CC BY
45
ОПТИЧЕСКОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ НА ОСНОВЕ ЭФФЕКТА БРЮСТЕРА
Д.В. Нестеренко 12, М.Д. Колесникова2, А.В. Любарская 2 1ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, 443001, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 151, 2 Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королёва, 443086, Россия, г. Самара, Московское шоссе, д. 34
Аннотация
Теоретически и экспериментально изучаются подходы к реализации аналоговых оптических преобразований для выделения контуров изображений с использованием планарных границ разделов сред диэлектрик-диэлектрик. В работе демонстрируется возможность и исследуется эффективность выполнения операций пространственного дифференцирования и выделения контуров на изображениях амплитудных и фазовых оптических элементов на основе эффекта Брюстера для поляризованного света.
Ключевые слова: нанофотоника, аналоговые оптические вычисления, планарная структура, волноводная мода, резонанс, эффект Брюстера, обработка изображений.
Цитирование: Нестеренко, Д.В. Оптическое дифференцирование на основе эффекта Брюстера / Д.В. Нестеренко, М.Д. Колесникова, А.В. Любарская // Компьютерная оптика. -2018. - Т. 42, № 5. - С. 758-763. - БО!: 10.18287/2412-6179-2018-42-5-758-763.
Введение
Традиционные оптические аналоговые системы в пространственной области используют громоздкие системы линз и фильтров [1]. В настоящее время предпринимаются значительные усилия по миниатюризации вычислительных элементов до сопоставимых с длиной волны и субволновых размеров. В частности, теоретически была показана возможность управления фазой и амплитудой волны, прошедшей через сложный массив метаатомов, для формирования желаемой пространственной функции пропускания [2]. Однако прямая экспериментальная демонстрация обработки изображений затруднительна из-за технологической сложности изготовления метаматериалов [3 -5].
Также были опубликованы теоретические расчёты по конструированию дифракционных резонансных структур. Было показано, что резонансные структуры нанофотоники позволяют эффективно реализовать широкий класс математических операций над световыми сигналами и эффективно выполнять дифференцирование и интегрирование оптического сигнала по пространственным переменным, вычисление оператора Лапласа, оптическое решение дифференциальных уравнений [6-11]. Основным препятствием для экспериментальной демонстрации обнаруженных эффектов является сложность изготовления таких двумерных и трехмерных структур [12].
Сверхбыстрые оптические аналоговые вычисления характеризуются высокопроизводительными операциями с низким энергопотреблением и являются предметом активных исследований в фотонике [13]. Применение метаматериалов и дифракционных резонансных структур для оптических вычислительных систем позволяет осуществлять миниатюризацию вычислительных элементов до субволновых масштабов. Однако изготовление двух- и трехмерных микро- и наноструктур требует сложных затратных операций. Кроме того, оптимизация резонансных элементов осуществляется только для фиксированных длин волн.
Теоретически была продемонстрирована возможность использования эффекта Брюстера для пространственного дифференцирования поляризованных оптических сигналов [14]. Однако экспериментально -го подтверждения этой гипотезы до сих пор, насколько известно авторам, проведено не было.
В данной статье изложены результаты разработки и практического использования упрощенной оптической системы на основе эффекта Брюстера, позволяющей производить аналоговое оптическое дифференцирование с высоким пространственным разрешением на примере амплитудных и фазовых оптических структур.
Описание эксперимента Оптическая система схематично изображена на рис. 1. В качестве источника света был использован полупроводниковый лазер с длиной волны 532 нм. Ослабление мощности выходного Гауссового пучка осуществлялось фильтром нейтральной оптической плотности КБ. Далее поляризатор Р пропускает р-поляризованное излучение с электрическим вектором, направленным в плоскости падения луча. Расширение и коллимация пучка осуществлялась коллиматором, состоящим из линз Ь1 и Ь2, а также аперту-
Далее пучок проецируется на оптическую структуру О, меняющую пространственное распределение амплитуды и/или фазы пучка. Структура О, изображение которой исследуется в данной работе, пред-
ставляет собой маску в тонкой пленке материала, нанесенного на стеклянную подложку.
