CC BY
4doi: 10.5862/MCE.61.3
Оптимальная геометрия плоской балочной раскосной фермы с учетом линейной ползучести материала
The optimum geometry of the flat diagonal truss taking into account the linear creep
Инженер-конструктор Д.В. Тиньков,
ОАО «Государственное машиностроительное конструкторское бюро «Радуга» имени А.Я. Березняка», г. Дубна, Россия
Ключевые слова: раскосная ферма; масса; прогиб; аналитическое решение; индукция; линейная ползучесть
D.V. Tinkov,
"Raduga" State Engineering Design Bureau JSC named after A.Y. Bereznyak, Dubna, Russia
Key words: diagonal truss; weight; deflection; analytical solution; induction; linear creep
Аннотация. Находятся точные аналитические выражения оптимальной геометрии и минимальной массы для балочной раскосной фермы, выполненной из материала, обладающего свойством линейной ползучести. Выведены простые аналитические выражения для прогиба оптимальной по массе фермы. Вычисления производятся по формуле Максвелла - Мора. Найдены обобщения решений на произвольное число панелей методом индукции. Исследования выполняются при поддержке системы компьютерной математики Maple в символьном виде. Для сравнения решений и их проверки применяется многофункциональный программный комплекс ЛИРА-САПР, который предназначен для проектирования и численного расчета строительных и машиностроительных конструкций.
Abstract. We have found the exact analytical expressions for the optimal geometry and minimum mass of a diagonal truss beam made of a material with properties of linear creep. We have derived simple analytical expressions for the deflection of the optimal weight of the truss. The deflection of the truss was calculated by the Maxwell - Mohr formula. We found solution generalizations for any number of panels by induction. The research was carried out with the support of the Maple computer mathematics system in symbolic form. The multifunctional Lira software package intended for the design and numerical calculation of buildings and engineering structures was used for comparing and testing the solutions.
Постановка задачи
В традиционных задачах расчета стальных строительных конструкций ползучесть не учитывается [1]. Для стеклопластиковой конструкции, обладающей свойством линейной ползучести, учет реологии материала представляется существенным моментом при выборе оптимальной схемы. В настоящей работе ставится задача оптимизации по массе фермы при помощи точных формул. Как правило, аналогичные задачи решаются численно, с применением различных специализированных методик и программ [2-12]. Известно [13], что в некоторых случаях численные методы не в состоянии выявить особенности конструкции. Покажем преимущества точных аналитических расчетов регулярных стержневых конструкций. Процедуру минимизации веса и определения прогиба рассмотрим на примере статически определимой раскосной фермы с шарнирным соединением в узлах. Предположим, что критическое состояние в оптимальной ферме наступит во всех стержнях одновременно. Критическое состояние для сжатых стержней - потеря устойчивости под заданной нагрузкой, для растянутых стержней - разрыв от накопленных со временем повреждений в структуре материала. Применим индуктивный метод аналитического обобщения результатов на произвольное число панелей фермы, принципиально отличный от широко используемого в таких задачах метода балочной аналогии [1]. Ранее аналогичная задача была решена для фермы с треугольной решеткой [14].
Tinkov D.V. Optimalnaya geometriya ploskoy balochnoy raskosnoy fermy s uchetom lineynoy polzuchesti materiala [The optimum geometry of the flat diagonal truss taking into account the linear creep]. Magazine of Civil Engineering. 2016. No. 1. Pp. 25-32. doi: 10.5862/MCE.61.3 25
Расчет
Рассмотрим расчетную модель балочной раскосной фермы длиной пролета Ь, высотой Н с количеством панелей в половине пролета п = 4 (рис. 1). Элементы между собой соединены шарнирно. Ферма нагружена по нижнему поясу. Собственный вес не учитываем.
I
а
Рисунок 1. Расчетная модель, п = 4
Масса конструкции
т = рУ, (1)
где объем конструкции вычислим по формуле
У = !(+ ). (2)
Величины, относящиеся к сжатым стержням, будем отмечать знаком -, растянутые -знаком +.
7 2 2
а + Н . Длина элементов нижнего и верхнего пояса (длина панелей) а = Ь/(2п). Высота стоек - Н.
