к+1) Р (/к+1 и к),

для к 2 0,1,..., N -1, j 21,2,..., к1, 1 21,2,..., д с начальными условиями '1,] ( \/о )2 '' (/о), $ (о\/о )2 $ (о).

Поиск условного минимума осуществим либо симплексным методом, либо методом проекции градиента [10].

3. ПЛАНИРОВАНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ

Следуя [7], будем понимать под непрерывным нормированным планом эксперимента совокупность величин:

' |'1(/о), '2(/о) , •••, 'д(/о) 1 . 0 V 1-1 г, ) о • 12 'Ч \ , Р1 ^ 0, V Р1 2 ^ ' (/о) е °Х (/о), 1 2 1 2, д. (3)

[ Р1 , Р2 , Рд \ 1=1 о

Нормированная информационная матрица I (с,) плана (3) находится по формуле

д

I ('ЫР1! ( (/о);©), 121

в которой информационные матрицы одноточечных планов

I (( (/о);©

; ©| = - Е

Y

52 In L (' (?0), Y; ©

5©5©Г

зависят от неизвестных параметров © (это позволяет говорить только о локально-оптимальном планировании) и вычисляются в соответствии с [11, 12].

Планирование экспериментов, предполагая воздействие на нижнюю границу неравенства Рао-Крамера [13], опирается на критерии оптимальности планов и заключается в решении экстремальной задачи

'* = arg min XГМ(')] . (4)

'еП'

Остановимся на критериях D- и /1-оптималыюсти, имеющих вполне определенную статистическую интерпретацию: D-оптимальный план (XГМ (')] = - lndetМ (')) минимизирует

объем, а Л-оптимальный план (Х[м(£)] = SpM~l (£)) - сумму квадратов длин осей эллипсоида рассеяния оценок неизвестных параметров. Важно также и то, что для указанных критериев справедлива теорема эквивалентности, обобщенная формулировка которой приведена в [14].

Оптимизационную задачу (4) можно решать непосредственно (напрямую) с помощью общих методов численного поиска экстремума, не забывая при этом в конце проверять необходимые условия оптимальности планов [14]. Другой подход (его называют двойственным) основан на выше упомянутой теореме эквивалентности. Собственно говоря, с этим и связано название соответствующих вычислительных процедур (прямая и двойственная), возможные варианты которых приведены в [14].

Использование градиентов в процедурах планирования позволяет заметно повысить скорость решения задач и невозможно без нахождения производных информационных матриц Фишера по компонентам вектора начальных условий х (г0). Соответствующий вычислительный алгоритм разработан и приведен в [12].

Практическое применение синтезированного при помощи той или иной процедуры непрерывного оптимального плана

(Т71

Г = ■

'♦(¿о), X* (¿о), 3, X* (?о)|

Р1

Р2

, Р * ^ 0, XР* = 1, '* (го) е ХХ(¿о) , 1 = 1 2 1

1=1

затруднительно, поскольку веса р1 представляют собой произвольные вещественные числа, заключенные в интервале от нуля до единицы. Несложно заметить, что в случае заданного числа V возможных запусков системы величины к* = \>р* могут оказаться нецелыми числами. Проведение эксперимента требует округления величин к, до целых чисел. Очевидно, что по-

лученный в результате такого округления план будет отличаться от оптимального непрерывного плана, причем приближение тем лучше, чем больше число запусков. Возможный алгоритм «округления» непрерывного плана до дискретного изложен в [15]. Далее составим дискретный план

=

X*(¿о), '^¿оХ з-, (1о)

•> •> • • • •> V V V

проведем идентификационные эксперименты и пересчитаем оценки неизвестных параметров.

4. ПРИМЕР ОПТИМАЛЬНОГО ОЦЕНИВАНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Выполнение процедуры оптимального оценивания параметров моделей гауссовских линейных дискретных систем стало возможным в результате реализации разработанных алгоритмов в программном комплексе ПК-Ш [16], содержащим модули, отвечающие за вычисление информационной матрицы и ее производных по компонентам вектора начальных условий, нахождение оценок максимального правдоподобия, синтез А- и О-оптимальпых планов (реализованы прямая и двойственная градиентные процедуры).

