ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ РАСХОДЯЩИХСЯ В КЛАССИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ РАСХОДЯЩИХСЯ В КЛАССИЧЕСКОМ СМЫСЛЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ РЯДОВ

12 3

Шмойлов В.И. , Коровин Я.С. , Кириченко Г.А. Email: Shmoylov6101 @scientifictext.ru

1Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем, Южный федеральный университет; 3Кириченко Геннадий Анатольевич - инженер, Инженерно-технологическая академия институт компьютерных технологий и информационной безопасности Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: устанавливаются при помощи R/^-алгоритма значения некоторых расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов, а также расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана. Показывается, что расходящиеся вещественные ряды могут иметь комплексные значения. Рассматриваются ряды так называемых эллиптических чисел и пределы этих рядов при аргументах, стремящихся к нулю. Отмечается, что при суммировании расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов методом построения производящих функций ряд заменяется «конечной» производящей функцией, что приводит к неверным результатам, так как такая замена не дает возможности устанавливать комплексные значения тригонометрических рядов с вещественными элементами.

Ключевые слова: расходящиеся тригонометрические ряды, эллиптические числа, R/^-алгоритм.

DETERMINING THE VALUES OF DIVERGENT TRIGONOMETRIC SERIES IN THE CLASSICAL SENSE Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2, Kirichenko G.A.3

1Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher, 2Korovin Yakov Sergeevich - Leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY; 3Kirichenko Gennadiy Anatolevich - Engineer, ENGINEERING AND TECHNOLOGY ACADEMY INSTITUTE OF COMPUTER TECHNOLOGY AND INFORMATION SECURITY SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: the value of some trigonometric series that diverge in the classical sense, as well as the value of divergent series associated with the Riemann Zeta function, is determined using the R/^-algorithm. It is shown that divergent series of real elements can have complex values. We consider the series of so-called elliptic numbers and the limits of these series for arguments tending to zero. It is noted that when summing trigonometric series that diverge in the classical sense by constructing generating functions, the series is replaced by a

"finite" generating function, which leads to incorrect results, since such a replacement does not make it possible to establish complex values of trigonometric series with real elements. Keywords: divergent trigonometric series, convergence of real sequences, R/q-algorithm.

УДК 517.524

Введение

Расходящиеся тригонометрические ряды обычно определяются значениями функций, «порождающих» эти ряды, т.е. так называемыми производящими функциями [1]. Например,

х sin ср

= sinсрх + sin2<px + —I- sinпсрхп + •••,

1 — 2 cos ср х + х2 cos ср — х

■ = coscp + cos2<px2 +—h cosпсрхп + •••,

1 — 2 cos ср х + х2 xsin ср

-- = sin срх — sin 2 срх + —I- (—1) sin ncpxn + •

1 + 2 cos срх + xz cos ср + X

= cos cp — cos 2<px2 + —I- (—l)n+1 cos ncpxn 1 +

1 + 2 cos cp x + x2

При x = 1 имеем:

sin<p

sinœ + sin2œ +—+ sinn» + ••• = ^-(1)

T T T 2(1- cos cp)

1

cos^ + cos2^ + —l-cosn<p + - • • = ——, (2)

sin<p

sin» — sin 2 » + —+ (— 1 ) n+ 1 sinn» + • • • = —--, (3)

T T K J T 2(1 + cos cp)

1

co s» — co s 2 » + —+ (— 1 ) n+1 co sn» + • • • = —. (4)

При использовании R/q-алгоритма в [2] были получены иные значения расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов. Значениями этих тригонометрических рядов с вещественными элементами оказались комплексные величины.

1. Определение значений тригонометрических рядов

В [3] была предложена формулировка сходимости бесконечных вещественных последовательностей:

Бесконечная вещественная последовательность {an} сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = r0e' 90, если существуют пределы:

r0=limn_ vrmnfej, (5)

I » 0 |=7rlim—, (6)

n-> П

где an- значение n-го элемента последовательности { an} n _ ъ

кп - число элементов an вещественной последовательности, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей n элементов этой последовательности.

Алгоритм, определяемый формулами (5) и (6), в [3] назван R/q-алгоритмом, который можно рассматривать как обобщение r/q-алгоритма [4 - 14], ранее предложенного для определения значений непрерывных дробей.

На рис. 1 - рис. 4 показаны значения частичных сумм рядов (7) - (10) при » = 0, 5.

Рис. 1. Значения частичных сумм an ряда (7)

Рис. 2. Значения частичных сумм ап ряда (8)

Рис. 3. Значения частичных сумм ап ряда (9)

Рис. 4. Значения частичных сумм ап ряда (10)

По значениям частичных сумм ап, используя формулы (5) и (6) ЛЛр-алгоритма, были получены значения расходящихся в классическом тригонометрических рядов (7) - (10). На рис. 5 и рис. 6 показаны значения модуля гп и аргумента (рп комплексного числа, которое является значением тригонометрического ряда (7) при .