Теоретически минимальная масса фермы с сохранением прочности и устойчивости ее элементов достигается при минимально допустимой площади каждой составной части. Для растянутых элементов площадь определяется пределом прочности на растяжение, а для сжатых -критическим напряжением потери устойчивости.
Определим минимальную площадь растянутых стержней. В растянутых стержнях из стеклопластика при долговременных нагрузках прочность материала со временем убывает. Примем как гипотезу, что критическое состояние - разрыв - достигается за время, обратно пропорциональное усилию в стержне. При этом для мгновенного нагружения (Г = 0) критическое состояние должно соответствовать о = ор , где ор - расчетное сопротивление. Для растянутых
стержней имеем:
А+ = , где ^ = ор/(Г/3600 + 1)Ь , (3)
где Ь - показатель степени, зависящий от типа армирования (при расположении волокон по
направлению нагрузки: Ь = 0.01 - для однонаправленных слоев, Ь = 0.04 - для тканых слоев и
Ь = 0.1 - для слоев из мата) [15]. Ор = 140 МПа - значение расчетного сопротивления
однонаправленного стеклопластика, полученного методом пултрузии (протяжки) [15]. Пултрузия -это технология изготовления высоконаполненных волокном композиционных деталей, которая обеспечивает более высокие и стабильные характеристики материала по сравнению с другими технологиями - ручным формованием, вакуумной инфузией. Заметим, что условная прочность
5(г) резко убывает в начале эксплуатации и мало меняется при больших Г. Например, при Г = 0.316 108 с (1 год) 5 = 0.91ор , при Г = 0.158 1010 с (50 лет) 5 = 0.88ор, при Г = 0.316 1010 с (100 лет) 5 = 0.87ор .
Определим минимальную площадь сжатых стержней. Примем, что материал для них обладает линейной ползучестью: р = (d|dt}(£ — < E} = E , где V - вязкость материала. Для постоянных напряжений деформация, увеличивающаяся со временем за счет ползучести, равна е(t) = (1 + Vt)<E , где напряжение < = F1~/Ai.
Известно [16], что выбор критерия потери устойчивости не влияет на геометрию оптимальной по весу фермы. Рассмотрим критерий секущего модуля [17] (другое название -критерий критической деформации), согласно которому потеря устойчивости сжатого стержня наступит, когда деформация достигнет критического значения для упругого стержня:
e(t ) = %
(4)
Предполагаем, что радиус инерции г всех сжатых стержней одинаков. Отсюда следует, что значение критической деформации для 1-го стержня принимает вид е0 = — (яг/£ 1) .
Подставим в уравнение (4) функцию деформации е( t) и значение критической деформации
(1 + vt) F"/( EAi ) = -(pr/L i )2.
Выразим площадь сечения. Для сжатых стержней имеем:
А—=—^~- , где q = E(яг)2/(1+ Ш). (5)
Знак минус в формуле площади взят потому, что значения деформаций и усилий F1~ для сжатых элементов отрицательны.
Для удобства расчетов введем обозначения сил по их положению в ферме: раскосы, элементы поясов, стойки. Силы в раскосах обозначим Rnj , где п - количество панелей в половине
пролета,/ - номер панели (/=1...и). Силы в элементах нижнего пояса - Tnj . Силы в стойках -
Nnj . Силы в элементах верхнего пояса - . Заметим, что сила в центральной стойке равна 0:
нагрузка от нижнего пояса передается на верхний только при помощи двух центральных раскосов.
В силу симметрии достаточно рассмотреть половину фермы. Схема обозначений усилий в элементах конструкции приведена на рисунке 2.
Рисунок 2. Схема обозначений усилий в элементах, п = 4
В частном случае для одной панели в половине пролета (п = 1) силы в элементах равны:
^11 = р (2 sin jj, Гц = 0, N11 =- p 2, S11 =- p (2tg j).
Для n = 2:
R21 = 3P/(2sin j), T21 = 0, N2l = -3P/2, =-3P/(2tgj), R22 = P/ (2sin j), T22 = 3p (2tgj), N22 =-P/ 2, S22 =-2P/tgj.
