CC BY
7
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНИМОГО АРГУМЕНТА ПОСРЕДСТВОМ R/ф-АЛГОРИТМА Шмойлов В.И. Email: Shmoylov6110@scientifictext.ru
Шмойлов Владимир Ильич — старший научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем, Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: приводится формулировка R/q-алгоритма, который используется для определения значений бесконечных вещественных последовательностей. R/q-алгоритм позволяет устанавливать комплексные значения бесконечных вещественных последовательностей, которые не являются фундаментальными и, согласно критерию Коши, определяются как расходящиеся. Предлагается критерий сходимости вещественных последовательностей.
Определяются посредством R/q-алгоритма значения cos(ix), sin(ix) и tg(ix), где мнимые числа ix представляются бесконечными вещественными последовательностями. Полученные формулы значений косинуса и синуса мнимых аргументов отличаются от канонических формул. Ключевые слова: комплексные числа, критерий сходимости, вещественные последовательности, R/q-алгоритм.
DETERMINATION OF THE VALUES OF THE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS OF THE IMAGINARY ARGUMENT BY MEANS OF THE R/ф ALGORITHM Shmoylov V.I.
Shmoilov Vladimir Ilyich — Senior Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS, SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: the formulation of the R/q-algorithm, which is used to determine the values of infinite real sequences, is given. The R/q-algorithm allows us to establish complex values of infinite real sequences that are not fundamental and, according to the Cauchy criterion, are defined as divergent. A criterion for the convergence of real sequences is proposed.
The values of cos(ix), sin(ix), and tg(ix) are determined by the R/q-algorithm, where the imaginary numbers ix are represented by infinite real sequences. The resulting formulas for the values of the cosine and sine of imaginary arguments differ from the canonical formulas. Keywords: complex numbers, convergence criterion, real sequences, R/q-algorithm.
УДК 517.524
Введение
Бесконечная вещественная последовательность {ап}'=1 может быть сходящейся и при этом не удовлетворять критерию Коши [1-7]. В этом случае вещественная последовательность имеет комплексный предел, который устанавливается R/q-алгоритмом [8]. Это обстоятельство влечет важные последствия, а именно, необходимость ревизии критерия сходимости вещественных последовательностей. В [9] критерий сходимости вещественных последовательностей приведён в такой формулировке:
Для сходимости вещественной последовательности {ап}П=1 к комплексному числу z = r0el<Po необходимо и достаточно, чтобы были фундаментальными последовательности {гп}'=1 и {Рп}п=ь т.е. чтобы для любого £ > 0 существовало такое число N{e), что неравенства
\гп ~ гп+р | < \<Рп ~ фп+р | < £
выполнились при всех п> n{e) и любом натуральном числе р.
Элементы гп и (п устанавливаются по элементам исходной вещественной последовательности {ап}П=1 R/q-алгоритмом.
1. Представления комплексных чисел вещественными последовательностями
Запишем непрерывную дробь Никипорца [5]
11 1
el<P = 2cosw-~- -- -- . (1)
2 cos q> — 2 cos q>-----2 cos q>----
При о = 7Г из (1) непосредственно следует знаменитая формула е11Г = — 1 , которую многие специалисты считают самой красивой математической формулой:
11 1
ет = —2 + 2_2-----2----=
Подходящие непрерывной дроби (1) имеют вид:
= s i п (п + 1) о (2)
sin пер ' sin (п + 1)®
li m-^-— = е^. (3)
п^со Sin
Предел (3) известен как предел Никипорца [5]. Предел Никипорца может быть установлен по значениям подходящих дробей (2) с использованием формул R/q-тгоритма [1]:
r0 = li mn^„ 7 IUUilOnl. (4)
fe
l о о l = 77 l i m —, (5)
n->co Yl
где an - значение n-й подходящей дроби,
fcn - число подходящих дробей, имеющих отрицательные значения из совокупности, включающей п подходящих дробей.
Запишем комплексное число b + íх бесконечной периодической непрерывной дробью с вещественными элементами.
Ь + ix = Jb2+x2elarctal Используя непрерывную дробь Никипорца (1), получим [9]:
b + íx = VbT^[2 cos (arxtgg — 2 c0s(a4(x/2)) — ... — 2 COs(arctg(x/2)) — ]' (6) Следовательно, комплексное число b + í х может быть представлено вещественной
последовательностью {an}, значение которой устанавливается й/^-алгоритмом, то есть формулами (4) и (5), где
г——- sin((n + 1) ■ arctg(x/b))
an=V b2 + х 2--- Л (7)
sin(n ■ arctg(x/b))
Из формулы (6) можно записать представление мнимого числа :
ix = ^ + [2 COS (arctg¡) - 2 cos( J^^ с05(агс^(х/2)) ~ - ] ~ b- (8)
Таким образом, мнимое число íx может быть представлено вещественной последовательностью {an}, значение которой устанавливается й/^-алгоритмом, то есть формулами (4) и (5), где
an=V b2 + х 2----у — b . (9)
sin(n ■ arctg(x/b))
Приведем ещё одно представление комплексного числа b + í х периодической непрерывной дробью с вещественными элементами [10]. Корень квадратного уравнения
х2 — 2Ьх + (Ь2 + х2) = 0 может быть записан непрерывной дробью
Ь2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2
b + í х = 2 b--— —— —— . (10)
2b — 2b ----- 2b ----
Следовательно, комплексное число представляется бесконечной вещественной
последовательностью подходящих дробей , где элемент последовательности
определяется рекуррентной формулой:
b2 + x2
an =2 b--, % =2 b . (11)
an-l
Из (10) следует, что мнимое число представляется непрерывной дробью
b2+x2 b2 + x2 b2 + x2
íx = b--:rr— —:rr— —:rr— . (12)
2b — 2b ----- 2b ----
Мнимое число íx можно определить как значение бесконечной вещественной последовательности , где элемент последовательности определяется рекуррентной формулой:
Ь2 +х2
an =b--, a1 =b . (13)
b + ап_г
В формулах (9) и (13) «Ь» - некоторое вещественное число. 2. Определение мнимых чисел ^'^-алгоритмом
В табл. 1 приведены результаты определения мнимой единицы й/^-алгоритмом по элементам вещественной последовательности { ап}, где
зт((п + 1) ■ агс£д(1/2))
= л/5-
эт(п ■ агсЬд{ 1/2))
■-2.
