CC BY
11
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ НЕКОТОРЫХ БЕСКОНЕЧНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Шмойлов В.И. Email: Shmoylov6102@scientifictext.ru
Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог
Аннотация: сходимость тригонометрических рядов определяется с использованием R/q-алгоритма. Показывается, что тригонометрические ряды с вещественными элементами, расходящиеся в классическом смысле, могут иметь как вещественные, так и комплексные значения. Устанавливаются значения суперпозиций некоторых тригонометрических рядов. Найдены представления комплексной единицы е'9 отношениями тригонометрических рядов. Показывается эквивалентность представлений е'9 тригонометрическими рядами и непрерывными дробями Никипорца. Отмечается, что при определении значений расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов методом построения производящих функций устанавливаются значения не рядов, а значения производящих эти ряды функций, что приводит к неверным заключениям о значениях собственно рядов. Ключевые слова: тригонометрические ряды, сходимость, бесконечные последовательности, комплексные числа, R/q-алгоритм.
DETERMINING THE VALUES OF SOME INFINITE REAL
SEQUENCES Shmoylov V.I.
Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG
Abstract: the convergence of trigonometric series is determined using the R/q-algorithm. It is shown that trigonometric series with real elements that diverge in the classical sense can have both real and complex values. The values of superpositions of some trigonometric series are set. Representations of the complex unit е'9 by relations of trigonometric series are found. The equivalence of representations of е'9 by trigonometric series and Nikiporz continuous fractions is shown.
It is noted that when determining the values of divergent in the classical sense of trigonometric series method for constructing generating functions sets are not rows and values in producing these series of functions, which leads to wrong conclusions about the values of the actual series.
Keywords: trigonometric series, convergence, infinite sequences, complex number, R/q-algorithm.
УДК 517.524
1. Введение
В [1] была предложена формулировка условий сходимости бесконечных вещественных последовательностей (R/q-алгоритм):
Бесконечная вещественная последовательность {ап}п=1 сходится и имеет своим значением комплексное число z = г0е19°, если существуют пределы:
r0 = limn^ УПП=1|Оп1, (1)
| р 0 |=7rlim—, (2)
п-> П
где ап- значение п-го элемента последовательности { ап]п_ъ кп - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов последовательности {ап}п=г.
Комплексные значения могут иметь не только последовательности, содержащие как положительные, так и отрицательные элементы, но и осциллирующие знакоположительные последовательности [2], условия сходимости которых имеют следующую формулировку (^(р(+)-алгоритм):
Бесконечная вещественная знакоположительная последовательность {[п}п=1, для которой не выполняется критерий сходимости Коши, т.е. знакоположительная последовательность, расходящаяся в классическом смысле, сходится к комплексному числу г = г0е1 ^0, если существует пределы:
г0 = НгПп _ УШ^Тп, (3)
| р 0 \=п11т—, (4)
п-> П
где Iп - п-й элемент знакоположительной последовательности {[п}п=1, кп - число элементов знакоположительной последовательности {[п}п= фиксирующих изменения характера последовательности (возрастающая/ убывающая), из совокупности, содержащей п элементов этой последовательности. Можно записать критерий сходимости вещественной последовательности: Для сходимости вещественной последовательности {ап}п=± к комплексному пределу необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия Коши:
I/- е > 0 Эп:1/п>п I/ р 6 N \гп+р — гп\ < е, I/- е > 0 Эп:1/п>п I/ р 6 N -» \<рп+р - рп\ < е. 2. Определение значений 1Ьтп _ ж тп<р и I I тп _ с о жпц»
Установим, используя ^((-алгоритм, т.е. формулы (1) и (2), значения И тп_ бшп р. В классическом смысле И тп_ б 1 ппр не существует [3, 4]. Запишем элементы бесконечной вещественной последовательности:
а-1 = Бтр, а-1 = бш2 р, ..., = Б1ппр, ... (5)
В табл. 1 приведены результаты определения 1 1тп _ б 1 п пр при ( = 1.
Таблица 1. Определение 1 iтп_ s iпп 1
Номер элемента, n Значения элемента, Значения модуля, гп Значения аргумента, (рп Погрешность £г = 10,5 — гп\ Погрешность £v = \ л/ 2-рп \ .
1 0.9092974268 0.9535708819 0 0,4535708819 1,5707963268
2 0.1411200080 0.5043881230 0 0,0043881230 1,5707963268
4 -0.958924274 0.6220313659 1.2566370614 0,1220313659 0,3141592654
8 0.4121184852 0.5759177386 1.0471975511 0,0759177386 0,5235987757
16 -0.961397491 0.5963130358 1.4783965428 0,0963130358 0,0923997840
131072 -0.504405284 0.4998580225 1.5708083109 0,0001419775 -0,0000119841
262144 -0.883932644 0.5000214451 1.5707903347 0,0000214451 0,0000059921
524288 0.9201302731 0.4999822109 1.5707873386 0,0000177891 0,0000089882
1048576 0.9727535843 0.4999868789 1.5707918327 0,0000131211 0,0000044941
2097152 0.9947150113 0.4999914661 1.5707970758 0,0000085339 -0,0000007490
Из табл. 1 следует, что Ii тп_ s inn 1 существует. Этот предел равен мнимому числу:
1 £ 1 lim sinnl = — е 2 = ¿—.
