CC BY
6
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО АРГУМЕНТА Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2 Email: Shmoylov6116@scientifictext.ru
1Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: приводится формулировка R/q-алгоритма, который используется для определения значений бесконечных вещественных последовательностей. R/q-алгоритм позволяет устанавливать комплексные значения вещественных последовательностей. Предлагаются критерии сходимости последовательностей. Устанавливаются посредством R/q-алгоритма значения тригонометрических функций комплексных аргументов, которые представляются бесконечными осциллирующими вещественными последовательностями. Некоторые полученные формулы отличаются от канонических формул. Ключевые слова: тригонометрические функции комплексного аргумента, критерий сходимости последовательностей, R/q-алгоритм.
DETERMINING THE VALUES OF THE TRIGONOMETRIC FUNCTIONS OF A
COMPLEX ARGUMENT Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2
1Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher; 2Korovin Yakov Sergeevich - Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: the formulation of the R/q-algorithm, which is used to determine the values of infinite real sequences, is given. The R/q-algorithm allows you to set complex values of real sequences. Criteria for the convergence of sequences are proposed.
The values of the trigonometric functions of complex arguments are determined by the R/q-algorithm, and are represented by infinite oscillating real sequences. Some of the formulas obtained differ from the canonical formulas. Keywords: trigonometric functions of a complex argument, convergence criterion of sequences, R/q-algorithm.
УДК 517.524
Введение
В [1] приведены условия сходимости вещественных последовательностей (R/q-алгоритм):
Бесконечная вещественная последовательность {ап}"=1 сходится и имеет своим значением комплексное число z = r0eltp°, если существуют пределы:
r0 = lim ТЛйН (1)
к
|^0|=rclim—, (2)
где ап - значение n-го элемента последовательности {ап}"=1,
кп - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов последовательности {ап}''=1.
Если аргумент комплексного числа <р0, устанавливаемый по формуле (2), равен нулю или п, то бесконечная вещественная последовательность имеет вещественное значение.
В [2 - 4] рассматривались некоторые аспекты в формулировке условий сходимости последовательностей, т.е. критерия Коши, который находится в основании математического анализа [5]. Собственно, дело не в критерии Коши, которой представляет собой лишь более удобную запись традиционного определения сходимости последовательностей: вещественная последовательность {ап} сходится, если, и только если, существует вещественный предел элементов этой последовательности при п ^
Такой подход к определению значений последовательностей был, по сути, известен еще древним грекам, его использовал Архимед в методе «исчерпывания». Но оказалось, что вещественные последовательности могут иметь как вещественные, так и комплексные значения.
Парадокс объясняется просто: это - проявление объективной реальности. В природе имеют место не только поступательные, но и вращательные движения материи. Этот дуализм давно зафиксировали физики, создавая как корпускулярную, так и волновую теории света.
Нагляднее всего показать, что вещественные последовательности могут иметь комплексные значения на примере расходящейся в классическом смысле непрерывной дроби:
11 1
в1? =2cos<p-~- -- -- . (3)
2 cos ф — 2 cos ф-----2 cos ф----
Подходящие этой непрерывной дроби определяются формулой:
Р„ sin(n + 1)ф
TT = —1-—. (4)
Qn sin пф
Известен предел Никипорца [6]:
sin(n + 1)ф
lim—--— = е1<р. (5)
п^ю sin Пф
Предел Никипорца как раз говорит о том, что комплексное число есть не что иное, как бесконечная последовательность вещественных чисел, по которой можно некоторым алгоритмом, например, R/q-алгоритмом, восстановить с любой точностью каноническую запись комплексного числа. В [7] был сформулирован критерий сходимости вещественных последовательностей:
Для сходимости вещественной последовательности {апУ=1 к комплексному числу z = r0elv° необходимо и достаточно, чтобы были фундаментальными вещественные последовательности {гпУ=1 и {фпУ=1, т.е.:
tf £ > 0 3nE: tf п > пг tf т> п(е) ^1тп — гт1< е, tf £ > 0 3nE: tf п > пЕ tf т > п(е) ^ 1фп — фт1 < е. Элементы гп и фп устанавливаются по элементам исходной вещественной последовательности {ап}''=1 R/^-алгоритмом, т.е. по формулам (1) и (2).
Различные приложения R/р-алгоритма рассмотрены в [8-15].
Для определения значений последовательностей с комплексными элементами в [16] предложен алгоритм, обозначаемый как R/^fzJ-алгоритм, который формулируется следующим образом:
Последовательность с комплексными элементами rnelVn сходится и имеет своим значением комплексное число z = r0eltpo, если существуют пределы
r0 = lim JX\rn, (6)
n=1
w = lim kl+N + •••+kl, (7)
n^-<x) n
где rn - значение модуля n-го комплексного элемента последовательности,
- абсолютная величина аргумента комплексного элемента последовательности.
