CC BY
35
УДК 004.023
DOI: 10.24412/2071-6168-2021-8-93-98
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ВЕСОВОГО КОЭФФИЦИЕНТА СТРУКТУРНОЙ ЗНАЧИМОСТИ УЗЛА СВЯЗИ В ГРАФЕ СЕТИ
А.С. Лёгкий, А.В. Аскерко, В.С. Курочка
В любой структуре, в том числе и в сети связи, присутствуют наиболее и наименее важные элементы. Опираясь на теорию графов, в статье приведена общая методология вычисления весовых коэффициентов структурной значимости вершин в графе сети и определены их значения. Произведен анализ полученных результатов и предложены рекомендации по их использованию.
Ключевые слова: структура сети связи, структурная живучесть сети, весовой коэффициент, структурная значимость, остовное дерево.
На современном этапе системой управления предъявляются повышенные требования к сети связи специального назначения (СС СН), как технической основе системы управления. Функционируя в условиях широкого спектра дестабилизирующих воздействий как естественного (природного) характера, так и искусственного, основное внимание необходимо обратить на проблему устойчивости СС СН.
В [1] под устойчивостью понимают способность сети электросвязи выполнять свои функции при выходе из строя части элементов сети в результате воздействия дестабилизирующих факторов.
Дестабилизирующий фактор - это воздействие на сеть электросвязи, источником которого является физический или технологический процесс внутреннего или внешнего по отношению к сети электросвязи характера, приводящее к выходу из строя элементов сети [1].
В настоящее время, в связи со значительным расширением арсенала средств физического уничтожения (поражения) противника, особенную актуальность приобретает составляющая устойчивости - живучесть, которая в свою очередь декомпозируется на структурную, функциональную и объектовую.
Под живучестью будем понимать способность системы сохранять свойства, необходимые для выполнения заданного назначения, при форс-мажорных поражающих воздействиях, не предусмотренных условиями нормальной эксплуатации (т. е. при взрывах, пожарах, затоплениях и пр.) [2].
В ходе своей работы должностные лица органов управления связью принимают решение на организацию связи, которое должно быть обосновано подкрепленными оперативно-тактическими расчетами. На начальном этапе, при наличии системы пунктов управления, формируется структура системы связи, в общем, и структура СС СН в частности.
Данная структура должна отвечать требованиям, предъявляемым к системе связи, в том числе и по показателю структурной живучести. Зачастую должностные лица определяют рациональную структуру сети связи по этому показателю эмпирически. Это, в свою очередь, не всегда позволяет им корректно обосновать тот или иной вариант, обеспечивающий ее максимальную структурную живучесть, при соблюдении других требований к сети связи. Под структурой сети понимается морфологическая характеристика, определяющая ее состав и взаимосвязи коммутационных центров этой сети, обусловливающие возможности распределения на ней потоков сообщений, независимо от фактического расположения ее элементов на местности. Она служит для отображения потенциальных возможностей сети связи по обеспечению распределения информации между узлами связи пунктов управления.
93
Представление сети в виде графа позволяет применить хорошо разработанную теорию графов для анализа и синтеза сетей связи. Задачи синтеза решаются при планировании сети и состоят в выборе оптимального количества узлов (коммутационных центров) сети, схемы их связи, выявлении наиболее уязвимых (значимых) элементов структуры.
Приведем некоторые определения:
граф 0(У,и) представляет собой совокупность подмножества вершин (узлов) V и подмножества ребер (дуг) и, соединяющих эти вершины.
граф 0(¥,Ц) порядка п - это граф, состоящий из п вершин. Число вершин графа есть его порядок.
степень (валентность) вершины V - число инцидентных ей ребер и. Для обозначения степени вершины V используется запись deg(v).
висячая вершина — вершина, степень которой равна 1 (deg(v)=1). структурная живучесть - свойство сети связи обеспечивать связность её элементов с качеством не хуже заданного или восстанавливать данную способность в течение заданного времени.
Структурная живучесть сетей связи теснейшим образом связана с их связностью, ее можно оценивать при некоторых допущениях, которые позволяют упростить задачу оценки и свести ее к задаче анализа связности графов. Анализ связности структуры сети связи проводится по числу остовных деревьев графа, вершинами которого являются узлы связи, а ребрами - соединяющие их линии связи. Остовное дерево графа — любой его подграф, содержащий все вершины графа и являющийся деревом [3].