П^ 2 2
В табл. 2 приведены результаты определения при помощи Л/р-алгоритма значений И ти_ бшп <;о при различных аргументах р. Число используемых элементов последовательности 2097152.
Таблица 2. Определение I í mn _ s í nn q при различных ф
Значения аргумента, ф Значения модуля, r0 Значения аргумента, q 0 Погрешность £г = 10,5 — г0| Погрешность £v = 17Г/2 — q>0\
0,001 0.500024088 1.569725236 0.0000240888 0.0010710901
0,01 0,499999621 1,570668245 0,0000003788 0,0001280814
0,1 0,500001639 1,570777601 0,0000016385 0,0000187254
1,0471 0,499963603 1,570800072 0,0000363975 0,0000037450
1,5707 0,499963603 1,570800072 0,0000363975 0,0000037450
2 0.499997671 1.570772358 0.0000023289 0.0000239684
3,1415 0,499927082 1,570797076 0,0000729184 0,0000007490
Из табл. 2 можно заключить, что li mn _ s i n n q существует и равен мнимому числу
i
í- при любом q Ф 7r/n,. . . , n = 1 , 2 ,. . . .
Таким образом, можно записать значение бесконечной вещественной последовательности:
1-Е 1
{sinq, sin2q, ...,sinnq,...} = {sinnq}n=1 = — е'г = í—. (6)
Аналогично были получены значения других расходящихся в классическом смысле вещественных последовательностей, элементы которых с о s n q , s in (2 n — 1 ) q и
1-Е 1
{ со sq , с о s2 q , . . ,,с о sn q,. . .} = { со sn q } n=L=—el2 = ¿ — (7
1-Е 1
{sinq, sin3q, ..., sin(2n — 1)q ,...} = {sin(2n — 1)}n=1 =—el2 = í — (8)
1-Е 1
{o)sq, соs3q, . . . ,ojs (2n — 1) q,. . .} = {ras (2n — 1)q}n=1 = — el2 = í—. (9)
l -E
Если аргумент q = 7/2 для комплексного числа z = ^e'z, являющегося значением бесконечных последовательностей
{со s (2 n — 1 ) q } n_которое устанавливалось Л/ф-алгоритмом, был очевиден, то в отношении модуля предполагалось, что значение rn будет стремиться к нулю при n _ , к чему были некоторые предпосылки. Первоначально г/ф-алгоритм и его обобщение - Л/ф-алгоритм, предлагались для определения значений вещественных последовательностей, элементы которых воспроизводятся дробно-рациональными функциями [5 - 10]. В качестве примера таких последовательностей можно рассматривать последовательность значений подходящих непрерывных дробей. Если в последовательности вещественных подходящих дробей, представляющей комплексную величину, имеется подходящая дробь со сколь угодно малым значением, то найдётся подходящая дробь со сколь угодно большим значением. Подходящие дроби с экстремальными значениями, «компенсируя» друг друга, используются в формуле г/ф-алгоритма
r0 = limn _
устанавливающей модуль комплексного числа, являющегося значениям вещественной последовательности, расходящейся в классическом смысле.
Если обратиться к элементам последовательности , то значение этих
элементов ограничены единицей, в то время как элементы последовательности могут сколь угодно мало отличаться от нуля. Тем не менее, модуль комплексного числа, являющегося значением бесконечных последовательностей
{sin (2 n — 1) р} и {со s (2 n — 1 ) р} , установленный по формуле (1) R/q-алгоритма, оказался равным 'А.
Существование комплексных значений бесконечных вещественных последовательностей (6) - (9) предопределило возможность установить R/q-алгоритмом комплексные значения тригонометрических рядов. 2. Определение значений тригонометрических рядов
В [11, 12] были установлены с использованием R/q-алгоритма значения некоторых расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов. Ниже будет установлены значения тригонометрических рядов с четными кратными аргументами. Эти значения можно получить из найденных значений тригонометрических рядов кратных углов, делая замену р на 2р. Приведем таблицы с результатами вычислений. 2.1. Определение значений тригонометрического ряда
sin 2 р + sin Ар + sin 6 р + —l-sin2 np + ■ ■ ■. (10)
Частичные суммы ряда (10): а х = s i n2 р, а 2 = s i n 2 р + s in 4 р, а 3 = s i n2 р + s in 4 р + s i n 6 р,
На рис. 1 показаны значения частичных сумм ряда (10) при р = 0 . 1 .
