Оптимальное демпфирование переходных процессов при ограниченной евклидовой норме вектора управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 681.513

ОПТИМАЛЬНОЕ ДЕМПФИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ ПРИ ОГРАНИЧЕННОЙ ЕВКЛИДОВОЙ НОРМЕ

ВЕКТОРА УПРАВЛЕНИЯ

С.А. Шопин

Рассмотрено применение метода оптимального демпфирования переходных процессов В.И. Зубова для объектов, линейных относительно управления, при наличии ограничения на максимальное значение евклидовой нормы вектора управления.

Ключевые слова: аналитическое конструирование оптимальных регуляторов, метод В.И. Зубова, квадратично-кубические объекты, функция Ляпунова.

При решении ряда практически важных задач, в частности, при синтезе управлений для электроприводов переменного тока, вектор управления представляет собой фазор (комплексную амплитуду) питающего двигатель напряжения или тока и по физическим соображениям ограничен по евклидовой норме:

П 2 п п

X Ч < ишах, или ||и||2 < ишах, (1)

г =1

где ишах - максимальная длина вектора управления и е .

Важно отметить, что ограничение (1) наложено на вектор управления в уравнениях невозмущенного движения. Применение же метода аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР) требует перехода к уравнениям в отклонениях от некоторого базового (установившегося) режима. В результате ограничение на управление в уравнениях возмущенного движения принимает вид

IIй + ио||2 < uшax, (2)

где ио - управление, соответствующее установившемуся режиму; и -управление, соответствующее возмущенному движению объекта (управление, определяемое в результате решения задачи АКОР), и + ио = и. Ограничение (2) отличается от общепринятого в теории оптимального управления ограничения:

Ы < иmax, (3)

где и£ - к-я компонента вектора управления.

При заданном ишах область (2) оказывается меньше области (3), поэтому при практической реализации законов управления, синтезированных с учетом неравенства (3), на некоторых участках траектории движения объекта вектор управления покинет область (2), и потребуется выполнение его перенормировки, что может привести к ухудшению качества регулиро-

284

вания. Таким образом, возникает задача синтеза управления, изначально учитывающего ограничение (2).

Будем рассматривать объекты, возмущенное движение которых в пространстве состояний описывается матричным дифференциальным уравнением вида

Х = А1Х+Р(Х) + В(Х)-и, (4)

где X е Кп - вектор состояния объекта; Л^ е Кпхп - матрица параметров

объекта управления; Г(X) :КП ^ Кп- нелинейная вектор-функция;

В(Х)е Кпхт - матрица функций координат; и е Кт - вектор управляющих воздействий. Объект (4) предполагаем устойчивым, т. е. матрица Л^ имеет собственные числа с отрицательными действительными частями.

В форме (4) могут быть построены модели ряда практически важных объектов управления, среди которых электромеханические системы, химические реакторы, биологические, экологические системы и т. д. Функция Г ( X ) для таких объектов может быть представлена в виде матричного квадратично-кубического полинома или приведена к нему.

Ограничимся объектами с двумерным вектором управления, т. е.

и е К2, и = ]Т. К таким объектам относятся, в частности, электро-

механические системы, математическое описание которых строится на основе уравнений обобщенной электрической машины. Кроме того, положим в неравенстве (2) итах = 1.

Для синтеза управления воспользуемся методом оптимального демпфирования переходных процессов В.И. Зубова, согласно которому вводится скалярная функция V (X), выступающая в качестве меры расстояния между изображающей точкой и положением равновесия. Управление и0 является оптимальным по отношению к демпфированию функции

V (X), если эта функция убывает вдоль траектории X (^, и о ), соответствующей этому управлению наибольшим образом [1]. Тогда задачу синтеза регулятора можно сформулировать следующим образом: для объекта, описываемого уравнением (4) найти управление в форме обратной связи и (X), принадлежащее области допустимых управлений (2) и переводящее

объект из произвольного начального состояния X0 = 0) = Xо в конечное X( = 0, обеспечивающее на траекториях движения объекта мини-

мальное значение производной V \ и0(Х) = аг§

ЫУ

иеО и

, где У =

Л

полная производная по времени функции V(X), взятая в силу уравнения объекта (4), - множество допустимых управлений (2).

