ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ МНИМОГО АРГУМЕНТА ПОСРЕДСТВОМ R/J-АЛГОРИТМА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

МНИМОГО АРГУМЕНТА ПОСРЕДСТВОМ R/ф-АЛГОРИТМА

1 2 Шмойлов В.И. , Коровин Я.С.

Email: Shmoylov6113@scientifictext.ru

1Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник; 2Коровин Яков Сергеевич - ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: приводится формулировка R/q-алгоритма, который используется для определения значений бесконечных вещественных последовательностей. R/q-алгоритм позволяет устанавливать комплексные значения бесконечных вещественных последовательностей, которые не являются фундаментальными и, согласно критерию Коши, определяются как расходящиеся. Предлагается критерий сходимости вещественных последовательностей. Комплексные числа определяются как значение бесконечной осциллирующей вещественной последовательности, устанавливаемое R/q-алгоритмом.

Находятся посредством R/q-алгоритма значения ch ix, sh ix и th ix, где мнимые числа ix представляются бесконечными осциллирующими вещественными последовательностями. Вводятся функции, обеспечивающие запись комплексных чисел вещественными последовательностями.

Ключевые слова: гиперболические функции мнимого аргумента, критерий сходимости вещественной последовательности, R/q-алгоритм.

DETERMINATION OF THE VALUES OF THE HYPERBOLIC FUNCTIONS OF THE IMAGINARY ARGUMENT BY MEANS OF

THE R/ф- ALGORITHM Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2

1Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher; 2Korovin Yakov Sergeevich - leading Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: the formulation of the R/q-algorithm, which is used to determine the values of infinite real sequences, is given. R/q-algorithm allows you to set the complex values of infinite real sequences that are not fundamental and, according to the Cauchy criterion, are defined as divergent. A criterion for the convergence of real sequences is proposed. Complex numbers, are defined as the value of an infinite oscillating real sequence, set by the R/q-algorithm.

The values of ch ix, sh ix and th ix are determined by the R/q-algorithm, where the imaginary numbers ix are represented by infinite oscillating real sequences. We introduce functions that provide the recording of complex numbers by real sequences. Keywords: hyperbolic functions imaginary argument, convergence criterion, R/q-algorithm.

УДК 517.524

Введение

В [1] была предложена формулировка условий сходимости бесконечных вещественных последовательностей (Е/ф-алгоритм):

Бесконечная вещественная последовательность { ап}0=1 сходится и имеет своим значением комплексное число z = r0el<p0 , если существуют пределы:

г0 = limnV ПП=i I ап I , (1)

к

I р0 | = п lim —, (2)

п->оо 71

где ап - значение n-го элемента последовательности { ап}0= 1, кп - число элементов ап, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов последовательности {ап}0= 1 •

Если аргумент комплексного числа р0 , устанавливаемый по формуле (2), равен нулю или п, то есть вещественная последовательность оказывается знакоположительной (знакоотрицательной), и при этом последовательность {ап}0= 1 не удовлетворяет условиям сходимости Коши, то есть является расходящейся в классическом смысле, то аргумент устанавливаемого

комплексного числа, определяется по формуле

I р 0 | = п 1 im —, (3)

п->со п

где £п - число элементов знакоположительной (знакоотрицательной) последовательности {а^}^^ фиксирующих скачкообразные изменения характера последовательности (убывающая / возрастающая) из совокупности, содержащей n элементов этой последовательности•

Если знакоположительная последовательность , определяют комплексное число, то аргумент комплексного числа может определятся по формуле

I ро I = п lim —, (4)

п->оо Л

где - число элементов знакоположительной последовательности, значение которых меньше модуля r0, устанавливаемого по формуле (.1)•

Пример определения комплексного значения знакоположительной последовательности рассмотрен в табл. 2.