Далее преобразованный пучок падает на поверхность призмы Рг, изготовленной из материала ВК7 с показателем преломления пВК7 и 1,515, установленной таким образом, чтобы падение происходило под углом Брюстера в воздухе 6В = 1ап-1пВК7 /яшг ~ 56,6°, где показатель преломления окружающей среды па1г = 1. Пучок, отражённый от границы раздела воздух-призма, фокусируется с помощью линзы Ь3 на фоточувствительную матрицу РБ. При этом линза Ь3 находится на одинаковых расстояниях 2f от образца О и фотодетектора РБ, где f - фокусное расстояние линзы Ь3.
Изображение объекта на матрицу РБ производится линзой Ь3, фокусирующей рассеянные от объекта лучи. Предположим, что падающий и отраженный пучки имеют профили поля Sin(х) и Sout(x) соответственно, где х - координата, перпендикулярная направлениям распространения луча и магнитного поля в системе координат луча. С помощью пространственного преобразования Фурье падающий (отражённый) пучок может быть записан как суперпозиция плоских волн
Sin (out) (x) = J s,-„ (out) (kx) exp (ikxx) dkx
где kx - компонента волнового вектора плоской волны вдоль направления x, а Sin (out) (kx) - соответствующие амплитуды. Следовательно, преобразование профиля падающего поля в отраженное описывается пространственной функцией спектрального переноса
H(kx), где H(kx) = Sout(kx)/Sin(kx).
Когда угол падения приближается к углу Брюстера 6B, в спектрах функции отражения H(kx) наблюдается минимум вследствие полного пропускания при kx ^ 0, при этом H (kx) = 0.
Для анализа H(kx) рассмотрим хорошо известное соотношение для коэффициента отражения r,j TM-поляризованной плоской волны от границы раздела сред с диэлектрическими постоянными е, и e.j [15]:
=|Zbj., (i,
Р,/ е,- + р j¡ е j
где Р, = ^е, - а2 , a = -у/ё" sin 0 , в этом случае 2па /X - проекция волнового вектора плоской волны с длиной волны X на границу раздела сред в плоскости падения волны под углом 6 к нормали. При aB = ^Jе¡еj /(е, + еj) коэффициент отражения r¡j = 0.
Этот эффект достигается при определенном угле падения 6B, называемом углом Брюстера, который может быть найден как tan 0B =^еj / е, . В угловых спектрах отражения это проявляется как резонансный провал на 6B. Используя разложение в ряд Тейлора ур. (1) вблизи угла Брюстера а ^ aB, подобно аппроксимации коэффициента отражения, реализованной в [16], rj может быть записан как
Гц (а)!
£i - е i 2аВ
-(а-а в).
(2)
Выражая функцию отражения через коэффициент отражения (2) в виде H(kx) и rj(aB + kx cos 6B), получаем аппроксимацию
H (kx) «(е, - ец kx.
2аВ
(3)
Пространственная функция спектрального переноса (3) может быть представлена вблизи кх = 0 как
Н (кх) и 1кхЛ , (4)
где Л - комплексная константа. Ур. (4) является передаточной функцией дифференциатора первого порядка. Соответственно, в пространственной области профиль отражённого поля описывается аппроксимацией Sout = Л(^5п Таким образом, пространственное дифференцирование может быть реализовано на основе эффекта Брюстера для ¿»-поляризованного излучения. Для света с поляризацией, отличной от р, и неоднородно поляризованного света [17] этот подход работать не будет.
Оценка разрешения
Результаты оптического преобразования изображений можно рассмотреть на примере использования щелевой апертуры с регулируемой шириной, выполняющей роль объекта О. Пространственные распределения интенсивности пучка, прошедшего щелевую апертуру, и пучка, отражённого от призмы под углом Брюстера, показаны на рис. 2а, б соответственно.
