CC BY
6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНИМОГО АРГУМЕНТА, ПРЕДСТАВЛЕННОГО БЕСКОНЕЧНЫМИ ВЕЩЕСТВЕННЫМИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЯМИ Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2 Email: Shmoilov6117@scientifictext.ru
1Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: рассматриваются различные представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями. Приводится формулировка R/q-алгоритма, который используется для определения значений бесконечных вещественных последовательностей. R/q-алгоритм позволяет устанавливать как вещественные, так и комплексные значения вещественных последовательностей. Даются определения сходимости бесконечных вещественных последовательностей, а также критерии их сходимости, которые отличны от канонических.
Определяются значения тригонометрических функций мнимых аргументов, представленных вещественными последовательностями.
Ключевые слова: комплексные числа, вещественные последовательности, тригонометрические функции комплексного аргумента, R/q-алгоритм.
DETERMINING THE VALUES OF TRIGONOMETRIC FUNCTIONS OF AN IMAGINARY ARGUMENT REPRESENTED BY INFINITE REAL SEQUENCES
Shmoilov V.I.1, Korovin Y^S.2
1Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher, 2Korovin Yakov Sergeevich - leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: various representations of complex numbers by infinite real sequences are considered. The formulation of the R/q-algorithm, which is used to determine the values of infinite real sequences, is given. The R/q-algorithm allows you to set both real and complex values of real sequences. The definitions of the convergence of infinite real sequences, as well as the criteria for their convergence, which are different from the canonical ones, are given. The value of the trigonometric functions of imaginary arguments represented by real sequences is determined. Keywords: complex numbers, real sequences, trigonometric functions of a complex argument, R/q-algorithm.
УДК 517.524
Введение
Как известно, один контрпример может разрушить стройную теорию. Проиллюстрируем этот тезис. Запишем непрерывную дробь:
3 3 3 6 6 3п 3п in(-2) = -i-2-3-2-5-----у _ 2^+Т-- . (1)
Классические теоремы утверждают, что непрерывная дробь (1) является расходящейся. Но это не так. По последовательности вещественных подходящих непрерывной дроби (1) можно так называемым R/q-алгоритмом [1] с любой точностью определить значение этой непрерывной дроби. Значением будет комплексные число 3.217150 ... е11353639- = ln(-2). Результаты вычислений приведены в табл. 1.
Таблица 1. Определение значения непрерывной дроби (1)
Номер звена дроби Значение подходящей дроби Модуль комплексного числа, гп Погрешность, £г = ко -rj Аргумент комплексного числа, Погрешность, £<Р = 1<Ро - <Pnl
2 6.0000000 4.2426406871 1.0254901754 1.5707963267 0.2171564813
4 -3.0000000 3.0000000000 0.2171505117 1.5707963267 0.2171564813
8 -97.5000000 4.9614481602 1.7442976485 1.5707963267 0.2171564813
16 1.4880473 3.5474336503 0.3302831386 1.3744467859 0.0208069405
8192 -0.6961262 3.2169015620 0.0002489496 1.3533545501 0.0002852953
16384 -1.7591587 3.2167104407 0.0004400709 1.3533545501 0.0002852953
32768 -6.4347291 3.2170964982 0.0000540134 1.3536421715 0.0000023260
65536 5.5879135 3.2171496506 0.0000008610 1.3536421715 0.0000023260
Известно множество других «контрпримеров», зачастую не связанных с непрерывными дробями, которые опровергают классическую теорию сходимости последовательностей, базирующуюся на критерии Коши [2-10].
Конечно, можно игнорировать новый подход к определению значений вещественных последовательностей с использованием R/i^-алгоритма, но это рано или поздно приведет к сноскам к некоторым строго доказанным теоремам: «*При определении сходимости в классическом смысле», или к более кратким комментариям: (устар.), то есть, «устаревшее».
Немалое число теорем, связанных с определением сходимости последовательностей, на поверку оказались неверными, ибо эти теоремы утверждают, что та или иная последовательность является расходящейся, в то время как на самом деле «расходящаяся» вещественная последовательность сходится к комплексному значению, то есть является сходящейся.
Парадокс, заключающийся в том, что вещественные бесконечные последовательности могут иметь как вещественные, так и комплексные значения, объясняется просто, - это проявление объективной реальности. При построении математического анализа не фиксировался этот дуализм, что вполне естественно для этапа становления Анализа. Но и в дальнейшем на протяжении длительного, даже по историческим меркам, периода развития Анализа, не были внесены необходимые обновления в его основы.
Одним из примеров эффективности R/i^-алгоритма может быть пример применения этого алгоритма к построению принципиально нового способа решения БСЛАУ (СЛАУ), точнее, нового способа интерпретаций решений систем. R/q-алгоритм дал возможность показать, что БСЛАУ (СЛАУ) с вещественными матрицами могут иметь как вещественные, так и комплексные решения [11].