Очевидно, что важность узла определяется тем «вкладом», который вносит этот узел в общую связность графа. Этот «вклад» может быть оценен числом остовных деревьев графа, которые образованы с непосредственным участием данного узла.
Из теории графов приведем один из показателей, который характеризует недоиспользование возможностей структуры в достижении максимальной связности.
2
2 П 2 4т
е = X gi
I=1 п
где п - количество вершин графа; gi - степень ьтой вершины графа; т - количество ребер графа.
При 82=0 - структура имеет п - вершин, каждая из которых имеет одинаковую степень (валентность) g. Т.е. структура является регулярным графом степени g.
При 82>0 - в структуре имеется п - вершин с различными валентностями.
Очевидно, что в структуре, где каждая вершина имеет одну и ту же валентность, отсутствует явно выраженный центр (важный объект), выведение из строя которого, приведет к существенному снижению характеристик сети в целом.
Кроме того, чем больше степень (валентность) вершины, тем большим числом путей (связей, ребер) он связан с другими элементами, тем большее число элементов прекратит получать информацию при его отказе. Наличие в системе элементов с рангами значительно большими, чем все иные, свидетельствует об их чрезмерной функциональной перегрузке. И, если предоставляется возможность, необходимо перераспределить связи, предусмотреть обходные пути, чтобы до некоторой степени уравнять значимость элементов данной системы [4].
На практике, в топологических структурах сетей военной связи, узлы связи имеют различные валентности, которые подчинены нормальному (гауссовскому) распределению числа связей в случайных сетях. При анализе таких структур прибегают к выделению наиболее (наименее) важных (значимых) объектов сети. Исходя из этого, возникает необходимость определить их значимость с помощью весовых коэффициентов. Весовой коэффициент - величина, используемая для характеристики важности критерия.
Представленный ниже анализ семи случайных графов десятого порядка, графа двадцатого и тридцатого порядков с валентностями вершин deg(vг■ ) = 1...6, позволил определить значения весового коэффициента структурной значимости, которые можно использовать в методиках (комплексных методиках) определения значимости элементов сети.
Описание порядка вычисления коэффициентов структурной значимости: 1. Сеть связи задается произвольным, неориентированным и связным графом О 10-го порядка, который содержит вершины с валентностью от 1 до 6. Для данного графа составляется матрица Кирхгофа К = (к3 ) с занумерованными вершинами такая,
^ ■'пхп
что:
^(у ) при ■ = 3
K, J _
-1 при (, vj ) e E (O) 0 в противном случае .
Для исходного графа вычислялись:
количество остовных деревьев графа - определитель матрицы (det K), из которой удалены одна строка и один столбец, соответствующие одному из элементов;
количество остовных деревьев для этого же графа, если бы он был полносвязный, по формуле:
NN-2,
где N - количество вершин графа.
коэффициент связности графа сети, определяемый по формуле:
к _ log Nод
^св ~ N2
log NN - 2
коэффициент структурной избыточности, который показывает превышение общего числа связей над минимально необходимым:
* -ь
(n-1)
где m - количество ребер графа; n - количество вершин графа.
При достаточно большом количестве ребер, их количество можно вычислить:
m
1 n
_-Z deg(Vj),
2 i=1
где (у) - значение валентности вершины графа.
При Я<0 граф является не связным (есть хотя бы одна изолированная вершина).
При Я=0 структура с минимальной избыточностью, граф является, связным, однако, при удалении любого ребра он становится не связным.
При К>0 структура, которая имеет избыточность по связям, либо граф является полносвязным.
2. Произведем удаление вершины с валентностью ёе§(у ) = 6. Удаление вершины у из графа О производится вместе с удалением всех инцидентных ей ребер. В результате, получаем новый граф О\ который является подграфом исходного. Вершин у графа Она одну (удаленную) меньше, чем у графа О, а ребер меньше на 6.
Для нового графа О" составлялась матрица Кирхгофа и производилось вычисление всех вышеуказанных показателей. По окончании вычислений удаленная вершина восстанавливалась.
Аналогичные вычисления производились с удалением вершин с валентностью ) = 5...1. Для объективности производимых вычислений и последующего анализа
полученных результатов, дополнительно были рассмотрены случайные графы 20-го и 30-го порядка.
