Оптические свойства плотноупакованных дисперсных систем в приближении эффективной среды

Алонова М.В.; Ангельский О.В.; Ермоленко С.Б.; Зимняков Д.А.; Исаева Е.А.; Сина Дж.С.; Скурлов И.Д.; Твердова А.А.; Ушакова О.В.

ФИЗИКА, РАДИОТЕХНИКА И ЭЛЕКТРОНИКА

УДК 53.043

М.В. Алонова, О.В. Ангельский, С.Б. Ермоленко, Д.А. Зимняков, Е.А. Исаева,

Дж.С. Сина, И.Д. Скурлов, А.А. Твердова, О.В. Ушакова

ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ПЛОТНОУПАКОВАННЫХ ДИСПЕРСНЫХ СИСТЕМ В ПРИБЛИЖЕНИИ ЭФФЕКТИВНОЙ СРЕДЫ

Рассмотрен метод вычисления оптических параметров (длины рассеяния, транспортной длины распространения излучения, эффективного показателя преломления) плотноупакованных дисперсных систем с использованием принципа замещения моделируемой пространственно-неоднородной среды эффективной пространственно-однородной средой с тем же значением комплексного волнового числа распространяющегося излучения. Представлена интерпретация экспериментальных результатов низкокогерентного рефрактометрического зондирования слоев плотноупакованных наночастиц диоксида титана с использованием обсуждаемого метода.

Длина рассеяния, транспортная длина, низкокогерентная рефлектометрия, эффективный показатель преломления

M.V. Alonova, O.V. Angelsky, S.B. Ermolenko, D.A. Zimnyakov, E.A. Isaeva,

J.S. Sina, I.D. Skurlov, A.A. Tverdova, O.V. Ushakova

OPTICAL PROPERTIES OF DENSELY PACKED DISPERSIVE SYSTEMS: EFFECTIVE MEDIUM APPROXIMATION

A method for calculating optical parameters (such as the mean scattering free path, mean transport free path, and effective refractive index) is used to characterize the case of densely packed dispersive systems. The method is based on the principle of replacement of the simulated random medium by a homogeneous effective medium characterized for the same complex wave-number of propagating radiation. The experimental data obtained in the course of low-coherence reflectometric probes of densely layered ti-tania nanoparticles are interpreted by means of the method under consideration. The interpretation results are presented.

The scattering length, transport length Low-coherence reflectometry, the effective refractive index

Измерения оптических характеристик случайно-неоднородных сред представляют значительный интерес с точки зрения решения ряда прикладных задач материаловедения, биомедицины, технологий синтеза функциональных материалов и т.д. [1-5]. С другой стороны, в связи с современными тенденциями в развитии нанофотоники и лазерной физики проблема характеризации дисперсных систем со специфическими оптическими свойствами, несомненно, имеет и фундаментальный характер [6-8].

Традиционно в качестве параметров, характеризующих распространение электромагнитного излучения ультрафиолетового, видимого и ближнего инфракрасного диапазонов в пространственнонеоднородных средах со случайной структурой, рассматриваются коэффициент рассеяния jiis и

транспортный коэффициент рассеяния jn's, параметр анизотропии рассеяния g и коэффициент поглощения Ца среды для длины волны распространяющегося излучения [9]. В ряде случаев удобно использовать другой набор параметров, характеризующих перенос излучения в случайнонеоднородных средах: длину рассеяния l = 1/jls (the mean scattering free path, MSFP), транспортную

длину l * (the mean transport free path, MTFP) и длину поглощения la = 1/ца . Введение данных параметров связано с повсеместным применением такого феноменологического подхода как теория переноса излучения (ТПИ) [9] для описания распространения волн различной природы в случайнонеоднородных средах. Отметим, что существование взаимосвязи между такими принципиально различными подходами, как ТПИ и аналитическая теория многократного рассеяния [9], позволяет анализировать с использованием l, l * и 1а не только пространственно-временные распределения локальных значений плотности и потока энергии электромагнитного поля, усредненных по всем возможным положениям рассеивающих центров в среде. Данный подход допускает также описание ряда эффектов интерференционной природы, обусловленных когерентностью распространяющихся в среде волн: формирование спекл-структур, когерентное обратное рассеяние, существование пространственных и временных корреляций флуктуаций амплитуды многократно рассеянных в среде волн [10].