285

Область допустимых управлений

Векторы управления u и Uq представим в полярных координатах:

т т

U = p[cOS ф sin ф] , Uq =Pq [cos фд Sin фд ] , 0 <Р< 1, 0 < Pq < 1, (5)

тогда задача определения оптимального управления u (X) заключается в нахождении зависимостей для определения величин р и ф в виде функций координат объекта управления.

Ограничение (2) с учетом (5) может быть записано в виде

(ро cos фо + p cos ф) + (po sin фо + p sin ф) < 1. (6)

Раскрыв скобки, получим

Р2 + 2Ро cos(фо -ф)р + (р0 -1)< q. (7)

Квадратное уравнение, соответствующее неравенству (7), имеет следующие корни:

Р1,2 =-P0cos(фо -ф)±^1 -Posin2 (фо -ф) . (8)

Так как коэффициент при р2 в (7) положителен, то решением неравенства (7) является ре[р1;р2]. Учитывая, что Р1 <0, Р2 >0 и 0<р< 1, получим

0<Р<Р2 или 0 <P<-Pocos(фо -ф) + ^1 -Posin2(фо -ф) . (9) Решение задачи оптимального управления

Полная производная по времени функции V(X) вдоль траектории движения объекта (4) может быть записана в виде

V(х)==(. ev/^(X)=(Fr (X)+U (х)) • t(x), (10)

где vec() - оператор векторизации матрицы, T(X) = З%х. Подставив (5) в (10), получим

К(Х) = (хГА1+РГ(Х) + р[со8ф 8И1ф]-ВГ(Х))-Т(Х). (11)

Так как функция (11) линейна относительно р, то её экстремум достигается при

Р = Pmax = Р2. (12)

Необходимое условие экстремума функции (11):

^ = = (13)

Зф Зф 3U

С учетом (5) и (9) найдем производные, входящие в (13):

dU

T

д

Зф Зф ЗУ 3

р(ф) cosф р(ф) sin ф

T

^р' cos ф-р sin фЛ

(14)

р sin ф + р cos фJ

зи зи LKAi+(х)+цГвГ)'т(х)]=вГт(х) • (15)

Подставив (15) и (14) в (13), получим уравнение для определения оптимального угла ф:

[^cos ф-р sin ф ^sin ф + р cos ф]8 = 0, (^р' + ¿^р) cos ф + (¿^р' - ^р) sin ф = 0, (16)

где S = ВГТ(Х) , S = [s! s2f • (IV)

С учетом (12), опустив промежуточные выкладки, запишем выражение для производной р':

(18)

р' = -ро^п (фо -ф)р^ 1,

где D = ^ 1 -р2 sin2 (ф0 -ф).

Подставив (18) и (8) в (16) с учетом (12), приведя к общему слагаемому дроби в скобках и вынеся общие множители за скобки, получим

PD 1 [[1р0 sin(ф0 - ф) + s2D) cos ф - (¿2р0 sin(фо - ф) + s1D) sinф

0.

ч-1

Разделив левую и правую части на дробь рD ф 0 и сгруппировав слагаемые, содержащие D в правой части уравнения, а остальные слагаемые - в левой, получим уравнение

(-5*1 cos ф- ¿2 sin ф)рoSin (фо -ф) = (s1sin ф- ¿2 cos ф)D . (19) Возведя левую и правую части в квадрат и перенеся слагаемое с р2 sin2 (фо - ф) влево, получим

(¿12 + ¿2 )р2 sin2 (фо - ф) = (¿1 sinф - ¿2 cos ф)2, р0\1 ¿12 + ¿2 • |sin(фо - ф)| = ¿1 sinф - ¿2 cosф|,

р0^152 + ¿2 • sin (фо - ф) = c¿1 sin ф - c¿2 cos ф , с = +1. Раскрыв sin (фо -ф) и сгруппировав в левой части слагаемые с

sin ф, а в правой с cos ф, получим

( Г2—2 ^

роУ ¿1 + ¿2 • cos фо + c¿1

V J

sin ф

р0>А2 + ¿2 •sinфо + c¿2

VJ

cos ф ,

откуда находим решение уравнения (16):

ф = arctg

ро sin фо + c¿2M ро cos фо + c¿jM

+ nk,

(20)

где М - +52 1 -

Учитывая периодический характер тригонометрических функций среди всех точек, определяемых формулой (20), достаточно рассмотреть только принадлежащие интервалу -я;я], т.е.

