Оптимальная интерполяция узкополосного сигнала в смысле минимума среднеквадратичной ошибки Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 004 421 К. А. КОРОЛЁВА ^

С. С. ГРИЦУТЕНКО '

Омский государственный университет путей сообщения

ОПТИМАЛЬНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ УЗКОПОЛОСНОГО СИГНАЛА В СМЫСЛЕ МИНИМУМА СРЕДНЕКВАДРАТИЧНОЙ ОШИБКИ

В статье рассмотрена оптимальная интерполяция сигнала, полоса которого значительно уже половины частоты дискретизации. Критерием оптимальности является минимум среднеквадратичного отклонения интерполированного сигнала от идеального. Оптимизация ведется для различных соотношений полосы сигнала и частоты дискретизации. Приведены результаты моделирования для интерполирующих фильтров разных поряд ко в и по лос пропускания фильтров. Ключевые слова: интерполяция, узкополосный сигнал, фильтр, среднеквадратичная погрешность.

Важнейшей проблемой информатизации железнодорожного транспорта в настоящее время является автоматизация сбора первичной информации и сокращение времени, требуемого на ее обработку. Для решения задач по совершенствованию систем информатизации и связи на железнодорожном транспорте, предоставления новых видов услуг по передаче речи, увеличению общего числа пользователей во всех подразделениях железнодорожного транспорта Министерством путей сообщения РФ было принято решение о создании систем цифровой технологической радиосвязи. Также одной из особенностей современного железнодорожного сообщения является увеличение скорости движения, что влечет за собой возникновение эффекта Доплера, который выражается как в смещении центральной частоты сигнала, так и в деформации его спектра. Восстановление деформированного спектра в данном случае равносильно интерполяции сигнала. В статье рассматривается оптимальная интерполяция сигнала, полоса которого значительно уже половины частоты дискретизации. Критерием оптимальности является минимум среднеквадратичного отклонения интерполированного сигнала от идеального. Оптимизация ведется для различных соотношений полосы сигнала и частоты дискретизации [1—3].

Рассмотрим следующие начальные условия. Пусть s(t) — сигнал, дискретизируемый равномерно с частотой ал. При этом ширина полосы данного

сигнала Aa><<a>d. Результатом дискретизации явля-

2о

ется последовательность s(—Т), где Т = — . Далее

md

для упрощентя В21кладок будем считать, что T = 1, тогда md = 271, г, следователыго, Дю<<2тс.

Задача состоет в получении такой последовательности ~(иГ + Дг), где At е [0, 1], из последовательности s(nT), чообы выражение

N

P4(C(nT + Де) - s(nT + Д)))Г г

= рр(н (n + Де) - s(n + Д,))2

(1)

имело минималеное зн(чение при фиксированном N.

Начнем n и+вестной интерпол!ционной формулы Котельникова [4]

нт)г 44- нс)

sin o(t - С) оД - С) '

(2)

Таким обраном , если нн+ интересует знгчение сигнала s(t) в некоторой тс)ке t=о+№, то величину s(n+At) можно вычипоить при помощи операции скалярного прорзнедения пр фср>м^е

. n ■Сп ^ sino^^^ - С)

s(n +Д) = 4)н(С)--г

ДтТ o(n + Де - о

= 44 s(-) • Дс

(3)

В (3) количество отсаечов :з(кСи коэффициентов Ьк бесконечно, что делиет невоимпжным реализацию этого алгоритмч в реальнон устройств). Поэтому ограничим их число до N4-1. Однако вотникает вопрос, какие именно из оасчетов з(к) следует использовать для интерполяцик, тлк кас вклад отсчета в точность иктерполяции завоокт от епо расстояния до точки, в котомой скснас онтеупорируют.

Действидеоно, есси интерполяция производится в точке 1=п+Д^ мо

sino(n + Де - С) о (n+Де -С)

sinoДt

тг(п + Де - С)

(4)

откуда однозначно вытекает, что максимальный вклад дают те отсчеты, номера к которых максимально блиоки к лЧ№. Для слрчая четного количества коэффициентов N +1 это означает, что слева

о=0

е

к

и справа от точки интерполяции должно находиться ™ N +1

отсчетов, и формула (3) получает вид

,о{п + АО) = п + к - Iх

с1пч\ АО + к

N +1

ч\ АО + к -

N +1

+ ^(п + АО) =

N ( N + 1л = ^0\ п + О--|Ао + +(п + АО),

к=0 V 2

Фурье, если сигналу к(о) соответствует спектр Я(т), то смещенному на Дt сигналу в/л+Д^ соответствует спектр 8(а)е~->н'.