3. Далее производилась оценка полученных результатов и определение весовых коэффициентов в следующем порядке:
определялся вклад каждой вершины с валентностью deg(vг■ ) = ■ (■ = 5...1) по показателю количества остовных деревьев образованных с участием каждой вершины по формуле:
МОД deg(vг■) = МОД исх - МОД ост, где ) - количество остовных деревьев, в образовании которых участвует
вершина с валентностью deg(vг■); Мод исх - количество остовных деревьев в исходном
графе; Модост- количество остовных деревьев, которое осталось после удаления из
графа вершины с валентностью deg(vг■).
При дальнейших вычислениях учтем, что висячие вершины с валентностью deg(vг■ ) = 1 не вносят никакого вклада в образование остовных деревьев графа
° (МОД deg(vi)=1 = 0).
Обозначив весовые коэффициенты структурной значимости через П5 П4 пз П2, индексы которых соответствуют вершинам с валентностью от 5 до 2 соответственно, зададим условие:
П5 + П4 + П3 + П2 = 1, (1)
Обозначив разность между весовыми коэффициентами через хл..х2, вычислялся долевой вклад количества остовных деревьев вершины с валентностью deg(vг■ ) = 2...4
по отношению к вершине deg(vг■ ) = 5 по формуле:
хг 13 = 1 - М-1. 3) . (2)
МОДdeg(5)
Выразив пл, П3 и П2 через П5, получаем следующие выражения: пл= П5-Х4; П3= П5-Х3; П2= П5-Х2. Решая уравнение (1), (2) получаем весовые коэффициенты структурной значимости. Результаты проведенных вычислений приведены в табл. 1.
Для удобства производства расчетов итоговые значения могут быть округлены. Так как при удалении из исходного графа вершины с валентностью 1 количество остовных деревьев не изменяется, а вычисляемые характеристики структуры становятся лучше (табл. 2), коэффициент структурной значимости для нее равен нулю.
Таблица1
Весовые коэффициенты структурной значимости вершин графа
Коэф-т Граф п-ой степени Итоговый коэф-т
Вар 1 (N=10) Вар 2 (N=10) Вар 3 (N=10) Вар 4 (N=10) Вар 5 (N=10) Вар 6 (N=10) Вар 7 (N=10) Вар 8 (N=20) Вар 9 (N=30)
П5 0,3738 0,3659 0,3887 0,3959 0,405 0,3886 0,4041 0,3718 0,3678 0,3846
Пл 0,3466 0,3536 0,3418 0,3237 0,3479 0,298 0,3396 0,3356 0,3279 0,335
П3 0,2392 0,2109 0,2637 0,2458 0,2246 0,195 0,2159 0,2658 0,2522 0,2348
П2 0,0404 0,0696 0,0058 0,0346 0,0225 0,1184 0,0404 0,0268 0,0521 0,0456
Сумма П2...П5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1,0000
Проводя вычисления указанных характеристик структуры (количество остов-ных деревьев - Мод, коэффициент структурной избыточности - Я, коэффициент связности - ^св) для регулярных графов десятого (двадцатого) порядка степени 4 (четыре) и сравнивая их с результатами, полученными для произвольных, неориентированных и связных графов G десятого (двадцатого) порядка (табл. 3), можно сделать следующий вывод.