Для определения значений последовательностей с комплексными элементами в [2] предложен алгоритм, обозначаемый как Е/ф^)-алгоритм, который формулируется следующим образом:

Последовательность с комплексными элементами гпе1 9 п сходится и имеет своим значением комплексное число z = r0el 90, если существуют пределы

Г

= Im n П Г, (5)

Л - I II I I " I I /

Q ШХХ .. J^ X П

n ^ да \1 , V n=1

ф = lim ф + ф + + , (6)

n^-да n

где гп - значение модуля n-го комплексного элемента последовательности,

\фп\ - абсолютная величина аргумента комплексного элемента

последовательности•

1. Некоторые применения R/ф-алгоритма

Критерий Коши обычно приводится в такой формулировке [3]:

Теорема• Для того, чтобы последовательность {о)п} была сходящаяся, необходимо и достаточно, чтобы для любого существовало некое такое,

что неравенство выполнялось при всех и любом

натуральном числе p•

Теорема Коши была опубликована в 1821 г. [4]. Теорема является одной из важнейших теорем анализа. Иногда эту теорему называют принципом сходимости [5].

Оказалось, однако, что бесконечная вещественная последовательность {ап} может быть сходящейся и при этом не удовлетворять критерию Коши. В этом случае вещественная последовательность имеет комплексный предел, который устанавливается приведённым выше ЛЛр-алгоритмом.

Это обстоятельство влечет важные последствия, а именно, необходимость ревизии критерия сходимости вещественных последовательностей. Приведем критерий сходимости вещественных последовательностей в такой формулировке [6]:

Для сходимости вещественной последовательности {ап}™= х к комплексному числу г = г0е1 у 0 необходимо и достаточно, чтобы были фундаментальными последовательности {гп}х и { (рп}х , т.е.

п+р

<£. \<Рп - <Рп+р\ <

выполнились при всех п > N (е) и любом натуральном числе р.

Элементы гп и рп устанавливаются по элементам исходной вещественной последовательности {ап}0= 1 R/<p и К/ф(+)-алгоршмами, т.е. по формулами, соответственна, (1) - (3).

R/р-алгоритм позволяет необычным образом определить комплексное число:

Комплексное число а + i b = r0el 9 0 - это бесконечная вещественная последовательность { сп}, для которой имеют место пределы:

r0 = lilTln —о VХ\П=1 I Сп \, (7)

к

\ р 0 \=пМт—, (8)

п->со TL

где сп - значение n-го элемента бесконечной вещественной последовательности

{сn},

кп - число элементов сп, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей п элементов последовательности { сп}.

Можно заключить, что сходящиеся знакопеременная последовательность, то есть последовательность, для которой существуют пределы (7) и (8), имеет своим назначением единственное комплексное число. Напротив, любое комплексное число может быть представлено различными знакопеременными последовательностями.

Используя приведенный R/р-алгоритм определения значений вещественных последовательностей, можно сформулировать условия сходимости непрерывных дробей, отличные от традиционных [7].

Непрерывная дробь с вещественными элементами

Da Л--- -

Ь1 + Ь1 + - + Ь1 + -

сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число ,

если существуют пределы:

r0 = ИШп- о упп=11 Рп^п I , (9)

I р 0 I=nlim—, (10)

п->оэ 71

где Рп /Qrl - значение n-й подходящей дроби,

- число подходящих дробей, имеющих отрицательные значения, из совокупности, содержащей подходящих дробей.

Если аргумент р0, устанавливаемый по формуле (10), равен нулю или п, то значения непрерывной дроби вещественное.

Приведенные условия сходимости непрерывных дробей можно распространить на непрерывные дроби с произвольным графом, в частности, на ветвящиеся непрерывные дроби [8].

Алгоритм, описываемый формулами (9) и (10), назван г/^-алгоритмом [7], который широко используется в вычислительной практике [9 - 16].

Также можно сформулировать условия сходимости рядов, которые отличаются от традиционных определений [1]:

Ряд вещественных чисел

1

сп=с1+ с2 + ••• + сп + ••• (11)

п= 1

сходится и имеет в общем случае комплексное значение z = r0eltp°, если существуют пределы

r0 = Ншп^ю Vn^iKI, (12)

к

|<0|=rclim—, (13)

п->со TL

где sn- n-я частичная сумма ряда (11),

кп - число частичных сумм sn ряда (11), имеющих отрицательные значения, из совокупности, содержащей n частичных сумм.

Если аргумент <0, устанавливаемый по формуле (13), равен нулю или п, то значения ряда (11) вещественное.

Алгоритм нахождения значений рядов, определяемый формулами (12) и (13), обозначается как Е/ф^)-ал;горшм [2].