Исходя из формул Эйткена [12], выражающих действительные корни полинома n-й степени через коэффициенты этого полинома в [13], применяя R/^-алгоритм, было предложено решение старинной проблемы в общем виде.
В [14] приведено определение сходимости вещественных последовательностей (R/^-алгоритм):
Бесконечная вещественная последовательность {ап}"=1 сходится и имеет своим значением, комплексное число z = г0е1<Ро, если существуют пределы:
r0 = lim УПп=М, (2)
к
l(p0l=n\im—, (3)
п^" п
где ап - значение n-го элемента последовательности { ап}'"=1,
кп - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов
последовательности { ап}'"=1.
п)п=1-
Если аргумент комплексного числа р0, устанавливаемый по формуле (3), равен нулю или п, то бесконечная вещественная последовательность имеет вещественное значение.
В [14] был сформулирован критерий сходимости вещественных последовательностей:
Для сходимости вещественной последовательности {ап}'=1 к комплексному числу г = г0е190 необходимо и достаточно, чтобы были фундаментальными вещественные последовательности {гп}''=1 и {рпУ=1, т.е. для всякого положительного числа £ существуют такие числа п и т, что
\^п+р < (4)
\Рт+р-Рт\<£. (5)
для всех положительных целых значений р.
Элементы гп и рт устанавливаются по элементам исходной вещественной последовательности { ап}"=1 К/^-алгоритмом, т.е. по формулам (2) и (3).
Можно обратить внимание, что вещественная последовательность {аможет быть сходящейся и не быть фундаментальной, то есть не удовлетворять критерию Коши. Но чтобы последовательность {ап} была сходящаяся, необходимо, чтобы были фундаментальными, то есть удовлетворяли критерию Коши, две другие последовательности {гп} и {рп}, которые «порождаются» исходной вещественной последовательностью {ап} по формулам К/^-алгоритма, то есть по формулам (2) и (3). Можно сказать, что критерий Коши вступает в действие на втором уровне работы К/^-алгоритма, т.е. после того, как сгенерированы последовательности {гп} и {рп}.
Следует обратить внимание, что К/^-алгоритм прошёл всестороннюю проверку и показал свою эффективность при определении значений бесконечных вещественных последовательностей {ап}''=1 порождаемых дробно-рациональными функциями [2 - 10].
Для сравнения приведем классическое определение предела последовательности [15]:
Пусть {ап} - бесконечная последовательность чисел. Тогда, если существует такое число а, что всякому положительному числу е, как угодно малому, может быть найдено такое число п, что 1ап — а1 <
£ для всех значений n, больших n, то говорят, что последовательность {а„} стремится к пределу а при стремлении n к бесконечности.
В [15] отмечается, что определение, предела последовательности равноценное приведенному, впервые дано Валлисом в 1655 г. Хотя такой подход к определению значений последовательностей был, по сути, известен еще древним грекам, его использовал Архимед в методе «исчерпывания» [16].
Необходимое и достаточное условие существования предела последовательности чисел {аи}, в классическом смысле, состоит в том, что для всякого положительного числа е, как угодно малого, имеется такое число n, что
^П 1 < ^
для всех положительных целых значений p.
Критерий Коши является одной из важнейших теорем анализа. Иногда этот критерий называют принципом сходимости. Собственно, критерий Коши представляет собой лишь более удобную запись традиционного определения сходимости последовательностей: вещественная последовательность {аи} сходится, если, и только если, существует вещественной предел элементов этой последовательности при п ^ да [15].
Классическое определение предела вещественной последовательности {а„}, отличается от определения предела вещественной последовательности, устанавливаемого R/q-алгоритмом, то есть формулами (2) и (3). В этом определении подразумевается, что вещественная последовательность может иметь как вещественный, так и комплексный предел.
1. Представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями
Вещественные последовательности могут иметь как вещественные, так и комплексные значения. Нагляднее всего показать, что вещественные последовательности могут иметь комплексные значения на примере расходящейся в классическом смысле непрерывной дроби Никипорца
1 1 1
el*=2cosp--- -- -- . (6)
2 cos ^ - 2 cos ^-----2 cos ^----
Подходящие этой непрерывной дроби определяются формулой:
Р„ sin(n +
" (7)
Известен предел Никипорца [7]:
sin n^
sin(n +
lim—--— = e'^. (8)
п^ш sin n^
Предел Никипорца как раз говорит о том, что комплексное число есть ни что иное, как бесконечная последовательность вещественных чисел, по которой можно некоторым алгоритмом, например, R/q> алгоритмом, восстановить с любой точностью каноническую запись комплексного числа.