Рассмотрим следующую дискретизованную (шаг дискретизации - 1 мин) стохастическую модель изменения температуры в двухкомнатной квартире со смежными комнатами и нагревателем, расположенным в одной из них (детерминированная модель состояния приведена в [17]):

Х1 (¿к+1)

Х(>к+1) =

Х2 (к+1)

= Чи (¿к) + Ах (¿к ) + Г^ (¿к ) =

'1

' 2

'(¿к )-

/11 /12 /21 /22

Х1 (¿к ) Х2 (¿к )

У1

У 2

(к )0

(5)

'(/к+1) 2 '1 (/к+1) + Ч/к+1), к 2 о,1,...,N -1. (6)

где xi ) - температура воздуха в г-й комнате (г = 1,2), измеряемая в °С; и ) - количество теплоты, выделяемое нагревателем в кДж/мин; \г(1к ) - помехи, обусловленные влиянием внешней среды.

Если принять теплоемкость воздуха равной 1 ЕАаг/(ёа- °С), считать массу воздуха в первой и второй комнатах - 57.6 кг и 72 кг соответственно, а температуру наружного воздуха -5 °С, то

, 2 (а1 +91)еЙ1 +(а1 -91)еЙ2 2 28892(еЪг - еЪ) 2

/11 2---; /12 2-2/21;

2а1 а1

/22 2

(а1 -91)еЙ1 +(а1 +91)еЙ2

2а1

'1 2 5с1

( 9 ^ 1

V а1 у

+ 5 с2

( 9 ^

1 + 9-

V а1 у

' 2 :

288об2(с1 -С2) . а1

у1 2 25©1С1

(( 9 Л ( 1

^ а1 у

+ С2

1+ Й1 а1

- 59

V "и у

С4 - С3 72

У 2

2 591

( ( 9 А 1 +

4С1

а1

+ 4с2

( 9 ЛЛ 1

а1

- 259

С4 - С3 288 '

Здесь

а1 2]331776922 +912; а2 2е^64; Ъ1 2-92 -9-Ъ2 2-92 + -а1

а1

Ъ3 2 е576 ; с1 2

64 576'

а2 -Ъ" Ъ3а2 -1 16588892си 16588892с2

-576а2Ъ2 ; 2 -576а2Ъ1Ъ"

64 576

; С3 2"

а1

-; С4 2-

а1

Ьудем считать, что априорные предположения, высказанные при постановке задачи, выполнены, причем

Q 2 Е[w2 (/к)] 2 о.4; Я 2 Е[V2 (+1 )] 2 о.3;

Р(/о) 2 Е

('(/о) - ' (/о)) ("(/о) - ' (/о))

"о.1 о"

о о.1

Таким образом, неизвестные параметры 9^ , 92 ( 0| - потери за счет конвенции, 92 - коэффициент теплообмена между комнатами) функционально входящих в элементы матриц Р, Ч, Г.

Подав на вход системы двоичный сигнал, представленный на рис. 1, произведем пять не- - Г5"

зависимых затеков с начальным условием х(/о) 2 х(о) 2

и

35 ■ 30 ■

20 ■ 15 ■ 10 ■

0

X

12 3 4 5 6 7 9 10 11 12 131415 161718 192021 2223 24 25 2627 28 2930 31

Рис. 1. Входной сигнал для идентификационных экспериментов

Реализации выходных сигналов получим компьютерным моделированием при истинных значениях параметров 01 = 0.2 , 0т = 0.8 и N = 31. Применяя метод максимального правдоподобия, вычислим оценки неизвестных параметров 0. Выберем область планирования X' (¿0) ^ {5 < ' (¿о) < 28, V 21, 2} .В соответствии с критерием .О-оптим&пьности построим непрерывный план эксперимента и «округлим» его до дискретного из расчета возможности проведения пяти запусков. В результате получим план, состоящий из двух точек. Снова подадим на вход системы тот же самый двоичный сигнал, используя первое синтезированное начальное

условие четыре раза, а второе - один раз, смоделируем данные наблюдений, пересчитаем

" *

оценки неизвестных параметров и получим 0 . Результаты выполнения описанной процедуры вместе с соответствующими относительными ошибками оценивания в пространстве параметров представим в таблице.