где ф! = arctg

Уо+Uy х0+иу

Ф2 = arctg

[ Уо~иу )

иу - s^M , их - S]M .

х0 - их

Теоретически для определения того, какая из точек (21) является точкой минимума, необходимо использовать достаточное условие минимума (f(X)) >0. Однако получаемые в результате выражения оказываются крайне громоздкими, и их преобразование оказывается крайне трудоемким. При этом формула (21) определяет всего 4 точки, что позволяет выбрать среди них точку минимума путем непосредственного сравнения значения функции V в каждой из них, причем из формулы (11) следует, что минимум функции V совпадает с минимумом функции

Ж(ф) = р(ф)[со8ф = р(ф)(5'1 созф + S2 этф). (22)

Таким образом, можно сформулировать алгоритм определения оптимального угла фopt и оптимального управления и :

1) расчет матриц Т(Х) = дУ/дХ и S = ВГТ(Х) ;

2) определение пробных кандидатов ф7- по формуле (21);

3) вычисление значений функции Щ = РГ(ф7-) по формуле (22);

4) определение оптимального угла как yopt = argmin{)^} ;

5) определение оптимального стабилизирующего управления и по формуле (5) с учетом (12).

Для расчета управления необходимо определить функцию )^(Х) и,

соответственно, ее производную Т(Х). В работе [2] в качестве демпфируемой функции используется квадратичная форма от фазовых координат (F(X) = X НХ, где H = dzag(hj)). Однако такая функция F(X) может применяться только в случае, если управляющие воздействия входят в уравнения для переменных, для которых /?70, т. е. управляющие воздействия непосредственно «воздействуют» на значения соответствующих переменных. В противном случае уравнение (16) обращается в тождество 0 = 0, из которого нельзя определить оптимальный угол cpopt. При этом во

многих задачах управления электромеханическими системами компоненты

вектора управления не входят в уравнения для регулируемых переменных, поэтому функция Г(Х) должна быть выбрана с учетом собственной динамики объекта (4). Логичным в этом случае является использование в качестве У(Х) функции Ляпунова для объекта (4) без управления (при и = 0). Задача построения такой функции Ляпунова решена в работе [3] для объектов, в математическом описании которых функция Г(Х) представляет

собой квадратично-кубический полином: Г(Х) = А2х'-2-' + АзХ'-3-',

где А 2 е К

77X77

А3еК

7/Х7?

матрицы параметров объекта управления.

Х^ - к-я кронекеровская степень вектора, Х^ = X (8) X X,

к раз

г 1 к

X е к7/ , где <8> - символ кронекеровского произведения матриц.

В работе [3] для устойчивого объекта, у которого матрица А] имеет различные собственные числа, функция Ляпунова определяется методом прогнозирующей модели на основе приближенного интегрирования уравнений свободного движения с помощью функционального ряда Вольтера и матричный полином Т(Х) строится по следующему алгоритму:

1) расчет собственных чисел матрицы А^, ее модальной матрицы V и обратной к ней У^. Этот этап представляет собой типовую операцию линейной алгебры и выполняется стандартными средствами математических пакетов;

2) определение матриц А 2, А3, \¥ по формулам

А2 = VIА2у[2] , А3 = УхАзУ[з1, W = ;

3) расчет матричных интегралов Зц9 J12 и Зц, 122. ^23 и ^33 по формулам

П

I

W7•

°РЯ

пхп

Е Е

Рг + Р]

>

и] пхнУ

1с=1 {Яу+Р^Рг+Рк)

и]

где

=1. ^ = {2,3}.