Рис. 5. Значения модуля гп Рис. 6. Значения модуля (п

Используя Л/р-алгоритм, описываемый формулами (5) и (6), в [2] были

установлены значения тригонометрических рядов:

' 1 Д

бшср + бш2ср + —I- ът-щр + ••• =-^е 2 =

(7)

4sinj

1 / ср ср\ 1 ср 1 sin<p 1

= -7?7 cos — + i sin — = -cta — + i- = ---- + i-,

4sin|^ 2 4 2 4 4(1 — cos cp) 4

1

coscp + cos2<p + —I-cosncp + ••• =-~me^2 2' =

4 sin y

- P (8)

1 / /71 (û\ /71 <D\\ 1 Ctfl'T 1 SilliB

(cos (- + -) + i Sin (- + -)) = --+¿^-2 = -T+ i-

4sin£^ v2 7.' \2 2>> 4 4 4 4 (1 - cos cp)'

1 Y—

sin<p — sin2<p + sin3<p — —I- (—l)n+1 sin ncp + ■■■ =-m~e 2 =

4 |cos|-1

1 ( (К <P\,. . (K <P\\ 1. 1 = °S _ 2"' Sm _ = 4 2" 4

sine» 1

+ ÎT-

(9)

4(1 + cos cp) 4

I ■£

cosср — cos2(p + cos3— —I- (—l)n+1 cosncp + ■■■ =-ю-6'2 =

4 |cosy i

. . (10)

1 / (p q>\ 1 tg-j i sin<p

-cos — + i sin— = - + i—— = - + i——--

41cos^I 2 2) 4 4 4 4(1 + cos<p)

'2

Следует заметить, что вещественные части комплексных значений рядов (7) - (10) составляют половину от величин, традиционно принимаемых за значения этих рядов. Например, в монографии Г. Харди «Расходящиеся ряды» [15] приведены значения тригонометрических рядов (1) - (4):

1 ср sin ср

sin ф + sin2<» + sin 3 ср + ••• = —ctq— = —--,

2 2 2(1 - cos ср)

1

cos ср + cos 2ср + cos 3ср + ••• = — —,

1 ср sin ср

sin(р - sin2ср + sinЗср----= -tg- = ——--,

2 2 2(1 + cos ср)

1

cos ср — cos 2ср + cos Зср — ■■■ = —.

1. Определение значений тригонометрических рядов с нечётными кратными аргументами

Известны производящие функции для тригонометрических рядов с нечётными кратными аргументами [1]: sin ср + sin срх

= sin<p + sin3 <px + sin5 вх2 + • • •, (11)

2

1 — 2cos 2 срх + х cos ср — cos срх

-- = со s<» + co s3 вх + со s5 вх 2 + ^ • • , (12)

1 - 2cos 2срх + х2

sin ср — sin срх

--=sin(B — sin3 (Bx + sin5 ев х2 — • • •, (13)

l + 2cos2 срх + х2 т т т ■ к J

cos ср + cos срх

-- = со s вв — со s 3 ввх + со s 5 вв х2 — • • • . (14)

1 + 2COS2 срх + х2 V V V У J

Из приведённых формул (11) - (14) при х = 1 имеем значения тригонометрических рядов, которые являются расходящимися в классическом смысле:

sin<p

sin <в + sin 3 <в + —+ sin (2 k — 1 ) <в + • • • =-, (15)

1 — cos 2 ср

со s в + со s 3 в + —+ со s (2 k — 1 ) <р + • • • = 0, (16)

(17)

cos ср

со s <в — со s 3 <в + —+ со s (4k — 3 ) <в — со s (4k — 1 ) <в + • • • =-. (18)

1 — cos 2 ср

Используя Е/ф(+)-алгоритм, будет показано, что ряды (16) и (17) имеют мнимые значения, а вещественные значения рядов, которые определяют формулы (15) и (18), в двое больше значений, устанавливаемых для этих рядов Л/^>(+/)-алгоритмом. 2.1. Определение значений тригонометрического ряда

sin в + sin3 в + sin 5 в + —+ sin (2 k — 1 )<р + • • • . (19)

Частичные суммы ряда: а 1 = s i n<p , а2 = sin<p + sin 3 ср, а3 = sinр + sin 3 в + sin 5 в,

В [16] приведена формула суммы п слагаемых ряда (19):

sin2ncp

аи = sin <» + sin 3 <» + —I- sin (2 k — 1 ) <» =-. (20)

sin<p

Из правой части (20) следует, что при 0 < х < п все частичные суммы ап > 0 , т.е. последовательность {ап}п=х является знакоположительной. Для определения значений таких вещественных последовательностей в [17] был предложен Я/р(+)-алгоритм, который имеет следующую формулировку:

Бесконечная вещественная знакоположительная последовательность {ап}п=ь для которой не выполняется критерий сходимости Коши, сходится к комплексному числу г = г0е1 ^0, если существует пределы

г0 = ишп^ тшноп, (21)

| ( 0 |=пИ т—, (22)

п-> п

где ап - п-й элемент знакоположительной последовательности { ап} п _х ,

кп - число элементов знакоположительной последовательности {ап}п=±, фиксирующих комплексный характер последовательности, из совокупности, содержащей п элементов этой последовательности.

Аналогичная формулировка сходимости имеет место и для «знакоотрицательных» вещественных последовательностей.