Тогда рассматриваемая задача оптимизации сводится к нахождению N+1 коэффициентов КИХ фильтра Ьк (соглапно формуле (3) или (4)) с частотной характеристикой, максимально приближенной к форме е-0(I! полосе частот [т , т2], где т1 и т2 — начальная и конегная частоты в спектре интерполируемого сигнала.

Запишем =азложелие фуакции е-■Д] в ряд

(5)

= ЛгеЛ,еЦ°еЛ,еОще... е Ко3'

(8)

где ц(n+Дt) — ошибка, вносимая усечением ряда.

Для случая нечетного количества коэффициентов это ознлч=ет, что точка =нтерполя°ии должна

находиться ближе всего к центральному отсчету

N +1

с номером -, или, что то же самое, на расстоя-

Г 1 Г N .

нии не более чем _ от отсчета о| —е 1

о(п е ЛА) = фЗо[ п е ко Н о 11 о

■ [ л , N 11 с1пн| ЛО е к----I

о-т^-——j-га е л(п е ЛгО ) =

Н ЛОек

N

Г Г

фо[ п е к о 0Л о 1 Л -г л(п е ЛО)

Правая часть вN1 раженио (8) представляет собой интерполщующиф многочлен жда

(6)

PN(x) = Л0 +Л1х + Лгхг +... + ЛNxN,

(9)

где х = еН

Таким об разом, задапа св воитое к; по иску массива коэффицикнтов Ь1, Ь2...ЬМ при помощи метода наименьшм квадрагов, чтобы обеспечить выполнение условия (7).

еп нахвждгния коэффициентоы основывается на поисре минимфга Фхнкцли

^ = фф Р (нЛ0K)оH300 =

п=1

н 0 е

= ф )фЗЪи

(10)

Необходимо учитывать, что, согласно начальному условию Дт<<а>л, спекир сигнала s(n+Дt) занимает сравнительно уекую по цлоошению к частоте дискретизации полосу. О зависимости от набора коэффициентов {Ьк} в этуполосу попадаетбольше или меньше; он ер лии оши бко ентее тъоняе,ии ц(п+ДЦ. Выполним оптимизацию данных коэффициентов для минимизхц=л шпи=ли лнторюоляции в полосе сигнала s(t).

Рассмотр=з критерий оптимизации. Пусть интерполированный сигнал подается на решающее устройство, I! оынову работы которого положен критерий м=кcиФaлнноиo п°а вдоы одобия. Ото о зна-чает, что данное =устройптво аравоивает все входящие сигналы с неким набором оталонов. Сравнение заключается в лэхофплнци сроохоквадратичного отклонения входного сигнала от эгалонов. Тот эталон, который имеет наименьшее среднеквадоатич-ное отклонение от сигнала но входх решающего устройства, считается пе^данным сигналом. Следовательно, ми н имиз ациг ошибои и нтерполяции для описанного случая доажна закжочаться в том, чтобы сред=екоa1npaтдондт отклонение интерполированного сигнала ~(п е ЛО) от идеального сигнала s(n+Дt) быио минимальным:

где t — мозент превмен0О двя которого выполняется интерполяция; {тп} — набор точек на оси частот, лежащих на ынтервале [т1, т2].

]Xцве=тнo, что функ+ия ымеег минимумы в точках, в кхто]иы+ 1се час+ные производные равны

СГ

ну=н :

со.

■ = 0, Л = 0, 1...32.

Напишем это в виде системы уравнений с —четом (1иО:

СГ СЪ0

сг.

Сф

сг со,

ГI

П=1

ы

г1

n=]

N

гТ

Н + оз + ь?» 2 +.

л

+ Ко'

еы2п и о32

Н + ЪЗ +Лг оПшп +.

+ К,е

НЫ2п и Н32

(11)

Ч + Ь^нг"п +Ъг оПшп + .

+ Ко

3О2п и Н32'г!

В конечном виде выражение для нахождения коэффициентов имеет вид

1

ф(о(п а ЛО) оИИ(п еЛО ))г

ы

(7)

Среднеквадратичное отклонение двух сигналов возможно вьшислять еок во вхыменной области, так и в частотной, поэтому рассмотрим спектр сигнала s(n+At= Соглнсео CI30]йcтвам преобразования

ы

ы

ы

ы

Ог,Ли + ОТ?322 + Нз132 +... 2 Ъы 1Нт'п = I3

Г!=1

n=] n=]

тГ2n _ , = 3(ы+1).

ЪоТ?32'п нНЦН3^ +... + ЪыI

Н ' " = I? " о

n=]

n=]

n=]

n=]

Ъо Т?^ + ъТоН3^2 + + .. + Ъы То32 О2о в I

в > Н3Ыапо3ап' .