Для и = 3:
R31 = 5P/(2sln j), T21 = 0; N31 =-5P/2, S31 =-5P/(2tgj),
R32 = 3Pl( 2sln j), T32 = 5P/( 2tgj), N32 =-3P/2, S32 =-4 P/tgj, R33 = P/( 2sln j), T33 = 4P/tgj, N33 =-P/2, S33 =-9P/( 2tg j).
Для обобщения методом индукции вычислим значения нагрузок в элементах j-й панели фермы с числом панелей в половине пролета n:
r-=sjп - j+2], Tnj=j - <-- ¥]. Nnj=4 - j+2). (6)
Sj - fi" - 2)
j tgj V 2) ■
Для упрощения вида формул введем переменную x = tgj = H¡a. Тогда значение sin j. длины раскосов d и высота фермы H будут равны:
sin j = x/ VT+x2, d = aV1 + x2, H = xa. (7)
В итоге с учетом замены переменных (7). уравнений (2). (3). (5) и при помощи системы компьютерной математики Maple [18] уравнение для массы фермы (1) примет вид:
" (R T N S ^ рУ = 2р£ d + -nja--jH3 —ja3 = 2pP(x3B + xC + D/x), (8)
m
j=1
где коэффициенты
v ^ ^ q q
2 3
В = п2а3 /д, С = п2а^, В = — + — (п-1)(4п +1) + —(п +1)(4п-1). (9)
5 65 6ц
Заметим, что по формуле (8) масса стремится к бесконечной величине при угле наклона раскосов, стремящемся к 0 и к 90
Минимальную массу конструкции определим по условию ёт/ёх = 0 :
3Вх4 + Сх2 - В = 0 .
Отсюда минимальная масса конструкции достигается при тангенсе угла наклона раскосов, равном:
*
x =
-C W C 2 +12 BD
6B
Подставим значения коэффициентов В, С, В в найденную зависимость х и выполним замену переменной к = ^д:
x* = ^ ^2ka2 (ka 2 +1)( п +1)( 4п -1)/п +(ajek). (10)
Из этого следует. что оптимальная высота фермы
* *
H = xa = J ^2ka2 (ka2 +1)( n +1)( 4n -1)/n +1-1 ^-y/óT. (11)
Также можно определить оптимальное отношение высоты фермы к пролету как функцию числа панелей
* * I—^— /
= =^2ка2 (ка2 +1)(п +1)(4п -1)/п +1 -1(2пау[вк). (12)
Оценим прогиб середины пролета оптимальной по массе фермы. В начале эксплуатации деформация ползучести еще не развилась, и материал ведет себя как упругий. По формуле Максвелла - Мора:
А =
ЕЛ,
(13)
г(1)
где ^ ' - усилия в элементах при единичной вертикальной нагрузке, действующей на центральный узел нижнего пояса - его вертикальное перемещение требуется определить.
В частном случае для п = 1 силы в элементах при единичной нагрузке равны:
?(1) — т/^ф т(1)=п лт~(1) —_1/0 с(1)=.
Для n = 2:
Для n = 3:
—1/(2в1пф), Т^ — 0, Ж}! —-12, ^ — _1/(2ф.
— 1/(2бшф), Т^ — 0, #21) — _1/2, $ — _V(2ф, —1/(2мпф), Т^ — 1/(2ф, #22) —_12, 4> — _1/ф
л3? —1/(2в1пф), Т^ — 0, ^ — _1/2, $ — _1/(2ф,
—1/(2мпф), — 1/(2ф), #32) —_12, — _1/ф
^33) — У(ф), Тзф — Vф, —_12, ^ — _3/(2ф.