Таблица 2
Вычисляемые характеристики структуры^__
Порядок графа, № Исх. граф Без deg(Vl)=6 Без deg(Vl)=5 Без deg(vi)=4 Без deg(Vl)=3 Без deg(Vl)=2 Без deg(Vl)=1
Количество остовных деревьев в графах
10 1 636 12 12 29 96 220 636
2 4311 136 231 281 863 1440 4311
3 2056 24 72 165 320 832 2056
4 1935 24 64 199 345 740 1935
5 1124 11 21 84 220 443 1124
6 2194 29 55 249 469 633 2194
7 1184 12 21 96 240 444 1184
20 8 239359 1953 2787 11329 27860 84389 239359
30 9 7881559624 168430534 247754354 552457867 1130976747 2658132390 7881559624
Значения коэффициентов структурной избыточности
10 1 0,667 0,286 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75
2 1 0,5 0,563 0,75 0,875 1 1,125
3 0,889 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1
4 0,889 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1
5 0,778 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875
6 0,889 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875 1
7 0,778 0,25 0,375 0,5 0,625 0,75 0,875
20 8 0,53 0,28 0,33 0,39 0,44 0,5 0,56
30 9 0,69 0,54 0,57 0,61 0,64 0,68 0,71
Значения коэффициентов связности графов
10 1 0,35 0,199 0,162 0,219 0,297 0,351 0,42
2 0,454 0,319 0,354 0,367 0,44 0,473 0,544
3 0,414 0,207 0,278 0,332 0,375 0,437 0,496
4 0,411 0,207 0,27 0,344 0,38 0,43 0,492
5 0,381 0,156 0,198 0,288 0,351 0,396 0,457
6 0,418 0,219 0,261 0,359 0,4 0,419 0,5
7 0,384 0,162 0,198 0,297 0,356 0,396 0,46
20 8 0,23 0,15 0,16 0,19 0,2 0,23 0,25
30 9 0,24 0,21 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25
Таблица 3
Сравнение характеристик структур _
№ графа, (порядок) Ксв R №д
Граф 1 (N=10) 0,35 0,667 636
Граф 2 (N=10) 0,454 1 4311
Граф 3 (N=10) 0,414 0,889 2056
Граф 4 (N=10) 0,411 0,889 1935
Граф 5 (N=10) 0,381 0,778 1124
Граф 6 (N=10) 0,418 0,889 2194
Граф 7 (N=10) 0,384 0,778 1184
Регулярный граф 10-го порядка степени 3 0,396 0,667 1463
Регулярный граф 10-го порядка степени 4 0,557 1,222 28750
Граф 8 (N=20) 0,23 0,53 239359
Регулярный граф 20-го порядка степени 4 0,399745 1,105263 2298519800
При планировании структуры сети связи, учитывая ее топологию, наличие и возможности сил и средств, необходимо, по возможности, исключить функциональную перегрузку отдельных элементов путем перераспределения связей, выбирать структуру сети связи близкой к регулярному графу п-го порядка степени 4 (каждый узел связи имеет четыре плеча).
Полученные значения весовых коэффициентов структурной значимости показывают значимость каждой вершины (узла связи) в графе (сети) и позволяют определить важность каждого элемента в сети. Данный весовой коэффициент и полученные для него значения можно использовать в комплексных методиках определения значимости элементов сети, в методике определения критически важных объектов.
Практическая направленность полученных результатов заключается в использовании их при оценке имеющейся сети связи с точки зрения живучести структуры. На основании полученных результатов должностные лица органов управления связью могут обоснованно с учетом оперативно-тактических условий определить рациональную структуру сети связи, по показателю связности, а также элементы сети в наибольшей степени, влияющие на ее структурную живучесть.
Список литературы
1. ГОСТ 53111-2008. Устойчивость функционирования сети связи общего пользования. М.: Стандартинформ, 2009. 15 с.
2. Рябинин И.А. Надежность и безопасность структурно-сложных систем. СПб.: Политехника, 2000. 248 с.
3. Носов В.И., Бернштейн Т.В., Носкова Н.В., Храмова Т.В. Элементы теории графов: учебное пособие / под. ред. В.И. Носова. Новосибирск, 2008. 107 с.
4. Нечипоренко В.И. Структурный анализ систем (эффективность и надежность). М.: Сов. радио, 1977. 214 с.
Лёгкий Алексей Сергеевич, адъюнкт, liohki@ mail.rH, Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного,
Аскерко Анатолий Владимирович, адъюнкт, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С.М. Буденного,
Курочка Владимир Сергеевич, адъюнкт, [email protected], Россия, Санкт-Петербург, Военная академия связи имени Маршала Советского Союза С. М. Буденного
DETERMINATION OF THE VALUES OF THE WEIGHT COEFFICIENT OF THE STRUCTURAL SIGNIFICANCE OF THE COMMUNICATION NODE IN THE NETWORK
GRAPH
A.S. Liohki, A.V. Askerko, V.S. Kurochka
In any structure, including communication network, there are the most and the least important elements. Based on graph theory, the article presents a general methodology for calculating the weight coefficients of structural importance of vertices in the network graph and determines their values. The results are analyzed and recommendations for their use are offered.
Key words: structure of the communication network, structural survivability of the network, weight coefficient, structural significance, spanning tree.
Liohki Aliaksei Sergeevich, adjunct, liohki 'a mail.rn, Russia, Saint-Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny,
Askerko Anatoliy Vladimirovich, adjunct, [email protected]. ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny,
Kurochka Vladimir Sergeevich, adjunct, Uprava223@mail. ru, Russia, Saint-Petersburg, Military Academy of Communications named after Marshal of the Soviet Union S.M. Budyonny