Комплексное число ге'^ может быть представлено бесконечной вещественной последовательностью:
sin n^
4
re
1 Qin nm
n=l
комплексное значение которой устанавливается ^/^-алгоритмом. Мнимое число представляется последовательностью:
£ . Г ^п(П + Г)(Д/2-£У) ^ ге 2 = [г = {г--. ———-} . (9)
^ ¡>т(п(л:/2)))) Уп=1 Очевидно, что непосредственно использовать последовательность (9) нельзя, так как при определении элементов последовательности имеют место операции «деление на ноль». Поэтому последовательность (9) заменяется «близкой» бесконечной вещественной последовательностью:
sin[(n+ !)£-£)])00
ir « <r •
- £))
__- 2 'n=1
Мнимая единица, т.е. V-1, встречается в работе Кардано, опубликованной в 1545 г., в которой приводится формула нахождения корней кубического уравнения. Хотя с той поры прошло почти пять столетий, подробностей о мнимой единице не появилось. Современные популяризаторы науки запретили называть мнимые числа «мнимыми», ибо эти числа оказались очень полезными и без них многие важные задачи не решаются. В 1777 году Эйлер заменил конструкцию V—1 латинской буквой i [16]. Такая замена оказалась удобной, иначе приходилось всякий раз пытаться разъяснить, что такое V—1. В современной терминологии мнимая единица представляется неким аналогом антиматерии, которая при столкновении сама с собой обращается в обычную материю:
V—1-V—1 = ¿•i = —1.
Но оказалось, что мнимую единицу можно «расщепить», то есть представить бесконечной последовательностью вещественных чисел.
Комплексное число х + iy представляется периодической непрерывной дробью [17] с вещественными элементами х и у.
х2+у2 х2+у2 х^+у2
х + 1у = 2х---- —-- —-- . (10)
2х — 2х ----- 2х ----
Непрерывную дробь (10) можно получить, если воспользоваться представлением корня квадратного уравнения периодической непрерывной дробью:
х2 — рх + ц = 0,
Ч Ч ч
х1 = р—~~ - . р — р — ••• — р — •••
_ . у
Так как х + 1у = ^х2 + у2е1агЛдх, то комплексное число х + 1у может быть представлено также непрерывной дробью, аналогичной непрерывной дроби Никипорца (6):
х + 1у = ^х2+у2е1аг*3у =
фГТ7{2со*(агад(у/х» 2 cos(аrctg(у/х))-----2 cos(аrctg(у/х))----\ (11)
Непрерывные дроби (10) и (11) - эквивалентные, что не очевидно, если исходить из сопоставления записей этих непрерывных дробей.
Из непрерывных дробей (10) и (11) можно записать непрерывные дроби, представляющие мнимые числа:
х2 + у2 х2 + у2 х2 + у2
[у = х---- --- --- . (12)
íy =—x + Jx2+y2(2cosarctg (—) — --т--——- --т--——-..A (13)
V \x' 2 cos(arctg(y/x))-----2 cos(arctg(y/x)) )
2x — 2x ----- 2x —
(—)__1_ _1
vx' 2 cos(arctg(y/x))-----2 cos(arctg(y/x))
В выражениях (12) и (13) x - произвольное вещественное число.
Приведем некоторые комплексные пределы вещественных последовательностей, установленных R/q-алгоритмом [2, 18].
sin(n + 1)p
el p = lim—--—, (14)
п^ю sin np
sin(n + 1) -
eip = cos p + lim--—-sinp, (15)
п^ю sinn-
2
sin(n + 1)-
i = lim--г-2, (16)
sinn-
2
cos(n + 1) —
i = lim-:-—r-2, (17)
п^ю cosn-
2
i = lime tgnx. (18)
Другие представления комплексной и мнимой единиц имеются в [2]. Таким образом, комплексная и мнимая единицы представляются бесконечными вещественными последовательностями, значения которых устанавливается R/р-алгоритмом.
fsin(n+1)plш
{—Ц-= 1el p, (19)
I sinnp )п=1
( sin(n + 1)— f .
{cosp +-—r-2sinp\ =1eip, (20)
( sinn- i
{cos p + ctg nx • sin p}ñ=1 = 1eip, (21)
fsin(n + 1)-) °° .
{-IT-2} = 1eLp = U. (22)
( sin n - I
V 2 )п=1
2. Об одном представлении мнимой единицы бесконечной вещественной последовательностью 2.1. Определения значений Iimetg П(р
Запишем предел Никипорца в следующем виде:
sin(n+1)p sin(np) cos р + cos(np) sin р
eip = lim-= lim-=
п^ю sin np п^ю sin np
cos np
= lim(cosp +--sinp ) = cosp + i sinp. (23)
п^ю\ sin np )
Из (23) следует, что
cos np ß lim —:-= lime ta np = 1e 2 = i. (24)
п^ю sin np п^ю
В табл. 2 показаны результаты определения при помощи R/^-алгоритма значения предела (24) при p = 0,1.