Рис. 1. Значения частичных сумм ряда (10) при р = 0. 1
Из рис. 1 можно видеть, что частичные суммы ап с отрицательными значениями малы по модулю. График частичных сумм рядов близок к синусоиде, в то время как для графиков подходящих дробно-рациональных функций характерна пилообразная форма.
В табл. 3 показаны значения ряда (10) при различных аргументах р.
Таблица 3. Значения тригонометрического ряда при различных р sin 2cp + sin4^> + sin6^> Л-----1- sin 2rup 4—
Значения аргумента, р Значения модуля, f\¡ Значения аргумента, Щ Погрешность 1 ^ Погрешность £<р = \<Р ~ Wo\
4sin<p и
0,01 25,002903136 0,0099978396 0,0024864652 0,000002160
0,1 2,5041732975 0,0999993686 0,0000017646 0,000000631
1,0 0,2970827498 0,9999996787 0,0000160266 0,000000321
1,57 0,2500309573 1,5699993758 0,0000308781 0,000000624
2,0 0,2749276211 1,9999993575 0,0000099213 0,000000643
3,0 1,7715204940 3,0000020323 0,0000213548 0,000002032
3,14 157,00801636 3,1400017477 0,0372178827 0,000001748
Таким образом:
1
sin 2с» + sin4(» + sin6(» + —I- sm2np + ••• =-el(p, 0 < p < n.
4 sin p
Для сравнения запишем значение ряда:
1 г£
sinp + sin2p + sin3p + —I- smnp + ••• =-^e 2, 0 < p < л.
4sin^-
2.2. Определение значений тригонометрического ряда
cos2 p + cos4p + cos6p + —l-cos2 np + ■ ■ ■. (11)
Частичные суммы ряда (11):
% = со s2 q,
а2 = со s 2 q + со s 4q,
а3 = со s 2 q + со s 4q + со s 6 q,
На рис. 2 показаны значения частичных сумм ряда (11) при = 0 . 1 .
Рис. 2. Значения частичных сумм ряда (11) при <р = 0 . 1
В табл. 4 показаны значения ряда (11) при различных аргументах q.
Таблица 4. Значения тригонометрического ряда (11) при различных q cos 2q + cos4q + cos6q + —I- cos 2n q Л—
Значения аргумента, Значения модуля, Значения аргумента, Погрешность 1 _ — л ■ г0 4 sin ср Погрешность £<р = \<Ро ~ Wo\
0,01 25,000431166 1,5806683320 0,0000144946 0,000127995
0,1 2,5041773985 1,6707807151 0,0000058656 0,000015612
1,0 0,2970932754 2,5707750331 0,0000055009 0,000021294
1,57 0,2500305127 3,1408016947 0,0000304335 0,000005368
2,0 0,2749371528 2,7124285715 0,0000003897 0,000039591
3,0 1,7715357649 1,7124019282 0,0000060840 0,000012948
3,14 156,94812145 1,5711618456 0,0226770281 0,001227135
Следовательно,
1 71
cos 2ср + cos4ср + cosбср + —I- cos 2n cp + ••• = :-e vz 0 < cp < —,
1 Y—- 1 71
cos2q + cos4q + cos6cp + —I- cos2nq + ••• = -e1^ 2 —<cp<n.
2.3. Определение значений тригонометрического ряда
(12)
Частичные суммы ряда (12): а 1 = s i n2 q , a 2 = s i n 2 q — s in 4 q , a 3 = s i n 2 q — s in 4 q + s i n 6 q ,
На рис. 3 показаны значения частичных сумм ряда (12) при = 0 . 1
Рис. 3. Значения частичных сумм ряда (12) при <р = 0 . 1 В табл. 5 приведено значения ряда (12) при различных аргументах .
Таблица 5. Значения тригонометрического ряда при различных q sin2q — sin4q + sin6q-----1- (—l)n+1 sin2nq + •••
Значения аргумента, q Значения модуля, Го Значения аргумента, Погрешность 1 _ £'"4|созф| г° Погрешность £<р = \<Po~Wi\
0,01 0,2500164330 1,5607954911 0,0000039325 0,0000008357
0,1 0,2512550820 1,4707969581 0,0000001476 0,0000006313
1,0 0,4626913720 0,5707966480 0,0000125574 0,0000003212
1,57 314,32043315 0,0007939548 0,3789357339 0,0000023720
2,0 0,6007544620 2,7123896228 0,0000049716 0,0000006424
3,0 0,2525284589 1,7123899440 0,0000012924 0,0000009636
3,14 0,2499646840 1,5723902287 0,0000356331 0,0000012483
Запишем значения ряда (12): sin2q — sin4q + sin6q — —I- (— 1)п+1 БШ2nq + ••• = —--е'Ь <р)1 0 < q < —,
1 ./Зп \ 7Г
sin2q — sin4q + sin6q — —I- (—1)п+1 вт2пср + ••• = —--е ^ 2 ~<р), — < q < п.