Результаты оптимального оценивания неизвестных параметров модели (5), (6)

Начальные условия

Исходные:

' 1('о):

Х1 = 5

Синтезированные:

"28" , — "28"

5 28

х1 2 4, Х2 21

Значения оценок параметров

0! =0.136

е2 = 0.683

8й 2"

= 0.162

9! 2 0.187

в2 2 0.786

8* 2!

= 0.023

При решении реальных задач истинные значения параметров неизвестны и, таким образом, сравнение качества оценивания в пространстве параметров невозможно. В связи с этим более показательным является сравнение качества оценивания в пространстве откликов.

Выполним пять запусков системы, подав на ее вход двоичный сигнал, изображенный на

*

рис. 1. Для каждого запуска при 0 = 0 смоделируем по уравнениям (5), (6) выборку измерений У = [у{1\), у(12), —, y(tN)}' используя которую сформируем с помощью выражения

' ((к+11(к+1) = н {(к+1)' ((к+11 (к+1) + 6 {(к+1)

последовательности

У = {ЖI(1),К(2I (2).-.КЫ I(I)} , У* | (1), у\(2 | (2),...,у\(и |(I)} ,

Л /V *

полагая 0 = 0ср и 6 = 0ср соответственно. Усреднив полученные результаты, образуем Уср ,

~ ~ *

Гср , Уср , представленные на рис. 2 и 3.

24 '

£

«Р

л

Г

«1)

1 5 9 13 7 21 25 29

Рис. 2 . Графическое представление

уср(к-И) уср(к+1|к+1

1 5 9 13 17 21 25 29

Рис. Графическое представление

7 и 7

7 и 7

У - У

1 ср 1 ср

, ^ 2

У -У

, найдем относи-

Воспользовавшись соотношениями 8Г =

1гсР|| 1Г°р||

*

тельные ошибки оценивания в пространстве откликов. Получим, что 5;- = 0.041 и 5 = 0.016 .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Впервые для гауссовских линейных дискретных систем, описываемых моделями в пространстве состояний, дано систематическое изложение наиболее существенных для практики вопросов теории и техники оптимального параметрического оценивания на основе планирования начальных условий. Рассмотрен общий случай вхождения неизвестных параметров: в уравнения состояния, наблюдения, в ковариационные матрицы помех динамики и ошибок измерений. Разработанное программно-математическое обеспечение позволяет решать задачи оптимального оценивания неизвестных параметров с использованием метода максимального правдоподобия, а также прямой и двойственной градиентных процедур построения А- и О-оптимальпых планов. На примере одной модельной структуры показана эффективность разработанной процедуры оптимального оценивания параметров.

* З'срС^ +1) соответствует , а уср(к +1 к +1) соответствует | .

1' 3'ср(1+1) соответствует >'ср(/"л+1), а )>(к +11 к +1) соответствует >'„,(^+11^+1)-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1]MehraR.K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems - survey and new results / R.K. Mehra // IEEE Trans. Automat. Control. - 1974. -№ 6. - Vol. 19. - P. 753-768.

[2] Овчаренко B.H. Планирование идентифицирующих входных сигналов в линейных динамических системах /

B.Н. Овчаренко // АиТ. - 2001. - № 2. - С. 75-87.

[3] Денисов В.И. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных дискретных систем во временной области / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова // Сиб. жури, индустр. матем. - 2003. - № 3. - Т. 6. -

C. 70-87.

[4] Абденов А.Ж. Планирование автокорреляционной функции входного сигнала для стохастических непрерывно-дискретных динамических систем / А.Ж. Абденов // Автометрия. - 2005. - № 2. - Т. 41. - С. 81-97.

