CC BY
7УДК 537.86:517.958:519.111.8
В. Ф. А п е л ь ц и н
ОПТИЧЕСКИЙ ЭФФЕКТ МАЛОГО СМЕЩЕНИЯ НАБЛЮДАЕМОГО ПОЛОЖЕНИЯ ИСТОЧНИКА ИЗЛУЧЕНИЯ, ПОЛУЧЕННЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИМ МОДЕЛИРОВАНИЕМ ЗАДАЧИ ВЫСОКОЧАСТОТНОГО РАССЕЯНИЯ
Приведена схема проекционного метода построения решения плоской краевой задачи рассеяния Е-поляризованной электромагнитной волны на металлическом цилиндре, покрытом тонким слоем диэлектрика. В качестве базиса метода использованы цилиндрические функции радиальной координаты комплексного индекса, удовлетворяющие краевому условию Дирихле на поверхности цилиндра. В асимптотическом приближении для высоких частот получено явное решение в виде обобщенных рядов Ватсона. Выделение из полученного решения в освещенной области оптического интеграла, приближенно вычисляемого методом перевала, приводит к необходимости введения эффективного положения точечного источника возбуждения, отличного от его истинного положения. Наличие малого смещения этого положения подтверждается простейшим экспериментом с лазерной указкой.
E-mail: vapeltsin@hotmail.com
Ключевые слова: высокочастотная асимптотика, проекционный метод, ряд Ватсона, геометрическая оптика, оптический эффект, экспериментальное подтверждение.
В случае плоской задачи возбуждения полем точечного источника кругового идеально проводящего цилиндра радиусом а, покрытого тонким слоем однородного диэлектрика с внешней границей r = = р(ф), высокочастотное асимптотическое решение, приводящее к обобщенному ряду Ватсона [1], может быть получено в рамках проекционного обобщения метода Зоммерфельда [2]. Математическая постановка задачи имеет вид
Ar <u(r, cp) + k2 (r, cp) u (r, <p) = - S(r - ro)8(<p- cp о) для r >a, (1)
где k2(r, p) = Jk0 = S C при Г >p(p);
I sco2 при a < r < p (p);
u (а,щ) = 0; [u ]
r =p p)
du д n
= 0.
(2)
r =p (p)
Равенства (2) — краевые условия для компоненты Ег = и электрического поля на поверхности цилиндра и внешней границе диэлектрического слоя.
Опуская субиндексы суммирования, проекционное решение задачи (1), (2) можно записать в виде ряда
и(г, Ф) = 1 ЛУ(Ф)ЩУ(гX (3)
V
где Лу (ф) — непериодические по углу ф функции, экспоненциально убывающие при \ ф\ ^ да.
Проекционные равенства, эквивалентные задаче (1), (2),
|Ь•и(г, ф)щц(г)гёг = /ц(ф\ (4)
где
L = (А+ к2 (r, <р)); fM(V) = ¥ц{Го)5{ф-фо); Wv(r) = wv (r) =
= СУкН^(к0г), Сп — нормировочный коэффициент, к = 1, ..., да.
Комплексные числа Ук являются корнями дисперсионного уравнения
<}(ко г ) = (5)
Асимптотическое приближение для корней уравнения (5) [1]
Чк,
vk х к0а + ake я/3; ак =
V 6 У
где чк — корни функции Эйри.
Можно показать, что система функций |^Гк (Г)| является орто-нормированным базисом в пространстве Ь2 [а, да] функций \(т, ф) при
каждом фиксированном значении угла ф.
Кроме того, бесконечная система обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) как развернутая форма проекционных равенств (4) в высокочастотном приближении с точностью до поправок, пропорциональных некоторой степени обратной величины большого параметра к0а, заменяется системой с диагональной матрицей, приближенное решение каждого независимого ОДУ которой строится в явном виде с использованием асимптотического приближения Вентцеля—Крамерса—Бриллюэна.
Периодическое по углу ф решение можно получить суммированием всех ветвей непериодического решения (3) в виде
да
й(г, ф) =2й (г, ф + 2жп).