(14)
Таблица 1. Определение мнимого числа I 1
¿1 = л/5
2 соэ агсЬд
©
2 соэ
агЛд ^^
2 соэ | агЛд ^^
- 2
Номер, п Значения элементов ап Значения модуля, гп Значения аргумента, <рп Погрешность = Погрешность = 17Г/2 — <Рп\
1 2 2 0 1 1,5707963267
2 0,7500000000 1,2247448713 0 0,2247448713 1,5707963267
4 -0,291666666 0,5310725349 0,7853981633 0,4689274650 0,7853981633
8 1,5684523809 1,1446779145 1,1780972450 0,1446779145 0,3926990816
16 0,4654406117 0,9747846323 1,1780972450 0,0252153676 0,3926990816
131072 3,8981654158 0,9999735334 1,5707244214 0,0000264665 0,0000719053
262144 1,8208172428 0,9999620032 1,5707843425 0,0000379967 0,0000119842
524288 0,6358066524 0,9999857266 1,5707783504 0,0000142733 0,0000179763
1048576 -0,468499266 0,9999929803 1,5707903346 0,0000070196 0,0000059921
В табл. 2 показаны результаты определения чисел хе1~ при различных значениях х по элементам вещественных последовательностей. Элементы последовательностей, представляющих мнимые числа I х, устанавливались по формуле (9) при Ь = 2:
зт((п + 1) ■ агс£д(х/2))
= 74
зт(п ■ агсЬд(х/2))
-2.
(15)
: = л/т
Таблица 2. Определение мнимых чисел I х
1 1
! соэ (^агМд-^ —
2 соэ | агЛд ^^
1\ \-----
2 соэ
(агЛд
- 2
Значения Значения Значения Погрешность Погрешность
аргумента х модуля, аргумента, £г = | х — г01 = 17Г/2 — <Ро\
0.01 0,0099983553 1,5706495200 0,000001645 0,000146807
0.1 0,0999979909 1,5707693622 0,000002009 0,000026965
0.5 0,4999757519 1,5708442636 0,000024248 0,000047937
1 0,9999929803 1,5707903346 0,000007020 0,000005992
1.5 1,4999853061 1,5707903346 0,000014694 0,000005992
2 1,9993285964 1,5734807931 0,000671404 0,002684466
3 2,9999777292 1,5707933307 0,000022271 0,000002996
5 4,9999302047 1,5708023189 0,000069795 0,000005992
10 9,9998925124 1,5707993228 0,000107488 0,000002996
В табл. 3 приведены результаты определения мнимого числа й/^-алгоритмом по элементам вещественной последовательности , где элементы находятся по рекуррентной формуле (13) при х = 1, Ь = 2.
ап = 2--, а1 = 2. (16)
2 + ап_г
Таблица 3. Определение мнимого числа I 1
ж 5 5 5 И = 1е12 = 2-- - ---.
4-4-----4
Номер, п Значения элементов Значения модуля, Значения аргумента, <Рп Погрешность = Погрешность £<Р = \п/2 ~ <Р„ 1
1 2 2 0 1 1,5707963267
2 0.75 1,2247448713 0 0,2247448713 1,5707963267
4 -0,291666666 0,5310725349 0,7853981633 0,4689274650 0,7853981633
8 1,5684523809 1,1446779145 1,1780972450 0,1446779145 0,3926990816
16 0,4654406117 0,9747846323 1,1780972450 0,0252153676 0,3926990816
65536 7,9225527739 0,9999450466 1,5706525160 0,0000549533 0,0001438106
131072 3,8981654157 0,9999735334 1,5707244214 0,0000264665 0,0000719053
262144 1,8208172427 0,9999620032 1,5707843425 0,0000379967 0,0000119842
524288 0,6358066524 0,9999857266 1,5707783504 0,0000142733 0,0000179763
1048576 -0,468499266 0,9999929803 1,5707903346 0,0000070196 0,0000059921
В табл. 4 приведены результаты определения чисел I х = хе12 при различных значениях х по элементам вещественных последовательностей й/^-алгоритмом. Элементы ап последовательностей, представляющих мнимые числа , устанавливались по формуле (13) при Ь = 2:
4 + х2
ап =2--, а1 = 2 . (17)
2 + а„_!