1. Представления комплексных чисел вещественными последовательностями
Комплексное число х + iy можно представить периодической непрерывной дробью [17]:
X2 + у2 X2 + у2 X2 + у2
х + iy = 2х--- - . (8)
2х — 2х ----- 2х ----
„у
Так как х + (у = ^х2 + у2е1агЛ9х, то комплексное число х + 1у может быть представлено также непрерывной дробью, аналогичной непрерывной дроби Никипорца (3):
х + 1у = ^х2+у2е1агс^ =
^х2+У2{2 «я^гадЫх» — 2 С05(а^д(у/Х))-,..-2 С05(аг1д(у/Х)) - .} (9)
Непрерывные дроби (8) и (9) - эквивалентные, что не очевидно, если исходить из сопоставления записей этих непрерывных дробей. Можно записать:
р _
—1=2х = ^х2 + у2 • 2 соз(агс1д(у/х)),
VI
Р2 х2 + у2 ---1
= 2Х--2Г = ^х2+у2 • (2 соз(агс<д(У/х)) — 2соз(агад(у/х))),
Из непрерывных дробей (8) и (9) можно записать непрерывные дроби, представляющие мнимые числа:
х2+у2 х2+у2 х2+у2
{у = х---- --- --- . (10)
2х — 2х ----- 2х
( (х) 2 соБ(агс1д(у/х))-----2соз(агсЬд(у/хУ)'\
В выражениях (10) и (11) х - произвольное вещественное число.
Используем для представления мнимых чисел иные непрерывные дроби, нежели непрерывные дроби (10) и (11), которые применялись в [18 - 20] для определения значений тригонометрических функций мнимого аргумента.
Запишем непрерывную дробь Никипорца:
1
elv = 2 cos ср —
1
1
2 cos (р — 2 cos (р -
■ 2 cos (р — ■
Комплексное число ге1<р может быть представлено бесконечные вещественной последовательностью:
( sm(n + ^ю}ш
;1*=1Г--' (12)
I Sin(nffl) ) ,
re
re 2 = ir = <r •
<>т(п(р) ,п=1
комплексное значение которой устанавливается К/^-алгоритмом. Из (12) следует, что мнимое число представляется последовательностью
sm(n + 1)п/2Л ш ^п(пл/2) }п=1
Очевидно, что непосредственно использовать последовательность (13) нельзя, так как при определении элементов последовательности имеют место операции «деление на ноль». Поэтому последовательность (13) заменялась «близкой» бесконечной вещественной последовательностью:
sin[(n + 1)(п/2 - е)]"!
(13)
ir
sin(n(n/2 — е))
(14)
На рис. 1 показаны элементы ап последовательности (15), представляющей мнимое число ¿1.
Рис. 1. Значения элементов ап последовательности (15) В табл. 1 приведены результаты определения И посредством Л/р-алгоритма.
.п
Таблица 1. Определение значения ¿1 = 1е 2
зт[(п+1) • (-- 10-3)]
i1~1-el
1-
s in(n-q—10-3))
(15)
п=1
да
п=1
Номер элемента n Значения элементов ап Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп Погрешность £г = 11 — Гп1 Погрешность iп i £<Р = 12 — (РП1
1 0,0019999996 0,001999999 6 0 0,9980000004 1,5707963267
2 -499,9980833 0,999997999 9 1,5707963267 0,0000020001 0
4 -249,9975416 0,999996999 9 1,5707963267 0,0000030001 0
8 -124,9962708 0,999994999 9 1,5707963267 0,0000050001 0
16 -62,49363532 0,999990999 6 1,5707963267 0,0000090004 0
131072 0,8363115785 0,999996617 0 1,5697896519 0,0000033830 0,0010066748
262144 -0,179922648 0,999993395 5 1,5698016361 0,0000066045 0,0009946906
524288 2,6741478973 0,999999875 8 1,5697956440 0,0000001242 0,0010006827
1048576 1,1505287422 0,999999732 1 1,5697956440 0,0000002679 0,0010006827
Аналогичная точность в определении И была получена при представлении И вещественной последовательностью (14) при е = 10-4.
2. Определение значений тригонометрических функций мнимого аргумента 2.1. Определение значения sin iy
Используя непрерывную дробь Никипроца (3), можно записать:
sinfay^R/p = sin (yel2) =
sin (y cos 2 2 cos ■к/2 — 2 cos п/2-----2 cos п/2----^
Рп б1П(П + 1)П/2
— = Б1п(у--—-——) .
цп 31п(пп/2)
Синус мнимого аргумента представляется бесконечной вещественной последовательностью
5тХ)я/<р = {это • 5т(пп/2) ) (16)
значение которой устанавливается Е/р-алгоритмом.