—да
С учетом сделанных приближений обобщенный ряд Ватсона как результат этого суммирования имеет вид
í i л
1/3 „in/3 Г- COS
й(г, ф) = -Y.CmH(l) (VH) (k0r0)
V
Pm ((P,Vo) - 2Sm
■ Sm
sin—m
(6)
<Р V
Здесь ртО, р0) = 8§п(р - ро) | glm2(t)dt; = | glm2(t)Ж; Ст =
Фо Фо
ж3'2
= —=--, где Л'^т ) — значения производной функции Эй-
3^6 (Л' (9т )
2 2 2 2 2 ри Л(д) = дт; gm(t) = ^ -(к - Ю \_Р (ф) - а •
При к = к0 (отсутствие покрытия) последний сомножитель общего члена ряда (6) соответствует обычному ряду Ватсона [1] для кругового цилиндра без покрытия:
Ы^т "Я")
sin 7Wm
Лучевая картина распространения поля в освещенной области определяется уравнениями для стационарных точек оптического интеграла:
1 Г^(ka))^(kp) CQS [^'2,
8 i H?(ka) sin '
2
где контур С имеет вид, изображенный на рис. 1,
<р
2arccos — + k0psgn(ф-фо) sgn(ф-фо) í g"1/2(t)dt =
a оp
m
2
p p = arccos— + arccos—; (7)
r r0
Y
k0qsgn(^-^o) í g_1/2(t)dt = arccos — + arccos —. (8)
J koq r K.
Рис. 1. Расположение стационарных точек оптического интеграла в асимптотическом приближении
Уравнение (7) определяет траекторию луча, пришедшего в точку наблюдения, отразившись от препятствия. Уравнение (8) для стационарной точки ук = к0д описывает траекторию луча, непосредственно идущего из точки источника в выбранную точку наблюдения. Здесь (г0, (ро), (г, ф) — полярные координаты точечного источника и точки наблюдения.
Левая часть равенства содержит выражение, связанное с влиянием диэлектрического слоя:
St
Ol
(t0q)2 - S(t).
Здесь g(t) = со (s - so) p (t) - a
где т
частота; s, s0 — диэлек-
трическая проницаемость слоя и среды; а - радиус цилиндра; г = = р — полярное уравнение поверхности диэлектрического слоя; к0 — волновое число внешней среды.
Если слой отсутствует, левая часть равенства (8) очевидно превращается в - (р01, т. е. уравнение (8) вырождается в известное
уравнение для правой стационарной точки оптического интеграла классической задачи рассеяния поля точечного источника на идеально проводящем круговом цилиндре [1]:
q , q
= arccos— + arccos—
(9)
r
о
где д = ук / к0. Уравнение (9) допускает простую геометрическую интерпретацию: д является прицельным параметром луча, идущего из точки источника в точку наблюдения (перпендикуляром, опущенным из центра цилиндра на этот луч, рис. 2).
Рис. 2. Прицельный параметр прямого луча в случае цилиндра без покрытия
Эффективный радиус. Непосредственная геометрическая интерпретация стационарной точки /иК как решения уравнения (8) в терминах траекторий лучей возможна, лишь если ввести так называемый эффективный радиус точечного источника г0' (д, ср, [2] исходя из равенства
arccosq - к qsgn{<р-щ) f gk12(t)dt = arcco^^- - <pQ\,
Г J rc(q, Po)
Vo
(10)
что позволяет привести уравнение (8) к виду (9), заменив в нем интегральный член выражением из соотношения (10). Упростив интегральный член в этом уравнении с точностью до величин порядка 2
О((к03) , где 8 — толщина слоя (здесь константа оценки зависит от
ко v q2
-рт I -Ц I и q > а ), получим
ro'(q, ^ ^о) ~ q
q 1 _ ql sgn )
Го + \ 1 Г2 w, \2
'0
4 (коq)
V
J g (t )dt
q>0
< Г
В случае круговых границ как покрытия, так и металлического цилиндра выражение для г0'(д, ср, <р0)) еще более упрощается, вплоть до
r0'(q, q>, щ) = -
ro
cos < ш-
1
\S0
-Kl -1sin |к-я0
a
\eo
J
Последние соотношения означают, что существует зависящий от углов (р, <р0 сдвиг (параллакс) Аг0 = г0 - г0' между истинным положением точечного источника (г (р0) и наблюдаемым (г0, <р0),
обусловленный влиянием диэлектрического слоя на рассеянное поле (рис. 3).