Рис. 2. Оптическое дифференцирование кусочно-гладкого распределения интенсивности: изображение интенсивности пучка, проходящего через щелевую апертуру с контролируемой шириной (200 мкм) (a), и распределение интенсивности отражённого пучка (б)
На изображении пучка, отраженного от призмы, наблюдаются узкие пики интенсивности, соответствующие рассеянию света на краях апертуры, что напрямую демонстрирует эффект пространственного дифференцирования и выделения контуров изображения. В качестве экспериментального исследования характеристик пространственного дифференцирования мы приводим сечения интенсивности перпендикулярно направлению щели для различных значений ширины щели, как показано на рис. 3. Для удобства сравнения профили интенсивности выровнены по центру. Значения интенсивности в каждом сечении нормированы на максимальное значение в этом сечении.
На графиках, показанных на рис. 3а, распределения интенсивности изображений щелевой апертуры получены для значений ширины 25, 100 и 200 мкм.
Флуктуации интенсивности, наблюдаемые вблизи пиков на рис. 2 и 3, появляются в результате дифракции света на краях щелевой апертуры, что ухудшает разрешающую способность оптической системы.
Интенсивность, отн.ед.
1,00 0,75 0,50 0,25 О
—1-1-'— -1-Г" -1-1-
1 1 1 " 1 . 1 1 - 1 200 к 1 100 25 У 1 1 1 " 1 1 1 I
- 1 1 / - ............... . -Л \ 1 _;
1 . 1 I...
а)
-100
50 0 50 100 Приведённое расстояние, мкм Интенсивность, отн.ед._
-100 -50 0 50 100 б) Приведённое расстояние, мкм
Рис. 3. Пространственное дифференцирование для пучков,
прошедших щелевые апертуры:
нормированная интенсивность поля, прошедшего щелевую
апертуру для значений ширины 200 мкм (пунктирная
линия), 100 мкм (точечная линия) и 25 мкм (сплошная
линия) (а); нормированная средняя интенсивность
преобразованного поля (б)
Разрешающая способность оптической схемы на основе преобразования Брюстера может быть определена измерением пространственной ширины пиков в распределении интенсивности преобразованного изображения на полувысоте интенсивности. В соответствии с графиком на рис. 3б, ширина пиков равна 6 мкм. Таким образом, эффективность обработки изображения ухудшается с уменьшением линейных размеров образца до порядка 12 мкм, что определяет предел пространственного разрешения. При уменьшении ширины щели с 200 мкм до 25 мкм значительного изменения ширины пиков интенсивности не происходит. Таким образом, минимальная ширина щелевой апертуры, при которой сохраняется качество оптического дифференцирования, составляет около 12 мкм. Полученный предел разрешения сопоставим со значениями в 7 мкм, приведёнными для оптической схемы аналогового дифференцирования на основе резонансов мод поверхностных плазмон-полари-тонов в работе [9].
Экспериментальная демонстрация для амплитудного объекта В данном параграфе представлены результаты эксперимента по обработке изображений амплитуд-
ных образцов, представляющих собой маску в оптически непрозрачной пленке оксида хрома на стеклянной подложке. В непрозрачном слое на прозрачной подложке сформированы изображения, представленные на рис. 4а, в и рис. 5а, в. Изображения на рис. 4а, в включают криволинейный логотип Самарского национального исследовательского университета и надпись. Изображения на рис. 5а, в представляют собой скрещенные полосы для демонстрации преимущественного направления операции дифференцирования. Для проверки влияния фона были созданы два типа структур в пленке. Первый вариант -прозрачное изображение на непрозрачном фоне (рис. 4а и 5а). Второй вариант - непрозрачное изображение на прозрачном фоне (рис. 4в и 5в). Распределения интенсивности преобразованных изображений представлены на рис. 4б, г и рис. 5б, г. На изображениях после преобразования наблюдаются яркие линии, преимущественно соответствующие вертикальным краям изображений. Линии, соответствующие горизонтальным краям, не проявляются.