Вместо последовательности (16) будем использовать «близкую» последовательность (17), когда аргумент п/2 заменяется на аргумент ~—£. Синус мнимого аргумента находится как значение бесконечной
последовательности (17), устанавливаемое Е/р-алгоритмом.
На рис. 2 показаны элементы ап последовательности (17), представляющей Б1п(11)й/р.
Рис. 2. Значения элементов ап последовательности (17) В табл. 2 приведены результаты определения б1п([1).
Таблица 2. Определение значения sin(il) = single1?)
v /, m-^ f /sínr(n + 1) • (rc/2 - 10-3)1YT sinmR/9 - s¿n(1 • )) - {sin ( ll^.^-lO-S))1)] _ (17)
Номер Значения Значения Значения Погрешность Погрешность
элемента п элементов □□ модуля, □□ аргумента, □□ □□ =lS-r-°ol □□ = 17 - оа1
1 0,0019999983 0,0019999983 0 0,4763497853 1,5707963267
2 0,4660769000 0,0305311811 0 0,4478186025 1,5707963267
4 0,9711175164 0,0436219079 0 0,4347278757 1,5707963267
8 0,6189736959 0,0450786443 0 0,4332711393 1,5707963267
16 0,3318063329 0,0627159269 0,3926990816 0,4156338567 1,1780972450
131072 0,7421761761 0,4322516295 1,5670332801 0,0000807288 0,0037630466
262144 -0,178953471 0,4326455629 1,5692982986 0,0003132045 0,0014980281
524288 0,4506066350 0,4325550828 1,5692024248 0,0002227244 0,0015939019
1048576 0,9129797972 0,4323756961 1,5696937781 0,0000433378 0,0011025486
В табл. 3 приведены результаты определения последовательностей (18) при различных величинах □.
sin (UU)a/qK полученные
как значения
Таблица 3. Определение значения = зт^^г)
эт^ + 1) • (□/2 - 10-3)]
sin(DD)n/? - sin(D • аа(п/2-ю-"))
sin(D •(□/2-10-3))
(18)
со
□=1
Значения Значения Значения Погрешность Погрешность
y модуля, □ аргумента, □ □□ = №- Щ □ □ =1П/2- D0|
0.01 0,0099007584 1,5697686795 0,0000000951 0,0010276472
0.1 0,0906409589 1,5697477071 0,0000063354 0,0010486196
0.5 0,3160902679 1,5696038964 0,0000299885 0,0011924303
1 0,4323756961 1,5696937781 0,0000433378 0,0011025486
2 0,4908980397 1,5696158806 0,0000558591 0,0011804461
3 0,4987951910 1,5697716755 0,0000345671 0,0010246512
4 0,4998905297 1,5701641589 0,0000582610 0,0006321678
5 0,5000279392 1,5705536462 0,0000506392 0,0002426805
6 0,5000406525 1,5706285476 0,0000437246 0,0001677791
8 0,5000882030 1,5706525160 0,0000882593 0,0001438106
10 0,5000657021 1,5706674963 0,0000657031 0,0001288304
Из таблицы 3 следует, что значения синуса мнимого аргумента, полученные с использованием Е/р-алгоритма, определяются установленной в [10] формулой:
БШ^^/р = — ^ = □ — (19)
Каноническая формула для значения синуса мнимого аргумента [21]:
sin □□ = □ Uh □.
2.2. Определение значения □□□ □□
Запишем выражение для определения косинуса мнимого аргумента:
cos(DD)n/q ~ cos(DDD(^-10-3))
a/v
cos I □ (2 cos
í □ (2 cos(—
10-3)
1
2cos(U/2 — 10-3) ■
■2cos(U/2 — 10-3)
Косинус мнимого аргумента находится как значение бесконечной последовательности (21), устанавливаемое К/р-алгоритмом.
На рис. 3 показаны элементы □□ последовательности (21), представляющей cos(□1).
Рис. 3. Значение элементов ап последовательности (21) В табл. 4 приведены результаты определения cos(D1).
.п
Таблица 4. Определение значения cos(il) = cos(1el?)
isin[(n + 1) • (и/2 - 10-3)] 1Щп7(л/2—Т0г3))
cos(H)R/v * cos(1 • е1(-~10~3))
eos
(21)
со
п=1
Номер элемента n Значения элементов □□ Значения модуля, □□ Значения аргумента, □□ Погрешность □□ = 1^ — Погрешность □ □ = = |artg(sh1) — anl
1 0,999998000 0 0,9999980000 0 0,4323303583 0,8657694832
2 -0,884744211 0,9406074858 1,5707963267 0,3729398442 0,7050268435
4 0,238601697 5 0,6778314714 0,7853981633 0,1101638298 0,0803713198
8 0,785411716 5 0,7975440778 0,7853981633 0,2298764362 0,0803713198
16 0,943347527 5 0,7319202824 0,7853981633 0,1642526408 0,0803713198
131072 0,670204837 0 0,5676600890 0,8667950189 0,0000075526 0,0010255357
262144 0,983857538 0 0,5676053895 0,8661358865 0,0000622521 0,0003664033
524288 -0,892722611 0,5675790533 0,8657104466 0,0000885882 0,0000590366
1048576 0,408004766 9 0,5676753388 0,8657523913 0,0000076972 0,0000170918
В табл. 5 приведены результаты определения cos(DD)n/q, полученные как значения вещественных последовательностей (22) при различных □.