С использованием упомянутой выше взаимосвязи между ТПИ и аналитической теорией многократного рассеяния многократно рассеянное в линейной случайно-неоднородной среде световое поле может быть представлено как суперпозиция большого числа парциальных составляющих (плоских или сферических волн), характеризуемая функцией плотности вероятности значений пути парциальных составляющих р(с) в среде. Длина рассеяния при этом соответствует среднему расстоянию, на которое распространяются парциальные составляющие между двумя последовательными актами рассеяния, а длина поглощения соответствует расстоянию, на котором интенсивность парциальной составляющей уменьшается в e раз. Транспортная длина определяется характерным масштабом в среде, на котором происходит преобразование направленной составляющей излучения в диффузную. Между l и l* существует следующая взаимосвязь: l* = l/(l - g), где 0 < g < 1 .

Важным параметром является также эффективный показатель преломления среды nef [11],

определяющий фазовую скорость распространения парциальных составляющих в среде и, соответственно, условия отражения парциальных составляющих на границе раздела среды со свободным пространством.

Для неупорядоченных ансамблей микро- и наночастиц транспортные параметры l, l *, la и nef определяются структурными характеристиками ансамбля (объемной долей частиц f , их средним размером (dj и концентрацией частиц р ), значениями диэлектрической проницаемости частиц

2 2 £ p = np и содержащей частицы матричной среды eh = nh для длины волны зондирующего излучения 1 и собственно длиной волны. Таким образом, измерение спектральных зависимостей транспортных параметров позволяет, в частности, оценить структурные характеристики среды.

В дальнейшем будем рассматривать слабопоглощающие в видимом и ближнем ИК диапазонах среды, для которых la >> l, l *; подобное предположение выполняется в случае оптического зондирования большого числа дисперсных систем и композитных материалов на основе диэлектрических и полупроводниковых микро- и наночастиц, обладающих межзонным поглощением в ультрафиолетовой области. При малых значениях объемной доли частиц в среде может быть использовано так

называемое приближение слабого рассеяния, и взаимосвязь между l, ^ dj и р устанавливается с помощью соотношения: l = 1/s sр = 1/Qccasg р , где sc и sg - соответственно усредненные по ансамблю частиц значения сечения рассеяния и геометрического сечения изолированной частицы, Qsca - усредненное по ансамблю значение фактора эффективности рассеяния. Для монодисперсной системы сферических частиц с радиусом r выражение для l сводится к достаточно простой формуле l = 4г/3 fQcca .

Значение эффективного показателя преломления для дисперсной системы, состоящей из малых частиц с (d) <<1 (в так называемом низкочастотном пределе) может быть достаточно просто

получено из соотношения nef ~ yj£av , где £av - усредненная по объему диэлектрическая проницаемость среды, вычисляемая с помощью моделей Максвелла - Гарнетта или Бруггемана [11].

Ситуация кардинальным образом изменяется в случае дисперсных систем с большими значениями плотности упаковки рассеивающих центров, размеры которых сравнимы с длиной волны распространяющегося излучения. В данном случае подходы, основанные на приближении слабого рас-

сеяния и низкочастотном приближении, неприменимы. Одним из подходов к решению данной проблемы является использование различных моделей эффективной среды, учитывающих эффекты частичной корреляции положений плотноупакованных рассеивающих центров и резонансные эффекты интерференционной природы при взаимодействии электромагнитных волн с рассеивателями.