%
а) \
SAMARA
UNIVERSITY
б; \
IINIVI
в)
SAMARA
UNIVERSITY
г)\
■ А И AI ;./■', MIV! К'Ч г
Рис. 4. Выделение контуров для амплитудного образца с линейными размерами 2,5*2,5 мм: оригинальные изображения (а),(в); соответствующие преобразованные изображения (б),(г)
Рис. 5. Демонстрация направленности выделения контуров для амплитудного образца с размерами 2,5*2,5 мм: оригинальные изображения (а),(в); соответствующие преобразованные изображения (б),(г)
Вследствие природы эффекта Брюстера дифференцирование производится только вдоль одного направления, в нашем случае - вертикального. Выделение контуров для первого и второго вариантов структур дало идентичные результаты. Сравнение разных типов изображений показало отсутствие влияния фона на результат преобразования. Эксперименты с изображениями различных размеров показали, что эффективность выделения контуров снижается с уменьшением минимальных размеров элементов изображений.
Экспериментальная демонстрация для фазового объекта
Далее приведены результаты для фазового образца. Изготовление фазовых оптических элементов может быть осуществлено технологиями фотолитографии [18], разрешение записи при этом ограничено дифракцией. Формирование рельефа в прозрачной маске было проведено электронно-лучевой литографией на сканирующем электронном микроскопе Carl Zeiss Supra 25, что позволило осуществить запись структуры с большей точностью. Таким образом, используемая в работе структура представляет собой маску в прозрачной плёнке электронного резиста с показателем преломления 1,46 и толщиной 550 нм на стеклянной подложке. Изображение маски в резисте на прозрачной подложке представлено на рис. 6а. Маска состоит из перекрещенных полос шириной 100 мкм каждая. Пучок, прошедший через подложку и резист, приобретает набег фазы по сравнению с пучком, прошедшим только подложку.
Принцип преобразования изображения для фазового образца происходит аналогично принципу, описанному ранее для амплитудного образца. В этом случае вдали от краев маски, где происходит скачок фазы, пучки могут рассматриваться как невозмущенные фоновые. Тогда результатом преобразования (4) будет близкая к нулю интенсивность. Вблизи краёв маски происходит рассеяние света, которое приводит к возрастанию интенсивности преобразованного изображения. Пример изображения, полученного в результате преобразования, представлен на рис. 66.
а)
in ^ 1
И Л
Рис. 6. Выделение контуров для фазового образца: оригинальное изображение (а), изображение после преобразования (б)
Заключение
Проведенные в работе теоретическое обоснование и экспериментальное исследование показывают возможность применения эффекта Брюстера для пространственного дифференцирования для поляризованного света. Также экспериментально продемонстриро-
вана эффективность выделения контуров амплитудного и фазового изображений при использовании более простой оптической системы по сравнению с предыдущими реализациями. Выделение контуров изображения осуществляется только в направлении, перпендикулярном плоскости падения луча. Экспериментальный предел достижимого разрешения обработки амплитудного и фазового изображений на собранной оптической схеме составил 6 мкм. Разработанная оптическая система позволяет в режиме реального времени обрабатывать целиком изображения с размерами, обусловленными габаритами поверхности призмы.
Результаты, полученные в данном проекте, могут быть использованы для создания компактных систем сверхбыстрых аналоговых вычислений и обработки изображений реального времени в медицинских и геоинформационных применениях, для расширения возможностей существующих оптических устройств и для создания новых устройств, в том числе опто-электронных систем на чипе.
Благодарности Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования РФ в рамках выполнения работ по Государственному заданию ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН (соглашение № 007-ГЗ/Ч3363/26) в части «Экспериментальная демонстрация для фазового объекта», Российского фонда фундаментальных исследований (грант 18-07-00613) в остальных частях. Авторы выражают благодарность сотрудникам ИСОИ РАН - филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» В.В. Подлипнову, С.Г. Волотов-скому и С.В. Ганчевской за создание фазовых и амплитудных масок.
Литература
1. Goodman, J.W. Introduction to Fourier optics / J.W Goodman. - New York: McGraw-hill, 1996. - 441 p. -ISBN: 978-0-07-114257-1.
2. Silva, A. Performing mathematical operations with metamaterials / A. Silva, F. Monticone, G. Castaldi, V. Galdi, A. Alu, N. Engheta // Science. - 2014. - Vol. 343, Issue 6167. - P. 160-163. - DOI: 10.1126/science.1242818.