Таблица 2. Определение значения последовательности { ctg n0,1}"=1
Номер элемента, n Значения элемента, an Значения модуля, Гп Значения аргумента, qn Погрешность £r = 11-гп1 Погрешность £v = |п/2 — <pnl
1 9.966644423 9.9666444232 0 8.9666444232 1.5707963267
2 4.933154875 7.0119184628 0 6.0119184628 1.5707963267
4 2.365222420 4.4033045239 0 3.4033045239 1.5707963267
8 0.971214600 2.4157341721 0 1.4157341721 1.5707963267
16 -0.02921197 0.7568799817 0.196349540 8 0.2431200182 1.3744467859
131072 1.942349978 1.0000223063 1.570748389 8 0.0000223063 0.0000479368
262144 0.713754850 1.0000147608 1.570748389 8 0.0000147608 0.0000479368
524288 -0.34364320 0.9999813849 1.570760374 1 0.0000186150 0.0000359526
1048576 1.283175872 1.0000037857 1.570781346 5 0.0000037857 0.0000149802
2097152 0.251929736 0.9999970841 1.570787338 6 0.0000029158 0.0000089881
Как следует из колонки 3 табл. 2, модуль определяемого комплексного числа стремится к единице с ростом количества «подходящих дробей». Аргумент комплексного числа, что видно из данных колонок 4 табл. 2, приближается к л/2 при увеличении числа «отсчётов».
В случае использования Л/р-алгоритма предел (24) имеет место при произвольном значении <р, кроме ^ = пп/2, п = 1, 2, ... .
В табл. 3 приведены результаты определения значения последовательностями {ctg пф}„=1 при различных величинах <р.
Таблица 3. Определение значения последовательности {ctg п<р]п=1
Значения Значения Значения Погрешность £г = Погрешность
V модуля, г0 аргумента, ф0 11 — Го1 £v = 1п/2 — <р01
0,001 0,9991199925 1,5697417150 0,0008800074 0,0010546117
0.01 0,9999056789 1,5706674963 0,0000943210 0,0001288304
0.1 1,0000037857 1,5707813465 0,0000037857 0,0000149802
1 1,0000363751 1,5707753544 0,0000363751 0,0000209723
1,57 0,9999917562 1,5707993228 0,0000082437 0,0000029960
2 1,0000332733 1,5707573780 0,0000332733 0,0000389487
3 1,0000106380 1,5707843425 0,0000106380 0,0000119842
3,14 0,9996259139 1,5720247098 0,0003740860 0,0012283830
3. Определение значений тригонометрических функций мнимого аргумента 3.1. Определение значения tg iy
Тангенс мнимого аргумента представляется вещественной последовательностью
tg(iy)R/<p = {tg(y ctg п<р)}™=1, (25)
значение которой устанавливается Л/р-алгоритмом.
На рис. 1 показаны элементы ап последовательности (26), то есть последовательности (25) при у = 1 и <р = 0,5.
| 1 h , 1.1 ь . , Ii ■ (1 ■ ctg п0.5 .1,11 . )} , и ,1 , Ii Li. II || 1 " .
| ■ | ■ ■ т | 1 | 1 1 1 1 ' 1 1 1 1 1 Г 1 ' 1 | ......Г 1
5 1 150
Рис. 1. Значения элементов ап последовательности (26)
В табл. 4 приведены результаты определения 1д (¿1) как значения последовательности (26), устанавливаемое .К/^-алгоритмом, т.е. формулами (2) и (3).
Таблица 4. Определение значения tg(H)
tg(H) = {tg(1 • ctg n0.5)}£=i (26)
Номер Значения Значения Значения Погрешность Погрешность
элемента, п ап модуля, гп аргумента, (рп £г = |th1 — г„| £v = In/2 — (pnl
1 -3,763768931 3,7637689315 3,141592653 3,0021747750 1,5707963267
5
2 0,7478015508 1,6776627324 1,570796326 7 0,9160685759 0
4 -0,492534701 0,5601805709 1,570796326 7 0,2014135856 0
8 1,1702645398 0,8292480762 1,963495408 4 0,0676539197 0,3926990816
16 -0,148134565 0,7199087748 1,767145867 6 0,0416853817 0,1963495408
131072 -1,715441413 0,7603004767 1,573648572 3 0,0012936798 0,0028522455
262144 -0,042153090 0,7614738014 1,572641897 4 0,0001203551 0,0018455706
524288 -0,875098699 0,7612736192 1,571197798 3 0,0003205373 0,0004014715
1048576 -0,424734800 0,7615045306 1,571068967 9 0,0000896259 0,0002726411
Из табл. 4 следует:
.п
гд(И) — гк(1е1'2) — г гк 1, что совпадает со значением, полученной по канонической формуле Ьд(1у) — I № у.