Для определения значений рядов через значения производящих эти ряды функций в [17] предложен каскадный R/q-алгоритм:

Степенной ряд

с0 + с1х + с1х2... + спхп + ••• (14)

сходится к значению соответствующей или суммирующей непрерывной дроби

(х)гХ 0)2Х С03х С02п-1Х ш2пх

+--- - - --(15)

0 1-1 + 1 -•••+ 1-1 +•••, ' у

свёртка которой является производящей функцией, порождающей этот ряд.

Коэффициенты суммирующей непрерывной дроби (15) и степенного ряда (14) связаны соотношениями Хейлерманна-Стилтьеса [18].

Числовой ряд

со + с1 + с1 ...+ сп + • (16)

определяется значением непрерывной дроби (15) при х = 1, если ряд (16) рассматривать как степенной ряд (14) при х = 1.

Значение непрерывной дроби (15) устанавливается г/^-алгоритмом, то есть формулами (9) и (10).

2. Представления комплексных чисел вещественными последовательностями

R/р-алгоритм позволил произвести «расщепление» комплексного числа. Термин «расщепление» взят из физического арсенала, но точен по существу. Вместо условных записей «г» или V—1 рассматриваются бесконечные последовательности вещественных чисел [19]. Тем самым, демонстрируется, что между вещественными и комплексными числами никакой пропасти нет, ибо как вещественные, так и комплексные числа, представляются вещественными последовательностями. Для восстановления по вещественной последовательности комплексного числа в канонической записи необходим некоторый алгоритм, например, R/р-алгоритм, определённый формулами (1) и (2).

Запишем непрерывную дробь Никипорца [11]: 11 1

e"? = 2 rasffl--- - . (17)

2 cos ср — 2 cos ср-----2 cos ср----

Подходящие непрерывной дроби (17) имеют вид:

P„ sin (п + 1)ф

— =---—. (18)

Qn sin пер

sin (п + 1)(0

lim---— = е19 . (19)

п->оо sin пер

Предел (19) известен как предел Никипорца [11]. Предел Никипорца может быть установлен по значениям подходящих дробей (18) с использованием формул (9) и (10) г/(-алгоритма.

Запишем комплексное число b + ix бесконечной периодической непрерывной дробью с вещественными элементами. Представим комплексное число b + ix в показательной форме

b + ix = V¿2 + x2eiarct3í

Используя непрерывную дробь Никипорца (17), запишем

Х\ 1

b + ix = Vb2 + х2

2 eos

^ ^ 2 eos [arctg^j "' 2 eos {arctg^j

(20)

Применяя формулу (18), определяющую значение подходящей дроби Никипорца (17), можно записать значение элемента ап последовательности, представляющей комплексное число в следующем виде:

г——- зт((п + 1) ■ агад(х/ь))

ап = V® + х---Т~ГГ^—■

51п(п ■ агс1д(х/Ь))

Следовательно, комплексное число Ъ + 1х может быть представлено бесконечной вещественной последовательностью

Ъ + 1х = { + ^ ' агс19^х/ЪУ)Т

1Х 1 Х 5 т(п-агад(х/Ъ)) )п=1'

значение которой устанавливается Л/р-алгоритмом.

Приведем ещё одно представление комплексного числа периодической

непрерывной дробью с вещественными элементами. Корень квадратного уравнения

х2 — 2Ъх + (Ь2 + х2) = 0

может быть записан непрерывной дробью [19]:

Ъ 2 + х2 Ъ 2+х2 Ъ2 + х2 (21

Ъ + 'х = 2Ъ--)

3. Определение значений вещественных последовательностей

Представим непрерывной дробью комплексное число Ъ + ~1:

b+-i = 2b--i- -i- -i-

2 2b - 2b ----- 2b

Полагая Ь = 1, запишем непрерывную дробь, представляющую мнимое число -¿:

1 , 7Г2 7Г2 7Г2

= "4~ Т" Т" (22)

21 2-2 ----- 2 -•••'

Подходящие периодической непрерывной дроби (22) можно определять при помощи рекуррентной формулы:

4

а„ = 1--, а, = 1.

1 + а.

71 — 1

Мнимое число — i представляется бесконечной вещественной последовательностью

7Г

-1 = \ап= 1- 4 V , ах =1, (23)

2 ) 1 + а,,.! I

п=1

значение которой устанавливается К/^--алгоритмом.

В табл. 1 приведены результаты определения мнимого числа представленного непрерывной дробью (22) с вещественными элементами.