Рис. 3. Малый сдвиг (параллакс) наблюдаемого положения источника для цилиндра с покрытием
Отметим также, что в случае среды слоя с Яе а < 0 (случай холодной плазмы) второе слагаемое в знаменателе этого выражения отрицательно (г0' > г0), т. е. параллакс Лг0 имеет противоположный знак.
Таким образом, можно утверждать, что величина и знак параллакса Лг0 могут служить основой для диагностики свойств среды неоднородного слоя, как, например, в технологиях неразрушающего контроля параметров тонких полимерных пленок.
Эффективный угол. Другой способ привести уравнение (8) к простейшему виду (9) — введение эффективного угла $>0 положения точечного источника по формуле
k0 q sgn(р-ро ) J Sk^q(t)dt = \ф- ^01-
(11)
Это также приводит уравнение стационарной точки к виду (9) с $>0 вместо <р0:
I 'I # . q
= arccos — + arccos—.
r r0
Поступив в отношении подынтегрального выражения в (11) так же, как и выше, получим
- <Ро\ + sgn((p-Vo) „ J = \Ф-Ф0\• (12)
(ко q) ¿0
Если рассматривается случай кругового однородного цилиндрического покрытия, то S(t) = 5 = const и уравнение (12) приводится к простейшему виду:
\<Р~Фо\
1 +
/ Л
1
У£о
Sa
7
Оба способа сведения уравнения (8) к простейшему виду формально равноправны. Тот факт, что параллакс реально существует, подтверждается несложным экспериментом с использованием лазерной указки. При этом оказывается, что дилемма — эффективный радиус или эффективный угол — решается в пользу сдвига по угловой координате: смещение наблюдаемого положения источника происходит вдоль дуги окружности (Аг0 = 0, Ар0 Ф 0).
Для проведения эксперимента достаточно иметь обычную лазерную указку и три металлических цилиндра одинакового радиуса с металлической никелированной поверхностью. Один из цилиндров обклеивают пленкой от любого пластикового пакета. Указка располагается параллельно поверхности стола, стоящего вплотную к стене, на высоте, обеспечивающей облучение всех цилиндров, поставленных вертикально на стол, примерно на середине их высоты. Один из двух цилиндров без пленки играет роль выпуклого рассеивающего зеркала, превращающего плоскопараллельный пучок света от указки в рассеянный пучок, имитируя излучение от точечного источника. При этом на стене образуется световая дорожка. Все взаимные расстояния (между указкой и цилиндрами, между цилиндрами и стеной) можно взять порядка 10 см. На пути рассеянного светового пучка ставят цилиндр без пленки. На световой дорожке появляется теневая область с резкими границами, которые следует отметить карандашом. Затем строго на то же место, фиксированное любым удобным способом, ставят обклеенный цилиндр, и также отмечаются границы теневой области. Наблюдается их смещение в одном направлении
Рис. 4. Схема эксперимента с лазерной указкой
в пределах 1 мм. Это подтверждает вывод о малом смещении эффективного положении источника вдоль дуги окружности, а не по радиальному направлению, что привело бы к сдвигу границ тени в противоположных встречных направлениях (рис. 4).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Хенл Х., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. - М.: Мир, 1964.
2. Апельцин В. Ф. Высокочастотный проекционный асимптотический метод исследования задачи возбуждения круглого идеально проводящего цилиндра, покрытого тонким слоем диэлектрика // Радиотехника и электроника. - 1997. -Т. 42, № 3. - С. 1-13.
Статья поступила в редакцию 03.07.2012.