[5] Pronzato L. Optimal experimental design and some related control problems / L. Pronzato // Automatica. - 2008. -Vol. 44.-P. 303-325.

[6] Чубич В.М. Активная параметрическая идентификация нелинейных дискретных систем на основе линеаризации во временной области и оптимального управления / В.М. Чубич, О.С. Черникова // Проблемы управления. -2011,-№2. -С. 9-15.

[7] Горский В.Г. Планирование промышленных экспериментов (модели динамики) / В.Г. Горский, Ю.П. Адлер, A.M. Талалай. - М.: Металлургия, 1978. - 112 с.

[8] Astrom K.J. Maximum likelihood and prediction errors methods / K.J. Astrom // Automatica. - 1980. - Vol. 16. -P. 551-574.

[9] Огарков M.A. Методы статистического оценивания параметров случайных процессов / М.А. Огарков. - М.: Энергоатомиздат, 1980. - 208 с.

[10] Базара М. Нелинейное программирование / М. Базара, К. Шетти. - М.: Мир, 1982. - 583 с.

[11] Чубич В.М. Вычисление информационной матрицы Фишера в задаче активной параметрической идентификации стохастических нелинейных дискретных систем / В.М. Чубич // Научный вестник НГТУ. - 2009. - № 1(34). -С. 23-40.

[12] Чубич В.М. Планирование начальных условий в задаче активной параметрической идентификации гаусеовеких линейных дискретных систем / В.М. Чубич // Научный вестник НГТУ. - 2011. -№ 1. - С. 39^16.

[13] Ивченко Г.И. Введение в математическую статистику / Г.И. Ивченко, Ю.П. Медведев. - М.: Изд-во ЛКИ, 2010.-600 с.

[14] Денисов В.И. Активная параметрическая идентификация стохастических линейных систем / В.И. Денисов, В.М. Чубич, О.С. Черникова, Д.И. Бобылева. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009. - 192 с.

[15] Ермаков С.М. Математическая теория оптимального эксперимента / С.М. Ермаков, A.A. Жиглявский. -М.: Наука, 1987.-320 с.

[16] Чубич В.М. Программный комплекс активной параметрической идентификации стохастических нестационарных линейных дискретных систем (ГОС-Ш) / В.М. Чубич, О.С. Черникова // Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2012612281. - М.: Роспатент, 2012.

[17] Афанасьев В.Н. Математическая теория конструирования систем управления / В.Н. Афанасьев, В.Б. Кол-мановский, В.Р. Носов. -М.: Высшая школа, 1998. - 574 с.

REFERENCES

[1] Mehra R.K. Optimal input signals for parameter estimation in dynamic systems - survey and new results // IEEE Trans. Automat. Control. 1974. V. 19. No. 6. P. 753-768.

[2] Ovcharenko V.N. Planirovanie identificirujushhih vhodnyh signalov v linejnyh dinamicheskih sistemah // AiT. 2001. №2. S. 75-87.

[3] Denisov V.I., Chubich V.M., Chernikova O.S. Aktivnaja parametricheskaja identifikacija stohasticheskih linejnyh diskretnyh sistem vo vremennoj oblasti // Sib. zhurn. industr. matem. 2003.T.6.- № 3. S. 70-87.

[4] Abdenov A.Zh. Planirovanie avtokorreljacionnoj funkcii vhodnogo signala dlja stohasticheskih nepreryvno-diskretnyh dinamicheskih sistem // Avtometrija. 2005. T. 41. №2. S. 81-97.

[5] Pronzato L. Optimal experimental design and some related control problems // Automatica. 2008.V.44. P.303-325.

[6] Chubich V.M., Chernikova O.S. Aktivnaja parametricheskaja identifikacija nelinejnyh diskretnyh sistem na osnove linearizacii vo vremennoj oblasti i optimal'nogo upravlenija // Problemy upravlenija. 2011. № 2. S. 9-15.

