CC BY
17
54
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 3
Оптические свойства апериодических тонкослойных структур: эффективный показатель преломления
А. В. Козарь
Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра фотоники и физики микроволн. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.
E-mail: [email protected] Статья поступила 20.09.2008, подписана в печать 26.12.2008.
Найдены простые аналитические выражения для эффективного показателя преломления апериодической тонкослойной структуры, адекватно описывающего ее оптические свойства в широком интервале длин волн. Проведен анализ полученных выражений и сформулированы общие для такого класса структур оптические свойства. Правомерность полученных результатов проиллюстрирована на примере численного эксперимента.
Ключевые слова: многослойные структуры, интерференция.
УДК: 535.4. PACS: 42.25.^р.
Введение
В последние годы появился целый ряд публикаций, в которых был представлен не только алгоритм синтеза структур с толщинами слоев существенно меньше четвертьволновых [1, 2], но и проанализированы и обобщены их основные структурные и волновые свойства [3-12].
Анализ и обобщение результатов исследования характеристик таких структур показали, что они обладают целым рядом уникальных, присущих только им структурных и волновых свойств, что позволило выделить такие структуры в отдельный класс — тонкослойные интерференционные структуры (ТИС). Детально эти свойства изучены для ТИС с двух- и трехслойным периодом [3-7, 9-12], в случае же многослойного периода или апериодической многослойной ТИС были получены общие асимптотические соотношения, подтверждающие наличие этого свойства и для таких структур [8], однако эти результаты требуют более детального рассмотрения и анализа.
1. Постановил задачи
Анализ фундаментальных свойств ТИС с двух-, трехи многослойным периодами показал, что они сохраняются для такого класса структур и в случае наличия малых потерь в слоях структуры [9], наклонного падения волны [10], при малых вариациях оптических и геометрических параметров слоев ТИС [11] и при отличии фронта падающей волны от плоского [12]. Учитывая это обстоятельство, с целью сокращения математических выкладок и не обужая общности, рассмотрим в настоящей работе взаимодействие плоской монохроматической волны с некоторой многослойной структурой в предположении, что в обрамляющих ее средах и слоях структуры поглощение отсутствует, падение волны нормально к плоскости ее слоев, частотная дисперсия показателей преломления слоев структуры на рассматриваемом интервале длин волн пренебрежимо мала.
Исследование взаимодействия волны с тонкослойной структурой будем проводить для длин волн Л > 4щй}, где П], й] — показатель преломления и геометрическая толщина /-го слоя структуры соответственно. Это условие определяет область тонкослойных решений для структур класса ТИС, т. е. когда каждый слой структуры по оптической толщине меньше (или существенно меньше) четвертьволновой, а полная оптическая толщина всей
структуры близка к четвертьволновой, т. е. для длин волн, лежащих в области последнего (длинноволнового) интерференционного максимума отражения волны от структуры [5].
Целью настоящей работы является нахождение и анализ аналитических выражений для эффективного показателя преломления рассматриваемой структуры как функции от значений показателей преломления, толщин и числа слоев структуры, который адекватно описывает волновые свойства многослойной апериодической структуры (коэффициенты отражения и пропускания падающей на структуру волны) на заданном интервале длин волн. Отметим, что в такой постановке исследования интенсивно ведутся уже давно, однако либо в них делаются специальные предположения относительно функционального характера неоднородности (линейный, экспоненциальный, гиперболический и т.д.) [13, 14], либо учитываются значения показателя преломления неоднородного слоя лишь на его границах [15, 16], либо рассматриваются гладкие функции п(г) для относительно толстых (несколько длин волн) слоев [17].
2. Эффективный показатель преломления
Рассмотрим плоскую монохроматическую волну, падающую из полубесконечной среды с показателем преломления П1 на многослойную структуру, состоящую из N плоскопараллельных слоев с показателями преломления п/ и геометрическими толщинами й/ (/ € [ 1, Л/]) и расположенную за ней полубесконечную среду (подложку) с показателем преломления .
Для решения задачи относительно эффективного показателя преломления воспользуемся методикой, изложенной в [3], а именно будем искать решение при условии, что система (структура и граничные среды) находится в согласованном режиме, т. е. коэффициент отражения волны от структуры и расположенной за ней средой с показателем преломления равен нулю (в этом случае = «егг. а фаза коэффициента отражения от структуры, ограниченной полубесконечными средами с показателем преломления (рг = п). Тогда эффективное значение показателя преломления слойной структуры может быть найдено из системы двух независимых уравнений вида [3]:
мМимМ21^мМ22мМ12п2е„ = 0, мМ22"М21^"МпмМ21п1 = 0,
ОПТИКА И СПЕКТРОСКОПИЯ. ЛАЗЕРНАЯ ФИЗИКА
55
где ^М/и — элементы характеристической матрицы слойной структуры:
М/ =
Мм = 1\м1 = 1=1 V
со б(/Зу-£?у-)
1п/ зт(/3/й/)
созС/З/й/)
М
■. щ.
