CC BY
14ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2010. №3
33
от модели эффективного волокна. Таким образом, при использовании модели эффективного слоя встает вопрос о выборе толщины этого слоя h. Толщина h должна быть достаточно малой, чтобы модель эффективного слоя обеспечивала достоверные изгибные жесткости. При этом ячейка периодичности, соответствующая "обрезанному" резинокорду, уже
не является квадратной. Самым простым
Рис. 2. Два способа моделирования резинокорда
допущением является совпадение толщины с диаметром эффективного волокна: h = deff. При таком подходе у испытанных нами образцов резинокорда отношение ширины Li и высоты L3 ячейки больше 2,5. Заметим, что в этом случае концентрация корда существенно больше 15%. С помощью конечно-элементной модели эффективного волокна была исследована зависимость модуля E3 от отношения L1/L3 для разных концентраций корда. Результаты расчетов представлены на рис. 3. По графикам видно, что с ростом относительного содержания корда зависимость поперечного модуля от отношения L1/L3 становится сильно выраженной.
Из проведенного анализа следует, что задача вычисления модуля E3 сложнее задачи вычисления модуля Et и, вообще говоря, E3 = Et. Для экспериментального определения модуля E3 были поставлены опыты на сжатие резинокордных пластин с кордным углом 0°. Эксперименты проводились, как и в работе [1], на машине фирмы "ZWICK" с использованием тех же двухслойных образцов. Образец располагался на плоской станине в рабочей части машины и сжимался с помощью цилиндрических инденторов. В опытах применялись два однотипных стальных индентора с диаметрами в поперечнике di =45 и d2 = 22 мм. Разность рабочих и Рис. 3. Зависимость шш^чтого шэдуля Юнга °т °т-калибровочных (т.е. полученных при сжатии стани- ношения сторон ячейки периодичности при различны без резинокорда) перемещений траверса, делен- ных объемных концентрациях к°рда: 1 _ доля корда
1 1 J- 0 05- 2 _ 0 1- 3 _ 0 15- 4 _ 0 2- 5 _ 0 25
ную на толщину образца, принимали за среднюю
деформацию. Среднее напряжение вычисляли как отношение сжимающей силы к площади торцов ин-денторов. В результате были получены зависимости напряжения от деформации, по которым методом наименьших квадратов был определен модуль E3exp резинокорда. Результаты представлены в таблице.
В последней строке таблицы приведены значения поперечного модуля в плоскости резинокордного слоя, полученные ранее в [1] из опытов на растяжение. Приемлемое совпадение значений модуля Er, вычисленных на двухслойном образце из чистой резины (третий столбец), говорит
Поперечные модули Юнга, Н/мм" Резинокорд Резина
для 55,44 2,12 17,5 10%
Я3ехр ДЛЯ в,2 56,77 2,18 18,1 Ц%
спехр Ь2 в плане слоя 26,1 15,79
о корректности проведенного опыта на сжатие (курсивом указаны относительные ошибки). В то же вре-
?2Хр резинокорда различаются примерно в два раза.
мя по второму столбцу видно, что модули
E3exp и E exp
Следовательно, ни формула Акасаки, ни сама модель эффективного волокна в квадратной ячейке не может применяться для вычисления модуля Е3 при значительном сжатии. Видимо, это связано с тем, что сжатая ячейка уже не является квадратной. Модуль Е3 можно вычислить точнее при правильном выборе толщины "сжатой" ячейки, однако не вызывает затруднений его экспериментальное измерение. Более актуальной остается задача определения толщины Н эффективного слоя, поскольку параметр Н используется для решения краевых задач, моделирующих шину.
Для того чтобы понять, как правильно выбирать толщину Н, рассмотрим задачу вычисления модуля Юнга Е% эффективного слоя толщины Н, если измерен модуль Юнга Е^хр резинокордного слоя толщины Н. Для вычисления модуля следует решить обратную задачу. Действительно, эффективный поперечный модуль однослойного резинокорда (монослоя), изображенного на рис. 2 справа, можно вычислить по обратному "правилу смесей" следующим образом:
1/E3eff = (1 - yl) /Er + YL/EL .
34
ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2010. №3
Тогда из естественного условия положительности модуля Е% (и концентрации ) следует
1 1 " YL _ ^ , E
> --рт1— ^ > 1 -
r
E3eff Er E3eff'
Поскольку естественно предположить, что E3eff = Езехр, то из таблицы находим Eff/Er = E^xp/Er ~ 3,13 и получаем, что должно выполняться неравенство YL ^ 0,7, что эквивалентно
h ^ 0,7 • H. (1)
Изучим теперь, возможно ли это. Для этого рассмотрим зависимость между изгибными жесткостями и толщиной эффективного слоя. Примем асимптотическую модель одиночного слоя резинокорда при растяжении и изгибе согласно [3]:
Nij = AUPQ • epq, MIJ = DUPQ • KPQ, I, J,P,Q = 1,2,
здесь epQ — деформация в плане слоя, kpq — кривизны или крутка. Из обычного для резинокорда условия Ec ^ Er следует, во-первых, что жесткости Ацц и Dnn значительно превосходят остальные, а значит, эффективная толщина должна выражаться через эти две жесткости. Во-вторых, изгибная жесткость всего резинокордного слоя практически совпадает с жесткостью эффективного слоя (здесь l — расстояние между волокнами в плане):
lh3 E
lh-E<e = Auu, 12 ^=Дцц. (2)
И в-третьих, в рамках модели эффективного волокна [4] выполнены соотношения
Ес • тг(rieff)2
Ацц =--, Dun =-04-• (3)
Из условия совпадения жесткостей, вычисленных по двум моделям (формулы (2) и (3)), получаем
Н = ^^^ = 7^75 • сГл » 0,86й^. (4)
Следовательно, толщина эффективного слоя Н меньше эффективного диаметра корда или равна ему. В свою очередь этот диаметр не превосходит половины полной толщины резинокордного слоя Н: йе® ^ 0,5Н. Действительно, измеренная суммарная площадь волокон Ас = 0,12 мм2, поэтому йе® = 4
—Ас = 0,4 мм, тогда как толщина однослойного резинокорда Н ~ 1 мм. Учитывая (4), видим, что это п
противоречит результатам опытов на сжатие (см. формулу (1)), из которых следует, что = Н/Н ^ 0,7.