Таблица 5. Определение значений cos(^^) = cos (□□ □г)
^ • □□(7-10 Ц cos(u • ^□(+.(□/2-10-°) ) }= (22)
Значени Значения Значения Погрешность Погрешность □□ =
я У модуля, □□ 0 аргумента, D° □□ = № — Ш = |artg(shy) — а01
0.01 0,9901171129 0,0099858554 0,0000177762 0,0000139779
0.1 0,9093742405 0,0997956368 0,0000088640 0,0000381119
0.5 0,6839433857 0,4803277342 0,0000036651 0,0000533449
1 0,5676753388 0,8657523913 0,0000076972 0,0000170918
2 0,5091592238 1,3018553396 0,0000014043 0,0000950035
3 0,5012484698 1,4714770628 0,0000090938 0,0001727217
4 0,5001977165 1,5341935078 0,0000299852 0,0000243635
5 0,5000377607 1,5573020895 0,0000150607 0,0000185471
6 0,5000492159 1,5657629523 0,0000461438 0,0000758802
8 0,5000211124 1,5700323324 0,0000210561 0,0000930691
10 0,4999843108 1,5706974569 0,0000156902 0,0000080699
Из табл. 5 следует, что значения косинуса мнимого аргумента, полученные с использованием К/р-алгоритма, определяются установленной в [10] формулой:
= □□□□□□
Каноническая формула для значения косинуса мнимого аргумента [21]:
cos □□ = □ h □.
2.2. Определение значения tg □□
Запишем выражение для определения тангенса мнимого аргумента:
tgimn/q ~tg(□□□(2-10-3^>)~
( I □ 1 1
*tgl □ (2cos(--10-3)
(23)
а
2^(^/2 - 10-3)-----2^ф/2 - 10-3)-■■■)!' (24)
Тангенс мнимого аргумента находится как значение бесконечной последовательности (25), устанавливаемое К/р-алгоритмом.
На рис. 4 показаны элементы □□ последовательности (25), представляющей tg(□1).
ОвС 1)1
h 1 1. 1 1 1 1 .и!
1 ' I III 1 ' 1 11 1 111 1 in
1
Рис. 4. Значение элементов ап последовательности (25) В табл. 6 приведены результаты определения tg(□ 1).
ж
Таблица 6. Определение значения tg(i1) = tg(1e 2)
*палл -к--™-3), - (зЫ[(п + 1) • (п/2 - 10-3)]
150
(25)
со
П=1
Номер элемента n Значения элементов □□ Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп Погрешность £r = |th1-r„| Погрешность £v = \к/2-(рп1
1 0,0020000023 0,002000002 3 0 0,7595941536 1,5707963267
2 -0,526792825 0,032459003 0 1,5707963267 0,7291351528 0
4 4,0700360724 0,064355093 9 0,7853981633 0,6972390619 0,7853981633
8 0,7880881864 0,056521822 0 0,7853981633 0,7050723339 0,7853981633
16 0,3517328692 0,085686827 5 0,3926990816 0,6759073284 1,1780972450
131072 1,1073870780 0,761462075 4 1,5651637410 0,0001320804 0,0056325857
262144 -0,181889617 0,762229483 6 1,5694301251 0,0006353277 0,0013662016
524288 -0,504755485 0,762105437 5 1,5696398490 0,0005112816 0,0011564777
104857 6 2,2376694372 0,761660171 8 1,5696158806 0,0000660159 0,0011804461
В табл. 7 приведены результаты определения tg(iy)R/р, полученные как значения последовательностей (26) при различных величинах у.