2.4. Определение значений тригонометрического ряда со б 2 q — со б 4q + со б 6 q — —I- (—1 ) И+1 со б 2 ^ + • • • . (13)
Частичные суммы ряда (13): а1 = со б 2 q, а2 = со б 2 q — со б 4q, а3 = со б 2 q — со б 4q + со б 6 q,
На рис. 4 показаны значения частичных сумм ряда (13) при q = 0, 1
Рис. 4. Значения частичных сумм ряда (13) при q = 0 , 1
В табл. 6 показаны значения ряда (13) при различных аргументах q.
Таблица 6. Значения тригонометрического ряда при различных q cos 2q — cos4q + cos6q-----1- (—l)n+1 cos 2nq + •••
Значения аргумента, q Значения модуля, ГО Значения аргумента, Щ Погрешность 1 _ £'"4|созф| г° Погрешность Ер = \<Ро~Фо\
0,01 0,2500137821 0,0100188120 0,0000012816 0,0000188120
0,1 0,2512563578 0,0999963726 0,0000011282 0,0000036274
1,0 0,4626957994 0,9999846984 0,0000081300 0,0000153016
1,57 313,97768469 1,5712307549 0,0361872739 0,0012307549
2,0 0,6007478000 1,1415962920 0,0000016904 0,0000036384
3,0 0,2525268087 0,1416026054 0,0000003578 0,0000099518
3,14 0,2499658891 0,0016088821 0,0000344280 0,0000162285
Запишем комплексные значения ряда (13):
1 7Г
cos2q — cos4q + cos6q — —I- (—l)n+1 cos2nq + ••• = —--е1<р, 0 < q < —,
1 71
cos2q — cos4q + cos6q — —I- (—l)n+1 cos2nq + ••• = —-.e^-<p)( — < q < 7Г.
3. О значениях некоторых тригонометрических рядов
В [11, 12] были получены с использованием Л/^-алгоритма значения некоторых
тригонометрических рядов. Значения рядов приведены для 0 < р <—.
1 |£ 2
Бтр + бш2ср + БтЗр + —I- бшпер + ••• =-^¡е 2,
4sinj
sinp + sin3p + sin5p + —I- sin(2n — l)cp + ■■■ =
sin2cp + sin4p + sin6p + —I- sin 2пер + ■■■ = sinp — sin2p + sin3p — —I- (—l)n+1sinncp + •••=■
4 sin cp'
,i<p
4sinp 1
4 cos
<P
sin cp — sin 3cp + sin 5cp — —I- (—l)n+1 sin(2n — l)cp + ••• =
1
sin2p — sin4p + sin6p — —I- (—l)n+1sin2ncp + ■■■ =
e V2 г),
6 2,
4cosp
4cosp
cos cp + cos 2cp + cos3cp + —I- cos ncp + ■■■ =
4sin^
cos cp + cos 3cp + cos 5cp + —I- cos(2n — l)cp + ••• =
1
cos 2cp + cos 4cp + cos 6cp + —I- cos 2ncp + ••• =
ж
el2,
4sinp
4sinp
cos cp — cos 2cp + cos 3cp — —I- (—l)n+1 cos ncp + •••=■
4 cos
<P
6 2,
cos cp — cos 3cp + cos 5cp — —I- (—l)n+1 cos(2n — 1 )cp + ••• =
1
cos 2cp — cos 4cp + cos 6cp — —I- (—l)n+1 cos 2ncp + ••• =
4cosp'
,i<p
4 cos cp
Для рядов (14) - (16) и (20) - (22) имеют место, соответственно, соотношения: 1 1.1
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21) (22)
(23)
(24)
(25)
4 sin ср 4 sin ср
1 м 1
ei<P =
4sin^
¿2 6 2.
.71
-е12 + ■
4 sin ср 4 sin ср
. .71 .
е1(1+<р) =
4sin^
el(2+f)
(26) (27)
На рис. 5 показано расположение на комплексной плоскости значений рядов (14) -(16) и (20) - (22).
(20) i \\ ^ \ V. У
\ "ч \ \ \ (21) * (16) (14)
(22) Of ¿yfq/2 ^^^ / ^^^ / / > /(W x ь
Рис. 5. Значения рядов (14) - (16) и (20) - (22) на комплексной плоскости
Используя приведенные соотношения (14) - (25), можно получить разнообразные формулы, в частности, формулы, представляющие комплексную единицу: sin 2 ср + sin 4<р + sin бср + —I- sin 2пер +
sin ср + sin 3(р + sin Sep + —I- sin(2n — l)cp + cos 2cp + cos 4cp + cos 6cp + —I- cos 2nq? + ■■■
■ = el<P.