г

пв! V и=

о

n=]

пво

ь

n=]

n=]

n=]

Решение данной системы существует, и оно единственно. Рассчитанный таким способом фильтр с коэффициентами Ьк наилучшим образом интерполирует исходную функцию в среднеквадратичном смысле.

Так как мы оперируем с узкополосными сигналами, то можно оптимизировать распределение величины ошибки не для всей полосы частот, а только для некоторого частотного интервала [5]. А именно, при организации связи на железнодорожном транспорте используются радиостанции, работающие на фиксированных частотах. Кроме того, для каждого вида связи между абонентами предусмотрен свой диапазон частот. Поэтому при передаче сообщений известен используемый диапазон частот. Покажем, что количество вычислений, которые необходимо выполнить при интерполяции, не зависят от центральной частоты этого интервала.

Действительно, если допустить, что при смещении центральной частоты частотного интервала количество необходимых для интерполяции арифметических операций меняется, то воумоуно при помощи элементарных действий сместить спяктр интерполируемого сигнала в ту о бласть, где требуется минимум таких операций, и поуло интеоуоляции вернуть спектр уже интерполированного сигкала обратно. Поэтому дальше будем рассманривать интерполяцию только в частотном интервале [—а; а],

где а

1

верхняя частота полосы пропускания

интерполирующего фильтра, то есть счятать, что центральная частота ч астятного и бтерв уян находится в нуле.

Проведем моделирование предлагаемого алгоритма. Сформируем трутовый тигнал, стстоящий из К-отсчетов. Спектр сигнала перенесем в область нижних частот так, чтобы его центральная частота находилась в чуле. После пе=лннса сигнала на нулевую частоту проиаведкм ено интерполяцию согласно описанному алгоритму. Лндраоумовается, что в результате интерполяции мы получим набор значений этого сигнаьа между еко отсчттаки. Другими словами, получим ядлинутый сигнал относительно исходного. Про этом величина сдвига интерполированного сигнала относинельно исходного зависит и от порядка интнрполурующего фильтра. Для интерполирующего фильтра порядка N величина сдвига равна

Рис. 1. Распределение среднеквадратичной ошибки интерполяции для фильтров разных порядков от 1 до 10 в зависимости от величины временного сдвига 1

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.! т птс с]ота1п

Рис. 2. Среднеквадратичная ошибка интерполяции для полосы пропускания фильтра, равной 10 % от частоты дискретизации, где порядок фильтра для каждой кривой составляет: а — 1; Ь — 2; с — 3; а — 4; е — 5; Г — 6; д — 7; И — 8; 1 — 9; j — 10

ч = М о

а-с л '

(13)

где Д е [В, С].

Вычислив значения сргнала, в нужные моменты времени при необходимости сигнал возвращают на несущую частоту. Полученные результаты моделирования демонстрируят распределение погрешности интерполяции в зависимости от заданных пара-метровалгоритма интерполяции.

На рис. 1 представлены кривые распределения среднеквадратичной ошибки интерполяции для фильтров разных кпорядков при полосе пропускания фильтра, равной 10 % от частоты дискретизации, в зависимости от величины сдвига I. Верхняя кривая соответствует фильтру первого порядка, следующие кривые соответствуют фильтрам второго — девятого порядков, нижняя — фильтру десятого порядка. При этом наглядно продемонстрировано, как величина среднеквадратичной ошибки интерполяции зависит от количества коэффици-

ентов N. Так, например, величина среднеквадратичной ошибки для фильтра первого порядка при t = 0,5 составляет порядка —50 дБ, а для фильтра пятого порядка при t = 2,5 — около —95 дБ.

Чем больше порядок фильтра и, соответственно, количество коэффициентов, тем большее число отсчетов сигнала используется и улучшается качество интерполяции в целом. Однако вместе с тем увеличивается и количество операций, требуемых для вычисления значения в произвольной точке.

Так как целью данного исследования является предложение универсального быстродействующего алгоритма для наилучшего приближения исходной функции, рассматриваются фильтры с длиной импульсной характеристики не более десяти.

Верхняя кривая на графике показывает симметричное относительно середины расстояния между известными отсчетами распределение среднеквадратичной ошибки интерполяции для фильтра первого порядка (с длиной импульсной характеристики, равной двум). При этом своего локального максимума она достигает при Дt = 0,5.

Все кривые распределения среднеквадратичной ошибки для фильтров порядка N имеют подобную особенность, а именно симметр ичны относительно

* = N.

2

Кривые, характеризующие распределение среднеквадратичной ошибки для фильтров нечетного порядка N имеют особенность. Они симметрич-

и

ны относительно точки —, находящейся посередине между известными отсчетами. Однако следует учитывать, что распределение среднеквадратичной ошибки на интервалах [0; 0,5] и [0,5; 1] не идентично. Поэтому, анализируя полученные зависимости, предложено при интерполяции использовать величину сдвига Дí в интервале [ — 0,5; 0,5]. Это позволяет обеспечить минимально возможное среднеквадратичное отклонение интерполированного сигнала от эталонного.