Таблица 4. Определение мнимых чисел 1х
ж 4 + х2 4 + х2 4 + х2 ¿х = хе 2 = 2---— —-— —-—
4 _ 4 ----- 4 ----
Значения Значения Значения Погрешность Погрешность
аргумента х модуля, г0 аргумента, (р 0 Ег | X Тп | = |тг/2-<Ро1
0.01 0,0099983554 1,5706495200 0,0000016445 0,0001468067
0.1 0,0999979909 1,5707693622 0,0000020090 0,0000269645
0.5 0,4999757519 1,5708442636 0,0000242480 0,0000479368
1 0,9999929803 1,5707903346 0,0000070196 0,0000059921
1.5 1,4999853061 1,5707903346 0,0000146938 0,0000059921
3 2,9999777291 1,5707933307 0,0000222708 0,0000029960
5 4,9999302051 1,5708023189 0,0000697948 0,0000059921
10 9,9998925116 1,5707993228 0,0001074883 0,0000029960
3. Определение значения косинуса мнимого аргумента Я/д-алгоритмом
Используя формулу (8), представляющую мнимое число ¿х, запишем выражение для определения значения косинуса мнимого аргумента:
со 8 (1х) = со 8 2 со 8 (агадХъ)-2С0<аге(д(1/2))-- -2еов(аг^д(1/2))—) (18)
-ь].
Следовательно, косинус мнимого аргумента можно записать как значение бесконечной вещественной последовательности:
со з ( 1х)={ а„} ™=1> (19)
где элемент ап последовательности определяется выражением (20). Значения подходящих непрерывной дроби, входящей в выражение (18), определяется формулой (9). Элемент ап бесконечной вещественной последовательности, представляющей косинус мнимого аргумента, следовательно, имет вид:
4ь2
+ х
зт((п + 1) ■ агс£д(х/Ь))
-Ь
(20)
эт(п ■ агсЬд{х/ЪУ)
В табл. 5 приведены результаты определения косинуса мнимого аргумента по элементам вещественной последовательности йф-алгоритмом. Элемент последовательности (20) записывается при х = 1 и Ь = 2:
соз(г1) = соэ
(
л/5
яп((п + 1) ■ агс1д(1/2)) \ у агЛд(1/2)) )'
Таблица 5. Определение значения сох(г1) 1\ 1
(21)
2 соэ ^агйд-^ —
2 соэ ^агЛд ^^
2 соэ | агЛд ^^
- 2
Номер, п Значения элементов ап Значения модуля, гп Значения аргумента, Погрешность 1с?11 1 Погрешность £<е== \агМд($}11) — <Р„ 1
1 -0,416146836 0,4161468365 3,1415926535 0,1515208050 2,2758231703
2 0,7316888688 0,5518061327 1,5707963267 0,0158615088 0,7050268435
4 0,9577659577 0,7318187453 0,7853981633 0,1641511037 0,0803713198
8 0,0023439436 0,3702171787 1,1780972450 0,1974504628 0,3123277618
16 0,8936238985 0,4114958093 0,7853981633 0,1561718322 0,0803713198
131072 -0,727192846 0,5675523813 0,8654527857 0,0001152602 0,0003166974
262144 -0,247424224 0,5676109216 0,8658362809 0,0000567199 0,0000667977
524288 0,8045929465 0,5676464452 0,8657883440 0,0000211964 0,0000188608
1048576 0,8922469455 0,5676244445 0,8656954663 0,0000431970 0,0000740169
В табл. 6 приведены значения соз((х), полученные й/ф-алгоритмом как значения бесконечных последовательностей {ап}, где ап определяются формулой (20) при различных х и Ь = 2.
Таблица 6. Определение значения сох(гх)
x^ 1 1 \ 1
-2
соэ(1х) = соэ + х2 ^2 соэ (агсЬд—) —
2 со$(агад (х/2))-----2 со^(агЛд (х/2)) — •
Значения х Значения модуля, г0 Значения аргумента, Погрешность , скх , £г = \—~Г0\ Погрешность £<е== | агс{д(х/гх) — (ра \
0.01 0,9900828836 0,0100278001 0,0000164531 0,0000279668
0.1 0,9093773565 0,0998285934 0,0000119800 0,0000051554
0.5 0,6839379434 0,4804685488 0,0000017772 0,0000874697
1 0,5676244445 0,8656954663 0,0000431971 0,0000740169
1.5 0,5248561498 1,1317872040 0,0000373844 0,0000588587
1.57 0,5216179404 1,1604444818 0,0000234586 0,0001134277
2.5 0,5033644779 1,4069450078 0,0000044956 0,0000485611
3 0,5012579217 1,4711714651 0,0000185456 0,0001328760
4 0,5001762309 1,5343073580 0,0000084996 0,0001382137
5 0,5000441856 1,5572871092 0,0000214856 0,0000335275
6 0,4999747610 1,5658408497 0,0000283111 0,0000020171
10 0,5000903625 1,5706165634 0,0000903615 0,0000889635
Так как значения соэ((х), установленные йф-алгоритмом по вещественным последовательностям, представляющим мнимые числа г'х, отличаются от канонической формулы для соэ(£х), то косинус мнимого аргумента, полученного с использованием й/ф-алгоритма, будем обозначать как соз((х)д/ф.
