Оптические ловушки, образованные различными модами лазера Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.214

ОПТИЧЕСКИЕ ЛОВУШКИ, ОБРАЗОВАННЫЕ РАЗЛИЧНЫМИ

МОДАМИ ЛАЗЕРА

© 2001 С.П. Котова, М.А. Рахматулин, В.В. Филькин

Самарский филиал Физического института им. П.Н. Лебедева РАН

На основе законов геометрической и волновой оптики создана компьютерная модель взаимодействия остро сфокусированных лазерных пучков различных мод с прозрачными диэлектрическими сферами. Моделировалось взаимодействие лазерных мод Лагерра-Гаусса, Ь-в01, Ь-в02, Ь-в03, Ь-в04, Ь-в10, Ь-О20,Ь-в11 Эрмита-Гаусса Н-в01, Н-в10, Н-в11 и нулевой моды Гаусса со сферами латекса, взвешенными в воде. Для всех мод рассчитаны силы, действующие на сферу в поперечном и продольном направлениях. Обнаружено, что моды Лагерра-Гаусса и Эрмита-Гаусса создают возвращающие продольные силы большие, чем нулевая мода гаусса. В то же время для поперечных сил наблюдается обратная ситуация.

Введение

Оптический захват - это новая технология, которая использует давление излучения для захвата и манипуляции микроскопическими объектами. В настоящее время данные ловушки широко используются в клеточной биологии, так как они позволяют управлять клетками и их органеллами без каких-либо повреждений. Для захвата нейтральных диэлектрических частиц было предложено и продемонстрировано множество оптических ловушек, основанных на рассеянии и изменении направления потока импульса в световой волне [1-3]. Однолучевая градиентная оптическая ловушка, также известная как оптический пинцет, впервые была продемонстрирована Эшкиным и др. [4]. Фактически она является одной из самых простых ловушек, основанных на давлении излучения. Оптический пинцет состоит из лазерного луча, остро сфокусированного микрообъективом стандартного микроскопа до светового пятна диаметром в плоскости объекта. Этот же микроскоп используется для наблюдения за микроскопическим объектом. При острой фокусировке лазерного луча в аксиальном и поперечном направлениях создаётся сильный градиент интенсивности. Под действием такого луча диэлектрические частицы типа биологических клеток преломляют электрическое поле, втягиваются в фокус пучка и остаются там. Размер захваченных частиц может колебаться от порядка долей длинны волны до нескольких десятков микрометров. Силы, образующиеся в ловушке,

способны переместить клетку или внутриклеточные органеллы не повреждая клеточную мембрану. Причём данные манипуляции выполняется абсолютно стерильно. Так в работе [5] оптическая ловушка используется для изменения движения хромосом внутри ядра клетки и для удержания подвижных сперматозоидов. Р. Шутце разработала экспериментальную установку по искусственному оплодотворению, основанную на оптическом пинцете [6]. Авторы статьи [7] выполнили оптические измерения эластичных свойств внутриклеточной жидкости при перемещении органелл.

Вычисление сил захвата в лазерном пинцете может быть выполнено в рамках геометрической оптики или с помощью электромагнитной теории света. Объекты, описываемые в рамках геометрической оптики, должны иметь размер >101, для частиц, имеющих диаметр < 1, используется электромагнитное приближение [8].

В данной работе мы проводим вычисление сил захвата, действующих на диэлектрическую сферу в рамках геометрической оптики для разных мод лазера.