В табл. 5 приведены результаты определения tg(iy)R/<p, полученные Я/Ср-алгоритмом как значения последовательностей (27) при различных величинах у.
Таблица 5. Определение значения Ьд([у) гд(1у) — Му ад(п0.5Ж=1 (27)
Значения Значения Значения Погрешность £г — Погрешность
аргумента, у модуля, г0 аргумента, (р0 №х-г01 £<Р = \к/2-<р01
0,01 0,0099996269 1,5708322794 0,0000000398 0,0000359526
0,1 0,0996670511 1,5709700980 0,0000009435 0,0001737712
0,5 0,4621171572 1,5710689679 0,0000000043 0,0002726411
1 0,7615045306 1,5710689679 0,0000896254 0,0002726411
1,57 0,9170101617 1,5706944608 0,0000155997 0,0001018659
2 0,9638017472 1,5709461296 0,0002258329 0,0001498028
3 0,9952178346 1,5711049205 0,0001630809 0,0003085937
4 0,9990952707 1,5710060507 0,0002340290 0,0002097239
5 0,9999090401 1,5711438693 0,0000001642 0,0003475425
6 0,9999591621 1,5711768259 0,0000285496 0,0003804991
8 0,9997557764 1,5708772203 0,0002439985 0,0000808935
10 1,0001188497 1,5709730941 0,0001188538 0,0001767673
Из табл. 5 следует, что значения тангенса мнимого аргумента, полученные с использованием Я/р-алгоритма, определяются установленной в [17] формулой, которая совпадает с канонической формулой для
Ж
р уе12 = 1 ¡к у.
Для сравнения приведём результаты вычисления tg(ix), полученные в [17]. Мнимое число 1у определялось последовательностью подходящих непрерывной дроби (12).
Тангенс мнимого аргумента находится как значение бесконечной вещественной последовательности, устанавливаемое Я/р-алгоритмом:
( ( Ь2+у2 Ь2+у2 Ь2+у2 V) ьд(гу)и/р = {1* (ъ - -+г --+Т-...--+Т-...)\п__1 (28)
В табл. 6 приведены результаты вычислений tg(¿y), причём, последовательности {ап}, представляющие Ьд(1у), генерировались при различных значениях у и Ъ = 2.
Таблица 6. Определение значения tg(ty)
— {^-^^^^ЛТ (29)
Значени я аргумента, у Значения модуля, г0 Значения аргумента, (р0 Погрешность £г — ^ку-г01 Погрешность л
0,01 0,0099985514 1,5706465239 0,0000011153 0,0098500305
0,1 0,0996640866 1,5708053149 0,0000039080 0,0998427369
0,5 0,4620559162 1,5707304135 0,0000612411 0,4803151658
1 0,7616666402 1,5707244214 0,0000724842 0,0000719053
1,5 0,9052599158 1,5708592439 0,0001116622 0,0000629171
3 0,9950480706 1,5708772203 0,0000066831 0,0000808935
4 0,9992359879 1,5707603741 0,0000933118 0,0000359526
5 0,9999047230 1,5707483898 0,0000044813 0,0000479368
Из серии вычислений (табл. 6) установлено, что значение тангенса, аргумент которого мнимое число iy, определяется формулой
tg( iy)R/<p = ithy, (30)
которая совпадает с канонической формулой для tg( iy). 3.2. Определение значения cos iy
Косинус мнимого аргумента представляется вещественной последовательностью (31), значение которой устанавливается R/^-алгоритмом
cos(iy)R/v = {cos(y ctgnp)}™=1, (31)
На рис. 3 показаны элементы ап последовательности (31) при>>=1 и р=0,5.
Рис. 3. Значения элементов ап последовательности (32)
В табл. 7 приведены результаты определения с о ¿1) посредством К/^-алгоритма.
Таблица 7. Определение значения соб(£1)
соб( П)н/г = {со5(1 • ад(п0.5))}
СО
п=1
(32)
Номер элемента, n Значения элемента ап Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп Погрешность i chl i Погрешность = |arctg(sh1) -<Рп11
1 -0,256782306 0,2567823067 3,141592653 5 0,3108853348 2,2758231703
2 0,8008443018 0,4534783867 1,570796326 7 0,1141892548 0,7050268435
4 0,8970899625 0,6549589225 0,785398163 3 0,0872912809 0,0803713198
8 0,6496357159 0,6061348321 0,785398163 3 0,0384671904 0,0803713198
16 0,9892054101 0,6268933500 0,785398163 3 0,0592257083 0,0803713198
131072 0,5036176847 0,5677867906 0,864230394 8 0,0001191490 0,0015390884
262144 0,9991127407 0,5676300069 0,865620564 9 0,0000376346 0,0001489183
524288 0,7525398844 0,5677169223 0,865584612 2 0,0000492807 0,0001848710
1048576 0,9204187641 0,5676462513 0,865623560 9 0,0000213902 0,0001459222
В табл. 8 приведены результаты определения сos(iy>)r/p, полученные как значения последовательностей (33) при различных величинах y.