Обобщим методом индукции значения нагрузок, возникающих в элементах ]-й панели фермы с числом панелей в половине пролета п при единичной нагрузке:
rJ = 1
ni _ •
2sinj
. T(1) = j _1 . N(1) =_I. v(1) =_ j ' nj 2tgj' nj 2' nj 2tgj
(14)
Воспользуемся программой Maple [18] для вывода итоговой формулы прогиба оптимальной по массе фермы. Подставим уравнения (6), (14) в формулу Максвелла - Мора (13):
п. n
А = -1
Е ^
Е j =1
(
sdRnj + saTnj
qNnj qs,
H
nj
л
a
n
E
f
sax +
sa2 (n +1) + q(n + 3)
(15)
2ax
Ранее аналитические решения задачи о прогибе были решены для конструкций из элементов равной площади [19-22]. В процессе решения задачи оптимизации, в отличие от приведенных работ, найден прогиб для фермы из элементов разной площади с учетом прочности, устойчивости и реологии материала.
Tinkov D.V. Optimalnaya geometriya ploskoy balochnoy raskosnoy fermy s uchetom lineynoy polzuchesti materiala [The optimum geometry of the flat diagonal truss taking into account the linear creep]. Magazine of Civil Engineering. 2016. No. 1. Pp. 25-32. doi: 10.5862/MCE.61.3 29
Пример
Рассмотрим ферму с параметрами а = 1.5 м, п = 10, г = 0.03 м , нагруженную силами Р = 9 кН. Для стеклопластика имеем следующие характеристики [15]: Е = 28 ГПа,
ар = 140 МПа, п = 0.475 •10"10е"1, р = 2000 кг/м3.
Для t = 0 с результаты распределения площадей элементову-х панелей, вычисленных при помощи формул (3), (5), (6), приведены в таблице 1. Для наглядности в ячейках таблицы отображены гистограммы, пропорциональные величинам площадей. А^у ] - площадь элемента
верхнего пояса у-й панели, А[Япу] - площадь раскоса, Л[Ыпу] - площадь стойки, А[Тпу] -площадь элемента нижнего пояса.
Таблица 1. Площади сечений элементов оптимальной по массе фермы при t = 0 с
] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
А[ ] 2 см 2 5.56 10.53 14.91 18.72 21.93 24.57 26.61 28.07 28.95 29.24
А[ Ку ] см 2 ¡7.52 6.73 5.94 5.14 4.35 3.56 2.77 1.98 | 1.19 0.40
А[ ^ ] 2 см 2 14.99 13.41 11.83 10.26 |8.68 17.10 5.52 3.94 2.37 0.79
А[Тпу ] 2 см 2 0.00 4.39 [8.31 11.78 14.78 17.32 19.40 21.01 22.17 22.86
Зависимость массы т от тангенса наклона раскосов х показана на рисунке 3. Оптимальная величина х при времени эксплуатации t = 0 с равна х = 1.392 (54.3°), при t = 1 год -
х = 1.403 (54.3°), при I = 50 лет - х = 1.399 (54.4°).
Функция оптимальной высоты фермы Н* (11) от критического времени t для различных значений количества панелей в половине пролета п показана на рисунке 4.
п= 11
п= 10
10
20
-1-1-1-г
30
1-1-1-Г-
40
Рисунок 3. Функция массы фермы от тангенса угла наклона раскосов для разных моментов времени
Рисунок 4. Функция оптимальной высоты фермы от тангенса угла наклона раскосов для разных моментов времени
Прогиб оптимальной по массе фермы по формуле (15) при t = 0 с равен 677.3 мм.
По результатам численного расчета, проведенного в системе ЛИРА [23] для модели с шарнирными узлами и с геометрическими параметрами, полученными по формулам (3), (5), (10), прогиб равен 677.3 мм. Для модели с жесткими узлами - 675.7 мм . Численный расчет модели с шарнирными узлами подтверждает правильность аналитического выражения для прогиба. Близость величин прогиба для модели с жесткими и шарнирными узлами объясняется тем, что изгибная жесткость стеклопластиковых элементов достаточно мала, и, как следствие, оценка прогиба по аналитическим формулам выигрышна в силу простоты.
Для ферменных конструкций пешеходных мостов, стропильных ферм и т.п. требования по жесткости больше, чем получившийся прогиб 677.3 мм=Ь/45(Ь — 30000 мм) . Для пешеходного
моста допустим прогиб не более Ь/400 [24]. Для стропильной фермы - не более Ь/250 [25]. Следовательно, для удовлетворения требованиям по жесткости площади элементов будут больше, чем рассчитано по условию прочности.