Из серии вычислений (табл. 6) было установлено, что косинус мнимого аргумента, получаемый посредством йф-алгоритма, определяется формулой:
ch x
cos ( ix)R/v=—el arcts^h x) ш (22)
Таким образом, значение cos (ix)r/^ определяется комплексным числом, т$е1<Р модуль и аргумент которого устанавливаются формулами:
chx
го = —, (23)
<0 = агсt g (sh x). (24) Каноническое значение косинуса мнимого аргумента равно гиперболическому косинусу [11]:
cos(ix) = ch x. (25) Формула (25) получается «естественным» образом, если, в формуле Эйлера
g Ix + е-1х
cos(x) =---
аргумент заменяется на мнимое число
ei(ix) + e-i(ix) ех + е-х
cos (ix) =---=---= ch х.
Сравнивая формулы (22) и (25), можно установить связь между этими формулами:
cos(ix)R/v-exe~i arc^^h^ =ch x = cos (ix). (26)
Определим значение cos(ix)R/v, используя непрерывную дробь (12), представляющую мнимое число. Запишем выражение для определения косинуса мнимого аргумента:
/ b2 + х2 b2 + х2 b2 + x2 \ co s ( ix) R/v = co s ^--— _ _ . _ _ . . J . (27)
Косинус мнимого аргумента находится как значение бесконечной вещественной последовательности, устанавливаемое R/q-шгоритмом.
( ( Ь2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2
s ( ix) R/v = ^ s (Ъ _ . . _ . . .)\R/i. (28)
Элементы последовательности (28) могут находиться по рекуррентной формуле
Г / , Ь2+х2\)
co s (ix) R/v = >> co si а n = b_b + a, I j , а n = b. (29)
В табл. 7 приведены результаты определения косинуса мнимого аргумента нахождением R/q-ажоритмом значения последовательность (29) при x = 0 . 1 и b = 1.
Таблица 7. Определение значения с о s (i 0,1) ( 1,01 1,01 1,01\ cos(i0,1)r = cos --— _____—J,
Номер элемента Значения элементов ап Значение модуля, гп Значение аргумента, <Рп Погрешность , chO ,1 = | — " г0\ Погрешность £f = \arctg(sh0,l) — <Pnl
1 0.5403023058 0.5403023058 0 0.3690630706 0.0998337487
2 0.8799687098 0.6895281887 0 0.2198371878 0.0998337487
4 0.9719529554 0.8135247871 0 0.0958405893 0.0998337487
8 0.9952372051 0.8974911344 0 0.0118742421 0.0998337487
16 0.9999971423 0.9468886395 0 -0.037523263 0.0998337487
16384 0.9916064599 0.9097613262 0.1002839940 -0.000395949 -0.000450245
32768 0.9996551150 0.9096215904 0.1000922464 -0.000256213 -0.000258497
65536 0.9843339080 0.9095154130 0.0998525619 -0.000150036 -0.000018813
131072 0.9981758553 0.9094839113 0.0997566881 -0.000118534 0.0000770606
В табл. 8 приведены значения cos(ix)R/9, полученные по формуле (28) при различных значениях x и b = 2.
Таблица 8. Определение значения с о х ( ¿х)
( 4 + х2 4 + х2 4 + х2 с 0 8 ( ¿ х) к/ф = с 0 8 ( 2--— _ —-_____
Значения х Значения модуля, Значения аргумента, Погрешность . скх . £г = \—~Г0\ Погрешность Еу = | агс1д{зкх) — <Ра\
0.01 0,9900841890 0,0100278001 0,0000151476 0,0000279668
0.1 0,9093794577 0,0998166092 0,0000140812 0,0000171395
0.5 0,6839378223 0,4804715449 0,0000018982 0,0000904657
1 0,5676252390 0,8656894742 0,0000424025 0,0000800090
1.5 0,5248558754 1,1317842079 0,0000376587 0,0000558626
3 0,5012575737 1,4711744612 0,0000181976 0,0001298799
4 0,5001765618 1,5342953737 0,0000088305 0,0001262294
5 0,5000421937 1,5572931013 0,0000194938 0,0000275353
6 0,4999703612 1,5658498379 0,0000327108 0,0000110053
10 0,5000940628 1,5706105713 0,0000940617 0,0000949556
Таким образом, й/ф-алгоритмом установлено, что со б ( ¿х) д /^ есть комплексная величина, определяемая формулой
сН х
со б ( ¿х) д /<р=—агс£я (5" (30)
На рис. 1 и рис. 2 показаны зависимости от х модуля и аргумента комплексного числа, являющегося значением косинуса мнимого аргумента .
ф) 0,5
г(х)=с^Хх
е
ф(х)А 1,57
ф(х) =аг^^к х)
12345678 0 12345678
Рис. 1. Зависимость модуля от х Рис. 2. Зависимость аргумента от х
4. Определение значения синуса мнимого аргумента R/ф-алгоритмом
Подобно тому, как была установлена формула определения значения косинуса мнимого аргумента, найдем формулу значения синуса мнимого аргумента, т.е. б ¡п ( ¿х) д/ф, используя представление мнимого числа осциллирующей вещественной последовательностью.
Используя непрерывную дробь (12), представляющую мнимое число, запишем выражение для определения синуса мнимого аргумента:
( Ь2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2 \ 8 т ( ¿х) й /ф=8 1 п(Ъ —22& __. . ._. . . (31)
Синус мнимого аргумента находится как значение бесконечной вещественной последовательности, устанавливаемое й/ф-алгоритмом:
Г ( Ь2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2 б 1 п ( ¿х)д /ф = ] б 1 п( Ь ■
2 Ь - 2 Ь ----- 2 Ь -■■
(32)
к/<р
В табл. 9 приведены результаты определения значения х ¿п ( ¿ 1) , причем, последовательность , представляющая мнимое число '1, генерировалась по формуле (32) при и .