.п
Таблица 7. Определение значений tg(¿y) = \^(уе12)
tg(íy) « ^(уе (2 (У • 5п(п-(п/2-10-з)) )} _л (26)
Значения У Значения модуля, г0 Значения аргумента, Тр, Погрешность £г = |th х — r0l Погрешность £v = 1п/2—Щ1
0.01 0,0099995832 1,5697716755 0,0000000834 0,0010246512
0.1 0,0996739899 1,5697866558 0,0000059953 0,0010096709
0.5 0,4621585273 1,5696937781 0,0000413701 0,0011025486
1 0,7616601718 1,5696158806 0,0000660159 0,0011804461
2 0,9641346296 1,5701641589 0,0001070496 0,0006321678
3 0,9951056631 1,5706285476 0,0000509094 0,0001677791
4 0,9993858693 1,5706525160 0,0000565695 0,0001438106
5 0,9999803585 1,5706674963 0,0000711542 0,0001288304
6 0,9999828749 1,5706704924 0,0000048366 0,0001258343
8 1,0001341756 1,5708412676 0,0001344006 0,0000449408
10 1,0001627877 1,5707543820 0,0001627919 0,0000419447
Из табл. 7 следует, что значения тангенса мнимого аргумента, полученные с использованием Е/р-алгоритма, определяются установленной в [10] формулой, которая совпадает с канонической формулой для
.П
Щ(1у)я/р =Ы уе1~=\ ¡к у. 3. Определение значений тригонометрических функций комплексного аргумента 3.1. Определение значений (д(х + ¿у)
В [22] приведена формула определения значения тангенса комплексного аргумента:
tg(x + iy) =
1
sin2x + i sh 2y cos 2x + ch 2y
= rñe
1<P0
Га =
cos 2x + ch 2y
j(sin2x)2 + (sh2y)2,
sh2y ф0 = arctg —
(27)
(28) (29)
б1П2Х
Формулы для определения погрешностей в определении аргумента комплексных чисел методом Е/р-алгоритма определяются интервалом, в котором находится аргумент ф0:
5Ъ{2у)-щ[ (30)
Если 0 < ср0 то £<р = |arctg Если < то £v = — |arct^
sin(2x)
sh(2y)|\ _|
sin(2x)l/
9ol
Если — < ф0 < 2п, то £ф =
I sh(2y)I -
(31)
(32)
В табл. 8 приведены результаты определения значения tg(cos 1 + i sin 1) = tg(1 • el1), представленного последовательностью (33).
На рис. 5 показаны элементы ап последовательности (33), по которой R/р-алгоритмом устанавливается значение tg(cos 1 + i sin 1) = tg(1 • e11).
[tg(e¿1)}
-2
. i Inl i и ■ i L, 1 . ,1 I..I ll 1J . ,, 1 .1 .1 , 1 .lll n
1 1 I " 1 1 1 II г г M1 1 11 г 1 1 ' Iм
150
Рис. 5. Значение элементов an последовательности (33) Таблица 8. Определение значения tg(cos 1 + i sin 1) = tg(1 • el1)
tg(cos 1 + i sin 1) = tg(1 • el1) =
sin[(n + 1) • 1)1
sin(n • 1)
(33)
с
n=1
Номер элемента, n Значения элементов an Значения модуля, rn Значения аргумента, (рп Погрешность £г = 1го-г„1 Погрешность £<Р = IVo-Vnl
1 1,8739420529 1,873942052 9 0 1,0309290980 1,2434025209
2 0,1564549004 0,541467835 9 0 0,3015451190 1,2434025209
4 3,1906048807 1,052986505 0 0 0,2099735501 1,2434025209
8 0,4424424525 1,123313271 3 0 0,2803003164 1,2434025209
16 0,2003313106 1,028221939 5 0,9817477042 0,1852089846 0,2616548167
131072 0,5526202462 0,842298972 4 1,2415177632 0,0007139825 0,0018847577
262144 1,8931989831 0,841820088 0 1,2435311130 0,0011928669 0,0001285921
524288 -1,016821009 0,843058065 7 1,2435191288 0,0000451108 0,0001166079
104857 6 -0,200891827 0,843039220 3 1,2434921643 0,0000262654 0,0000896434
В табл. 9 приведены результаты определения значения тригонометрического тангенса от комплексных чисел, т.е. tg(cos х + i sin х).
Таблица 9. Определение значений tg(cos х + i sin х) = tg(1 • elx)
sin((n + 1) • x)} sin(n • x)
tg(cosx + i sinx) = tg(1 • elx) = {tg(l-Sm(("(+.l )} (34)
Значения Значения Значения Погрешность ег = Погрешность
х модуля, г0 аргумента, q>0 \Го-т £<р = \фо-¥о\
0.01 1,5570678161 0,0219850605 0,0000119875 0,0000064902
0.1 1,5257703371 0,2165729203 0,0000467460 0,0000253865
0.5 1,1311175108 0,8472757126 0,0000499926 0,0001019976
1 0,8430392203 1,2434921643 0,0000262654 0,0000896434
1.57 0,7617032887 1,5695170107 0,0001089896 0,0009840054
2 0,8057411326 1,8124372496 0,0001293661 0,0000027063
3 1,4963676140 2,8395092924 0,0000348192 0,0001069903
4 0,8961841470 1,9907505319 0,0001771440 0,0006422028
5 0,7807930834 1,4108159124 0,0000500333 0,0000295977
6 1,3555575021 0,5594595712 0,0000076119 0,0000342992
8 0,7663965209 1,6516718685 0,0000405832 0,0002753813
10 1,0666618572 2,2180733021 0,0004118490 0,0006412028
В табл. 10 приведены результаты определения tg(x + iу) при х = 2 и различных величинах у.