Заключение
Символьные преобразования, необходимые для вывода формул зависимости от числа панелей, требуют значительно больше времени, чем численный анализ конкретных конструкций. Однако для регулярных систем символьные вычисления и индуктивный метод позволяют получить формулы, которые годятся без ограничения для ферм с произвольным числом стержней. В ходе выполненной работы найдены параметры геометрии оптимальной по массе плоской балочной раскосной фермы как функции времени эксплуатации и количества панелей. Найдено аналитическое выражение прогиба в начале эксплуатации, при неразвитой деформации ползучести и упругой работе материала.
Литература
1. Лихтарников Я.М. Вариантное проектирование и оптимизация стальных конструкций. М.: 1979. 319 с.
2. Кирсанов М.Н. Генетический алгоритм оптимизации стержневых систем // Строительная механика и расчет сооружений. 2010. №2. С. 60-63.
3. Ramaswamy G. S., Eekhout M., Suresh GR. Analysis, Design and Construction of Steel Space Frames. London: Thomas Telford Publishing, 2002. 242 p.
4. Narayanan S. Space Structures: Principles and Practice. U.K. Essex, Brentwood: Multi-Science Publishing Company, 2006. 844 p.
5. Chilton J. Space Grid Structures. U.S.A. Woburn, MA: Architectural Press, 2000. 180 p.
6. Gasbarria P., Montia R., Sabatinib M. Very large space structures: Non-linear control and robustness to structural uncertainties // Acta Astronautica. 2014. Vol. 93. Pp. 252-265.
7. Camp C.V., Farshchin M. Design of space trusses using modified teaching-learning based optimization // Engineering Structures. 2014. Vols. 62-63. Pp. 87-97.
8. Kaveh A., Sheikholeslami R., Talatahari S., Keshvari-llkhichi M. Chaotic swarming of particles: A new method for size optimization of truss structures // Advances in Engineering Software. 2014. Vol. 67. Pp. 136-147.
9. Kociecki M, Adeli H. Two-phase genetic algorithm for topology optimization of free-form steel space-frame roof structures with complex curvatures // Engineering Applications of Artificial Intelligence. 2014. Vol. 32. Pp. 218-227.
10. Lebee A., Sab K. Homogenization of a space frame as a thick plate: Application of the Bending-Gradient theory to a beam lattice // Computers & Structures. 2013. Vol. 127. Pp. 88-101.
11. Stottrup-Andersen U. Masts and Towers // Proceedings of the lASS Symposium, Valencia Evolution and Trends in Design, Analysis and Construction of Shell and Spatial Structures 28 September - 2 October 2009, Universidad Politecnica de Valencia Spain. Alberto DOMlNGO and Carlos Lazaro (eds.) Pp. 127-138.
12. Zhang R., Guo X. Liu Y., Leng J. Theoretical analysis and experiments of a space deployable truss structure // Composite Structures. 2014. Vol. 112. Pp. 226-230.
13. Кирсанов М.Н. Анализ прогиба решетчатой балочной фермы распорного типа // Инженерно-строительный журнал. 2015. №5(57). С. 58-65.
References
1. Likhtarnikov Ya.M. Variantnoye proyektirovaniye i optimizatsiya stalnykh konstruktsiy [Variant design and optimization of steel structures]. Moscow. 1979. 319 p. (rus)
2. Kirsanov M.N. Geneticheskiy algoritm optimizatsii sterzhnevykh system [Genetic algorithm optimization of rob systems]. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2010. No. 2. Pp. 60-63. (rus)
3. Ramaswamy G. S., Eekhout M., Suresh GR. Analysis, Design and Construction of Steel Space Frames. London. Thomas Telford Publishing. 2002. 242 p.
4. Narayanan S. Space Structures: Principles and Practice. U.K. Essex. Brentwood. Multi-Science Publishing Company. 2006. 844 p.
5. Chilton J. Space Grid Structures. U.S.A. Woburn. MA. Architectural Press. 2000. 180 p.
6. Gasbarria P., Montia R., Sabatinib M. Very large space structures: Non-linear control and robustness to structural uncertainties. Acta Astronautica. 2014. Vol. 93. Pp. 252-265.