. — f>"P
(28)
(29)
cos cp + cos 3cp + cos Sep + —I- cos(2n — 1 )cp + ••• со s2 q — со s4q + ra s6 q — —+ (— 1 ) n+1 со s2 nq + • • • (30)
= e
кр
cos(p — cos3(p + cos 5(p — —I- (—l)n+1 cos(2n — l)(p + ••■ Можно записать формулы, определяющие мнимую единицу: cos ср + cos 2ср + cos За? +—I- cos пев + ••• м ,—
—:——-—--^г--:---=el2 = í = V—1, (31)
sinq + sin2q + sin3q + —I- sinn(p + ■■■
cos (p + cos 3a? + cos 5(p +—I- cos(2n — l)(p + ■■■ ¡n —
-Z-Z-Z--у-fZ-= e'2 = í = V—1, (32)
sinq + sin3q + sin5q + —I- sin(2n — 1 )(p + ■■■
cos 2(p + cos 4(B + cos 6a? +—I- cos 2na? + ■■■ м -
—:—-—--Z--—--. „ -= e'2 = í = V—1. (33)
sin2q + sin4q + sinbq + —I- sin2nq? + ■■■
Применяя приведённые значения рядов, можно записать ещё несколько «нестандартных» формул:
cos (p — cos 3(p + cos 5(p — —I- (—l)n+1 cos(2n — l)(p +
sinq + sin3q + sin5q + —I- sin(2n — l)(p + ■■■ cos 2(p — cos 4q? + cos 6(p — —I- (—l)n+1 cos 2nq? + ■■ sin2q + sin4q + sin 6(p + —I- sin 2nq? + ■■■ sin q? — sin 3(p + sin 5q? — —I- (—l)n+1 sin(2n — l)q? + cos q? + cos 3q? + cos 5q? + —I- cos(2n — l)(p + ■■■ sin q? — sin 3(p + sin 5q? — —I- (—l)n+1 sin(2n — l)(p + ■ sinq + sin3q + sin5q + —I- sin(2n — l)(p + ■■■
- = t0 q , (34) = tg q , (35)
- = tg q , (36) ■ = í tg q , (37)
sin q +sin 5 q+ sin 9 q + —+ sin (4n — 3 ) q + -• • = —— e'9, (38)
1 i(—_
со s q + со s 5 q + со s 9 q + —+ со s (4n — 3 ) q + • • • = —:—— e'^ 2 9; , (39)
(cos (p — cos3 (p + cos5q + •••) + (sinq — sin3q + sin5q — •••) 1
-6 4.
(40)
2 V2 cos (p
4. Определение значений суперпозиций тригонометрических рядов R/ф-алгоритмом
Л/ф-алгоритм используется для определения значений последовательностей {an}. В общем случае предполагается, что вещественная последовательность может иметь комплексное значение, т.е. z = r0e' 90, модуль r0 и аргумент q 0 которого устанавливается, соответственно, по формулам (1) и (2) Л/ф-алгоритма. 4.1. Определение значений отношения рядов
sin2(р + sin4q + sin 6(р + —I- sin(2п(р) + •••
sinq + sin3q + sin5q + —I- sin(2n — l)(p + ■■■' Значения элементов последовательности: sin 2 (p
ai = —■-
sinq
sin2q + sin4q
a2 = -:-:—^—-
sin (p + sin 3 (p
sin 2(p + sin 4(» + sin 6q?
a 3 = —L-^r--(42)
sin (p + sin 3 (p + sin 5 (p
На рис. 6 показаны значения элементов {arJ при р = 0, 5 .
Рис. 6. Значения элементов {ап} последовательности (42)
В табл. 7 приведены значения отношений рядов (41) при различных аргументах р.
Таблица 7. Значения отношений рядов при различных р sin 2ср + sin 4q> + sin бср + —I- sin 2пер Ч—
sin ср + sin 3q> + sin 5q> + —I- sin(2n — 1 )cp Л—
Значения аргумента, р Значения модуля, Г) Значения аргумента, Щ Погрешность £,. = |1 -г0\ Погрешность Ер = \<Р-Щ\
0,01 1,0000041270 0,0099978396 0,0000041270 0,0000021603
0,1 1,0000022572 0,0999993686 0,0000022572 0,0000006313
1,0 1,0000001394 0,9999996787 0,0000001394 0,0000003212
1,57 0,9999912723 1,5699993758 0,0000087276 0,0000006241
2,0 0,9999994797 1,9999993575 0,0000005202 0,0000006424
3,0 1,0000015510 3,0000020323 0,0000015510 0,0000020323
3,14 1,0000125711 3,1399987516 0,0000125711 0,0000012483
Из табл. 7 следует, что
sin2p + sin4p + sinóp + —l-sin2 ncp + •••
----г-= el(p, n -> oo, O < cp <n.