В данной работе обсуждается одна из возможных модификаций модели пространственнооднородной эффективной среды с комплексной диэлектрической проницаемостью для нахождения транспортных параметров дисперсных систем на основе плотноупакованных микро- и наночастиц. Также представлены результаты применения подобной модели для интерпретации данных низкокогерентной рефлектометрии рассеивающих систем на основе плотноупакованных частиц ТЮ2 в ближнем ИК диапазоне.

В рамках приближения эффективной среды вместо случайно-неоднородной среды, состоящей из дискретных рассеивателей, рассматривается пространственно-неоднородная среда с неизвестным значением комплексного показателя преломления е' +1 ■ е". Предполагается, что комплексные значения волнового числа электромагнитной волны ке^ и к при ее распространении в эффективной среде и в моделируемой рассеивающей системе имеют одинаковые значения; поэтому нахождение е' и е позволяет определить к = к + I/21 (это соотношение следует из оптической теоремы [9]). По найденному значению к определяются эффективный показатель преломления моделируемой среды п^ = Яе(к )/к0 и длина рассеяния I = 0.5 ■ 1т (к) для заданной длины волны распространяющегося излучения (к 0 - волновое число излучения в вакууме).

Для нахождения неизвестного значения комплексного показателя преломления эффективной среды применяется следующий прием: в процессе моделирования часть объема эффективной среды замещается равновеликим объемом моделируемой дисперсной системы, заключающим в себе случайным образом выбранный рассеивающий центр (частицу) и (1)/или (2) некоторый объем окружающей частицу матричной среды (пробный рассеивающий центр). Комплексное значение волнового числа распространяющейся волны для системы «эффективная среда - рассеивающий центр», полученное в результате усреднения по всем возможным размерам рассеивающих частиц в моделируемой среде и типам рассеивающих центров (1 и 2) , не должно отличаться от значения волнового числа для эффективной среды без пробного рассеивателя. Выполнение этого условия достигается в результате итеративного перебора значений е' и е" до достижения равенства двух величин.

Определение ке^ может осуществляться с использованием различных критериев:

- условия равенства 0 полного сечения [11] погружаемого в среду пробного рассеивателя, усредненного по ансамблю рассеивающих частиц и типам рассеивающих центров [12];

- условия равенства 0 усредненного значения амплитуды рассеяния вперед [11] для пробных рассеивающих центров [13];

- критерия равенства значений энергии электромагнитного поля в замещенном пробными рассеивателями объеме эффективной среды и эквивалентном объеме среды без пробного рассеивателя [14].

В нашей работе использовано условие равенства 0 взвешенного значения амплитуды рассеяния вперед для системы из двух пробных рассеивающих центров, аналогичное рассмотренному в [13]. Один пробный рассеивающий центр принимается в форме шара из вещества частиц моделируемой среды, окруженного концентрической оболочкой из матричной среды, заполняющей свободное пространство между частицами, а второй - в форме однородного шара из матричной среды (рис. 1).

а б

Рис. 1. Используемая в работе модель эффективной среды: а - моделируемая случайно-неоднородная среда; б - эффективная среда с двумя типами пробных рассеивающих центров - сферой в оболочке из матричной

среды (1) и однородной сферой из матричной среды (2)

Тогда для данной системы при погружении ее в эффективную среду должно выполняться условие

Р1/1 (°) + Р2/2 (0)= 0 (1)

где р1, р2 - соответственно весовые коэффициенты для пробных рассеивающих центров (сферы в оболочке и однородной сферы из матричной среды); / (0), /2 (0) - значения амплитуды рассеяния вперед для пробных рассеивающих центров.

Расчет коэффициентов ряда рассеяния [11] и, соответственно, значений амплитуды рассеяния вперед / (0), /2 (0) для подобной системы может быть осуществлен с использованием известных алгоритмов моделирования рассеяния электромагнитной волны шаром в оболочке и однородным шаром [11].