Таблица 8. Определение значения cos( i y)
cos(iy)R/v = {cos(y • ctg(n0.5))}^=1 (33)
Значения Значения Значения Погрешность ег = Погрешность еv =
аргумента, y модуля, г0 аргумента, (р0 lc-hy-rol = larctg (shy)-(0l
0.01 0,9901054445 0,0100278001 0,0000061079 0,0000279668
0.1 0,9093599380 0,0998046250 0,0000054384 0,0000291237
0.5 0,6839774238 0,4803307302 0,0000377032 0,0000503488
1 0,5676462513 0,8656235609 0,0000213902 0,0001459222
1.57 0,5216315096 1,1604894226 0,0000098893 0,0000684868
2 0,5091788154 1,3015617261 0,0000209959 0,0001986099
3 0,5011977308 1,4712853152 0,0000416452 0,0000190258
4 0,5002089457 1,5339807878 0,0000412144 0,0001883564
5 0,5000361353 1,5571373064 0,0000134353 0,0001833302
6 0,5000161984 1,5659906526 0,0000131263 0,0001518200
8 0,5000873691 1,5697866558 0,0000873129 0,0003387457
10 0,4999673657 1,5705895989 0,0000326352 0,0001159280
Из табл. 11 следует, что
ch у . t , , N cos(iv) = ——eiarct3 (.shу). v еУ
Этот результат совпадает с результатом для соБ^у), приведенным в [17]. В [17] мнимое число представлялось бесконечной вещественной последовательностью подходящих дробей
4 +у2 4 +у2 4 +у2
¿у — 2
4 _ 4 _____ 4 ____
значение которой устанавливались Л/р-алгоритмом. Для сравнения приведём результаты вычислений cos(ix), полученные в [17].
Косинус мнимого аргумента находится как значение бесконечной вещественной последовательности (34), устанавливаемое R/^--алгоритмом.
г л f (ъ Ь2+у2 Ь2+у2 Ь2+у2 М ™
cos(iy)n/<p = Uos( b--— _ _)\ . (34)
п=1
Элементы последовательности (34) могут находиться по рекуррентной формуле
Ъ2 +у2
cos(iy)R/p = {cos (а'„ = b_ ь + а, Л , a'l = b. (35)
В табл. 9 приведены значения cos(iy)R/ip, полученные по формуле (34) при различных значениях у и b =
2.
Таблица 9. Определение значения cos(ix)
( ( 4 + у2 4 +у2 4 +у2 Y" cos(iy)R/v = {cos ( 2--—______
'п=1
Значени Значения Значения Погрешность ег = Погрешность £v =
я У модуля, г0 аргумента, ф0 = \arctg(shy) _ щ\
0.01 0,9900841890 0,0100278001 0,0000151476 0,0000279668
0.1 0,9093794577 0,0998166092 0,0000140812 0,0000171395
0.5 0,6839378223 0,4804715449 0,0000018982 0,0000904657
1 0,5676252390 0,8656894742 0,0000424025 0,0000800090
1.5 0,5248558754 1,1317842079 0,0000376587 0,0000558626
3 0,5012575737 1,4711744612 0,0000181976 0,0001298799
4 0,5001765618 1,5342953737 0,0000088305 0,0001262294
5 0,5000421937 1,5572931013 0,0000194938 0,0000275353
6 0,4999703612 1,5658498379 0,0000327108 0,0000110053
10 0,5000940628 1,5706105713 0,0000940617 0,0000949556
Таким образом, Я/р-алгоритмом установлено, что cos(ix)R/tp есть комплексная величина, определяемая формулой
3.3. Определение значения зтЬу
Синус мнимого аргумента представляется вещественной последовательностью
л
sm(¿y)д/р — &т(у ctgnф)}™=l, фФ-п, п — 0,1,2,...
(36)
(37)
Синус мнимого аргумента определяется как значение бесконечной последовательности (37), устанавливаемое Я/Ср-алгоритмом.
На рис. 5 показаны элементы ап последовательности (37) приу=1 и ^=0,5.
"п 1
{sm(l ■ ct£f(n0.5))}
ll. , , 1, 1 11,1 li i 1 11 ,| ll, 1 1 1, 1 11 ,| ll, 1 II,„ || 1 ll 1 ■ 1 1 я.