sinp + sin3p + sin5p + —I- sin(2n — 1 )cp + ■■■
Установить комплексное значение отношения тригонометрических рядов (28) можно
непосредственно, если воспользоваться известными формулами для частичных сумм
[13]:
sin(n + 1 )ср sin ncp
sin 2 р + sin4p + —+ sin 2 пр =-, (43)
sin ср
sin2 ncp
s in р + s i n 3 р + —+ s in (2 n — 1) р =-. (44)
sin cp
Отношение рядов (43) и (44) определится следующим образом:
sin 2ср + sin Аср + sin вер + —I- sin 2ncp sin(n + 1 )ср
sinp + sin3p + sin5p + —I- sin(2n — l)cp sin ncp Запишем элементы последовательности, значение которой может быть установлено R/q-алгоритмом: sin 2 ср
аг = —-,
sinp
sin2p + sin4p sin3p
2 sinp + sin3p sin2p'
sin2p + sin4p + smbcp sin4p
аз = —.-—-:—=— = . „ (46)
sinp + sin3p + sin5p sin3p
,, ron sin(n+l)cp
Известно 181, что выражение - определяет значение n-и подходящей
sin п<р
непрерывной дроби Никипорца, представляющей е 1 р:
1 1 1
е1р = 2со sp--- - , (47)
2 cos ср — 2 cos ср-----2 cos ср----
(49)
Pn sin(n + 1 )ср Qn sin ncp
Предел Никипорца, установленный R/ф-алгоритмом, имеет вид [14]:
SÍn(n + 1)(В
li m —--— = e' 9. (48)
п->оо sin пер
Следовательно, можно записать
г sin2q + sin4q + sinóq + —I-sin 2nep j
п->оэ Isin ср + sin Зср + sin Sep + —I- sin(2n — l)(p) sin (n + 1 )cp
= lim-= e'9.
n->oo sin ncp
Отношение тригонометрических рядов (45), представляющее комплексную единицу , может быть записано непрерывной дробью Никипорца: sin 2 ср
аi =-= 2 cos ср,
sin ср
sin2q + sin4q 1
а2 =-= 2 cos ср--,
sin ср + sin 3ср 2 cos ср
sin2q + sin4q + sm вер 1 1
а 3 = —:-:—--:—=— = 2 с о s q — -- --. (50)
sin ср + sin 3ср + sin Sep 2 cos cp — 2 cos cp
Аналогично, непосредственно можно получить комплексное значение отношения
тригонометрических рядов (29). Запишем формулы частичных сумм рядов [15]:
cos(n + 1 )cp sin ncp
со s2 q + со s4 q + —+ с о s2 n q=-, (51)
sin cp
sin 2 ncp
со s q + со s 3 q + —+ со s (2 n — 1 ) q =-. (52)
T T 2sin cp v '
Отношение рядов (51) и (52) определится следующим образом:
cos 2ср + cos 4ср + cos вер + —I- cos 2ncp cos(п + 1 )ср
cos ср + cos Зср + cos Sep + —I- cos(2n — l)cp cos ncp Элементы последовательности, значение которой может быть установлено R/ф-алгоритмом: cos 2 ср
аi =-,
cos ср
cos 2 ср + cos 4ср cos3ср
2 coscp + cos3cp cos 2 ср'
cos 2ср + cos 4ср + cos вер cos 4ср
а3 =---=— =-—. (54)
cos ср + cos Зср + cos Sep cos3ср
В^1ражение cos ("+1) ч> определяет значение n-й подходящей непрерывной дроби
Никипорца [16], представляющей е' 9:
11 11
е'9 = • • • 2 со sq--- - -. (55)
2 cos ср — 2 cos ср-----2 cos ср — cos ср
В отличие от непрерывной дроби Никипорца (47), подходящие непрерывной дроби (55) отсчитываются «с конца».
Р„ cos (п + 1 )ср
ТГ =-^-—. (56)
Qn cos ncp
cos (n + l)cp
li m---— = е' 9. (57)
n->oo cos ncp
Предел (57) также именуются пределом Никипорца [16]. Таким образом, можно записать:
lim í-
n->со ((
cos 2р + cos 4(р + cos 6ср + —I- cos 2np
-} = lir
')) n->
cos (n + 1 )p
1<P
(58)
i r- , ~ i — lim-= e
n->oo (.cos p + cos 3p + cos Sep +—I- cos(2n — l)p) n->oo cos np
Отношение тригонометрических рядов (53), может быть представлено непрерывной дробью:
cos 2 ср 1
ai =-= 2 cos <»--,
cos ср cos ср
cos 2 р + cos Ар 1 1
а2 =--— = 2 cos ср
cos ср + cos 3ср т 2 cos ср — cos ср' cos2p + cos4p + cos бср 1
а3 =----— = 2 cos ср
cos ср + cos 3ср + cos 5ср
2 cos ср — cos ср
(59)
4.2. Определение значений отношения рядов
cos ср + cos 2 ср + cos 3ср + —I- cos ncp +
sin ср + sin 2ср + sin Зр + —I- sin ncp + ■
Значения элементов последовательности:
cos ср аг =--,
(60)
а7 =
sinp
cos ср + cos 2 ср
2 sinp + sin2p'
cos cp + cos 2cp + cos Зср
ая = -:-:—^-:—^—-
sin cp + sin 2cp + sin Зср
На рис. 7 показаны значения элементов последовательности (61).
