CC BY
1614. Гусев, В. А. Практикум по элементарной математике: геометрия : учебное пособие для студентов физико-математических специальностей педагогических институтов и учителей / В. А. Гусев, В. И. Литвиненко, А. Г. Мордкович. - 2-е изд., перераб. и доп. - Москва : Просвещение, 1992. - 352 с.
15. Чугунова, И. В. Графическая культура как условие эффективного обучения учебно-методическое пособие / И. В. Чугунова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2006. - 168 с.
УДК 517.4
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ DEFINED INTEGRAL AND ITS SOME APPLICATIONS
Кользенов А. Э., студент Соловкина И. В., канд. пед. наук, доцент Алмадакова Г. В., канд. пед. наук, ст. препод. Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет»
Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск aiarkolzenov@live.ru, sol0903@mail.ru, almadakova1988@mail.ru
Аннотация. В статье рассматривается вопрос о понятии определенного интеграла и некоторых его приложениях.
Ключевые слова: математический анализ, определенный интеграл, приложения определенного интеграла.
Abstract. The article considers the concept of a certain integral and some of its applications. Key words: mathematical analysis, definite integral, applications of definite integral.
Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа. Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.
Рассмотрим основные понятия, связанные сданной темой.
Пусть функция f (х) непрерывна внутри
У
о
£1
Чг
ЕЯ
ЕЁ
отрезка (а; Ь) и на его концах. Внутри промежутка возьмем п последовательных точек х1, х2, ..., хп (где п = 5) и для единообразия обозначим а = х0 Ь = хп+1. Промежуток (а; Ь) разобьем на п + 1 частичных промежутков (х0; Х1), (х1 Х2), ..., (Хп-1; хп), (хп; Хп+1). В каждом из частичных промежутков внутри возьмем по точке) на (х0; х1), е2 на (х1; х2) и так далее.
Составим сумму:
X
= Xl Х2 А4 Х5 Ъ = Хц+1
Sn = f (61) (х-| - Хо) + f (62) (х2 - хО + ... + f (en+i) (xn+i - xn) (1)
Сумма 5п равна численно площади заштрихованной ступенчатой фигуры (основание левой ступеньки равно х1 - х0, высота ее ^ = f (е1), значит площадь равна f (е1) х (х1 - х0) и т.д.).
Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади «криволинейной трапеции» х0АВхп+1, так что предел 5 суммы 5п численно равен площади фигуры х0АВхп+1.
& К *2 ^ -"4 *5 Ь±1
Определение. Предел, к которому стремится сумма (1), когда наибольшая из длин всех частичных промежутков стремится к нулю, называется определенным интегралом функции f (x). Концы a и b данного промежутка (промежутка интегрирования) называются пределами интеграла - нижним
(а) и верхним (£>). Обозначается: /д fix) dx
Определенный интеграл имеет большое практическое применение. Рассмотрим примеры его применения.
Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой у = - х2 + 6х - 5 и прямыми
у — ^Х ^ х , х .
Решение. Построим эти линии на плоскости. Всюду на отрезке [1; 4] график параболы у = - ж2 . „11 + 6х - 5 выше прямой у = — дг —.
з ;
Воспользуемся формулой ъ
—UJ
y i } = 4
í ¿i ...
z s
4 i Й 7 \
A ' 7 \ ; \EfL — X н 1 ш:
% 7 \
f 7 7 Г
/ 7 \
D y / 7 с
u / 7 ¿ í 1 u
SJ z / 1 7 1 1 rt
i \ \
í zfc
1 7Г
л 7 Щ
3 ъ
\
_ —
1 ' 1 1 * 4
+ií|vfiv ljdx ^ 9V)| 1 J.1+— ^ 9 4
i i 1
-Н^т'-И-
64 152
18 +
19 9
Ответ: 13 (кв.ед.).
Л] 1 i
X ¡с
1 У — cos- У — sin г-
1
о ТТ г
-1 3 I
2
Пример 2. Вычислить объем тела, образованного вращением относительно оси Ох плоской фи, X X
гуры, ограниченной линиями у = sin-, у = eos-, где 0 ^ х < Решение.
Объем тела вращения вычисляем как разность объемов.
V
sin--= rt f
cos
2 SlU 7/ X
- -. ■. IV ■-■■."!■■ ч ■ - ¡. - С - у (куб. ед.).
Ответ: п (куб. ед.).