Таблица 10. Определение значений tg(2 + ¿у) sm(n + 1) • агсЬд (у/2)\
tg(2 + iy) = \ tg
sin(n • arctg (y/2)) I
(35)
Значения Значения Значения Погрешность ег = Погрешность
y модуля, г0 аргумента, q>0 \Го-Го\ = \<Ро-Щ\
0.01 2,1844657211 3,1151314849 0,0000756268 0,0260611698
0.1 2,1372325201 2,8815319770 0,0000150703 0,0004788390
0.5 1,5721114077 2,1430250896 0,0005542775 0,0000996213
1 1,1917384876 1,7765385039 0,0001278596 0,0000281732
1.5 1,0671111122 1,6462070620 0,0000655450 0,0000341470
3 1,0031021212 1,5746582432 0,0001435672 0,0000542330
4 1,0003868760 1,5712816879 0,0000517662 0,0000506652
5 0,9998722409 1,5709011887 0,0001871116 0,0000681397
6 1,0000587323 1,5708412676 0,0000507000 0,0000798431
8 1,0000749317 1,5710659718 0,0000747846 0,0000809346
10 1,0001178248 1,5708802163 0,0001178221 0,0000838875
n=l
Из табл. 10 следует, что значения тангенса комплексного аргумента, определяемые как значения вещественной последовательности (35), устанавливаемые R/q-алгоритмом, совпадает со значениями tg(x + iy), определяемыми по канонической формуле (27). Отсюда следует, что значения тригонометрических функций могут устанавливаться методом «предельного перехода», когда R/q-алгоритмом устанавливается комплексное значение вещественной последовательности с учетом всё большего числа элементов вещественной последовательности, представляющей комплексное число. Метод «предельного перехода», примененный к определению значений тригонометрических синусов и косинусов от комплексных аргументов, приводит, однако, к иным значениям для этих функций, нежели те, что предписываются каноническими формулами.
Выше уже было показано, что значения cos iy и sin iy, устанавливаемые R/q-алгоритмом, не совпадают с каноническими формулами cos iy = ch у и sin iy = i sh у. Опять-таки, необходимо отметить, что значения тригонометрического тангенса от мнимого аргумента, устанавливаемого R/q-алгоритмом, совпадают со значениями тангенса мнимого аргумента, определяемого по канонической формуле
tg(íy)R/v =í th у.
3.2. Определение значений sin(x + iy)
Известны формулы [22]
sin(x + у) = sin х • cos у + cos х -siny,
sin(x + iy) = sin x • cos ¿y + cos x • sin ¿y, sin iy = i sh y, cos iy = ch y,
sin(x + iy) = sinx • chy + icosx • shy = r0el(p°, (36)
r0 = j(sinx chy)2 + (cosxshy)2, (37)
cosx • shу
ф0 = arctg--—. (38)
sin x • ch у
На рис. 6 показаны значения элементов последовательности (41), по которой Л/р-алгоритмом устанавливается значение sin(cos 1 + i sin 1).
Рис. 6. Значения элементов ап последовательности (41) при х = 1
Вычисления б1п(х + 1у) с использованием Е/р-алгоритма показали, что модуль комплексного числа, являющегося значением тригонометрического синуса комплексного аргумента, определяется не
ой, отличающейся от канонич У(дТпх""ску^^Т"(содх""дЬу)2
канонической формулой (37), а формулой, отличающейся от канонической множителем :
Го = elyl .
Если определяются значения sin(cos х + i sin у), то формула (39) примет вид:
^(sin(cosx) • ch(sinx))2 + (cos(cosx) ■sh(sinx))2
r<> = g|sinx| .
Если в (40) □ = 1, то получим
(39)
(40)
^(э1п(соэ 1) • сЫэт 1))2 + (соэ(соэ 1) • sh(s1п 1))2 г0 =--г^-г.-= 0.463561 ... .
В табл. 11 приведены результаты определения Е/р-алгоритмом значения синуса комплексного аргумента, представленного вещественными последовательностями (41).