Применения Л/р+^-алгоритма при определении комплексных значений знакоположительных вещественных последовательностей подробно рассмотрены в [18].

На рис. 7 показаны значения частичных сумм ряда (19) при ( = 0, 5 .

Рис. 7. Значения частичных сумм ряда (19) при р = 0 , 5

В табл. 1 приведены результаты определения значения тригонометрического ряда (19) при р = 0 , 1 с использованием Е/р(+)-алгоритма.

Таблица 1. Определение значения тригонометрического ряда (19) при х = 0 , 1 sin ОД + sin 0,3 + sin 0,5 + ...+ sin(2n - 1)0,1 + •••

Номер частичных сумм, n Значения частичных сумм, Значения модуля, гп Значения аргумента, <Рп Погрешность 1 ^

4 sin 0.1 Г"

1 0.0998334166 0.0998334166 0 2.4043381162

2 0.3953536233 0.1986693307 0 2.3055022021

4 1.5189968491 0.4785521150 0 2.0256194178

8 5.1545842908 1.3020935525 0 1.2020779803

16 10.008145783 3.3266893833 0 0.8225178504

131072 2.0987361692 2.5040108257 0 0.0001607071

262144 6.6360007403 2.5041904358 0 0.0000189029

524288 8.9587453535 2.5042030803 0 0.0000315474

1048576 3.7848384880 2.5041699441 0 0.0000015887

Таким образом, можно записать:

1

sin ОД + sin 0,3 + sin 0,5 + ... + sin(2n - 1)0,1 + ••• = 2,504171... =-.

4 sin ОД

В табл. 2 приведены значения тригонометрического ряда (19) при различных значениях аргумента р.

Таблица 2. Значения тригонометрического ряда (19) при различных <р sin ср + sin3^> + sin5^> + —I- sin(2fc — 1) ср Л—

Значения аргумента, в Значения модуля, г0 Значения аргумента, Погрешность 1

"r 4|sin<p| 'и

0,01 25.000248837 0 0.0001678343

0,1 2.5041699441 0 0.00000158870

1 0.2970883867 0 0.0000103896

1,57 0.2499683664 0 0.0000317128

2 0.2749349539 0 0.0000025885

3,0 1.7715346859 0 0.0000071630

3,14 156.92379239 0 0.0470060858

4,0 0.3303385206 3,1415926535 0.0000013434

5,0 0.2606540715 3,1415926535 0.0000547316

6,0 0.8947360927 3,1415926535 0.0000112059

6,28 78.477574613 3,1415186351 0.0079241668

Из табл. 2 следует, что

1

sin вв + sin 3 ев + —I- sin (2 к — 1 ) вв . . . =-. (23)

4 sin ср

Для сравнения запишем значения ряда синусов кратных аргументов, установленный ЛЛр-алгоритмом:

л

sin в + s i n 2 в + s i n 3 в + —+ s inn <p . . . =-ве 2. (24)

4 sin y

2.2. Определение значений тригонометрического ряда

со s в + со s 3 в + со s 5 <р + —+ со s (2 к — 1 ) <р + • • • . (25)

Частичные суммы ряда: а х = с о sx, а 2 = с о sx + с о s 3 x, а з = с о s x + с о s 3 x + со s 5 x,

В [16] приведена формула определения значений частичных сумм:

sin 2 пер

со s <в + со s 3 <в + со s 5 <в + —+ со s (2 к — 1 ) <в =-. (26)

2 sin q>

На рис. 8 показаны значения частичных сумм ряда (25) при = 0, 5

Рис. 8. Значения частичных сумм ряда (25) при =0,5

Значение ряда (25) определяется ЛЛр-алгоритмом, т.е. формулами (1) и (2). В табл. 3 приведены результаты определения значения тригонометрического ряда (25) при .

Таблица 3. Определение значения тригонометрического ряда 0.1+ 0.3+ 05 + .. .+ (2п-1) 0.1+ ■ ■ ■

Номер частичных сумм, n Значения частичных сумм, Значения модуля,гп Значения аргумента, <Рп Погрешность 1 £r"4|sin0,l| Гп Погрешность |7Г I £<р = ¡2 - <Рп\

1 0.9950041652 0.9950041652 3.1415926535 1.5091673676 1.5707963267

2 1.9503406544 1.3930531486 3.1415926535 1.1111183843 1.5707963267

4 3.5927654035 2.1072106930 3.1415926535 0.3969608398 1.5707963267

8 5.0062075235 3.1455118903 3.1415926535 0.6413403574 1.5707963267

16 -0.292357736 2.5179045998 1.5707963267 0.0137330669 0

65536 2.2925084540 2.5044985954 1.5708442636 0.0003270625 0.0000479368

131072 4.0764798505 2.5040666015 1.5708682321 0.0001049313 0.0000719053

262144 4.7364787299 2.5042360976 1.5708322794 0.0000645647 0.0000359526

524288 -3.078607157 2.5041617260 1.5707963267 0.0000098069 0

1048576 4.8565972455 2.5041760790 1.5708083110 0.0000045461 0.0000119842

Из табл. 3 следует, что

cos 0.1 + cos 0.3 + cos 0.5 + ... + cos(2n - 1)0.1 + ••• = 2,504171... e^ = ——e'l

4 sin 0,1

В табл. 4 приведены значения тригонометрического ряда (25) при различных значениях аргумента р.