(А,)

+ % + Рз2 )(5Ф + А])(А-1 + Ра)

Ь)

¿3(]) = Раъ +Р!ъ +Рс3

Ч ~ {2,3}, (У) = Ра2 + Р/^2 '

о2=1 +

а3=1 +

¿>3=1 +

п

гу

операция _ J означает взятие целой части числа, р^ - к-е собственное

число матрицы Л^, запись ||а||г- ^ означает матрицу, элемент /-й строки и _/-

го столбца которой равен а;

4) расчет матриц МрС^ по формуле

т[ Р]Тт л/[с]

М

РС

VР]т 1РСУГ], Р = {1,2,3}, С = {1,2,3} ;

5) построение матричного полинома Т (X) по формуле

Т (Хо ) = М11х0 +1 М12х02] + Р2 (Хо )МТ2Х

+

+

М1зх03] + Р2 ( Хо ) М22Х02] + Рз ( Хо ) М(зХ

[2 ]

тт

+

+

Р2 (Хо) М2зХ03] + Рз (Хо) М2зХ[о2] ] + _Рз (Хо ) МззХ03]

где Рз (Хо ) = 1Й ® Хо ® Хо + Хо ® 1Й

т

тт

Х+хо

'Хо

'/7 >

Р2 (Хо ) = 1Й ® х[ + Х[ ® 1

Построив полином Т(X), располагаем всем необходимым для определения управления согласно вышеприведенному алгоритму. Отметим, что полином Т (X) рассчитывается при заданной матрице весовых коэффициентов О. Аналогично другим методам решения задач АКОР при проектировании системы управления (СУ) задается некоторая первоначальная матрица О, выполняются синтез и моделирование замкнутой СУ. В случае, если качество переходных процессов по каким-либо критериям не удовлетворяет проектировщика, производится коррекция матрицы весовых коэффициентов О, и процедура повторяется заново.

Пример решения задачи АКОР

Рассмотрим применение описанного выше алгоритма на примере синтеза регулятора, стабилизирующего угловую скорость вала синхронного двигателя с постоянными магнитами.

Модель невозмущенного движения двигателя во вращающейся системе координат представляет собой квадратичный объект управления (А3 = 0) в форме (4) со следующими параметрами:

Х = [ Х1 Хо х ]Т, п = 3, т = 2.

Т

п •

х2

" а11 0 0 " " 0 0 0 0 0 С1 0 0 0" ~ь 0"

А1 = 0 а11 а23 , А2 = 0 0 0 0 0 0 - С1 0 0 , В = 0 ь

0 а32 а33 J 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

где Х1 = ^гтах , х2

Стах:

-1

х3 = юютах:

-1

-1

и1 = ийитах , и2 = идитах ■

плл——^/ пл —V) гл п^ _ _^сотах/ ~ _ — ОуАпах/

а11 - /г > VI - "р^тах> "23 - А / "32 - //гг>

/ ^ / ^тпах / *уи/тах

_ ^ / 7 _ ^/таХ / 7 __/ _ ^^ /

а33 ~~ / Т /Т 7 9 М ~~ /Теп ' /т ' /тах ' ^тах>

' и / ^б 'тах / / мпах

г/тах> ^тах ~ максимальные значения тока, угловой скорости, напряжения и момента нагрузки; Ь8, - индуктивность и сопротивление обмотки статора; пр - число пар полюсов; Ст и Се - постоянные двигателя, 3 -момент инерции; / - коэффициент вязкого трения; - компоненты вектора тока статора; со - угловая скорость вала ротора; т^ - момент нагрузки на валу, и^, иС} - компоненты вектора напряжения статора.

Введя новую переменную Х = Х-Хо, где Хд - заданный базовый режим, получим уравнения возмущенного движения

Х = А1Х + А2Х[2]+В-и,

где А1=А1+А2(1„®Х<)+Х0®1,7),

а\\ гЧ2<1\

а\\ агъ-ЧтЯ\ 0 а32 ^33

Уравнение установившегося режима

Г 1 Т

АЛ + а2Х0 + в (Х0) • и0 = о, где Хо = \гб2 /гуг со2 ] , \±, , со. -

заданные значения компонент вектора тока по осям ё, q и угловой скорости двигателя в относительных единицах.