В проведенном анализе мы использовали модель эффективного волокна для вычисления изгибной жесткости резинокорда. Однако реальная жесткость резинокордного слоя оказывается еще меньше и, следовательно, меньше должна быть толщина эффективного слоя Н. В подтверждение этого были выполнены эксперименты по определению изгибных жесткостей.
Определить изгибные жесткости можно непосредственно из простого опыта на цилиндрический изгиб поперечной силой д. Максимальный прогиб -штах и жесткость О двухслойного образца связаны соотношением wmax = дЬ3/48 Оехр. Измеренная жесткость на растяжение вдоль волокон равна Е^хр ~ 24 000 Н/мм2, а изгибная жесткость в том же направлении есть ~ 7100 Н-мм. Однако приведенные ниже вычисления показывают, что теоретическая жесткость на изгиб двухслойной пластины по модели эффективного волокна приблизительно равна 10 300 Н-мм, т.е. больше.
Если принять гипотезу эффективного волокна, вычисления выглядят следующим образом. Сначала найдем эффективный диаметр й и толщину эффективного слоя Н = 0,86 йей = 0,344 мм. Для пластины с двумя эффективными слоями вычислим изгибную жесткость О:
(с + Н)3_сЗ 1_Н
Б = 2Е&----= 0,147^ Н • мм, здесь с=-= 0,328 мм.
32
Из равенства продольных жесткостей на растяжение резинокорда и модельной пластины имеем
Н1
Ег, = — Еехр = —— Еехр к 0,344
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2010. №3 35
В итоге получаем жесткость двухслойной пластины в рамках гипотезы эффективного волокна:
Б = 0,147 • —— • 24 ООО Н • мм и 103 ООО Н • мм.
0,344
Таким образом, измеренная изгибная жесткость реальной двухслойной пластины равна приблизительно 7000 Н-мм, тогда как вычисленная жесткость пластины с двумя эффективными слоями равна 10 000 Н-мм. Этот результат, полученный при испытании двухслойных образцов, указывает на то, что эффективная изгибная жесткость пластины с эффективным слоем выше жесткости реального резино-кордного слоя. Это кажется еще более правдоподобным для резинокордного слоя с текстильным кордом (все предыдущее рассмотрение касается резинокорда с металлическим кордом).
Проведенные исследования позволяют сделать следующие выводы. Для резинокорда различные методики осреднения хорошо аппроксимируют плоские модули на растяжение. При вычислении эффективного поперечного модуля Юнга при значительной степени сжатия важным является рассмотрение сжатой ячейки. При анализе модели эффективного слоя проблематично адекватно выбрать толщину этого слоя так, чтобы модель одновременно давала правильные изгибные жесткости и жесткость на сжатие. Здесь следует заметить, что при сильном деформировании шины правильное задание поперечного модуля оказывается важным. Если неправильные значения поперечных модулей Юнга и сдвига использовать в конечно-элементной модели, то возникает неустойчивость в виде перехлестывания элементов и появления отрицательного объема [5]. Решить отмеченную выше проблему выбора толщины эффективного слоя можно, если считать, что определяющими соотношениями этого слоя служат не соотношения трехмерной упругости, а соотношения моментной теории. Такой подход позволяет построить специальный конечный элемент, в котором жесткости на растяжение, изгиб, сдвиг и сжатие задавались бы независимо [6]. Это выглядит разумным, так как жесткости резинокорда (за исключением поперечной жесткости сдвига) сравнительно легко определяются с помощью эксперимента.
Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 07-01—92111-ГФЕН.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Шешенин С.В., Демидович П.Н., Чистяков П.В., Муравлев А.В. Определение модулей резинокорда при плоском напряженном состоянии ^ Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 5. 49-53.
2. Akasaka T. Structural mechanics of radial tires ^ Rubber Chem. and Technol. 1979. 54. 461-492
3. Шешенин С.В. Применение метода осреднения к пластинам , периодическим в плане У У Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2006. № 1. 47-51.
4. Jones R.M. Mechanics of Composite Materials. Philadelphia: Taylor & Francis , 1999.
5. Шешенин С.В. Трехмерное моделирование шины ^ Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2007. № 3. 13-21.
6. Шешенин С.В., Демидович П.Н. Применение метода осреднения для построения слоистого конечного элемента У У Сб. тр. Междунар. симп. по проблемам механики деформируемых тел посвященного 95-летию со дня рождения А. А. Ильюшина. 19-20 января 2006 г. М.: ЛЕНАНД, 2006. 432-437.
Поступила в редакцию 29.10.2007