(61)
III lili, ll, III, III,. III III,. Ill, III,. n
■■II '1 1 1 1 '1 1 1 "II
150
Рис. 7. Значения элементов последовательности (61) при р = о,i
Из рис. 7 видно, что половина элементов последовательности (61) имеют отрицательные значения. Следовательно, формула (2), определяющая аргумент p0 комплексного числа, которое является значением последовательности (61), показывает, что этот аргумент должен быть равен п ¡2. Это подтверждается результатами вычислений, приведенными в табл. 8.
В табл. 8 приведены значения отношений рядов (60) при различных аргументах p.
Таблица 8. Значения отношений рядов (60) при различных p cos р + cos 2р + cos Зр + —I- cosпр + ■■■
sin^o + sin2^> + sin3^> + —I- sinnp + ■■■
Значения аргумента, р Значения модуля, r¡¡ Значения аргумента, Погрешность £r = |l-íbl Погрешность = |7г/2-^|
0,01 0,9998375473 1,5706704924 0,0001624526 0,0001258343
0,1 0,9999820980 1,5707573780 0,0000179019 0,0000389487
1,0 0,9999960553 1,5707933307 0,0000039446 0,0000029960
1,57 0,9999897215 1,5708053149 0,0000102784 0,0000089881
2,0 1,0000354299 1,5707753544 0,0000354299 0,0000209723
3,0 0,9999974868 1,5707993228 0,0000025131 0,0000002996
3,14 0,9999982218 1,5708023189 0,0000017781 0,0000059921
Из табл. 8 следует, что
cos ср + cos 2ср + cos Зср — —I- cos ncp +
sin ср + sin 2ср + sin Зср + —I- sin ncp + 4.3. Определение значений отношения рядов
cos ср — cos Зср + cos 5ср — —I- (—l)n+1 cos(2п ■
= 1 ■ el2 = i.
1 )cp +
CL-i =■
sin cp + sin Зср + sin Sep + —I- sin(2n
Элементы последовательности: eos cp
1 )cp + -
a7 =
sinq eos cp
eos Зср
2 sinq + sin Зср'
cos cp — cos Зср + cos Sep
CLn = —-:—--:—-—,
sin cp + sin Зср + sin Sep На рис. 8 показаны элементы последовательности (63) при = 0,5.
(63)
Рис. 8. Значения элементов последовательности (63) при q = о,5
В табл. 9 приведены значения отношений рядов (62) при различных аргументах .
Таблица 9. Значения отношений рядов (62) при различных q
cos ср — cos 3ср + cos 5ср-----1- (—l)n+1 cos(2n — 1 )ср Л—
sin ср + sin 3q> + sin Sep + —I- sin(2n — l)q> 4—
Значения Значения Значения Погрешность
аргумента, q модуля, ГО аргумента, Щ £г = \ \tg<p\ ~fo\
0,01 0,0099995426 0 0,0000007906
0,5 0,5462737628 0 0,0000287270
1,0 1,5574509345 0 0,0000432099
1,57 1257,1062169 0,0000898812 1,3406254923
2,0 2,1851339090 0,0000940457 4,3701737723
3,0 0,1425492665 0,0000027234 0,2850958096
3,14 0,0015920790 0,0000005759 0,0031847339
Из данных, приведённых в табл. 9, можно записать:
cos cp — cos 3cp + cos 5cp-----1- (—l)n+1 cos(2n — 1 )cp + •••
sin cp + sin 3q> + sin Sep Л-----1- sin(2n — 1 )cp Л—
4.4. Определение значений ряда
sin ср + sin Sep + sin 9ер + —I- sin(4n — 3)cp + ■ Частичные суммы ряда (64): a-L = sin q, a2 = sinq + sin 5 q, = sinq + sin 5 q + sin9 q,
= tgep, 0<cp<-.
(64)
(65)
На рис. 9 показаны значения частичных сумм ряда (64) при q = 0,1.
Рис. 9. Значения частичных сумм ряда (64) при р = 0 , 1
Определим значение ряда (64).