1 1 'II II 1 Г l| 1 1 III ' 1 Г 1| 1 1 Ill 1 1 Г 1| 1 11 1 'II
Рис. 5. Значения элементов ап последовательности (38) В табл. 10 приведены результаты определения 5 т( И)я/Ф = ^т(1 С^п0,5)}
Таблица 10. Определение значения sin(H)
s i n(i1)R/9 = {sin(1 • ctg(n0.5))}™=i (38)
Номер элемента, n Значения элемента ап Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп Погрешность 1shl 1 Погрешность £9 = In/2 - (Pnl
1 0,9664692684 0,9664692684 0 0,5341369100 1,5707963267
2 0,5988726109 0,7607837893 0 0,3284514310 1,5707963267
4 -0,441847936 0,3668952631 0,785398163 3 0,0654370951 0,7853981633
8 0,7602456422 0,5026361434 1,178097245 0 0,0703037850 0,3926990816
16 -0,146535513 0,4513060235 1,374446785 9 0,0189736651 0,1963495408
131072 -0,863926633 0,4316885676 1,575254458 4 0,0006437907 0,0044581316
262144 -0,042115689 0,4322353791 1,573720477 6 0,0000969792 0,0029241508
524288 -0,658546674 0,4321879162 1,571209782 5 0,0001444421 0,0004134557
1048576 -0,390933880 0,4322651922 1,571149861 4 0,0000671661 0,0003535346
В табл. 11 приведены результаты определения 5 I п(¿у)к/<р, полученные .^/(-алгоритмом как значения последовательностей (39) при различных величинах у.
Таблица 11. Определение значения соб(Iу)
зт( [у)к/г = {Бт(у • ад(п0.5))}^=1 (39)
Значения Значения Значения Погрешность r = Погрешность
аргумента, у модуля, г0 аргумента, (р0 £v = 1п/2-ф01
0.01 0,0099006850 1,5708232913 0,0000000216 0,0000269645
0.1 0,0906332234 1,5709041848 0,0000014000 0,0001078580
0.5 0,3159937573 1,5709850783 0,0000665220 0,0001887515
1 0,4322651922 1,5711498614 0,0000671661 0,0003535346
1.57 0,4783413950 1,5706615042 0,0000172060 0,0001348225
2 0,4907474319 1,5710689679 0,0000947486 0,0002726411
3 0,4988009204 1,5710989284 0,0000402964 0,0003026016
4 0,4997563921 1,5709461296 0,0000758765 0,0001498028
5 0,4999906521 1,5710509915 0,0000133520 0,0002546647
6 0,4999957788 1,5711049205 0,0000011490 0,0003085937
8 0,4999652360 1,5710060507 0,0000347076 0,0002097239
10 0,5000267867 1,5711438693 0,0000267878 0,0003475425
Из табл. 11 следует, что значение синуса мнимого аргумента, полученные посредством .^/(-алгоритма, определяются установленной в [17] формулой:
sh у ¿е sh у ^п( 1у)к/* = ~е 2 = 1~
В [17] синус мнимого аргумента находится как значение бесконечной вещественной последовательности
( ( Ь2 + у2 Ь2 + у2 Ь2 + у2 УГ
^=[sin(Ь--+Ы--+Ы- ■--.+ьг-...)1__- (40)
устанавливаемое К/(-алгоритмом.
В табл. 12 приведены результаты вычисления sm(iу)R/(p, полученные по формуле (40) при различных значениях у и Ь = 2.
Таблица 12. Определение значений БIп(1у)
Г ( 4 + у2 4 + у2 Ь2 + у2 УТ зт( 1у)н/( = {з1п (2--_____-■■■)} (41)
Значени Значения Значения Погрешность r = Погрешность
я модуля, г0 аргумента, (р0 , shx , I — -roI n
аргумента, У
0,01 0,0098994077 1,5706495200 0,0000012556 0,0001468067
0,1 0,0906324730 1,5708352755 0,0000021505 0,0000389487
0,5 0,3160175171 1,5707364056 0,0000427623 0,0000599211
1 0,4323412087 1,5707753544 0,0000088503 0,0000209723
1,5 0,4751309856 1,5707753544 0,0000245198 0,0000209723
3 0,4987753816 1,5707004529 0,0000147577 0,0000958737
4 0,4997944209 1,5706315437 0,0000378478 0,0001647830
5 0,4999945512 1,5708053149 0,0000172512 0,0000089881
6 0,4999871500 1,5707903346 0,0000097779 0,0000059921
10 0,4999300759 1,5709521217 0,0000699231 0,0001557949
Из серии вычислений (табл. 12) было установлено, что значение тригонометрического синуса мнимого аргумента iy, устанавливаемое Л/р-алгоритмом, определяется формулой
■ (• л sh у i- sh у
sm (iy)R/v = —e2=i — (42)
Каноническое значение синуса мнимого аргумента равно:
sin(iy) = i sh у. (43)
Формула (43) может быть получена, если в формуле Эйлера
eix - e-iy
sin V =-
' 2i
аргумент у заменить на iy:
gí(íy) — g-í(íy) еУ
sin(iv) =-= i-= i sh v.