Модель лазерного пинцета

Рассмотрим действие однолучевой оптической ловушки на диэлектрические микроскопические сферы, которые по своим свойствам похожи на клетки различных организмов. Будем проводить вычисления в рамках геометрической оптики. Рассмотрим действие сфокусированного лазерного пучка на

не поглощающую диэлектрическую частицу сферической формы, диаметр которой много больше, чем длина световой волны. Вычислим силы, действующие на частицу в направлениях вдоль и поперёк лазерного пучка. В основу расчёта положим представления о потоке импульса, переносимом световой волной, о фокусировке лазерного пучка, а также формулы Френеля для коэффициентов отражения и преломления света на границе раздела двух сред. Будем рассматривать лазерные пучки с Г ауссовым, Лагерр-Г ауссовыми и Эрмит-Гауссовыми профилями распределения интенсивности, линейно поляризованные вдоль оси ОХ. При моделировании не учитывалась дифракция лазерного пучка на микрообъективе. Также необходимо отметить, что на расстояниях порядка г0=рр 2/1 от фокуса геометрооптическая модель не даёт корректные результаты.

На рис. 1 показаны направления элементарных сил, действующих на диэлектрическую частицу, обусловленные отражением и преломлением элементарного луча на поверхности сферы.

Направления сил определяются формулами:

= (/) - /1 )• с1, <іР3 = (?2 - /3 )• с3,

^2 = (/0 - ?2 )• С2 » = (2 - І4 )• С4 , (1)

где с. - скалярные величины и /0, /1, I , 13,

I - единичные вектора, определяющие направление для лучей.

Для того чтобы вычислить поперечные и продольные составляющие сил светового давления необходимо найти проекции еди-

ничных векторов lx, lz (где i = 0, 1, 2, 3, 4), определяющих направление распространения лучей света. Рассмотрим общий случай, когда ось пучка смещена от оси OZ, проходящей через центр сферы радиуса а, на расстояние b (рис. 2). Из рисунков 1 и 2 путём несложных геометрических выкладок получим:

0z=cosZ-cosg,

Iz=-cos(a+w)-cosg,

2z=cos(w-b)-cosg,

3z=-cos(3b-w)-cosy,

4z=cos(w+a-2$) • cosg,

0x=sinZ cosh • cosu, (2)

Ix=sin(2a-Z) • cosh • cosu,

2x=-sin(w-b)• cosh • cosu,

3x=-sin(3'b-w) • •cosh • cosu,

4x=-sin(w+a-2b) • cosh • cosu,

где a - угол падения; b - угол преломления; С - угол между плоскостью поляризации пучка и плоскостью падения луча, 0 и у - сферические координаты; Z =ZACO; j =ZACE; y=ZAGE; w =ZAOC; 0 =ZAOF; u =ZABR; h=ZSAB; C=ZASR, g =ZCOF; 8 =ZREA.

Начнём с вычисления элементарной

силы dF1. Эта сила возникает из-за того, что при отражении луча света от поверхности шара в точке A часть потока импульса падающей волны с объёмной плотностью

GI=II/c2

(З)

изменяет своё направление с первоначально-

го направления, задаваемого падающим лучом 10 на направление отражённого луча I .

Здесь с — скорость света, — отражённая интенсивность. Согласно второму закону Ньютона, элементарную силу , действующую

на элемент поверхности шара йъ в окрестности точки А, можно вычислить по формуле

<&,= Ф*рЫ' '/Л • (4)

где фСферыа) - приращение импульса шара приобретаемое им за время йР. Величину Фсферыа} найдём из условия сохранения импульса для системы "свет-сфера", которое имеет вид

<Фсферы!1; + Фсвета ^ = 0 . (5)

Величина фсвета(1) в формуле (5) имеет

смысл изменения импульса света за время йР, возникающего при отражении луча в точке А. Эту величину запишем в виде

Ф™1; , (6)

йУ = с • йР йъ, (7)

йУ - элементарный объём поля падающей световой волны, проходящей за время йР через элемент поверхности шара йъ в окрестности точки А.