3. Pors, A. Analog computing using reflective plasmonic me-tasurfaces / A. Pors, M.G. Nielsen, S.I. Bozhevolnyi // Nano Letters. - 2014. - Vol. 15, Issue 1. - P. 791-797. -DOI: 10.1021/nl5047297.
4. Hwang, Y. Optical metasurfaces for subwavelength difference operations / Y. Hwang, T.J. Davis // Applied Physics Letters. -2016. - Vol. 109(18). - 181101. - DOI: 10.1063/1.4966666.
5. Kazanskiy, N.L. Use of photonic crystal cavities for temporal differentiation of optical signals / N.L. Kazanskiy, P.G. Serafimovich, S.N. Khonina // Optics Letters. -
2013. - Vol. 38, Issue 7. - P. 1149-1151. - DOI: 10.1364/OL.38.001149.
6. Doskolovich, L.L. Spatial differentiation of optical beams using phase-shifted Bragg grating / L.L. Doskolovich, D.A. Bykov, E.A. Bezus, V.A. Soifer // Optics Letters. -
2014. - Vol. 39, Issue 5. - P. 1278-1281. - DOI: 10.1364/OL.39.001278.
7. Golovastikov, N.V. Spatial optical integrator based on phase-shifted Bragg gratings / N.V. Golovastikov,
D.A. Bykov, L.L. Doskolovich, E.A. Bezus // Optics Communications. - 2015. - Vol. 338. - P. 457-460. - DOI: 10.1016/j.optcom.2014.11.007.
8. Bykov, D.A. Optical computation of the Laplace operator using phase-shifted Bragg grating / D.A. Bykov, L.L. Doskolovich, E.A. Bezus, V.A. Soifer // Optics Express. - 2014. - Vol. 22, Issue 21. - P. 25084-25092. -DOI: 10.1364ЮЕ.22.025084.
9. Golovastikov, N.V. Analytical description of 3D optical pulse diffraction by a phase-shifted Bragg grating / N.V. Golovastikov, D.A. Bykov, L.L. Doskolovich, V.A. Soi-fer // Optics Express. - 2016. - Vol. 24, Issue 17. -P. 18828-18842. - DOI: 10.1364ЮЕ.24.018828.
10. Kazanskiy, N.L. Coupled-resonator optical waveguides for temporal integration of optical signals / N.L. Kazanskiy, P.G. Serafimovich // Optics Express. - 2014. -Vol. 22, Issue 11. - P. 14004-14013. - DOI: 10.1364/OE.22.014004.
11. Головастиков, Н.В. Дифференцирование и интегрирование трёхмерного оптического импульса во времени с использованием брэгговских решёток с дефектным слоем / Н.В. Головастиков, Д.А. Быков, Л. Л. Дос-колович // Компьютерная оптика. - 2017. - Т. 41, № 1. - С. 13-21. - DOI: 10.18287/2412-6179-2017-41-1-13-21.
12. Dyachenko, P.N. The three-dimensional photonic crystals coated by gold nanoparticles / P.N. Dyachenko, S.V. Kar-peev, E.V. Fesik, Yu.V. Miklyaev, V.S. Pavelyev, G.D. Malchikov // Optics Communications. - 2011. -Vol. 284, Issue 3. - P. 885-888. - DOI: 10.1016/J.OPTCOM. 2010.10.006.
13. Zhu, T. Plasmonic computing of spatial differentiation / T. Zhu, Y. Zhou, Y. Lou, H. Ye, M. Qiu, Z. Ruan, S. Fan // Nature Communcations. - 2017. - Vol. 8. - 15391. - DOI: 10.1038/ncomms15391.
14. Youssefi, A. Analog computing by Brewster effect / A. Youssefi, F. Zangeneh-Nejad, S. Abdollahramezani, A. Khavasi // Optics Letters. - 2016. - Vol. 41, Issue 15. -P. 3467-3470. - DOI: 10.1364/0L.41.003467.
15. Yeh, P. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. I. General theory / P. Yeh, A. Yariv, C.-S. Hong // Journal of the Optical Society of America. - 1977. -Vol. 67, Issue 4. - P. 423-438. - DOI: 10.1364/JOSA.67.000423.