Таблица 4. Значения тригонометрического ряда (25) при различных р cos <р + cos 3<р + cos 5<р Л-----1- cos(2k — 1 )<р Л—

Значения аргумента, Значения модуля, г0 Значения аргумента, Погрешность Ег 1 ^ Погрешность |7Г I £<Р = ¡2 ~ <Ро\

41 sin ф | Ги

0,01 25.000774706 1.5706674963 0.0003580353 0.0001303285

0,1 2.5041760790 1.5708083110 0.0000045461 0.0000119842

1 0,2970973925 1.5707753544 0.0000013838 0.0000194743

1,57 0.2499628519 1.5707932167 0.0000372273 0.0000012841

2 0,2749381038 1.5707573780 0.0000184576 0.0000374507

3,0 1.7715529606 1.5707843425 0.0000111117 0.0000104862

3,14 156.96348239 1.5720247098 0.0073160792 0.0012298822

4,0 0.3303385390 1.5708352755 0.0000013618 0.0000374507

5,0 0.2606962434 1.5709251572 0.0000125597 0.0001303285

6,0 0.8947263819 1.5708143031 0.0000014951 0.0000194743

6,28 78.487756891 1.5707933307 0.0022581117 0.0000014980

Из табл. 4 следует, что

1 ж

со sр + со s3 р + со s5 р + —+ со s (2 к — 1 ) р + ■ • • = —---е 2. (27)

4|sin<p|

2.3. Определение значений тригонометрического ряда

si п — sin 3 + si п 5 — —I- si п (4 к — 3 ) — s i n (4 к — 1 ) + • • • . (28)

Частичные суммы ряда: a í = s i n<p, а 2 = s i n<p — s i n 3 a 3 = s i n<p — s i n 3 + s i n 5

На рис. 9 показаны значения частичных сумм ряда (28) при ц> = 0,5.

,1,1 п. 1.1 1 ! 1 1 II, l.i Н 1,1.1 1 1 1 1111.1,111 i.i 11! 11111.......... 1 »,

1 \ \V\»Y\ \ I ГИ'Н'ГЦ | I 1 1 1 i 11 1 г 1 | I

Рис. 9. Значения частичных сумм ряда (28) при <р = 0 , 5

В табл. 5 приведены результаты определения К/^-алгоритмом значения ряда (28) при = 0,1.

Таблица 5. Определение значения тригонометрического ряда 5(710.1 - БЫО.З + БтОЗ----+ зт(4к - 3)0.1 - зт(4к - 1)0.1 + •••

Номер частичных сумм, n Значения частичных сумм, Значение модуля, гп Значение аргумента, <Рп Погрешность £,. = L eos 0.1 ^"1 Погрешность 17Г I фп

1 0,099833416 0,099833416 0 0,150479409 1,570796326

2 -0,19568679 0,139771530 1,570796326 0,110541294 0

4 -0,36047893 0,211426293 1,570796326 0,038886531 0

8 -0,50229619 0,315603904 1,570796326 0,065291078 0

16 0,029333617 0,252633132 1,374446785 0,002320306 0,196349540

1 0,099833416 0,099833416 0 0,150479409 1,570796326

65536 -0,23001807 0,251288045 1,571611254 0,000975219 0,000814927

131072 -0,40901225 0,251244664 1,571275695 0,000931839 0,000479368

262144 -0,47523300 0,251261704 1,570964105 0,000948878 0,000167779

524288 0,308891422 0,251254290 1,570952121 0,000941465 0,000155794

1048576 -0,48728469 0,251255894 1,570799322 0,000943068 0,000002996

Из табл. 5 можно записать значение ряда (28) при = 0 , 1 ,

зш0.1 - БШО.З + Бт0.5----+ Бт(4/С - 3)0.1 - Бт(4к - 1)0.1 + ••• =

= 0.251255 ... е^7079б... =-1-ег|_

4соб 0.1

В табл. 6 приведены значения тригонометрического ряда (28) при различных значениях аргумента .

Таблица 6. Значения тригонометрического ряда sinp — sin3<p + sin5<p — —I- sin(4k — 3)cp — sin(4k — l)cp + ■■■

Значения Значения Значения Погрешность^ = Погрешность^ =

аргумента, р модуля, г0 аргумента, р0 l|4coscp|

0,01 0.2500160809 1,5707903346 0.0000035804 0,000005992

1 0,4626957354 1,5708113070 0.00041729620 0,000014980

1,57 313.89474853 1,5695679437 0.0467488783 0,001228383

2 0.6007507168 1,5707933307 0.0000012264 0,000002996

3,0 0.2525287504 1,5707843425 0.0000015839 0,000011984

3,14 0.2499886650 1,5707933307 0.0000002783 0,000002996

4,0 0.3824729909 1,5707873386 0.0000015768 0,000008988

5,0 0.8812875629 1,5707993228 0.0000424584 0,000002996

6,0 0.2603709167 1,5708083110 0.0000004350 0,000011984

6,28 0.2500084608 1,5708023189 0.0000071925 0,000005992

Из табл. 6 можно записать значения знакопеременного ряда (28):

sin cp — sin3<p + sin5<p — —I- sin(4k — 3) cp — sin(4k — 1) cp + ■■■ =

l

4 I cos <p\

-e 2.