Уравнение установившегося режима в развернутой форме

"20 = ~Ъ~1 (а1 ^д: + а23®= ~ )> (23)

*дг = ~{кМТЬ + аЪЪ^-.)а22-

а\ \Ч: + + Ьи\0 =

а\ + а23<*: ~ д\СО:1(]: + Ьи20 = 0, *

а32^1 + °33ю_- + кМТ1 =

В качестве объекта управления будем использовать двигатель со следующими параметрами: Я6. =11,8 Ом, Ь5 =2,8-10 3 Гн, «^=8,

С„, =0,2104, Се = 0,1962, / = 2,1-Ю-4 кг-м2, /" = 0.0008. При переходе к относительным единицам примем следующие максимальные значения переменных: /1ШХ = 5,4 А, ?/1ШХ = 21Л В, со1ШХ = соНОЛ1 = 29.27л рад/с, Ттах =0.16 Н м.

В качестве базового режима примем работу с номинальной скоростью при моменте нагрузки, равном Г1ШХ: = 1, со2 =1. С помощью фор-

мулы (23) определим значения переменных двигателя в базовом режиме, положив ¡ск = 0: и10 = -0.0410, и20 = 0.7074, ¡^ = 0.1408.

Матрицы модели возмущенного движения

А1=10:

-4.2143 0.7356 0.1036' -0.7356 -4.2143 -1.1931 0 0.0588 -0.0038

В = 103 •

2.5254 0 ' 0 2.5254 0 0

В матрице А2 ненулевыми являются только следующие элементы: (А2 )16 = 735.5516, (А2 )27 =-735.5516.

Выбрав матрицу весовых коэффициентов О как имеющую только

7

один ненулевой элемент 033 = 10 , с помощью вышеприведенной методики в математическом пакете МаЛаЬ определим полином Т (X):

Т ( X ):

1.37863х1 - 7.89873х2 - 581.533х3+3.28835х13 -

- 10.9715х2х3 - 566.664х3 - 6.76544x3 -7.89873х1 + 45.367х2 + 3347.86х3 - 10.9715х13 -

-5.43167х2х3 - 77.0783x2 - 0.924555х3 -581.533х1 + 3347.86х2 + 248190.0х3 - 10.9715х12 -

- 1133.33х1х3 + 8731.61х| - 20.2963х1х3 + 105.598х3

Ввиду того, что объект управления является квадратичным, полином Т (X) имеет третью степень. В выражении для Т (X) оставлены только слагаемые с наибольшими значениями коэффициентов перед ними, отброшены слагаемые, величины коэффициентов которых на порядок (и более) меньше по модулю.

Графики переходных процессов в замкнутой системе управления показаны на рис.1-2. Синусоидальные функции на графиках - токи и напряжения в неподвижной системе координат.

О 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Рис.1. Компоненты вектора напряжения двигателя в замкнутой СУ

-Об1-1-1-1-1-1-1-

О 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07

Рис. 2. Токи и скорость двигателя в замкнутой СУ

Интересно отметить, что, хотя управления (5) не являются релейными, в замкнутой СУ при достижении переменными объекта заданных значений возникает автоколебательный режим, аналогичный скользящему режиму для релейных регуляторов.

Список литературы

1. Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495с.

2. Панкратов В.В. Синтез оптимальных алгоритмов управления многосвязным динамическим объектом "в большом" методом непрерывной иерархии // Изв. вузов. Электромеханика. 1996. № 1-2. С. 58-65.

3. Шопин С.А., Ловчаков В.И. Синтез нелинейных квазиоптимальных регуляторов для квадратично-кубических объектов управления // Математические методы в технике и технологиях ММТТ-24: сб. трудов XXIV Международ. науч. конф.: в 10 т. Т.2. Секция 2,8 / под общ. ред. В.С. Балакирева. Киев: Национ. техн. ун-т Украины «КПИ», 2011. С. 68-73.

Шопин Сергей Александрович, аспирант, sshopinamail.ru. Россия, Тула, Тульский государственный университет

OPTIMAL TRANSIENTS DAMPING UNDER EUCLID-NORM CONSTRAINED

CONTROL VECTOR

S.A. Shopin

Application of V.I. Zubov's optimal transients damping method for objects linear in control under constrained maximum value of euclid-norm of control vector is considered.

Key words: analytical design of optimal regulators, V.I. Zubov's method, quadrati-caly-cubic objects, Lyapunov function

Shopin Sergey Aleksandrovich, postgraduate, sshopin@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University