х
0
Таблица 9. Определение значения siп( i 1 ) / 10 10 10 \ sin(il)R = sin 3 - — — —
\ 6 — 6-----6----I
Номер элемента, n Значения элементов ап Значения модуля, г„ Значения аргумента, <Рп Погрешность ishl i Погрешность = If-«Pul
1 0,1411200080 0,1411200080 0 0,2912123503 1,5707963267
2 0,9719379013 0,3703510287 0 0,0619813296 1,5707963267
4 0,2875489003 0,3983304586 0 0,0340018997 1,5707963267
8 -0,999997252 0,3553958312 1,5707963267 0,0769365271 0
16 -0,448816586 0,3974637847 1,1780972450 0,0348685736 0,3926990816
65536 -0,997649920 0,4324180416 1,5711798219 0,0000856832 0,0003834951
131072 0,6864332185 0,4323599965 1,5708202952 0,0000276381 0,0000239684
262144 -0,968907246 0,4323001383 1,5707843425 0,0000322200 0,0000119842
524288 -0,593826734 0,4323199754 1,5708202952 0,0000123829 0,0000239684
1048576 0,4515477695 0,4323114074 1,5708502558 0,0000209509 0,0000539290
В табл. 10 приведены результаты вычисления б ¡п ( ¿х) д /ф, полученные по формуле (31) при различных значениях х и Ь = 2 .
Таблица 10. Определение значений х I п ( I х)
( 4 + х2 4 + х2 Ъ2 + х2 8 т ( ¿х) д/ф = 8 т I 2--— _ —-_____- _ .
Значения х Значения модуля, Значения аргумента, Погрешность , shx , £г = \ — -Г0\ Погрешность 7Г £v = 1 2 _<Ро1
0,01 0,0098994077 1,5706495200 0,0000012556 0,0001468067
0,1 0,0906324730 1,5708352755 0,0000021505 0,0000389487
0,5 0,3160175171 1,5707364056 0,0000427623 0,0000599211
1 0,4323412087 1,5707753544 0,0000088503 0,0000209723
1,5 0,4751309856 1,5707753544 0,0000245198 0,0000209723
3 0,4987753816 1,5707004529 0,0000147577 0,0000958737
4 0,4997944209 1,5706315437 0,0000378478 0,0001647830
5 0,4999945512 1,5708053149 0,0000172512 0,0000089881
6 0,4999871500 1,5707903346 0,0000097779 0,0000059921
10 0,4999300759 1,5709521217 0,0000699231 0,0001557949
Из серии вычислений (табл. 10) было установлено, что значение тригонометрического синуса мнимого аргумента , устанавливаемое й/ф-алгоритмом, определяется формулой . . эЬ X ¡Е .БЬх
8 1 п ( ¿ х) Д /ф = —е 2 =¿17". (33)
Каноническое значение синуса мнимого аргумента равно [12]:
8 1 п ( ¿ х) = ! х к х . (34)
Формула (34) может быть получена, если в формуле Эйлера
е1х _ е-1х б1пх =■
2 i
аргумент х заменить на i х:
gi(íar) _ e~Klx) gx — g~x sin(ix) =-—-= i---= i shx.
Сравнивая формулы (33) и (34), можно записать простое выражение, связывающее эти формулы:
s i п ( i х) д ivex = i s h x = s i n ( i х) . (35)
Из формул
shx ¡e. shx chx .... Л
sin (¿х)й/? =— el2 = i— и cos (ix)fi/? = — el
следует, что при х » 1 можно записать
1 1 1 ■— 1 зт((х)д/<р = г- соэ((х)д/<р = ¿-
Такое же мнимое значение имеют и пределы
1 1 т со б ( пх) = £-, 1 1 т б 1 п ( пх) = £—. (36)
П~>СО 2 П-> со 2
которые были установлены при определении значения бесконечных вещественных последовательностей {со б (пх)и {б£п(пх)}™=1 К/д-алгоритмом [13].
Рассмотрим второй способ определения значения тригонометрического синуса мнимого аргумента.
Используя формулу (11), представляющую мнимое число £ х, запишем выражение для определения значения синуса мнимого аргумента:
sin (ix) = sin
2 cos
(■ir ctg£)--
(37)
^ 2 cos (arctg j^j "' 2 cos (arctg^ "', Учитывая значения подходящих непрерывной дроби (37), элемент ап бесконечной вещественной последовательности, представляющей синус мнимого аргумента, примет вид:
sin((n + 1) ■ arctg(x/b))
\¡b2 +:
a„=sm\ b—-„ ' -b I. (38)
sin(n ■ arctg(x/b)) j
Следовательно, синус мнимого аргумента можно записать как значение бесконечной
вещественной последовательности
sin((n + 1) ■ arcta(x/b)) + x2--- . , *.. Л ~b I > , (39)
>R/<p
si n (ix)R/v = I s i n^Jb2
зт(п ■ агид(х/Ь)) которое устанавливается К/д-алгоритмом.