Пример 3. Два электрических заряда = -■- Ю-7 йг и е± — ~ • 10~7к находятся на оси 0а- соответственно в точках х0 = 0 и х^ = 1. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку V; = 10? (Сила взаимодействия зарядов Дл ) = 9 ■ Решение:
А=С:
= 10 = ^ -j - -(Ü = 2'10-&/,M¿(t* = 21<Т5-Г = 2 ■ 10~s - 2
X' х-
1<ГЬ = ISIO-*
Ответ: IS ■ 10 (Дж.).
fio- 4кг
,10
(Дж.).
Рассмотренные выше примеры практических задач, дают нам ясное представление значимости определенного интеграла для их разрешимости. Трудно назвать научную область, в которой бы не применялись методы интегрального исчисления, в общем, и свойства определенного интеграла, в частности.
Также определенный интеграл используется для изучения собственно самой математики. Например, при решении дифференциальных уравнений, которые в свою очередь вносят свой незаменимый вклад в решение задач практического содержания. Можно сказать, что определенный интеграл - это некоторый фундамент для изучения математики. Отсюда и важность знания методов их решения.
Из всего выше сказанного понятно, почему знакомство с определенным интегралом происходит еще в рамках средней общеобразовательной школы, где ученики изучают не только понятие интеграла и его свойства, но и некоторые его приложения.
Библиографический список:
1. Баврин, И. И. Высшая математика / И. И. Баврин. - Москва : Просвещение, 1993. - 319 с.
2. Колмогоров, А. Н. Алгебра и начало математического анализа : учебник для 10-11 кл. / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов [и др.]. - 17-е изд. - Москва : Просвещение, 2008.
3. Письменный, Д. Т. Конспект лекций по высшей математике / Д. Т. Письменный. - Москва : Айрис-пресс, 2003. - 288 c.
4. Темербекова, А. А. Методика обучения математике: учебное пособие для студентов высших учебных заведений / А. А. Темербекова, И. В. Чугунова, Г. А. Байгонакова. - Горно-Алтайск : РИО ГАГУ, 2013. - 352 с.
УДК 517.4
К ВОПРОСУ О ПОНЯТИЯХ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА, ИЗУЧАЕМЫХ В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ TO THE QUESTION OF THE CONCEPTS OF MATHEMATICAL ANALYSIS STUDYED IN THE SCHOOL COURSE
Никулин Т. В., студент Соловкина И. В., канд. пед. наук, доцент Физико-математический и инженерно-технологический институт ФГБОУ ВО «Горно-Алтайский государственный университет» Россия, Республика Алтай, г. Горно-Алтайск lordtrysov.gasu@yandex.ru, sol0903@mail.ru
Аннотация. В статье рассматривается вопрос о понятиях математического анализа, изучаемых в школьном курсе математики.
Ключевые слова: математический анализ, понятия математического анализа.
Abstract. The article considers the issue of the concepts of mathematical analysis studied in the school course of mathematics.
Key words: mathematical analysis, concepts of mathematical analysis.
Математический анализ или классический математический анализ представляет собой совокупность разделов математики, которые соответствуют историческому разделу под название «анализ бесконечно малых», объединяющий дифференциальное и интегральное исчисления.
На классическом математическом анализе основывается современный анализ, который рассматривается как одно из трёх основных направлений математики, наряду с алгеброй и геометрией. При этом термин «математический анализ» в классическом понимании используется, в основном, в учебных программах и материалах. В англо-американской традиции классическому математическому анализу соответствуют программы курсов с наименованием «исчисление».
Бурный период развития математического анализа приходится на так называемый третий период создания математики - период переменных величин (XVII, XVIII вв., начало XIX в.), который знаменуется введением переменных величин в аналитической геометрии Рене Декарта (1596-1650) и созданием дифференциального и интегрального исчисления в трудах Исаака Ньютона (1642-727) и Готфрида Вильгельма Лейбница(1646-1716).
Математический анализ составляет основу языка и математических методов описания переменных величин, это утверждение подтверждает знаменитое выражение Жан-Батиста Жозефа Фурье (1768-1830) Фурье: «Математический анализ не менее всеобъемлющ, чем сама природа, он определяет все ощутимые взаимосвязи, измеряет времена, пространства, силы, температуры» [1].
Основная линия курса элементов математического анализа старшей школы включает в себя следующие понятия: понятие производной, техника дифференцирования, приложение производной к