Таблица 1. Определение мнимого числа £ ^

7Г2 7Г2 7Г2

тг 7Г ,-г * + "4" 1 + "4" 1+"4"

— ( = —е 2 = 1 —- 4 4 4

2 2 2 - 2 ----- 2 -•••

Номер, Значения Значения Значения Погрешность Погрешность

n элементов ап модуля, гп аргумента, (рп = 1 f — ^г 1 £<р = \^~<Рп\

1 1 1 0 0,5707963268 1,5707963267

2 -0,733700550 0,8565632201 1,5707963267 0,7142331067 0

4 1,3146266570 1,8452814620 1,5707963267 0,2744851352 0

8 -0,281128428 1,4182202716 1,9634954084 0,1525760552 0,3926990816

16 4,2478235265 1,3309891009 1,7671458676 0,2398072259 0,1963495408

65536 -2,120053456 1,5705105675 1,5707963267 0,0002857593 0

131072 -0,478107179 1,5708036837 1,5707723583 0,0000073569 0,0000239684

262144 2,3413313149 1,5707457646 1,5707963267 0,0000505622 0

524288 0,6437429864 1,5707677963 1,5707903346 0,0000285305 0,0000059921

1048576 -1,594577425 1,5707815851 1,5707933307 0,0000147417 0,0000029960

На рис. 1 показаны значения элементов последовательности (23), представляющей

п . п I-

мнимое число -I = —е 2.

-5 111 11 11 111 111 11

Рис. 1. Значение элементов ап последовательности (23)

'— 7Г

Определим значение 1е'^, записывая i — вещественной последовательностью (23):

е!

.— a'n=1_2±J^ (24)

1 ■ i = l ■ el2 = 1 ■ {е 1+a"-1}n=i. ai = 1.71

В табл. 2 приведены результаты вычисления е12. Значение последовательности (24) устанавливается R/^--алгоритмом.

Таблица 2. Определение значения 1 ■ е'г = 1 ■ £.

"2 1+Е1 1+2Г

1-

4 4

1-г = 1-е'2 = 1-е 2 - 2 -■■- 2

Номер, Значения Значения Значения Погрешность Погрешность

п элементов ап модуля, гп аргумента, ^>п £,. = \1-гп\ = \ ~~<Рп\

1 2,7182818284 2,7182818284 0 1,7182818284 1,5707963267

2 0,4801289572 1,1424210344 1,5707963267 0,1424210344 0

4 3,7233606352 0,0735389868 1,5707963267 0,9264610131 0

8 0,7549313743 0,1455094229 1,9634954084 0,8544905770 0,3926990816

16 69,952995706 0,4031030434 1,7671458676 0,5968969565 0,1963495408

131072 0,6199557465 1,0011568140 1,5707723583 0,0011568140 0,0000239684

262144 10,395066462 1,0003869511 1,5707963267 0,0003869511 0

524288 1,9035926830 1,0001114787 1,5707903346 0,0001114787 0,0000059921

1048576 0,2029942906 1,0000709060 1,5707933307 0,0000709060 0,0000029960

Комплексное значение знакоположительной последовательности (24) устанавливалось по формулам (1) - (4) К/д-алгоритма. В формуле (4) величина £„ определялась числом элементов ап знакоположительной последовательности (25), имеющих значения, меньшее единицы, а не отрицательные значения, как в К/д-алгоритме. При отрицательных показателях значения функции (24) положительны и меньше единицы.

На рис. 2 показаны значения элементов последовательности (24), представляющей мнимую единицу

Рис. 2. Значения элементов ап последовательности (24)

Полагая в формуле (21) х = 1 и Ь = 2, запишем: 5 5 5

1-1 = 2-- - - . (25)

4-4-----4----

Мнимая единица 1 I представляется бесконечной вещественной

последовательностью:

Г 5 Г 1-1 = ] ап = 2--[ , ах = 2, (26)

I 2 + ап_1)п=1

значение которой устанавливается К/д-алгоритмом.

В табл. 3 приведены результаты вычисления мнимой единицы, представленной непрерывной дробью с вещественными элементами.