В табл. 11 приведены результаты вычисления б £п(£ 1). Элемент последовательности (39)
записывается при х = 1 и Ь = 2 следующим образом:
( ^т{(п+1)-агад(1/2)) ап = Б£п\ V 5—V-;-, ______—--2 I . (40)
( (
sin(n ■ arctg( 1/2))
Таблица 11. Определение значения sin(i 1 )
sin (¿1)r = sin
<p
V5
2 eos arctg
©
V
2 eos í arctg ^^
1\ \-----
2 eos
arctg (2)
1N\-•••
\ \
- 2
/
/
Номер элемента Значения элементов ап Значение модуля, гп Значение аргумента, <Рп Погрешность . Sh i 8r= 1 —- гп\ Погрешность i ж £<е = I7- <Ро1
1 0,9092974268 0,9092974268 0 0,4769650684 1,5707963267
2 0,6816387600 0,7872816335 0 0,3549492751 1,5707963267
4 -0,287548900 0,4236951112 0,7853981633 0,0086372472 0,7853981633
8 0,9999972529 0,4575830224 1,5707963267 0,0252506640 0
16 0,4488165861 0,4802440678 1,3744467859 0,0479117094 0,1963495408
65536 0,9976499204 0,4323826767 1,5704128315 0,0000503183 0,0003834951
131072 -0,686433218 0,4324544027 1,5703648946 0,0001220443 0,0004314320
262144 0,9689072467 0,4324072974 1,5706645003 0,0000749390 0,0001318264
524288 0,5938267343 0,4323490472 1,5706285476 0,0000166888 0,0001677791
1048576 -0,451547769 0,4323404271 1,5707783504 0,0000080687 0,0000179763
Таким образом, значение определяется комплексным числом, модуль и аргумент
которого записываются формулой:
бЬ 1 ,-т БЬ 1 ,,,,
б 1 п (£ 1) к/д =-е12 = £ —— = £ о .43 2 3 3 2 ... (41)
В табл. 12 приведены значения s in ( ¿х) r/v, полученные по формуле (39), при различных величинах х.
Таблица 12. Определение значения s in ( ¿х)
sin(íx) = sin I V4 + X2 í 2 eos iarctg (2))--7--7-J — ^ )
\ \ V ' 2cos(arctg 2cos(arctg(^)j I I
Значения х Значения модуля, г„ Значения аргумента, <р„ Погрешность ■ shx 1 £г = \ — -Г0\ Погрешность = If-«Pol
0.01 0,0098993984 1,5706555121 0,0000012649 0,0001408147
0.1 0,0906334286 1,5708352755 0,0000011949 0,0000389487
0.5 0,3160184733 1,5707364056 0,0000418061 0,0000599212
1 0,4323404271 1,5707783504 0,0000080687 0,0000179764
1.5 0,4751352533 1,5707783504 0,0000287875 0,0000179764
1.57 0,4783762463 1,5709790862 0,0000176453 0,0001827594
2 0,4783762463 1,5709790862 0,0182547802 0,0001827594
2.5 0,4966670921 1,5706405318 0,0020935318 0,0001557950
3 0,4987757399 1,5706974569 0,0010565288 0,0000988699
4 0,4997969352 1,5706375358 0,0001803648 0,0001587910
5 0,4999877363 1,5707963267 0,0000091916 0,0000000001
6 0,4999894745 1,5707723583 0,0000105245 0,0000239685
10 0,4999287355 1,5709341453 0,0000012649 0,0001408147
Из серии вычислений (табл. 12) было установлено, что тригонометрический синус мнимого аргумента определяется формулой
shx shx
si n ( í x) я,e 2=i— (42)
которая была уже получена выше.
На рис. 3 и рис. 4 показаны зависимости г (x) и ( x).
r(x)] r(x)=ShxX P(x)\ p(x)=p/2 0,5----------------- 1,57-
012345678 012345678
Рис. 3. Зависимость модуля от х Рис. 4. Зависимость аргумента от х
5. Определение значения тригонометрического тангенса мнимого аргумента R/q-алгоритмом
Установим значение тангенса мнимого аргумента, то есть ig ( i х) , используя представление мнимого числа осциллирующей вещественной последовательностью.
Применяя непрерывную дробь (12), представляющую мнимое число, запишем выражение для определения тангенса мнимого аргумента:
( Ь2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2 \
* ( ix) я „ = ^ (b - ^^ _ ^^ _ _ _ . _. . J ■ (43)
В (43) «b» - произвольное вещественное число.
Тангенс мнимого аргумента находится как значение бесконечной вещественной последовательности, устанавливаемое Ä/q-алгоритмом:
{ ( Ь2 + х2 Ь2 + х2 Ь2 + х2 М
*( ix) Я„ = [Ч _ _ _ . . . _ . . J Ц (44)
В табл. 13 приведены результаты определения значения , причем, последовательность { ап}, представляющая tg ( i 1) , генерировалась по формуле (43) при х = 1 и b = 2 .
Таблица 13. Определение значения tg( i 1) /55 5 \ ( i Ц д/^Ц 2--_-_____■ ■]
Номер элемента, n Значения элементов ап Значение модуля г„ Значение аргумента <р„ Погрешность Ег = \thl-rn\ Погрешность £<е 71 = \j~Vo\
1 -2,185039863 2,1850398632 3,1415926535 1,4234457072 1,5707963267
2 0,9315964599 1,4267359256 1,5707963267 0,6651417696 0,0000000001
4 -0,300228775 0,5789618180 1,5707963267 0,1826323380 0,0000000001
8 426,63023628 1,2359853855 1,1780972450 0,4743912295 0,3926990818
16 0,5022432669 1,1670691583 1,3744467859 0,4054750023 0,1963495409
65536 -14,56053050 0,7618451818 1,5699813995 0,0002510258 0,0008149273
131072 0,9439493547 0,7619637280 1,5703169577 0,0003695720 0,0004793691
262144 -3,915975676 0,7618017815 1,5706645003 0,0002076255 0,0001318265
524288 0,7380461597 0,7616524804 1,5707663662 0,0000583244 0,0000299606
1048576 -0,506079367 0,7616666402 1,5707244214 0,0000724842 0,0000719054
В табл. 14 приведены результаты вычислений tg( £х) , причём, последовательности { ап} , представляющие ( £ х) , генерировались по формуле (43) при различных значениях х и Ь = 2 .