16. Nesterenko, D.V. Asymmetric surface plasmon resonances revisited as Fano resonances / D.V. Nesterenko, S. Hayashi, Z. Sekkat // Physical Review B. - 2018. -Vol. 97, Issue 23. - 235437. - DOI: 10.1103/PhysRevB.97.235437.
17. Khonina, S.N. Generating inhomogeneously polarized higher-order laser beams by use of DOEs / S.N. Khonina, S.V. Karpeev // Journal of the Optical Society of America A. - 2011. - Vol. 28(10). - P. 2115-2123. - DOI: 10.1364/JOSAA.28.002115.
18. Berezny, A.E. Computer-generated holographic optical elements produced by photolithography / A.E. Berezny, S.V. Karpeev, G.V. Uspleniev // Optics and Lasers in Engineering. - 1991. - Vol. 15, Issue 5. - P. 331-340. - DOI: 10.1016/0143-8166(91)90020-T.
Сведения об авторах
Нестеренко Дмитрий Владимирович, кандидат физико-математических наук, и.о. старшего научного сотрудника лаборатории дифракционной оптики ИСОИ РАН - филиала ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН. E-mail: [email protected] .
Колесникова Мария Дмитриевна (1997) в настоящее время обучается в Самарском национальном исследовательском университете по направлению «Электроника и наноэлектроника». E-mail:
Любарская Анна Валериевна (1997) в настоящее время обучается в Самарском национальном исследовательском университете по направлению «Электроника и наноэлектроника». E-mail: [email protected] .
ГРНТИ: 29.31.29.
Поступила в редакцию 1 октября 2018 г. Окончательный вариант - 14 октября 2018 г.
OPTICAL DIFFERENTIATION BASED ON THE BREWSTER EFFECT
D. V. Nesterenko12, M.D. Kolesnikova2, A.V. Lyubarskaya2 1IPSIRAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS, Molodogvardeyskaya 151, 443001, Samara, Russia;
2 Samara National Research University, Moskovskoye shosse 34, 443086, Samara, Russia
Abstract
In this work, technologies of analog optical computing for image edge detection using flat interfaces between dielectrics are studied both theoretically and experimentally. The feasibility of analog differentiation and edge detection by using the Brewster effect for polarized light sources is demonstrated. The efficiency of the analog image processing is investigated using a variety of amplitude and phase masks.
Keywords: nanophotonics, optical analog computing, planar structures, waveguide mode, optical resonances, Brewster effect, image processing.
Citation: Nesterenko DV, Kolesnikova MD, Lyubarskaya AV. Optical differentiation based on the Brewster effect. Computer Optics 2018; 42(5): 758-763. DOI: 10.18287/2412-61792018-42-5-758-763.
Acknowledgements: This work was partly funded by Ministry of Science and Higher Education within the State assignment FSRC "Crystallography and Photonics" RAS under agreement 007-0/^3363/26 ("Experimental demonstration for phase objects") and the Russian Foundation for Basic Research under project No. 18-07-00613 (the rest sections).
References
[1] Goodman JW. Introduction to Fourier Optics. New York: McGraw-hill; 1996. ISBN: 978-0-07-114257-1.
[2] Silva A, Monticone F, Castaldi G, Galdi V, Alu A, Engheta N. Performing mathematical operations with metamaterials. Science 2014; 343: 160-163. DOI: 10.1126/science.1242818.
[3] Pors A, Nielsen MG, Bozhevolnyi SI. Analog computing using reflective plasmonic metasurfaces. Nano Lett 2014; 15(1): 791-797. DOI: 10.1021/nl5047297.
[4] Hwang Y, Davis TJ. Optical metasurfaces for subwave-length difference operations. Appl Phys Lett 2016; 109(18): 181101. DOI: 10.1063/1.4966666.
[5] Kazanskiy NL, Serafimovich PG, Khonina SN. Use of photonic crystal cavities for temporal differentiation of optical signals. Opt Lett 2013; 38(7): 1149-1151. DOI: 10.1364/OL.38.001149.