[7] Gorskij V.G., Adler Ju.P., Talalaj A.M. Planirovanie promyshlennyh jeksperimentov (modeli dinamiki). M.: Metallurgija, 1978. 112 s.

[8] Astrom K.J. Maximum likelihood and prediction errors methods// Automatica. 1980. V. 16. P.551 - 574.

[9] Ogarkov M.A. Metody statisticheskogo ocenivanija parametrov sluchajnyh processov. M.: Jenergoatomizdat. 1980.

208 c.

[10] Bazara M., Shetti K. Nelinejnoe programmirovanie. M.: Mir. 1982. 583 c.

[11]Chubich V.M. Vychislenie informacionnoj matricy Fishera v zadache aktivnoj parametricheskoj identifikacii stohasticheskih nelinejnyh diskretnyh sistem // Nauehnyj vestnik NGTU. 2009. № 1 (34). S. 23-40.

[12] Chubich V.M. Planirovanie nachal'nyh uslovij v zadache aktivnoj parametricheskoj identifikacii gaussovskih linejnyh diskretnyh sistem//Nauehnyj vestnik NGTU. 2011. № 1. S.39-46.

[13] Ivchenko G.I., Medvedev Ju.I. Vvedenie v matematicheskuju statistiku. M.: Izd-vo LKI, 2010. 600 c.

[14] Denisov V.I., Chubich V.M., Chernikova O.S., Bobyleva D.I. Aktivnaja parametricheskaja identifikacija stohasticheskih linejnyh sistem. Novosibirsk: Izd-vo NGTU. 2009. 192 s.

[15] Ermakov S.M., Zhigljavskij A.A. Matematicheskaja teorija optimal'nogojeksperimenta. M.: Nauka. 1987. 320 s.

[16] Chubich V.M., Chernikova O.S. Programmnyj kompleks aktivnoj parametricheskoj identifikacii stohasticheskih nestacionarnyh linejnyh diskretnyh sistem (PK-III) // Svidetel'stvo o gosudarstvennoj registracii programmy dlja JeVM №2012612281. -M.: Rospatent. - 2012.

[17] Afanas'ev V.N., Kolmanovskij V.B., Nosov V.R. Matematicheskaja teorija konstruirovanija sistem upravlenija. M.: Vysshaja shkola. 1998. 574 s.

Чубич Владимир Михайлович, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований -анализ и планирование экспериментов для стохастических динамических систем. Имеет более 40 публикаций, в том числе 5 учебных пособий и монографию. E-mail: chubich_62@ngs. ru.

Черникова Оксана Сергеевна, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики Новосибирского государственного технического университета. Основное направление научных исследований -планирование экспериментов для стохастических динамических систем. Имеет более 20 публикаций, в том числе монографию. E-mail: chernicova@ngs. ru.

V.M. Chubich, O.S. Chernikova

Optimalparameter estimation Gaussian linear discrete system based on design of initial conditions

We treat systematically the most significant practical questions of the theory and techniques of the optimal parameter estimation of stochastic linear discrete systems. For the first time we consider and solve actual problem of optimal estimation in the case when the unknown parameters appear in the state and control equations as well as the co-variance matrices of the dynamic noise and measurement errors. The designed algorithm of calculation of information matrices derivatives with respect to initial state components is given. This algorithm allows us to synthesize initial state by means of sequential quadratic programming method and by that to reduce search time of optimal experiment design considerably. The original gradient algorithms of optimal parameter estimation are designed. They enable us to solve optimal parameter estimation problems for mathematical models using the maximum likelihood method involving the direct and dual procedures for synthesizing A and D -optimal initial conditions. Some theoretical and applied aspects of the optimal parameter estimation of the stochastic linear discrete systems based on design of initial conditions are considered for the first time. An example ofoptimal parameter estimation for one model structure is shown.

Key words: linear discrete system, parameter estimation, maximum likelihood method, design of initial conditions, information matrix, optimality criterion, Kalman filter, evaluation quality.