Комбинируя формулы (3)-(7) и учитывая, что 11 =Ш0, получаем следующее выражение

для элементарной силы ^Р1:

Рис. 3. К выводу формулы (7). Изображена плоскость падения луча в точку А

dFx = — (( -/,)(0,у)I(0,у)cosads. (8)

В этой формуле R(0,y) - френелевский коэффициент отражения, 1(0,у) - распределение интенсивности света в падающем световом пучке. Отсюда полная сила

F, = —1(/0 - /, ')я(0,у)I(0,y)cosads , (9)

c S

где интегрирование следует проводить по поверхности шара S во всей области, освещённой падающим пучком. Расписав ds, формулу (9) можно переписать в виде

_ „2 0ша 2ж, ,

F — = — I I -1, JR(0y)l(0.v)x

c 0 0 (10) x sin0 cosadyd0

Формула (10) позволяет рассчитать силу светового давления F—, обусловленную отражением света на передней (обращённой к свету) поверхности шара. Аналогичным образом можно вычислить и остальные элементарные силы dF2, dF3, dF4 (рис.1) и полные

силы F2, F3, F4. В результате получим

Р

a 2 2 2p

Fi = — f sin0 cos0,d0 J" fIdy, (11)

c 0 0

где индекс "i" пробегает значения 1, 2, 3, 4 и

f =(0 -/■ )r, f =(lo - I T

f, = (2 -I3)rT, f, =(2 -/4)t2, (12)

Векторная сумма всех сил, т. е. полная сила, действующая на шар, выражается формулой

4 Я2 2 2л

F =Х Fi = — f sin0 cos0d0 f fIdy, (ІЗ)

i=1 c О 2

где

f=i f.

і=l

(І4)

Интегрирование ведётся по у от 0 до 2р, по 0 от 0 до 0шах. Коэффициенты Я и Т находятся по формулам Френеля

Я=Я(0,у) = Я/0,у)со$2%+К±±(0,у)$т2%, (15)

T=I-R ,

R/ (в:¥)=гітгя)

tg (а+ь)

RL(0:y)--

sin2(а - b)

(І7)

sin2 (а + b)’

Силы светового давления можно вычислять для произвольного распределения интенсивности в падающем пучке. В нашей работе мы моделировали сфокусированные лазерные пучки нулевой Гауссовой моды (18), мод Лагерра-Гаусса L-Gl0 (l9), L-G20 (20), L-Gi1 (2l), L-G01 (22), L-G02 (2З), L^ (24), L-G04 (25) и мод Эрмита-Гаусса H-G0l (2б), Н-G10 (27), Н-Gl І (2В). Интенсивности для этих пучков представлены следующими формулами:

2P

I(0,y) = -PPp (z)

exp

2 AE2 p2 (z)

(ІВ)

I(0,y) = -2p-Pp (z)

I(0,y ) =----------P—

4pp (z)

2P

I(0,y ) = О

0 “1 1 2 AE 2 2 AE2 "

p2 (z)\ exp p2 (z)_ (І9)

Г 2AE2 4 Г 2 AE2

2- |_ p2 (z ) exp _ p (z) 0) (2

AE2

pp (z) p (z)

2 AE 2 p2(z)

x

x exp

2 AE 2 p2(z)

4P

I(0,y) = —P

Pp (z) p (z)

AE

-r^exp

AE p2 (z)

(2l)

(22)

T/a . 4P, AE4

I(0У) = 2/ ' v >exp

Pp (z) p (z)

T/a . 8P, AE6

I(0,y ) =-----2О-------6----

' 3Pp (z) p6(z)

4P AE8

exp

I(0,y) =

3np2(z) p8(z)

exp

Кв.y) = рО ^AEf"d)1 r Pp-(z) p'- (z)

2 AE2

_

- 2 AE2 p(zA

2 AE2 ” 'p^

2 AE2

exp

РО 8(AEcosS)

I(0,y) = ° - 7 exp

Pp (z) p (z)

p2 (z)

2 AE2 p2 (z)

(23)

(24)

(25)

(26) (27)

(Іб) I(0,y )■■

8( AE sin 8 /

2Pp (z) p (z)

8( AE cos 8 / x exp

p2(z) P

x

2 AE2' p^

(2В)

где Р0-мощность излучения лазера, р(^) радиус пучка (29), к = 2т1 /1 - волновое число:

p2 (z) = p

1

+

2

z

kPo2

(29)

На рис.4 представлены профили интенсивности для данных пучков.