(29)

2.4. Определение значений тригонометрического ряда

cos cp — cos 3cp + cos 5cp — —I- cos(4k — 3)cp — cos(4k — l)cp + ■■■, Частичные суммы ряда: ai = cosp, a2 = cosp — cos3p, a3 = cos p — cos 3p + cos 5p,

На рис. 10 показаны значения частичных сумм ряда (30) при р = 0,5.

Рис. 10. Значения частичных сумм ряда (30) при р = 0,5

(30)

В табл. 7 приведены результаты определения R/^--алгоритмом значения ряда (30) при х = 0,1.

Таблица 7. Определение значения тригонометрического ряда cos 0.1 - cos 0.3 + cos 0.5----+ cos(4k - 3)0.1 - cos(4k - 1)0.1 + •••

Номер частичных сумм, n Значения частичных сумм, an Значение модуля, Г,г Значение аргумента, <Рп Погрешность 1

"г 4 cos 0,1

1 0,9950041652 0,9950041652 0 0,7437489356

2 0,0396676761 0,1986693307 0 0,0525858988

4 0,1524080507 0,2725457096 0 0,0212904800

8 0,5171835245 0,3779194674 0 0,1266642378

16 1,0041640254 0,3102216696 0 0,0589664400

131072 0,2105759806 0,2513184664 0 0,0000632368

262144 0,6658210542 0,2512356616 0 0,0000195679

524288 0,8988724792 0,2512610916 0 0,0000058620

1048576 0,3797489540 0,2512542810 0 0,0000009485

Из табл. 7 можно записать значение ряда (30) при р = 0 , 1

cos ОД - cos 0,3 + cos 0,5 - cos 0,7 + ••• = 0,251254 ... =-.

4 cos ОД

В табл. 8 приведены значения знакопеременного тригонометрического ряда

cos ср — cos 3ср + cos 5ср — —I- cos(4к — 3)ср — cos(4к — 1) ср + ■■■ при различных аргументах р.

Таблица 8. Значения тригонометрического ряда при различных р cos ср — cos 3ср + cos 5ср — —I- cos(4к — 3) ср — cos(4к — 1) ср + ■■■

Значения Значения Значения Погрешность ег =

аргумента, (р модуля, г0 аргумента, р 0 l|4coscp|

0,1 0,2512542810 0 0,0000009485

0,5 0,2848518248 0 0,0000216570

1 0,4626917418 0 0,0000121876

1,57 314,31821421 0,0000029960 0,3767168021

2 0,6007539801 3,1415926535 0,0000044925

3,0 0,2525285553 3,1415926535 0,0000013917

3,14 0,2499660240 3,1415716811 0,4999663411

4,0 0,3824695804 3,1415926535 0,0000018318

5,0 0,8812562708 0 0,0000737505

6,0 0,2603718624 0 0,0000013808

6,28 0,2500042941 0 0,0000030258

Из табл. 8 можно записать значение знакопеременного ряда (30):

1

cos ср — cos 3(р + cos 5ср — cos 7ср + ••• =-.

4 cos ср

2. Определение R/ty-алгоритмом значений расходящихся рядов Под эллиптическими числами понимаются числа вида [19]: sinp sin2<p sin3<p sin пер

sinp' sinp ' sinp' "' sin<¡p'""

Запишем знакопеременный ряд эллиптических чисел

sin ев sin 2с» sin3(» „ sinncB

—L _ _—II + - ... + (_i)n+i_Jí: + ... _

(31)

sin ср sin ср sin ср Частичные суммы ряда (35): sin ф

at —

a2

sin cp

sin<p sin2<p

sin<p sin<p _ sin<p sin2<p sin3<p аз — 777---1--'

sin<p sin<p

sin (p

sin cp

(32)

На рис. 11 показаны значения частичных сумм знакопеременного ряда эллиптических чисел (32) при (р = 0,5.

Рис. 11. Значения частичных сумм ряда (32) при = 0,5

В [2] было установлено значения ряда

1 ■(•———■)

sin<p — sin2(р + sin3<p — —I- (—l)n+1sinгкр + ■■■ =-7р~е 2 1

4 Icos^-1

Запишем значение знакопеременного ряда

sin у Sin2,p | Si ПЗ у_____I- (-1) n+lsinn,P | _ 1 ci(f-f) (33)

sin y sin y sin y sin y 4 sin <P COSy

Комплексное значение ряда (33) при = 0 , 1:

z = r^fo, r0 =-i-= 2,507305 ..., <р0 =-- 0.05 = 1.520796 ....

и и 4 sin ОД eos 0,05 2

В табл. 9 приведены результаты определения R/ф-алгоритмом значения ряда (32) при .