7. Camp C. V., Farshchin M. Design of space trusses using modified teaching-learning based optimization. Engineering Structures. 2014. Vols. 62-63. Pp. 87-97.
8. Kaveh A., Sheikholeslami R., Talatahari S., Keshvari-llkhichi M. Chaotic swarming of particles: A new method for size optimization of truss structures. Advances in Engineering Software. 2014. Vol. 67. Pp. 136-147.
9. Kociecki M, Adeli H. Two-phase genetic algorithm for topology optimization of free-form steel space-frame roof structures with complex curvatures. Engineering Applications of Artificial Intelligence. 2014. Vol. 32. Pp. 218-227.
10. Lebee A., Sab K. Homogenization of a space frame as a thick plate: Application of the Bending-Gradient theory to a beam lattice. Computers & Structures. 2013. Vol. 127. Pp. 88-101.
11. Stottrup-Andersen U. Masts and Towers. Proceedings of the lASS Symposium, Valencia Evolution and Trends in Design, Analysis and Construction of Shell and Spatial Structures. 28 September - 2 October 2009. Universidad Politecnica de Valencia. Spain. Pp. 127-138.
12. Zhang R., Guo X. Liu Y., Leng J. Theoretical analysis and experiments of a space deployable truss structure. Composite Structures. 2014. Vol. 112. Pp. 226-230.
13. Kirsanov M.N. Analiz progiba reshetchatoy balochnoy fermy raspornogo tipa [Analysis of the deflection of a strut-type
Tinkov D.V. Optimalnaya geometriya ploskoy balochnoy raskosnoy fermy s uchetom lineynoy polzuchesti materiala [The optimum geometry of the flat diagonal truss taking into account the linear creep]. Magazine of Civil Engineering. 2016. No. 1. Pp. 25-32. doi: 10.5862/MCE.61.3 31
14. Кирсанов М.Н. Оптимальная высота балочной фермы с учетом линейной ползучести материала // Известия вузов. Строительство. 2000. №5. С. 141-144.
15. СТО 39790001.03-2007. Стандарт организации. Дороги автомобильные общего пользования. Пешеходные мосты и путепроводы. Конструкции дорожно-строительные из композиционных материалов. Технические требования, методы испытаний и контроля.
16. Кирсанов М.Н. О влиянии выбора критерия неустойчивости при ползучести на решение задачи оптимизации стержневых конструкций // ПМТФ. 1992. №4. С. 107-110.
17. Gerard G. A creep buckling hypothesis // J. Aeron. Sci. 1956. Vol. 23. Pp. 879.
18. Кирсанов М. Н. Maple и Maplet. Решение задач механики. СПб.: Лань, 2012. 512 с.
19. Воронкин А.В. Аналитическое выражение для прогиба балочной фермы с нисходящими раскосами // Актуальные вопросы в научной работе и образовательной деятельности: сб. науч. тр. по мат-лам Междунар. науч.-практ. конф. 30 мая 2015 г.: Часть 6. Тамбов, 2015. С. 37-38.
20. Тиньков Д.В. Сравнительный анализ аналитических решений задачи о прогибе ферменных конструкций // Инженерно-строительный журнал. 2015. №5(57). С. 66-73.
21. Ахмедова Е.Р. Аналитический расчет прогиба плоской фермы со шпренгельной решеткой // Trends in Applied Mechanics and Mechatronics. М: Инфра-М. Т. 1. С. 62-65.
22. Кирсанов М.Н. Аналитический расчет балочной фермы со сложной решеткой // Строительная механика и расчет сооружений. 2015. №3. С. 7-11.
23. Добромыслов А.Н. Расчет железобетонных сооружений с использованием программы «Лира». М.: Изд-во АСВ, 2015. 200 с.
24. СП 35.13330.2011 "СНиП 2.05.03-84* Мосты и трубы" / Минрегион России. М., 2011. 341 с.