Расчёт сил при оптическом захвате

На основе описанной выше модели были проведены расчёты продольных и поперечных сил, действующих на сферу из латекса в воде (показатель преломления латекса п=1,58) со стороны сфокусированных лазерных пучков. Моделировалась реально существующая установка лазерного пинцета на основе Не-№ лазера ЛГ-215 и поляризационного микроскопа МИН-8 с иммерсионным микрообъективом ОМ-41П (90х, КЛ=1,25). Мощность, прошедшая через микрообъектив бралась равной 10 мВт. Силы по оси 0Ъ рассчитаны с учётом архимедовой силы и силы тяжести. Ось Ъ направлена вниз.

На рис.5 представлены графики зависимости аксиальных сил, действующих на сферу из латекса диаметром 8 мкм, от расстояния между фокусом пучка и краем сферы для нулевой гауссовой моды и мод Лагерра-Га-

P

5l

а)

Ь)

с)

ф

а)

Рис. 4. Профили интенсивности лазерных пучков, описываемые уравнениями (18)-(25): (а) нулевая мода Гаусса; (Ь) Ь-О0; (с) 1-0 °; (ф) Ь-О.1; (е) Ь-О01;(£) Ь-0°.2; (£) Ь-О03; (к) Ь-О4; (I) И-001; (]) И-010; (к) И-011

усса Ь-в01 и Ь-в02 (а); для мод Лагерра-Г аус-са Ь-в03 и Ь-в04 (Ь); для мод Лагерра-Г аусса Ь-вД Ь-в2°, Ь-в11 (с); для мод Эрмита-Гаус-са Н-в10, Н-в01, Н-в11.

Из графиков видно, что оптический пинцет на модах Лагерра-Г аусса (кроме Ь-в2°) и Эрмита-Гаусса имеет большую осевую силу захвата, чем ловушка, использующая нулевую моду Г аусса. То есть для захвата объекта этими модами требуется меньшая мощность лазера, что приводит к уменьшению риска повреждения пойманного биологического объекта. Данному эффекту можно дать простое объяснение. У мод Лагерра-Гаусса и Эрмита-Гаусса интенсивность на краях пучка больше чем у нулевой моды Гаусса. А именно краевые пучки вносят основной вклад в создание возвращающей аксиальной силы, в то время как центральные лучи выталкивают сферу из фокуса. Поэтому такие пучки требуют меньшей мощности лазера, чтобы поднять пойманную частицу. Это экспериментально было обнаружено авторами статьи [9].

На рис.6 представлены зависимости по-

перечных сил, действующих на сферу, от смещения оси пучка относительно центра сферы, полученные в тех же условиях, что и зависимости на рис.5.

Начальное расстояние от фокуса пучка до края сферы соответствует максимальной аксиальной силе на рис.5. Как видно из графиков, максимальные поперечные силы возникают для гауссового пучка нулевой моды. Зависимости поперечных сил для мод Лагер-ра-Гаусса и Эрмита-Гаусса имеют чётко выраженные максимумы и минимумы. Они объясняются поперечной структурой этих пучков. По данным результатам можно выбрать наиболее подходящую моду лазера для перемещения в горизонтальной плоскости.

Заключение

На основе созданной модели были проведены расчёты продольных и поперечных сил, действующих на сферу микронных размеров со стороны сфокусированных лазерных пучков. Расчёты проводились для разных мод Лагерра-Г аусса и Эрмита-Г аусса. Установле-

z, м

a)

c)

z, м

z, м

b)

z, м

d)

Рис. 5. Зависимости аксиальных сил, действующих на сферу из латекса диаметром 8 мкм, от расстояния между фокусом пучка и краем сферыг (г) для различных лазерных мод: (а) - нулевой гауссовой моды, Ь-О0\ Ь-О02; (Ь) - Ь-О03, Ь-О04; (с) - Ь-О/, Ь-02°, Ь-О/; (ф) -И-001, И-010, И-011

но, что максимальную аксиальную силу захвата создаёт мода Лагерра-Гаусса L-G20 и мода Эрмита-Гаусса H-G11. В то же время нулевая мода Г аусса создаёт возвращающие поперечные силы большие, чем моды Лагер-ра-Гаусса и Эрмита-Гаусса.