А'Мц Л'М22 •
(2)
«еГГ ;
Л? Л?
ХМ-^п?)
1 /=1 /=1
т N т N '
Е^^П?)
(3)
/=1
/=1
"еГГ :
1 м
Е пЦ
1 м
Ё пЦ
пь
N /=1
I
(4)
а) слои структуры имеют одинаковую оптическую толщину (п/й/ = п^ = О):
«еГГ ;
N
1 /=1
I
N
. Х>/
Л/=1
^ V±' 2—1 п,
М
(5)
где /3/ = (27тП/й^/Х — постоянная распространения волны в /-м слое. Подставляя в (1) элементы характеристической матрицы ^М/да, получим эквивалентную систему уравнений вида [3]
б) слои структуры имеют одинаковую геометрическую толщину (й/ =й[ = й)\
N
«еГГ =
, ,§"<2
(6)
Решая (2) при соответствующих значениях элементов характеристических матриц для каждого слоя относительно Пегг, получим для N 1 [5, 7, 8]
Пь N
Особый практический интерес представляет случай, когда рассматриваемая структура обладает слабой пространственной неоднородностью показателя преломления, т.е. все значения щ лежат в интервале [пм,пш], где пм, пш — максимальное и минимальное значения показателей преломления из всего множества значений п/ соответственно, причем п/ = п± 6/, где п = (пм + пт)/2; О^^Сп. Тогда как из (5), так и из (6) в результате несложных преобразований с точностью до величин порядка Sf получим:
где ^ = = (Ы = 2К); Р = пы П ^ ,
/=1 /=1
(Ы = 2К - 1).
Функции Р и Р~' ограничены сверху при любом N и не превышают значения порядка птах из всего набора
N
значений щ. В то же самое время функция 7} быстро
/=1
убывает с ростом N, поскольку в силу структурного алгоритма тонкослойных структур при заданной длине волны А, соответствующей области длинноволнового интерференционного максимума отражения волны от структуры, при увеличении числа слоев (разбиений) должно выполняться условие й/ ~ 1 /Ы [3, 6, 8] и соответственно 7} •С 1. Таким образом, для больших N с высокой степенью точности (оценки показывают, что уже при N = 4 ошибка составляет не более 3% [4]) выражение (3) можно переписать в виде
«еГГ ;
ПмП„ П[,
(7)
Причем, если структура пленки оптически однородна, т.е. щ = щ = п, то как из соотношения (4), так и (7) получим хорошо известное выражение для эффективного показателя преломления однородной четвертьволновой пленки:
"«//(А/4)
ПЬ
где Ь = Е ~~ суммарная (полная) геометрическая
/=1
толщина структуры.
Таким образом, в области последнего длинноволнового максимума отражения волны от многослойной структуры ее эффективный показатель преломления , как следует из (4), инвариантен относительно порядка чередования слоев структуры и длины падающей на структуру волны.
В случае однородно структурированных (по оптической или геометрической толщине) пространственно неоднородных структур, что часто имеет место как для искусственно созданных, так и для природных пленок, из (4) получим:
Таким образом, для тонкой однородно структурированной (по оптической или геометрической толщине слоев) пленки с малым отличием показателей преломления соседних слоев (слабой пространственной дисперсией показателя преломления) для всего множества АЛ возможных комбинаций взаимного расположения слоев структуры (формы функции п(г)) эффективный показатель преломления структуры на всем множестве значений длин волн А > 8п^ будет определяться лишь максимальным и минимальным значениями показателей преломления двух ее слоев (экстремальными значениями функции п(г)) и может быть найден из соотношения (7).
В частности, отметим, что хорошо известное и часто используемое приближение Шрёдера [16], в котором пец пропорционально произведению значений показателей преломления на границах неоднородной пленки, является частным случаем выражения (7), справедливым лишь для монотонных функций п(г).
3. Численный эксперимент
Проведенная серия численных экспериментов по сопоставлению результатов расчета зависимости коэффициента отражения от длины волны по точным формулам и с использованием формул (4)—(7), для различных значений П/, N и <5/ и различной формы п(г) (степенной, экспоненциальной, гармонической и случайной), показал правомерность использования полученных соотношений для расчета оптических характеристик пространственно неоднородных пленок (слоистых структур) в длинноволновой области спектра.