Таблица 9. Определение значения ряда эллиптических чисел (32) при <р = 0 , 1

sin 0,1 sin 0,2 sin 0,3 ,,sinn0,l

-:---+-:-----+ (_i)"+i-+...

stn 0,1 stn 0,1 Sin 0,1 Sin 0,1

Номер, частичных сумм, n Значения частичных сумм, ап Значения модуля, гп Значение аргумента, <Рп Погрешность £г = ко - гп | Погрешность^ = \<Ро ~4>п\

1 1,000000000 1,000000000 0,000000000 1,507305011 1,520796327

2 -0,990008331 0,994991623 1,570796327 1,512313388 0,050000000

4 -1,930556484 1,393008532 1,570796327 1,114296479 0,050000000

8 -3,516752206 2,106995901 1,570796327 0,400309110 0,050000000

16 -4,748263320 3,144102153 1,570796327 0,636797142 0,050000000

131072 -2,264710758 2,507307036 1,520798140 0,000002025 0,000001813

262144 -3,971455344 2,507363109 1,520798140 0,000058098 0,000001813

524288 -4,404401540 2,507363962 1,520798140 0,000058951 0,000001813

1048576 3,526921743 2,507312357 1,520795144 0,000007346 0,000001183

В [19] отмечалось, что эллиптические числа s in пq> / s in q> при q> — 0 обращаются в числа натурального ряда:

sin пер

lim-- = п . (34)

у->о sin<p

В табл. 10 приведены значения эллиптических чисел при в — 0.

Таблица 10. Определение значения эллиптических чисел при <р — 0

Значение аргумента, Значения sin 10^£> / sin^o Значения sin 100^> / sin^o Значения sin lOOOcp / sin cp Значения sin 10000<p / sin

1 0,646512025621 -0,601762449629 0,982659599036 -0,36319064401

10 ~ 3 9,999835000806 99,833433285733 841,4711250531 -544,021201559

10 ~ 6 9,999999999835 99,999999833350 999,9998333335 9999,833334168

10 ~ 9 10,00000000000 100,00000000000 999,9999999998 9999,999999833

10 ~12 10,00000000000 100,00000000000 1000,000000000 10000,00000000

Установим предел, к которому стремится значение ряда знакопеременных эллиптических чисел при — 0.

/sin cp sin 2c» sin3(» sinne» \

<?>->o Vsin sin sin cp sin cp J

1 íí--£-I Í- (35)

= lim[-юе 2]=Ae2=iA, гдеА->оо.

■p-*0 4 sin cp cosíj

Таким образом, значением ряда знакопеременных эллиптических чисел при p — 0 является бесконечно большое мнимое число. Учитывая, что

sin пер

lim-= п,

<Р->о sinp

можно записать значение расходящегося знакопеременного ряда: /sinср sin 2с» sin3(» , sinne» \

limí --+ —• -+(-1 ) и+1—• •) =

c-o \ si-p si-p si-p si-p ) (36)

= 1- 2 + 3- 4 + 5----+ (-l)n+1n + ••• = L4, где A

00.

Это же «значение», а именно, I , устанавливает для ряда (36) и ^д-алгоритм.

Таким образом, «значение» ряда (36), определено двумя различными способами, -

методом предельного перехода и ^д-алгоритмом.

Как известно, значения расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана,

определяются формулами, в которые включается числа Бернулли £?„:

1 1 11

Впъ.1 =0, Вп = 1, В-, = —, В7 = —, В4 = —, вй = —,...

¿к + ± 'и '1 2 6 4 30 6 42

Числа Бернулли могут быть записаны детерминантной формулой Лапласа или определены с использованием производящей функции. Имеет место формула суммирования [15]:

С-1)п(2п - 1)

1-2 п " х + 3 п" 1-4п" х + - • •=-——--£п. п = 1 ,2..........(37)

п

В частности,

1

1-1 +1-1+ • • • = -. (38)

22к - 1

1-2 " 1 + 3 " 1 — 42,с " ^ • •=-—В2 к. /с = 1 , 2..........(39)

2 к

1-2 2 ,с + 3 2 ,с - 4 2 * + • • • = 0 . (40)

Используя формулу (39), получим известное значение расходящегося ряда

22 - 1 3 1 1 1-2 + 3- 4 + - • •(- 1 ) п+ ^ + ^ • • В2 = -■- = -. (41)

2 2 2 6 4

Это же значение для расходящегося ряда (41) получим, если ряд суммировать через производящую функцию: 1

-- =1-2 х + 3 х 2 - 4х3 + • • • + ( - 1 ) п+ 1 пхп" 1 + • • • (42)

1 + 2х + х2 При = 1 имеем:

1

1 - 2 + 3 - 4 + ••• = -.