Работа выполнена при поддержке ФЦП "Интеграция" (проект 2.1 - 235).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Roosen G., Imbert C. Optical levitation by means oftwo horizontal laser beams: a theoretical and experimental study // Physics Letters. V.59A. 1976. №1.

2. Gahagan K.T., Swartzlander G.A. Simultaneous trapping of low-index and high-

index microparticles observed with an optical-vortex trap // J. Opt. Soc. Am. B. V.16. 1999. №4.

3. Ахманов C.A., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М.: Московский университет, 1998.

4. Ashkin A., Dziedzic J.M., Bjorkholm J.E., Chu S. Observation of a single-beam gradient force optical trap for dielectric particles // Opt. Lett. V.11. 1986. №5.

5. Wright W.H., Sonek G.J., Tadir Y., Berns M. W. Laser Trapping in Cell Biology // IEEE Journal Of Quantum Electronics. V.26. 1990. №12.

6. Lewis R. Special Delivery for Sperm // Photonics Spectra. 1996.

7. Lee C-H., Guo C-L., Wang J. Optical measurement of viscoelastic and biochemical

5З

Поперечная сила, н Поперечная сила, н

3E-13-I

Смещение, м

a)

я

ч

=

и

-

я

X

Т

й>

а

&

в

о

н

-3E-13

-6E-13

-9E-13-

-1.2E-12

2E-12

-1E-12

"I----1---1

6E-6 1.2E-5 1.8E-5 2.4E-5

Смещение, м

b)

H01

H10

^-H11

1----1---1----1---г

5E-6 1E-5 1.5E-5

Смещение, м

d)

2E-5

Смещение, м

с)

Рис. 6. Зависимости поперечных сил, действующих на сферу, от смещения оси пучка относительно центра сферы для различных лазерных мод: (а) - нулевой гауссовой моды Ь-О0\ Ь-0°°2; (Ь) - Ь-О03, Ь-0°4; (с) - Ь-0°, Ь-02°, Ь-0/; (ф) - Н-001, Н-010; Н-011

responses of living cells to mechanical perturbation // Opt. Lett. V.23. 1998. №4.

8. Wright W.H., Sonek G.J., Berns M. W. Parametric study of the forces on microspheres

held by optical tweezers // Applied Optics V.33. 1994. №9.

9. Padgett M.J., Allen L. Optical tweezers and spanners // Phys. World September. 1997.

OPTICAL TRAPS FORMED BY DIFFERENT LASER MODES

© 2001 S.P. Kotova, M.A. Rakhmatulin, V.V. Filkin

Samara Branch of Physics Institute named for P.N. Lebedev of Russian Academy of Sciences

To determine the optimum parameters of the laser trap for transparent neutral particles, a computer model of the interaction of tightly focused laser beams of various modes with a transparent dielectric sphere was created based on the laws of the ray and wave optics. In modelling the Laguerre-Gaussians laser modes L-G01, L-G02, L-G03, L-G04, L-G10, L-G20 and L-G11 and Hermit-Gaussians H-G01, H-G10, H-G11 laser modes were used and latex spheres suspended in water were simulated to serve as transparent dielectric particles. F or all applied laser modes their forces of action on the sphere are calculated both in axial and transversal directions of the beam propagation. It was revealed that the Laguerre-Gaussians and Hermit-Gaussians beams generate axial reverse forces exceeding those of the zero Gaussian mode. At the same time, the transversal forces of trapping are stronger at the zero Gaussian mode.