Таблица 14. Определение значения tg( ix)
( 4 + х2 4 + х2 4 + х2
t0( ix) д/р = ^ 2--— _ ---_____---
Значения х Значения модуля, г0 Значения аргумента, Погрешность £г = | thx — гп | Погрешность 7Г £v = 1 2 _<Ро1
0,01 0,0099985514 1,5706465239 0,0000011153 0,0098500305
0,1 0,0996640866 1,5708053149 0,0000039080 0,0998427369
0,5 0,4620559162 1,5707304135 0,0000612411 0,4803151658
1 0,7616666402 1,5707244214 0,0000724842 0,0000719053
1,5 0,9052599158 1,5708592439 0,0001116622 0,0000629171
3 0,9950480706 1,5708772203 0,0000066831 0,0000808935
4 0,9992359879 1,5707603741 0,0000933118 0,0000359526
5 0,9999047230 1,5707483898 0,0000044813 0,0000479368
Из серии вычислений (табл. 14) установлено, что значение тангенса, аргумент которого мнимое число i x, определяется формулой
tfif ( ¿x^» Д/ ,,, = ( th x, (45)
которая совпадает с канонической формулой для .
Если бы значение tg( ix) определялось как отношение значений s in (x) д/^ и со s (x) д/^,, установленных ранее й/^-алгоритмом, то имели бы такой результат:
sh х ¿Е
tg( ix) = ~£2-= th xei(2" arct«(sh x)) . (46)
C" X giarctg(sh x)
ex
Следует обратить внимание, что формула tg ( x) R / ^ = i t h x, которая совпала с канонической формулой (45), получена из серии вычислений «предельным переходом», когда мнимый аргумент i x представляется все более удлиняющейся вещественной последовательностью (44), значение которой устанавливается й/^-алгоритмом, то есть формулами (4) и (5).
Так как формула (45) получена все более уточняющими вычислениями, а не формальной подстановкой значений и , то результат для , полученный
последовательными приближениями, представляется более достоверным. То же самое можно сказать о полученных последовательными приближениями значений и в
сравнении с каноническими значениями б 1 п (£х) и со б (£х) «установленными» формальной заменой в формулах для и аргументов на .
Запишем выражение для определения значения тангенса мнимого аргумента:
^ = *I WTTA lcos(„rctg¡) -
2 СОБ
(arctg ^У
' 2 eos
(arctg ^У
(47)
-b
Тангенс мнимого последовательностью:
tg (ix) R/v = |t£f (jb
аргумента можно записать бесконечной вещественной
зт((п + 1)агс£д(х/Ь)) \ |
' )ц/<р
+ x¿
(48)
зт(п ■ агс£д(х/Ь)) значение которой устанавливается К/д-алгоритмом.
В табл. 15 приведены результаты вычисления тангенса мнимого аргумента. Элементы последовательности записывается при и .
= tgU5SÍn?arCtgil!2ll-2
зт(1 ■ агид( 1/2))
Таблица 15. Определение значения Ьд (£ 1)
tg(il)R = tg
v
V5
2 eos I arctg
2 eos I arctg (r^j j 2 eos í arctg (r^j
\ \ - 2
/
/
Номер элемента, п Значения элементов, ап Значение модуля гп Значение аргумента (рп Погрешность Ег = \thl-rn\ Погрешность i п £<е = \-2~ arctg(shl) — <Pnl
1 -2,185039863 2,1850398632 3,1415926535 1,4234457072 1,5707963267
2 0,9315964599 1,4267359256 1,5707963267 0,6651417696 0
4 -0,300228775 0,5789618180 1,5707963267 0,1826323380 0
8 426,63023628 1,2359853855 1,1780972450 0,4743912295 0,3926990816
16 0,5022432669 1,1670691583 1,3744467859 0,4054750023 0,1963495408
65536 -14,56053048 0,7618453955 1,5699813995 0,0002512395 0,0008149272
131072 0,9439493548 0,7619638592 1,5703169577 0,0003697032 0,0004793689
262144 -3,915975676 0,7618022856 1,5706645003 0,0002081296 0,0001318264
524288 0,7380461597 0,7616519946 1,5707723583 0,0000578386 0,0000239684
1048576 -0,506079367 0,7616663294 1,5707274175 0,0000721734 0,0000689092
В табл. 16 приведена: результаты вычислений tg( £х), полученные по формуле (47) при и различных значениях .
Таблица 16. Определение значения Ьд (£ х)
= I 74 + ж2( 2 сое (агсЬд ---—^______-рсЛ-... )~2 )
д \ \ 2со б! агсЬд^А i ' ' ' 2со б! агсЬд [А i ' ' '/ !