25. СП 20.13330.2011 "СНиП 2.01.07-85* Нагрузки и воздействия". М.: Минрегион России, 2011. 80 с.
lattice girder truss]. Magazine of Civil Engineering. 2015. No. 5. Pp. 58-65. (rus)
14. Kirsanov M.N. Optimalnaya vysota balochnoy fermy s uchetom lineynoy polzuchesti materiala [The optimum height of girder taking into account the linear creep]. News of higher educational institutions. Construction. 2000. No. 5. Pp. 141-144. (rus)
15. STO 39790001.03-2007. Standart organizatsii. Dorogi avtomobilnyye obshchego polzovaniya. Peshekhodnyye mosty i puteprovody. Konstruktsii dorozhno-stroitelnyye iz kompozitsionnykh materialov. Tekhnicheskiye trebovaniya, metody ispytaniy i kontrolya. [Standard organization. Highway public. Pedestrian bridges and overpasses. Construction road construction from composite materials. Technical requirements , test methods and controls] (rus)
16. Kirsanov M.N. O vliyanii vybora kriteriya neustoychivosti pri polzuchesti na resheniye zadachi optimizatsii sterzhnevykh konstruktsiy [Influence of the criterion of instability for creep to solve the problem of optimizing beam structures]. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 1992. No. 4. Pp. 107-110. (rus)
17. Gerard G. A creep buckling hypothesis. J. Aeron. Sci. 1956. Vol. 23. Pp. 879.
18. Kirsanov M. N. Maple i Maplet. Resheniye zadach mekhaniki [Maple and Maplet. The solution of problems of mechanics]. St. Petersburg. Lan. 2012. 512 p. (rus)
19. Voronkin A.V. Analiticheskoye vyrazheniye dlya progiba balochnoy fermy s niskhodyashchimi raskosami [An analytical expression for the deflection of girder with descending diagonals]. Aktualnyye voprosy v nauchnoy rabote i obrazovatelnoy deyatelnosti: sb. nauch. tr. po mat-lam Mezhdunar. nauch.-prakt. konf. 30 may 2015. [Topical issues in scientific work and educational activities: collection of scientific papers on the materials of the International scientific and practical conference May 30, 2015]. Part 6. Tambov, 2015. Pp. 37-38. (rus)
20. Tinkov D.V. Sravnitelnyy analiz analiticheskikh resheniy zadachi o progibe fermennykh konstruktsiy [Comparative analysis of analytical solutions to the problem of truss structure deflection]. Magazine of Civil Engineering. 2015. No. 5. Pp. 66-73. (rus)
21. Akhmedova Ye.R. Analiticheskiy raschet progiba ploskoy fermy so shprengelnoy reshetkoy [Analytical calculation of deflection truss with a strut frame]. Trends in Applied Mechanics and Mechatronics. Moscow. Infra-M. Vol. 1. Pp. 62-65. (rus)
22. Kirsanov M.N. Analiticheskiy raschet balochnoy fermy so slozhnoy reshetkoy [Analytical calculation of truss with a complex grid]. Structural Mechanics and Analysis of Constructions. 2015. No. 3. Pp. 7-11. (rus)
23. Dobromyslov A.N. Raschet zhelezobetonnykh sooruzheniy s ispolzovaniyem programmy "Lira" [Calculation of reinforced concrete structures using the program " Lira"]. Moscow. Izd-vo ASV. 2015. 200 p. (rus)
24. SP 35.13330.2011 "SNiP 2.05.03-84* Mosty i truby"[Set of rules 35.13330.2011 "Construction norms and rules 2.05.03-84* Bridges and pipes"]. Moscow. Russian Ministry of Regional Development. 2011. 341 p. (rus)
25. SP 20.13330.2011 "SNiP 2.01.07-85* Nagruzki i vozdeystviya" [Set of rules 20.13330.2011 " Construction norms and rules 2.01.07-85* Loads and impacts"]. Moscow. Russian Ministry of Regional Development. 2011. 80 p. (rus)
Дмитрий Владимирович Тиньков, +7(926)1715492; эл. почта: dvtinkov@yandex.ru
Dmitriy Tinkov,
+7(926) 1715492; dvtinkov@yandex.ru
© Тиньков Д.В., 2016