[6] Doskolovich LL, Bykov DA, Bezus EA, Soifer VA. Spatial differentiation of optical beams using phase-shifted Bragg grating. Opt Lett 2014; 39(5): 1278-1281. DOI: 10.1364/OL.39.001278.
[7] Golovastikov NV, Bykov DA, Doskolovich LL, Bezus EA. Spatial optical integrator based on phase-shifted Bragg gratings. Opt Commun 2015; 338: 457-460. DOI: 10.1016/j.optcom.2014.11.007
[8] Bykov DA, Doskolovich LL, Bezus EA, Soifer VA. Optical computation of the Laplace operator using phase-shifted Bragg grating. Opt Express 2014; 22(21): 2508425092. DOI: 10.1364/OE.22.025084.
[9] Golovastikov NV, Bykov DA, Doskolovich LL, Soifer VA. Analytical description of 3D optical pulse diffraction by a phase-shifted Bragg grating. Opt Express 2016; 24(17): 18828-18842. DOI: 10.1364/OE.24.018828.
[10] Kazanskiy NL, Serafimovich PG. Coupled-resonator optical waveguides for temporal integration of optical signals.
Opt Express 2014; 22(11): 14004-14013. DOI: 10.1364/OE.22.014004.
[11] Golovastikov NV, Bykov DA, Doskolovich LL. Temporal differentiation and integration of 3D optical pulses using phase-shifted Bragg gratings [In Russian]. Computer Optics 2017; 41(1): 13-21. DOI: 10.18287/2412-6179-201741-1-13-21.
[12] Dyachenko PN, Karpeev SV, Fesik EV, Miklyaev YuV, Pavelyev VS, Malchikov GD. The three-dimensional photonic crystals coated by gold nanoparticles. Opt Commun 2011; 284(3): 885-888. DOI: 10.1016/J.OPTCOM. 2010.10.006.
[13] Zhu T, Zhou Y, Lou Y, Ye H, Qiu M, Ruan Z, Fan S. Plasmonic computing of spatial differentiation. Nature Communcations 2017; 8: 15391. DOI: 10.1038/ncomms15391.
[14] Youssefi A, Zangeneh-Nejad F, Abdollahramezani S, Khavasi A. Analog computing by Brewster effect. Opt Lett 2016; 41(15): 3467-3470. DOI: 10.1364/OL.41.003467.
[15] Yeh P, Yariv A, Hong CS. Electromagnetic propagation in periodic stratified media. I. General theory. J Opt Soc Am 1977; 67(4): 423-438. DOI: 10.1364/JOSA.67.000423.
[16] Nesterenko DV, Hayashi S, Sekkat Z. Asymmetric surface plasmon resonances revisited as Fano resonances. Phys Rev B. 2018; 97(23): 235437. DOI: 10.1103/PhysRevB.97.235437.
[17] Khonina SN, Karpeev SV. Generating inhomogeneously polarized higher-order laser beams by use of DOEs. J Opt Soc Am A 2011; 28(10): 2115-2123. DOI: 10.1364/JOSAA.28.002115.
[18] Berezny AE, Karpeev SV, Uspleniev GV. Computergenerated holographic optical elements produced by photolithography. Optics and Lasers in Engineering 1991; 15(5): 331-340. DOI: 10.1016/0143-8166(91)90020-T.
Authors' information
Dmitry V. Nesterenko graduated with honours (1999) from Samara State Aerospace University (SSAU), majoring in Physics. Candidate in Optics (2002). Currently he is a senior researcher at Diffractive Optics laboratory of Image Processing Systems Institute RAS - Branch of the FSRC "Crystallography and Photonics" RAS. His current research interests include nanophotonics, plasmonics and electromagnetic diffraction theory. E-mail: [email protected] .
Maria D. Kolesnikova currently studying at the Samara National Research University in the direction of "Electronics and Nanoelectronics". E-mail: mari.kolesnikova. [email protected] .
Anna V. Lyubarskaya currently studying at the Samara National Research University in the direction of "Electronics and Nanoelectronics". E-mail: [email protected] .
Received October 1, 2018. The final version - October 14, 2018.