Параметры модельной системы (р1, р2, , Яу, рис. 1) могут быть получены из геометриче-

ских соображений, принимая во внимание, что в моделируемой среде объем элементарной ячейки V , занимаемой одним рассеивающим центром, связан с объемом этого центра V = (4/3 )р3 соотноше-

нием Ур = 2 V , где 2 - некоторый безразмерный параметр. В соответствии с результатами анализа,

представленными в [13], значение 2 может быть принято равным 1.65. Тогда объем пробного рассеивающего центра в форме шара в оболочке может быть вычислен как

Vz3

V. =-п------Г” (2)

* /(23 -1)+1 ' }

Vv соответственно равен 23 (V — /V*). Определив объемы пробных рассеивающих центров, мы можем вычислить их радиусы и, соответственно, рассчитать значения амплитуды рассеяния вперед. Весовые коэффициенты р1 , р2 находятся из условий:

р = V—V.

Р1 Vvf ’ (3)

. Р1 + Р2 = 1

Минимизация абсолютного значения р1 / (0)+ р 2 /2 (0) осуществляется с использованием итеративной процедуры / = к"п + С(/(0), где (/(0^ = р/(0) + р^_/,, а параметр С подбирается опытным путем исходя из критерия наискорейшей сходимости итеративной процедуры. Отметим, что транспортная длина I * для моделируемой среды с известными П/ и I может также быть

получена с использованием итеративной процедуры минимизации разности взвешенных значений полного сечения и параметра асимметрии [11, 13].

Рис. 2, 3 иллюстрируют результаты применения описанной модификации модели эффективной среды к расчету транспортных параметров плотноупакованных дисперсных систем. На рис. 2 представлены зависимости эффективного показателя преломления дисперсной случайнонеоднородной среды, состоящей из диэлектрических сфер с объемной долей / = 0.3, от показателя преломления сфер при различных значениях их радиусов. Матричной средой в данном случае является воздух (пк = 1). Здесь же для сравнения приведена модельная зависимость пе/ = р(п ) для подобных систем в низкочастотном пределе (Г IЛ ® 0, построенная по модели Максвелла - Гарнетта.

Отметим, что возрастание (Г}, равно как и пк, приводит к существенным отклонениям значений пе/ в большую сторону от величин, предсказываемых моделью Максвелла - Гарнетта.

На рис. 3 приведена модельная зависимость I = ф(/) для неупорядоченной системы диэлектрических сфер радиусом 0.25 мкм в воздухе в сравнении с зависимостью I = 4г/3fQsca (приближение слабого рассеяния).

Отметим хорошее соответствие зависимостей при малых значениях объемной доли рассеивателей и существенные расхождения при / > 0.1. Построенная в приближении эффективной среды зависимость характеризуется немонотонным поведением (что соответствует наблюдаемым в экспериментах особенностям рассеяния света плотноупакованными дисперсными средами), в то время как

приближение слабого рассеяния дает «нефизичные» результаты с I << 1 в области высоких концентраций рассеивающих центров.

П

р

Рис. 2. Зависимости эффективного показателя преломления моделируемой среды от показателя преломления рассеивающих центров. Длина волны зондирующего излучения 1 мкм, объемная доля рассеивающих центров

в моделируемой среде - 0.3. 1 - ^ = 0.05 мкм; 2 - ^ = 0.1 мкм; 3 - ^ = 0.25 мкм.

Пунктирная линия соответствует низкочастотному пределу (модель Максвелла - Гарнетта)

/

Рис. 3. Модельные зависимости длины рассеяния от объемной доли частиц в рассеивающей среде.

Длина волны зондирующего излучения - 1 мкм, = 0.25 мкм, пр = 2.0, матричная среда - воздух.