Зависимости среднеквадратичной ошибки интерполяции сигнала с шириной спектра, составляющей 10 % от частоты дискретизации для фильтров разных порядков, показаны на рис. 2.

Теперь рассмотрим влияние выбора ширины полосы пропускания фильтра на величину ошибки интерполяции. Изображенные на рис. 3 кривые показывают соответственно распределение среднеквадратичной ошибки интерполяции для фильтра третьего порядка в зависимости от ширины полосы пропускания фильтра.

Рассмотрим фильтр с полосой пропускания, равной г % от частоты дискретизации сигнала. При выборе меньших значений г полоса частот, в которой необходимо обеспечить качественную интерполяцию, будет более узкой. Следовательно, при малом порядке N многочлена (9) можно обеспечить удовлетворительный уровень ошибки. Таким образом, чем уже полоса принятого сигнала, тем меньше значение ошибки интерполяции.

Это заключение подтверждают результаты моделирования, представленные на рис. 3. Так, если полоса сигнала составляет 1 % от частоты дискретизации, то среднеквадратичная ошибка интерполяции составляет —220 дБ. Для случая 20 % от частоты дискретизации среднеквадратичная ошибка составляет —90 дБ.

Таким образом, можно подобрать оптимальное соотношение порядка интерполирующего фильтра, в зависимости от ширины спектра интерполируемого сигнала, для заданной величины погрешности.

В статье рассмотрена интерполяция сигналов с шириной полосы частот значительно уже частоты дискретизации. При этом ошибка интерполяции имеет минимальное среднеквадратичное отклонение интерполированного сигнала от идеального для различных соотношений полосы сигнала и частоты дискретизации. Учитывая применяемое оборудование на предприятиях железнодорожного транспорта и специфику организации работы отрасли, рационально менять не дорогостоящие блоки и комплектующие, а алгоритмы обработки принимаемых сигналов. Так, затраты на адаптацию существующей сети не будут дорогостоящими, но выигрыш в качестве обработки будет значительным. Приведены результаты моделирования среднеквадратичной погрешности интерполяции, выполнен сравнительный анализ полученных зависимостей при различных порядках фильтров и величин сдвига. Показано, что вычислительная сложность пред-

Рис. 3. Среднеквадратичная ошибка интерполяции для фильтра третьего порядка, где полоса пропускания

фильтра составляет от частоты дискретизации: a — 45 %; Ь — 20 %; c — 10 %; d — 5 %; e — 2 %; f — 1 %

лагаемого алгоритма, в случае если длина импульсной характеристики фильтров не превышает 10, не отличается от уже применяемых алгоритмов обработки сигналов; однако при восстановлении принятого сообщения точность достигает 90 дБ в относительно широком диапазоне (20 % от частоты дискретизации).

Библиографический список

1. Грицутенко, С. С. Компенсация эффекта Доплера в OFDM-сигнале / С. С. Грицутенко, А. С. Сидоренко // Известия Транссиба. - 2012. - № 3. - С. 100-105.

2. Грицутенко, С. С. Адекватность использования аналогий в цифровой обработке сигналов / С. С. Грицутенко // Известия Транссиба. - 2010. - № 2 (2). - С. 80-86.

3. Галкин, В. А. Цифровая мобильная радиосвязь / В. А. Галкин. - М. : Горячая линия - Телеком, 2007. - 432 с.

4. Biberdorf, E. A new principle of dynamic range expansion by analog-to-digital converting / E. Biberdorf, S. Gritsutenko, K. Firsanov. - Proceedings of IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS'09) / Kharkov National University of Radioelectronics / Moscow. Russia. September 18-21, 2009, pp. 193-195.

5. Ширман, Я. Д. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех / Я. Д. Ширман, В. Н. Манжос. - М. : Радио и связь, 1981. - 416 с.

КОРОЛЁВА Ксения Андреевна, аспирантка кафедры инфокоммуникационных систем и информационной безопасности Омского государственного университета путей сообщения (ОмГУПС); научный сотрудник Омского научно-исследовательского института приборостроения. Адрес для переписки: jokie-ksu@mail.ru ГРИЦУТЕНКО Станислав Семенович, кандидат технических наук, доцент (Россия), доцент кафедры инфокоммуникационных систем и информационной безопасности, руководитель отдела «Нанотех-нологии» ОмГУПС. Адрес для переписки: st256@mail.ru

Статья поступила в редакцию 26.01.2016 г. © К. А. Королёва, С. С. Грицутенко