28 ВМУ. Физика. Астрономия. № 3
56
ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ. 2009. № 3
Зависимость энергетического коэффициента отражения от длины волны (в интервале 8яуб/у ^ Л ^ ШОяус/у) для 16-слойной ТИС, граничащей слева и справа со свободным пространством (ni, = tis = 1) с равномерным изменением показателя преломления от слоя к слою от 2.15 до 2.0 с шагом 0.01
В качестве примера на рисунке представлена зависимость энергетического коэффициента отражения от длины волны (в интервале 8rijdj ^ А ^ 100л,¿i,) для 16-слойной ТИС, граничащей слева и справа со свободным пространством (л/, = п$ = 1) с равномерным изменением показателя преломления от слоя к слою от 2.15 до 2.0 с шагом 0.01. Слои имеют одинаковую оптическую толщину = = 0.2. На представленном графике сплошная линия — результаты расчета по точным формулам, а дискретные значения соответствуют расчетам по формулам (4) (линия (*) на рисунке) и (7) (линия (о) на рисунке). Причем при расчете по формуле (4) использовалась однослойная модель с эквивалентным показателем преломления пщ = х/йёг№ и толщиной d= 1.58 мкм, а при расчете по формуле (7) двухслойная модель с пм = 2.15; йм = 0.74 мкм и пт = 2.0; dm = 0.79 мкм (толщины слоев рассчитывались по формулам для синтеза ТИС с двухслойным периодом при
А = 13.1 мкм, приведенным в [3]). В рассмотренном случае формулы (4) и (7) дают практически совпадающие значения для эффективного показателя преломления многослойной структуры — 4.3035 и 4.3 соответственно, что и обусловливает, как видно из рисунка, хорошее соответствие рассчитанных на их основе спектральных зависимостей коэффициентов отражения как между собой, так и в сравнении с точным расчетом.
Списож литературы
1. Козарь A.B. // Тр. Всесоюзн. научно-технич. конф. «Проектирование и применение радиоэлектронных устройств на диэлектрических волноводах и резонаторах«. Саратов, 1983. С. 136.
2. Козарь A.B. // Тр. Всесоюзн. научн. сем. «Методы синтеза и применение многослойных интерференционных систем«. М., 1984. С. 118.
3. Козарь A.B. II Оптика и Спектроскопия. 1985. 5, № 59. С. 1132.
4. Козарь A.B. // Оптика и Спектроскопия. 1988. 5, № 64. С. 1130.
5. Kozar A.V. // Mater, of Intern. Congr. on Optical Science and Engineering «Optical Thin Films and Applications«. Hague, Netherlands, 1990. P. 45.
6. Козарь A.B., Рязанова Е.Л. II Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 1990. 31, № 5. С. 52.
7. Kozar А. К // Mater, of «Optical Interference Coatings Topical Meeting« of the Optical Society of America. USA, 1992. P. 97.
8. Козарь A.B. I/ Препринт, физ. ф-та МГУ. M., 2003. № 8. С. 1.
9. Козарь A.B., Путрина Е.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрой. 1990. 33, № 6. С. 57.
10. Козарь A.B., Путрина Е.В., Фионова О.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1995. 36, № 3. С. 39.
11. Козарь A.B., Путрина Е.В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 1992. 33, № 6. С. 31.
12. Алейникова С.П., Козарь A.B., Путрина E.B. 11IV Всерос. школа-семинар «Волновые явления в неоднородных средах«. Красновидово, 1994. С. 114.
13. Jacobssoti R. Physics of Thin Films. N. Y., 1975. 8.
14. Knittt Z. Optics of Thin Films. N. Y„ 1976.
15. Koppelmann G., Krebs К. 11 Z. Phys. 1961. 164. P. 539.
16. Schroder H. H Ann. Phys. 1941. 39. P. 55.
17. Tikhonravov A.V., Trubetskov M.K., Sullivan B.T., Do-browolski J.A. H Appl. Opt. 1997. 36. P. 7188.
Optical properties of aperiodic thin layer structures: effective refraction index A. V. Kozar'
Department of Photonics and Microwave Structures, Faculty of Physics, M. V. Lomonosov Moscow State University, Moscow 119991, Russia. E-mail: [email protected].
Simple analytical solutions for an effective index of refraction of an aperiodic thin-layer structure, which correctly describe its optical properties in a wide range of incident wavelengths, are obtained. Their analysis results in a general for such class of structures optical properties. The validity of the obtained results is illustrated by a computer simulation.
Keywords: multilayer structures, interference.
PACS: 42.25.-p.
Received 20 September 2008.
English version: Moscow University Physics Bulletin 3(2009).
Сведения об авторе
Козарь Анатолий Викторович — л.ф.-м.и., профессор, зам. декана; e-mail: avk(f';phys.msu.ru.