Маркеры - модель эффективной среды; сплошная линия - приближение слабого рассеяния

Обсуждаемая модель эффективной среды может быть использована для оценки транспортных параметров (I, I* и пе1) дисперсных систем на основе результатов оптических диффузионных измерений даже при отсутствии исходных данных о структурных характеристиках системы. Например, при известном значении объемной доли и неизвестном среднем размере рассеивающих центров в координатах (пе^,I ) может быть построена параметрическая зависимость I* = /(пе/,(г)), единственным образом характеризующая дисперсную среду с заданным значениями объемной доли и показателя преломления рассеивателей, а также показателя преломления содержащей рассеиватели матричной среды, для различных значений (г^. С другой стороны, измеряемые в оптических диффузионных

экспериментах параметры анализируемой среды (например, коэффициент диффузного пропускания слоя с заданной толщиной Ь ) могут быть получены только для определенных комбинаций значений

пе/ и I *, которым соответствует единственно возможная кривая I =${пе/,(г)) в координатах (пе^, I ) . Нахождение точки пересечения кривых I = /(пеу ,^Г) и I =ф(пе^) позволяет не только определить пе/ и I *, но и оценить значение (г^ для зондируемой среды.

Данный подход был применен для интерпретации результатов низкокогерентного интерференционного зондирования слоев плотноупакованных наночастиц диоксида титана (смесь частиц анатаза и рутила, нанопорошок диоксида титана от Sigma-Aldrich, США, продукт Aldrich 637254). Слегка спрессованные слои нанопорошка толщиной 200-250 мкм на стеклянных подложках (объемная доля частиц в слоях в соответствии с волюмометрическими измерениями составляла приблизительно 0.23) использовались в качестве диффузного отражателя в объектном плече низкокогерентного интерферометра (оптический когерентный томограф Thorlabs 0CS1300SS, центральная длина волны зондирующего излучения 1325 нм, длина когерентности в воздухе 6 мм). Интерферометрическая методика зондирования случайно-неоднородных сред с использованием широкополосного излучения описана в [15]. Зависимость амплитуды интерференционного сигнала от разности времени распространения пучков t в опорном и объектном плечах в случае диффузного рассеяния излучения в зондируемом объекте описывается следующим выражением:

A(t ) =

3D l * L

exp

t

n=1

exp

1 - cos

rl * + Z

L

2pn

(4)

где В = I * уе /3 - коэффициент диффузии излучения ( уе - скорость переноса энергии излучения в среде), га - характерное время поглощения (для сред с малым поглощением га ® ¥),

Ь = Ь + I * (21 + 2 2), где безразмерные коэффициенты Z1, Z2 определяются отражательной способностью верхней и нижней границ слоя (т.е. зависят от отношения эффективного показателя преломления слоя к показателю преломления воздуха или стекла). На рис. 4 в качестве примера приведена зависимость 2 от п/ среды для границы раздела «среда - воздух», рассчитанная в соответствии с

методикой, описанной в [16].

В отсутствие поглощения при больших значениях t > Ь2/р2 В (и соответственно, больших значениях глубины зондирования г = ) амплитуда интерференционного сигнала спадает по экс-

поненциальному закону А(2) ~ехр(- г/х) с постоянной затухания, равной

Z-—•

Ь 'ГГ 2 Р

*ef

•[L +1* {Z1 (nef)+ Z2(

J2 \nef

l *

(5)

На рис. 5 представлена полученная в эксперименте зависимость амплитуды интерференционного сигнала (в относительных единицах) от глубины зондирования для одного из образцов, демонстрирующая экспоненциальный спад с ростом глубины зондирования; соответствующее значение X равно - 1250 мкм.

Рис. 4. Зависимость Z от n

ef

l * =j{nef ).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

восстановленная с исполь-

Полученному значению X соответствует зависимость * — у'у// зованием выражения (5) и представленная на рис. 6. Здесь же представлена зависимость I = / (пе/ ,^ ^), рассчитанная по модели эффективной среды для рассеивающей системы, состоящей

2

из частиц диоксида титана с различными значениями (г^ и объемной долей, равной 0.23 (матричная

среда - воздух). Положение точки пересечения зависимостей на плоскости (пе^, I ) позволяет определить транспортные параметры зондируемой среды как пеГ » 1.283±0.002 и I* » (21.2±1.3) мкм.