4

Значение % получено для расходящегося ряда (41) и преобразованием ряда в так называемую соответствующую непрерывную дробь [20]:

, ч 2х Зх х 2х 1

1-2 х + 3 х 2 - 4х3 + • • - = 1-— — - — = ----- . (43)

1 + 2- 3+1 1 + 2х + х2 Можно обратить внимание, что «свёртка» конечной соответствующей непрерывной дроби (43) совпадает с производящей функцией ряда (42). Таким образом, суммирование расходящегося ряда

1 -2 + 3-4+ • • •+ (- 1) + 1 + • • • ^д-алгоритмом даёт «значением» этого ряда бесконечно большую мнимую величину, в то время, как традиционное суммирования этого же расходящегося ряда устанавливает его значением величину равную

1 - 3 2к - 1 + 5 2к - 1 - 7 2к - 1 + 9 2 к - 1 - • • • = -Е2к_ 1, (45)

1-3 2 к + 52к — 72к + 9 2 к- • -=^Е2 к, (46)

Аналогичным образом можно показать, что Л/р-алгоритм определяет значением знакопеременного ряда нечётных натуральных чисел также бесконечно большую мнимую величину.

(44)

Имеют место формулы [21]:

1 ?

1

2'

где Е2 к _ 1 и Е2к - числа Эйлера.

Так как числа Е2к- 1 = 0 , то

1-3 + 5- 7 + 9----= 0 . (47)

Нулевое значение знакопеременного ряда (47) определяет и производящая функция при х = 1:

1-х

-- =1-3 х + 5 х 2 - 7х 3 + 9 х4----. (48)

1 + 2х + х2

Совпадение результатов суммирования расходящихся рядов, связанных с дзета-функцией Римана, полученных по формулам (41) и (45), включающих числа Бернулли и Эйлера, и посредством производящих эти ряды функций (42) и (48), не случайно. Оно свидетельствует о том, что формулы суммирования (41) и (45) связаны с производящими функциями.

Определение значений рядов через установление функций, порождающих эти ряды, впервые было сформулировано Л. Эйлером [21]: «Сумма некоторого бесконечного ряда есть конечное выражение, из разложения которого возникает этот ряд».

Конечную производящую функцию можно построить по ряду, если так называемая соответствующая непрерывная дробь для этого ряда будет конечной. В литературе давно отмечено [15], что «значения» расходящегося ряда могут быть различными в зависимости от выбранного способа суммирования этих рядов.

В [22] детально рассмотрен метод получения производящих функций преобразованием некоторых классов рядов в конечные так называемые соответствующие непрерывные дроби.

Следует заметить, что при суммировании расходящихся рядов построением производящих функций устанавливается не значение ряда, а значение производящей функции, порождающей этот ряд.

Выше приводилась формула, полученная с использованием Л/р-алгоритма, определяющая значение тригонометрического ряда:

1 £

С О Б ф - СО Б 2 ф + СО Б 3 ф -----+ ( - 1 ) п + 1 СО Б Пф + • • • = -ф-6^. (49)

4|соб|-|

В табл. 11 приведены результаты определения Л/р-алгоритмом значения ряда (49) при ф = 0,1.

Таблица 11. Определение значения тригонометрического ряда 0,1- 0,2+ 0,3-- • • + ( - 1) n+1 п0,1 + - ■ ■

Номер частичных сумм, n Значения частичных сумм, Значения модуля, гп Значения аргумента, <Рп Погрешность £г = \г0 ~ гп\ Погрешность F = сср |g-0.05)- фп,

1 0,9950041652 0,9950041652 0 0,7446913394 0.05

2 0,0149375874 0,1219137470 0 0,1283990788 0.05

4 0,0492130825 0,1632187656 0 0,0870940602 0.05

8 0,1695955074 0,2365540493 0 0,0137587764 0.05

16 0,5396099465 0,3417594297 0 0,0914466039 0.05

131072 0,0669094006 0,2503080878 0,0500221547 0,0000047380 0,0000221547

262144 0,2298893965 0,2503164059 0,0500221547 0,0000035801 0,0000221547

524288 0,6861573855 0,2503160364 0,0500161626 0,0000032106 0,0000161626

1048576 0,8790016293 0,2503133806 0,0500041784 0,0000005548 0,0000041784

Из формулы (49) следует, что

lim (со s ф — со s 2 ф + со s 3 ф — —+ (— 1 ) и+ 1 со sn<p + - • •) = 1 / 4. (50)

<р-> о v '

Полагая, что lim со sn<» = 1, запишем:

ср->0

1—1 + 1—1+1----= 1/4. (51)

Получено значение, отличное от величины 1/2, традиционно принимаемое за значение колеблющегося ряда Лейбница. Рассмотрим числа вида

со scp cos 2 ср cos3 ср со sncp

cos ср' cos ср ' cos ср'"' cos <р ' "" В табл. 12 приведены значения чисел со s пф /cos ф при различных значениях ф.

Таблица 12. Определение значения чисел вида co s п ф / co s ф при ф — О

Значение аргумента, <Р Значения cos 10<р / cos <р Значения cos 100^> / cos ср Значения cos 1000<р / COS (p Значения cos 10000<p /cos (p

1 1,552966774273 1,595993322483 1,040860033694 -1,7622641212

10"3 0,999950500392 0,995004662780 0,540302576019 -0,8390719486

10"6 0,999999999951 0,999999995001 0,999999500001 0,9999500004

10"9 1,000000000000 1,000000000000 1,000000000000 1,0000000000

Из табл. 12 можно записать

COS Пф

lim-- = 1.