Значения х Значения модуля, Значения аргумента, Погрешность £г = | thx — гп | Погрешность 71 sv = \^-(Po\
0,01 0,0099985553 1,5706525160 0,0000011114 0,000143 8106
0,1 0,0996653677 1,5707933307 0,0000026269 0,0000029960
0,5 0,4620572325 1,5707334096 0,0000599248 0,0000629171
1 0,7616663294 1,5707274175 0,0000721734 0,0000689092
3 0,9950480946 1,5708772203 0,0000066591 0,0000808935
4 0,9992416758 1,5707723583 0,0000876239 0,0000239684
5 0,9998871113 1,5707453938 0,0000220930 0,0000509329
Таким образом, из вычислений посредством й/q-алгоритма установлено, что тангенс мнимого аргумента определяется формулой:
tg ( ix) д = thx е'2 (49)
которая совпадает с канонической формулой для .
Уже отмечалось, что значение tg ( i x) = i t h x, полученное й/^-алгоритмом, совпало с каноническим значением tg ( i x) . Это обстоятельство может быть решающим аргументом в пользу корректности формул (30) и (33) для определения значений s i n ( ix) R/^ и со s ( ix) R/', полученных с помощью й/q-алгоритма.
Заключение
В статье «Об одной формуле суммирование расходящихся непрерывных дробей» [15], в которой рассматривался предел Никипорца
sin(n+l)<p lim ———т— = el(p, п^ со sin (nq>)
автор пишет: «Формула выглядит парадоксальной, поскольку вещественная последовательность не может ни в каком естественном смысле стремиться к комплексной величине». Словом, по Киплингу: «Запад есть Запад, Восток есть Восток, и вместе им не сойтись».
И все же, как нам представляется, нет никакой пропасти между вещественным и комплексными числами, так как и те и другие числа представляются бесконечными вещественными последовательностями.
Проиллюстрируем примером. Корень квадратного уравнения
х2 — рх — q = 0
может быть записан непрерывной дробью [16]:
Р I- <7 <7 <7
x = :r + V p2/4 + q = p+- - - (50)
2 4 F р +Р + — + Р + — у J
В зависимости от коэффициентов p и q корень x может быть как вещественным, так и комплексным. Например,
11 1
x 2 —2 ch ux + 1 = 0, x, = е" = 2 ch u — —:— —— —— . (51)
¿спи — ¿спи----¿спи----
, .111
x 2 —2 со s да x + 1 = 0, x, = е'' = 2 со s да — ::;- -- -- . (52)
¿cos <р — ¿cos <р----2cos <р----
подходящие дроби для (51) и (52), соответственно, будут определяться формулами [17]: Рп = sh(n + 1 )и Рп = sin (п + 1 )<р
Qn sh пи Qn sin {пер)
Таким образом, как вещественной корень , так и комплексный корень , представляются бесконечными вещественными последовательностями. Если с вычислением вещественного корня проблем нет, то комплексный корень надо «восстанавливать» по вещественной последовательности, задаваемой значениями подходящих дробей (54), используя й/^-алгоритм для определения модуля и аргумента комплексного числа, т. е. формулы (4) и (5).
Следует подчеркнуть, что не важно происхождение бесконечных вещественных последовательностей . Эти вещественные последовательности сходятся к вещественным или комплексным значениям, если существуют пределы, которые устанавливаются й/q-алгоритмом [18-21]. Следовательно, вещественные последовательности могут иметь как вещественные, так и комплексные значения, что противоречит классическому критерию сходимости последовательностей, то есть критерию Коши. Это обстоятельство обуславливает необходимость модификации классического критерия сходимости вещественных последовательностей [22].
Из возможности восстановления комплексных чисел по вещественной последовательности следует, что природа как вещественных, так и комплексных чисел едина, - и те и другие числа обусловлены вещественными последовательностями. Так что утверждение, приведенное выше, о существовании некой пропасти между вещественными и комплексными числами следует признать как утверждение, не соответствующее действительности.
Список литературы / References
1. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
2. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
3. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
6. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
7. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями. Нац. акад. наук Украины, Ин-т прикладных проблем механики и математики. Львов, 2003. 598 с.
8. Шмойлов В.И. О критерии сходимости вещественных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 3 (106). Часть 1, 2021. С. 11-24.
9. Шмойлов В.И. Определение значений некоторых бесконечных вещественных последовательностей // Вестник науки и образования №24 (102). Часть 1, 2020. С. 10-24.
10. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. О представлении комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями с положительными элементами. // Вестник науки и образования №19 (97). Часть 1. 2020. С. 9-21.
11. Янпольский А.Р. Гиперболические функции. М.: Физматлит, 1960. 196 с.
12. Янке Е., Эмде Ф., Лёш Ф. Специальные функции. М.: Физматлит, 1968. 344 с.
13. Шмойлов В.И. Представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями. // Вестник науки и образования. № 20 (98). Часть 1, 2020. С. 5-17.
14. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.
15. Козлов В. В. Об одной формуле суммирования расходящихся непре-рывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. № 4, 2017. С. 410-412.
16. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
17. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Формулы Эйлера и пределы Никипорца. // Вестник науки и образования. №18 (54). Часть 1, 2018. С. 5-20.
18. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраический уравнений. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
19. Шмойлов В. И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
20. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону. Изд-во: ЮФУ, 2017. 382 с.
21. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. М.: Физматлит, 2015. 298 с.
22. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450 с.