Рис. 5. Зависимость амплитуды сигнала низкокогерентного интерферометра от глубины зондирования при использовании слоя частиц диоксида титана о качестве отражателя в объектном плече

Отметим, что измерения транспортной длины распространения излучения с 1 = 1325 нм с помощью других методов не проводились; тем не менее полученное значение может быть сопоставлено со значениями, определенными на основании измерений диффузного пропускания и отражения исследуемых образцов для более коротких длин волн (450 нм £ 1 £ 1050 нм). В данном спектральном интервале величина I * для исследованных образцов монотонно возрастает от » 8.9 мкм при X = 450 нм до ~ 17.1 мкм при X = 1050 нм.

nef

Рис. 6. К нахождению l * и nef для слоя частиц диоксида титана по постоянной затухания £

интерференционного сигнала. 1 - параметрическая зависимость длины рассеяния от эффективного показателя преломления (модель эффективной среды); 2 - зависимость длины рассеяния от эффективного показателя преломления, соответствующая полученному в эксперименте значению £

Рост l * с увеличением длины волны зондирующего излучения обусловлен сильной зависимостью фактора эффективности рассеяния частиц с (r^ < Я от их дифракционного параметра

2prjnhjЯ. Учитывая эту тенденцию в поведении l*, можно сделать вывод, что полученное для

Я = 1325 нм значение удовлетворительно согласуется с результатами оптических диффузионных измерений для более коротких длин волн. Для исследуемой дисперсной системы по положению точки

пересечения зависимостей l =j(nef) и l = f (nef,(r)) было также оценено значение (r^ » 85 нм,

Учитывая, что в соответствии с паспортными данными на продукт Aldrich 637254 средний размер наночастиц менее 25 нм, можно сделать вывод, что в исследуемых образцах значительную долю составляют агрегаты наночастиц. Об этом также косвенно свидетельствуют результаты измерений насыпной плотности исходного материала (0.293 ± 0.005) г/см3, в то время как паспортное значение насыпной плотности составляет 0.04-0.06 г/см3.

Таким образом, рассмотренный метод является достаточно эффективным инструментом для анализа особенностей распространения электромагнитного излучения оптического диапазона в дисперсных средах с высокой концентрацией рассеивающих центров. Используемые в основе метода принципы моделирования взаимодействия излучения со средой позволяют, в частности, учитывать влияние концентрационных эффектов на оптические параметры моделируемой среды. Представляет значительный интерес дальнейшее развитие метода в части уточнения влияния не только рассеяния, но и поглощения излучения в моделируемой среде на перенос зондирующего излучения.

Данная работа выполнена в рамках госконтракта с Минобрнауки РФ № 14.B37.21.1080 и при поддержке гранта РФФИ № 13-02-90468 Укрфа.

ЛИТЕРАТУРА

1. Low-coherent backscattering spectroscopy for tissue characterization / Y.L. Kim, Y. Liu, R.K. Wali, et. al. // Applied Optics. 2005. V. 44. P. 366-377.

2. In vivo local determination of tissue optical properties: applications to human brain / F. Bevilacqua, D. Piguet, P. Marquet, et. al. // Applied Optics. 1999. V. 38. P. 4939-4950.

3. Ntziachristos, V. Going deeper than microscopy: the optical imaging frontier in biology / V. Ntziachristos // Nature Methods. 2010. V. 7. P. 603-614.

4. Design of light scattering in nanowire materials for photovoltaic applications / O.L. Muskens, J.G. Rivas, R.E. Algra, et.al. // Nanoletters. 2008. V. 8. P. 2638-2642.