<р->о cos ф Определим предел ряда при ф — 0 :

/COS ф С05 2ф COS Зф С05 4ф \ 1 ;<р 1

lim ----- +-----+••• = lim-т-е12 =

у->о Vcos ф cos ф cos ф cos ф ) 4 cos y cos ф

ф-=4 (52)

— /-Г4С /Л I

т 7 1 . LUo IlKLS ,

Учитывая, что lim-= 1, запишем значение расходящегося ряда

<р->О cos <р

1-1 + 1-1 + 1----= 1/4. (53)

Производящая функция геометрической прогрессии

1/(1 + х) = 1-х + х2-х3 + -~ х""1 + - (54)

при х = 1 устанавливает значением для колеблющегося ряда Лейбница величину в два раза большую:

1-1 + 1-1 + 1----= 1/2. (55)

Уже отмечалось, что расходящиеся ряды, в зависимости от алгоритма суммирования, могут иметь различные значения. При суммировании R/д-алгоритмом расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов (15) - (18) также получены результаты, отличные от канонических:

1

sine» + sin3(» + sin5(» + —I- sin(2к — l)cp + ••• =-

. 4sln<P (56)

sinp

2(1 — cos 2 cp)' cos cp + cos3cp + cos5cp + —I- cos(2к — l)cp + ••• = 1 1 sin (p

=-e 2 = i-= i-■-,

4 I sin I 4|sin<p| 2(1 —cos2<p)'

sinp — sin3<p + sin5<p + —I- sin(4/c — 3)cp — sin(4/c — l)cp + ■■■ = 1 m 1 cos cp

— -6 2 = i- = i-

4|cos<p| 4|cos<p| 2(l + cos2<p)'

cos cp — cos3cp + cos5cp — —I- cos(4к — 3)cp — cos(4к — l)cp + ••• =

1 cos cp

4 cos cp 2(l + cos2<p)' Аналогично, используя R/д-алгоритм, были получены тригонометрических рядов (0 < ср < -):

2 1

sin2(» + sin4(» + sinóí» + —I- sin 2ncp + ••• =-el(p,

4 sin cp

cos2(B + cos4(B + cos6(B + —I- cos 2ncp + ••• =-el^+<p)

4 sin cp

1 -ÍE_

sin2(B — sin4(B + sinóí» — —I- (—l)n+1 sm2ncp + ■■■ =-ef)

4 cos cp

1

cos2(B — cos4(B + cos6(B — —I- (—l)n+1 cos2ncp + ■■■ =-el<p.

4 cos cp

Заключение

Показано, что расходящиеся в классическом смысле тригонометрические ряды (7) -(10), то есть ряды, составленные из синусов и косинусов кратных аргументов, являются сходящимися и имеют комплексные значения. Установлено также, что сходящимися являются тригонометрические ряды (56) - (59), то есть ряды, включающие синусы и

косинусы нечетных аргументов, причем, ряды (56) и (59) имеют вещественные значения,

i i

соответственно, - и -, а ряды (57) и (58) имеют мнимые значения,

1 . 1 соответственно, i-и i-.

4sin^) 4COS^J

Вещественные или комплексные значения расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов с вещественными элементами были установлены R/д-алгоритмом, который используется при определении значений бесконечных вещественных последовательностей. При суммировании расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов методом построения производящих функций ряд заменяется «конечной» производящей функцией, что приводит к неверным результатам, так как такая замена не дает возможности устанавливать комплексные значения тригонометрических рядов с вещественными элементами.

(57)

(58)

(59) значения

(60) (61) (62) (63)

Список литературы /References

1. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во: ЮФУ, 2018. 524 с.

2. Шмойлов В.И. Определение значений одного класса бесконечных вещественных последовательностей // Вестник науки и образования. № 18 (96). Часть 1, 2020. С. 5-19.

3. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: Изд-во НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450 с.

4. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

5. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

6. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.

7. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

8. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.

9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.

10. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.

11. Шмойлов В.И., Редин А.А., Никулин Н.А. Непрерывные дроби в вычислительной математике. Ростов-на-Дону: Изд-во: ЮФУ, 2015. 228с.

12. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непре-рывных дробей. // Докл. РАН. Том 474. № 4, 2017. С. 410-412.

13. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.

14. Шмойлов В.И. Определение значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей посредством маркера комплексности. // Вестник науки и образования. № 22 (76), 2019. С. 6-17.

15.Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностранной литературы, 1951. 504 с.

16. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М. Физматгиз, 1951. 936 с.

17. Шмойлов В.И. Представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями. // Вестник науки и образования. № 20 (98). Часть 1, 2020. С. 5.

18. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. О представлении комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями с положительными элементами. // Вестник науки и образования. № 19 (97). Часть. 1, 2020. С. 9-21.

19. Шмойлов В. И., Чирун Л.В. Непрерывные дроби и комплексные числа. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2001. 564 с.

20. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби: Аналитическая теория и приложения. М.: Мир, 1985. 414 с.

21. ЮшкевичА.П. История математики в России. М.: Наука. 1968. 592 с.

22. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Суммирование рядов непрерывными дробями. М.: Физматлит, 2019. 683 с.