Таблица 11. Определение значения sin(1elx)
sin((n + 1) • х)} sin(n-x) ,,п=1
( ( sin((n + 1) • х)\) sin[1 • (cos х + i sin x)] = sin(1 • elx) = {sin (1--Stn(n x)—)} (41)
Значения х Значения Значения Погрешность
модуля, г0 аргумента, q>0 £г = k -ñOl
0.01 0,8331202142 0,0118943432 0,0000102145
0.1 0,7644416086 0,1186827752 0,0000030618
0.5 0,5673350384 0,5746765408 0,0000039497
1 0,4635422458 1,0720098901 0,0000198090
1.57 0,4323938044 1,5697776676 0,0000613897
2 0,4494577688 1,9417320560 0,0000487027
3 0,7363228967 2,9738015206 0,0000041487
4 0,4831838446 2,2024968057 0,0000213835
5 0,4398629201 1,3245534616 0,0000407572
6 0,6555192228 0,3326880754 0,0000147034
8 0,4342084051 1,6950218061 0,0000275526
10 0,5443078943 2,4868315298 0,0001347418
Погрешности вычисления модуля £г в четвертой колонке табл. 11 устанавливаются по формуле:
£г = 1го — То1
где г0 определяется формулой (40).
В табл. 12 приведены результаты определения Е/р-алгоритмом значения э1п(х + 1у) при х = 2 и различных коэффициентах у. Погрешности вычисления модуля ег в четвёртой колонке табл. 12 устанавливались с использованием формул (39). В качестве примера приведём значение погрешности модуля ег, полученное при вычислении э1п(2 + ¿1,5).
г0=—--—=0.516615..., ег = 0.000011.
Таблица 12. Определение значений sin(2 + iy) sin(2 + iy) = sm(j4+y • e-^) = {sin ^ • ^Z^Z, (42)
Значения Значения Значения Погрешность £r =
У модуля, r0 аргумента, q>0 fro-^1
0.01 0,9003008836 0,0109985224 0,0000033232
0.1 0,8277631187 0,1096736342 0,0000197536
0.5 0,6357871772 0,5204179625 0,0000262253
1 0,5466143133 0,9122152313 0,0000203289
1.5 0,5166043502 1,1673024545 0,0000107753
2 0,5063421970 1,3751089143 0,0000050659
3 0,5007782955 1,4803813419 0,0000326931
4 0,5001427085 1,5375880395 0,0000330559
5 0,4999727084 1,5585394607 0,0000421296
6 0,5000207467 1,5663471832 0,0000187386
8 0,5000421786 1,5701761431 0,0000421418
10 0,5000129340 1,5702061037 0,0000129333
3.3. Определение значений cos(x + iy)
Запишем формулы:
cos(x + y) = cosx • cosy — sinx • sin y, cos(x + iy) = cos x • cos iy — sin x • sin iy, sin iy = i sh y, cos iy = ch y,
cos(x + iy) = cosx • chy — i sinx • shy = г0е1<р°, (43)
r0 = j(cosx chy)2 + (sinxshy)2, (44)
—sinx • sh y
y0 = arctg--—. (45)
cosx • chy
На рис. 7 показаны значения элементов последовательности (47) по которой R/р-алгоритмом устанавливается значение cos(cos 1 + i sin 1).
{cost/1)}
-1
1 ,1 J,' 1 ,1 1 || 1 ll 1 || 1 ll 1 1 il 1 1 ,1 i 1 Ihl n
l'| 1 1 1 U| ' ' 1 1 " N|| ч ' 1 1 N 1 1 i|
150
Рис. 7. Значения элементов ап последовательности (47) при х = 1
Вычисления шs(x + 1у) с использованием К/р-алгоритма показали, что модуль комплексного числа, являющегося значением тригонометрического косинуса мнимого аргумента, определяется не канонической
1
формулой (45), а формулой, отличающейся от канонической формулы множителем
_ ^(собхсК у)2 + ^тх Б1г у)2
Г° = № ■ ( ^ В табл. 13 приведены результаты определения значения косинусов комплексных аргументов,
полученных применением К/р-алгоритма к вещественной последовательности (47).
Таблица 13. Определение значения cos(1e'x)
sin(n + 1) • х)^ sin(n • х)
{ ( sm(n + 1) • х)\)
cos[cosx + ¿sinx] =cos(1 • elx) « {cos( 1--;-г—)} (47)
l \ sin(n • x) /)„_,
Значения Значения Значения Погрешность ег =
х модуля, r0 аргумента, q>0 Iro-rol
0.01 0,5350571154 0,0184796748 0,0000024408
0.1 0,5010201011 0,1815759875 0,0000133429
0.5 0,5015703788 0,6620924733 0,0000256612
1 0,5498465963 0,8334069683 0,0000406292
1.57 0,5676669784 0,8656235609 0,0000006305
2 0,5578190694 0,8493969204 0,0000291210
3 0,4920735318 0,2525285911 0,0000142230
4 0,5391568754 0,8084707923 0,0000827282
5 0,5633540171 0,8589393595 0,0000161010
6 0,4835790601 0,4585523975 0,0000135621
8 0,5665584241 0,8641495013 0,0000059494
10 0,5102909517 0,7070393088 0,0000706802
Если определяются значения cos(elx) = cos[cos х + i sin у), то формула (46) примет вид:
J(cos(cosx) -ch(sinx))2 + (sin(cosx) • sh(sinx))2
r0 =-л—¡-. (48)
0 g|sinz|
Если в (48) x = 1, то получим:
£r = 0 — Тп\,
J(cos(cos 1) • ch(sin 1))2 + (sin(cos 1) • sh(sin 1))2 //im
r0 = ^--------T^-TT—------— = 0,549886 ... (49)
0 g|sin1| '
В табл. 14 приведены результаты определения значения косинусов комплексных аргументов, полученных применением R/р-алгоритма к вещественной последовательности (50).