5. Broadband mean free path of diffuse light in polydisperse ensembles of scatterers for white light-emitting diode lighting / W.L. Vos, T.W. Tukker, A.P. Mosk, et. al. // Applied Optics. 2013. V. 52. P. 26022609.

6. Non-invasive imaging through opaque scattering layers / J. Bertolotti, E.G. van Putten, C. Blum, et. al. // Nature. 2012. V. 491. P. 232-234.

7. Weak localization of light in superdiffusive random systems / M. Burresi, V. Radhalakshmi, R. Savo, et. al. // Physical Review Letters. 2012. V. 108. P. 1-4.

8. Wavelength dependence of light diffusion in strongly scattering macroporous gallium phosphide / W.H. Peeters, I.M. Vellekoop, A.P. Mosk, A. Lagendijk // Physical Review A. 2008. V. 77. P. 1-4.

9. Исимару А. Распространение и рассеяние волн в случайно-неоднородных средах: в 2 т. /

A. Исимару. М.: Наука, 1986. Т. 1. 400 с.

10. Кузьмин В. Л. Когерентные эффекты при рассеянии света в неупорядоченных системах /

B.Л. Кузьмин, В.П. Романов // УФН. 1996. Т. 166. C. 247-278.

11. Борен К. Поглощение и рассеяние света малыми частицами / К. Борен, Д. Хафмен. М.: Мир, 1986. 664 с.

12. Economou E.N. Calculation of optical transport and localization quantities / E.N. Economou,

C.M. Soukoulis // Physical Review B. 1989. V. 40. P. 7977-7980.

13. Soukoulis C.M. Propagation of classical waves in random media / C.M. Soukoulis, S. Datta, E.N. Economou // Physical Review B. 1994. V. 49. P. 3800-3810.

14. Busch K. Transport properties of random media: an energy-density CPA approach / K. Busch, C.M. Soukoulis // Physical Review B. 1996. V. 54. P. 893-899.

15. Johnson P.M. Time-resolved pulse propagation in a strongly scattering material / P.M. Johnson, A. Imhof, B.J.P. Bret, J.G. Rivas, A. Lagendijk // Phys. Rev. E. 2003. V. 68. №1. P. 016604-016613.

16. Zhu J.X. Internal reflection of diffusive light in random media / J.X. Zhu, D.J. Pine, D.A. Weitz // Phys. Rev. A. 1991. V. 44. №6. P. 3948-3959.

Алонова Марина Васильевна -

аспирант кафедры «Физика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Ангельский Олег Вячеславович -

доктор физико-математических наук, профессор, декан инженерно-технического факультета Черновицкого национального университета

Marina V. Alonova -Ph.D. Student

Department of Physics Yuri Gagarin State Technical University of Saratov

Oleg V. Angelsky -

Dr. Sc., Professor

Dean: Engineering and Technical Faculty Chernivtsi National University

Ермоленко Сергей Борисович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Корреляционная оптика» Черновицкого национального университета

Зимняков Дмитрий Александрович -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Физика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Исаева Елена Андреевна -

кандидат физико-математических наук, ассистент кафедры «Физика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Сина Джаван Самоди -

аспирант кафедры «Физика» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.

Скурлов Иван Дмитриевич -

бакалавр кафедры «Физика» Саратовского государственного университета имени Гагарина Ю.А.

Твердова Анастасия Александровна -

бакалавр кафедры «Физика» Саратовского государственного университета имени Гагарина Ю.А.

Ушакова Ольга Валерьевна -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Техническая кибернетика и информатика» Саратовского государственного университета имени Гагарина Ю.А.

Статья пос

Sergei B. Ermolenko -

Ph.D., Associate Professor Department of Correlation Optics Chernivtsi National University

Dmitry A. Zimnyakov -

Dr.Sc., Professor

Head: Department of Physics

Yuri Gagarin State Technical University of Sararov

Elena A. Isaeva -

Ph.D., Assistant Lecturer Department of Physics