(Бтр + БтЗр + —I- Бт(2п — 1) р + ■■■) + (Бтр — БтЗр — —I- (—1)" зт(2п — 1) ср + •••) =
= 2(Бтср + Бт5р + —I- бш9ср + —I- Бт(4п — 3)р + •••)■ Учитывая полученные значения рядов (15) и (18), запишем:
ср + Бт5р + ••• + бш(4п - 3)р + ■■■ — + -г--—= 1 ёч>. (66)
2V4sinp "4cosp""7 4sin2p' Можно обратить внимание, что выражение (66) эквивалентно формуле Эйлера: . /1 1
elv = 2siri2р\--1--е 2 ) = со sp + isi пр. (67)
\4 sin р 4 cos р J
Таким образом, формулу Эйлера (67) можно трактовать как сумму двух расходящихся в классическом смысле вещественных тригонометрических рядов, - ряда (15) и ряда (18), умноженную на коэффициент 2 sin 2р, т.е. удвоенный синус двойного угла р: е1(р = 2 sin2p [(sinp + sin3p + —I- sin(2n — 1) p + •••) + + (sinp — sin3p + sin 5p — —I- (— l)n+1 sin(2n — 1) p + ■ ■ ■)] = /1 1
= 2s in 2 р\--1--e 2 ) = со sр + is i пр. (68)
\4 sin p 4 cos p J
В табл. 10 показаны значения ряда (64) при различных аргументах р.
Таблица 10. Значения тригонометрического ряда (64) при различных р sin р + sin 5р + sin 9р + ... + sin(4n — 3)р Ч—
Значения аргумента, Значения модуля, Значения аргумента, Погрешность 1 Погрешность £<р = \<Ро~Щ\
4\sin2p\ -ñi
0,01 12,500751447 0,0099948435 0,0000819252 0,0000051564
0,1 1,2583770504 0,1000083568 0,0000046635 0,0000083568
1,0 0,2749279319 1,0000206511 0,0000096107 0,0000206511
1,57 156,94804402 1,5687739888 0,0227544585 0,0012260111
2,0 0,3303340998 1,1415813118 0,0000030771 0,0000113417
3,0 0,8947212219 0,1415846290 0,0000036653 0,0000080245
3,14 78,462142939 0,0015879097 0,0233558412 0,0000047437
Из табл. 10 следует, что модуль и аргумент комплексного числа
, которое является значением тригонометрического ряда (64), определяется формулами:
1 7Г
sin р + sin 5р + sin 9р + ... + sin(4n — 3)р + ••• =-ev, 0 < р < —
Т Т Т v 4sin2p 2
1 7Г
sin р + sin 5р + sin 9р + ... + sin(4n — 3)р + ■■■ =—;--еп 9, — < р < п.
Г Г y 41sin2р\ 2 Т
Заключение
R/q -алгоритм устанавливает комплексные значения вещественных последовательностей , которые, очевидно, не удовлетворяют критериям
сходимости Коши, то есть являются последовательностями, расходящимися в
классическом смысле. Тем не менее, такие вещественные последовательности, которые не удовлетворяют критерию сходимости Коши, являются сходящимися последовательностями, так как их комплексные значения могут быть установлены Л/ф-алгоритмом с произвольной точностью. Полученные Л/ф-алгоритмом, казалось бы, парадоксальные результаты допускают непосредственную проверку [17 - 20]. В качестве примера такой непосредственной проверки, можно рассматривать решение так называемых расходящихся систем линейных алгебраических уравнений с помощью Л/ф-алгоритма. Полученные этим методом комплексные решения СЛАУ с вещественными матрицами удовлетворяют решаемым системам с высокой точностью [21, 22].
Список литературы /References
1. Шмойлов В.И. Определение значений одного класса бесконечных вещественных последовательностей // Вестник науки и образования №18 (96). Часть 1, 2020. С. 5.
2. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. О представлении комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями с положительными элементами. // Вестник науки и образования. № 19 (97). Часть. 1, 2020. С. 9-21.
3. БудакБ.М. Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды. М.: Наука, 1967. 608 с.
4. ХардиГ. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностранной литературы, 1951. 504 с.
5. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.
6. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.
7. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.
8. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.
9. Козлов В. В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474, Номер 4, 2017. С. 410-412.
10. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону. Изд-во: ЮФУ, 2017. 382 с.
11. Шмойлов В.И. Представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями. // Вестник науки и образования. № 20 (98). Часть 1, 2020. С. 5-17.
12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Кириченко Г.А. Определение значений расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов. // Вестник науки и образования. № 23 (101). Часть 1, 2020. С. 5-20.
13. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М. Физматгиз, 1951. 936 с.
14. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.
15. Эдвардс. Ряды Фурье в современном изложении. М.: «Мир», 1985. 260 с.
16. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и / -алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.
17. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.
18. Шмойлов В. И. Определение значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей посредством маркера комплексности. // Вестник науки и образования. № 22 (76). 2019. С. 6-17.
19. Шмойлов В. И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во: ЮФУ, 2018. 524 с.
20. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: Изд-во НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450с.
21. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Суммирование рядов непрерывными дробями. М.: Физматлит, 2019. 683 с.
22. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраический уравнений -Ростов-на-Дону. Изд-во: ЮФУ, 2017. 383 с.