Таблица 14. Определение значения cos(2 + iy)
с
-с+*=-«*>=И^'^-ДГ))} (50)
^ ' п=1
Значения y Значения модуля, Г0 Значения аргумента, Погрешность ег = \г0-г0\
0.01 0,4121377941 3,1175672787 0,0000127940
0.1 0,3873060656 2,9053386398 0,0000714421
0.5 0,4044161082 2,2447022498 0,0000558288
1 0,4586696821 1,9111153574 0,0000373237
1.57 0,4861333266 1,7498855877 0,0000268608
2 0,4940605312 1,9643193239 0,0000577186
3 0,4992296247 1,6123426384 0,0000690008
4 0,4999492901 1,5860822056 0,0000170214
5 0,5000365926 1,5764169282 0,0000592926
6 0,4999913811 1,5728456292 0,0000055468
8 0,5000047124 1,5708712282 0,0000047687
10 0,4999540270 1,5706615042 0,0000459720
Заключение
При определении значений тригонометрических функций мнимого аргумента использовались представления мнимых чисел бесконечными вещественными последовательностями:
sin[(n + 1) • (п/2 - Ю-3)]
iy ~ У •-Ö-.
у У sin(n • (n/2 - 10-3))
В работах [18 - 20] для представления мнимых чисел использовались иные бесконечные последовательности, в частности
iy = 1-х +^х2 + у2 •
'sin(n + 1) • arctg (у/2^^) sin(n^ arctg(y/2)) J)n=^
где х - произвольное вещественное число.
Тем не менее, во всех случаях представления мнимых чисел различными вещественными последовательностями были получены близкие результаты при определении значений тригонометрических функций мнимых аргументов. Это можно расценивать как подтверждение корректности предложенного метода определения тригонометрических функций мнимых аргументов, представляемых вещественными последовательностями, комплексные значения которых устанавливаются R/р-алгоритмом. Замечание важное, так как устанавливаемые R/р-алгоритмом формулы тригонометрических синусов и косинусов мнимых аргументов отличны от канонических формул.
Ещё более весомым доводом в пользу корректности предлагаемого метода определения значений тригонометрических функций комплексных аргументов может рассматриваться следующее обстоятельство. Установлено, что рассматриваемый метод, приложенный к определению значение tg(iy) и tg(x + iy) дает в точности те же результаты, что и канонические формулы для этих же функций. Сложно представить ситуацию, когда метод для одних тригонометрической функции работает, а для других тригонометрических функции работает некорректно.
Список литературы /References
1. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: И1111ММ НАН Украины, 1997. 23 с.
2. Шмойлов В.И. Представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями.
// Вестник науки и образования. № 20 (98). Часть 1, 2020. С. 5-17.
3. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. О представлении комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями с положительными элементами. // Вестник науки и образования. № 19 (97). Часть 1, 2020. С. 9-21.
4. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450с.
5. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Т. 1. М.: Физматгиз, 1963. 344 с.
6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
7. Шмойлов В.И. О критерии сходимости вещественных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 3 (106). Часть 1, 2021. С. 11-24.
8. Шмойлов В.И., Слобода М. З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
11. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
12. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
13. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474. Номер 4, 2017. С. 410-412.
14. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону. Изд-во: ЮФУ, 2017. 382 с.
15. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраический уравнений. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.
16. Шмойлов В. И. Алгоритмы суммирования бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования №14 (68). Часть 1, 2019. С. 5-19.
17. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.
18. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Представление тригонометрических функций мнимого аргумента вещественными последовательностями // Вестник науки и образования. № 12 (115), 2021. С. 5-21.
19. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение значений гиперболических функций мнимого аргумента посредством ^/-алгоритма. // Вестник науки и образования. № 10 (113), 2021. С. 5-20.
20. Шмойлов В.И. Определение значений тригонометрических функций мнимого аргумента посредством Я/алгоритма. // Вестник науки и образования № 7 (110), 2021. С. 11-24.
21. Лаврентьев М.А. Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.
22. Янпольский А.Р. Гиперболические функции. М.: Физматлит, 1960. 196 с.