vyj 2i 2 7 Сравнивая формулы (42) и (43), можно записать простое выражение, связывающее эти формулы:
sin(iy)R/ipex = i sh у = sin(iy). Заключение
В [17, 19-21] для представления мнимых и комплексных чисел использовались непрерывные дроби, в которые раскладываются корни квадратных уравнений. Мнимые и комплексные числа записывались бесконечными вещественными последовательностями, элементами которых являются подходящие этих периодических дробей. Используя представления мнимых чисел вещественными последовательностями, были получены значения тригонометрических функций мнимого аргумента. Было установлено, что значения тригонометрического тангенса мнимого аргумента совпадают со значениями, определяемыми канонической формулой:
tg(iy)R/<p = i th у (44)
В то же время вычисления sin(iy) и cos(iy) R/^--алгоритмом с использованием вещественных последовательностей приводят к формулам, отличающихся от канонических:
sh у ¡п sh у
sin(iy)R/v =—e2=i— (45)
ch v
cos(iy)R/<0 = —-e1 arcta (sh y), (46)
e у
Канонические формулы имеют вид [22]:
cos( iy) = chy, (47)
sin(iy) = ish у (48)
Чтобы проверить корректность полученных формул (45) и (46), отличающихся от канонических, в [19] мнимые числа было предложено представлять иными бесконечными последовательностями, а именно, знако-положительными вещественными последовательностями:
( .1+Ё1+Ё 1+52 Г
¿у = {уе 2 - 2 ----- 2 _...} (49)
^ ' п=1
{ _ l+(arctg у)2 l+(arctg у)2 l+(arctg у)2 Л
-1 + ^1+у2е 2 - 2 — 2 (50)
Jn=1
Вычисление тригонометрических функций мнимого аргумента с использованием последовательностей (49) и (50), хотя и давали результаты, близкие к полученным ранее, тем не менее, погрешности в определении аргументов комплексных чисел оказались существенными. Поэтому была предпринята попытка вычисления тригонометрических функций мнимого аргумента, который представляется бесконечной вещественной последовательностью:
iy = {yctg пф)™=1, (51)
где <р - произвольное вещественное число.
Используя формулу (51), комплексное число х + iy можно представить бесконечной вещественной последовательностью
х + iy = {х + у ctg п(р}п=1, (52)
Вычисление тригонометрических функций мнимого аргумента, представленного бесконечной вещественной последовательностью (51) позволило с высокой точностью получить ранее установленные формулы (45) и (4б). Так как при представлении мнимых чисел были использованы различные вещественные последовательности, это позволяет предполагать, что формулы (45) и (4б), определяющие значения cos(iy)R/<p и sm(iy)R/<p, установленные Л/^-алгоритмом и отличающиеся от канонических формул (47) и (4S), имеют место, или, во всяком случае, заслуживают углублённого изучения. Пристального изучения в рамках теории функций комплексного переменного заслуживает сам метод представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями.
Список литературы / References
1. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
2. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450 с.
3. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 60S с.
4. Шмойлов В.И., Слобода М.. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. S20 с.
5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 55S с.
7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
8. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
9. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону. Изд-во: ЮФУ, 2017. 3S2 с.
10. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраический уравнений. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 3S3 с.
11. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 201S. 524 с.
12.Athen A. On Bernolli's numerical solution of algebraic equations. Porc. Roy. Soc. Edinburg Ser. A, 46 (1925/26), 289-305.
13. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями. Нац. Акад. Наук Украина. Ин-т прикл. пробл. Механики и математики. Львов, 2003. 599 с.
14. Шмойлов В.И. О критерии сходимости вещественных последовательностей. // Вестник науки и образования №3 (106). Часть 1, 2021. С. 11-24.
15. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, Т. 1. М.: Физматгиз, 1963. 344 с.
16. Юшкевич А.П. История математики в России. М.: Наука, 196S. 591 с.
17. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений тригонометрических функций комплексного аргумента. // Вестник науки и образования №13 (116). Часть 1, 2021. С. 22-39.
18. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непре-рывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.
19. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Представления тригонометрических функций мнимого аргумента вещественными последовательностями. // Вестник науки и образования № 12 (115). Часть 1, 2021. С. 1531.
20. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений гиперболических функций мнимого аргумента посредством Л/^-алгоритма. // Вестник науки и образования №10 (113), 2021. С. 5-20.
21. Шмойлов В.И. Определение значений тригонометрических функций мнимого аргумента посредством Л/^-алгоритма. // Вестник науки и образования. № 7 (110), 2021. С. 11-24.
22. ЛаврентьевМ.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.