Таблица 3. Определение значения 1 ■ е'г = 1 ■ £ м 5 5 5 1 ■ £ = 1е 2 = 2 — — - -

4-4-----4----

Номер, п Значения элементов ап Значения модуля, гп Значения аргумента, фп Погрешность £г = |1-г„| Погрешность £<р = \^~<Рп\

1 2 2 0 1 1,5707963267

2 0.75 1,2247448713 0 0,2247448713 1,5707963267

4 -0,291666666 0,5310725349 0,7853981633 0,4689274650 0,7853981633

8 1,5684523809 1,1446779145 1,1780972450 0,1446779145 0,3926990816

16 0,4654406117 0,9747846323 1,1780972450 0,0252153676 0,3926990816

65536 7,9225527739 0,9999450466 1,5706525160 0,0000549533 0,0001438106

131072 3,8981654157 0,9999735334 1,5707244214 0,0000264665 0,0000719053

262144 1,8208172427 0,9999620032 1,5707843425 0,0000379967 0,0000119842

524288 0,6358066524 0,9999857266 1,5707783504 0,0000142733 0,0000179763

1048576 -0,468499266 0,9999929803 1,5707903346 0,0000070196 0,0000059921

На рис. 3 показаны значения элементов последовательности (26) представляющей мнимую единицу 1 ■ £.

|| N. ||. 1' и, 1, II, II 1,. к. II. II' „ \Г'\, 1, и. к 1' и, 1, „ II' II. ||. 1,. -

| | Т| '|| 'II '1 '1 ■ц 'И '1 ч '1 ■м 'н '| ■ ■ ■ '|| ■II '1 1 Ч| -Г| Но

Рис. 3. Значения элементов ап последовательности (27)

Следует подчеркнуть, что графики, показанные на рис. 2 и рис. 3, представляющие мнимую единицу, имеют различную структуру. Уже отмечалось, что одно и то же комплексное число может быть представлено множеством вещественных последовательностей.

4. Определение значений гиперболического синуса мнимого аргумента R/ф-алгоритмом

В [20] было рассмотрено определение значений тригонометрических функций мнимого аргумента посредством Л/ф-алгоритма.

Используя непрерывную дробь (20) для представления комплексного числа Ъ + £х, запишем:

5к(1х)к/,„ = [ у/Ь2 + х2\ 2 сое (аг^а—)--;—

Ы 2 со5 (аг,

1 "Ь (27)

! сое [агсЬд^ "' 2 сое (агсЬд^ "

Так как значение гиперболического синуса, определяемого посредством Я/ф-алгоритма, не совпадает со значением , задаваемым канонической формулой , то введем особое обозначение для этой функции: .

Аналогичные обозначения вводятся для гиперболических косинуса и тангенса мнимых аргументов, устанавливаемых Л/ф-алгоритмом, а именно, ей (¿х) ¡¡^ и

Сй( £х).;у.

Гиперболический синус мнимого аргумента может быть представлен бесконечной вещественной последовательностью:

-О».» = К^ + ^ДТЧВ (28)

значение которой устанавливается Л/ф-алгоритмом.

Гиперболический синус мнимого аргумента можно представить также бесконечной вещественной последовательностью.

f _ p -J00

sh(ix)R/(p = sft(Vb2 + x2 ■ - b)l ,

1 4n >n=í

где Pn/Qn определяется по рекуррентной формуле Р 1 Р

77" = 2 eos(arctg(x/b)) - --—-, 77- = 2 cos(arctg(x/b))

Чп Vl/Vn-l

Таким образом, sh(ix)R/p записывается бесконечной вещественной последовательностью

sh(ix)R/íp = \sh Üb2 +х2 ■(■^l=2 cos(arctg(x/b)) - --—) - b]\

v Vl¿n ^11-1/ 4n-\> ''n=í

P1/Q1 = 2 cos(arctg(x/b)), значение которой устанавливается Л/д-алгоритмом.

В табл. 4 приведены результаты определения значения гиперболического синуса мнимого аргумента по вещественной последовательности подходящих непрерывной дроби

( b2+x2 b2 + x2 b2+x2 \

sh{ix)R/p = sh[b —- -----) (29)

при x = 0,5, b = 2.

Эта последовательность, значение которой определяется Л/д-алгоритмом, имеет вид:

sh(i0.5)R/<p = \sh(an = 2-—-И , а1 = 2. (30)

IV ¿ + Ct-n-l' >п=1

Таблица 4. Результаты определения значения sh{i0.5)

( 4.25 4.25 4.25 \ sh(iO.S)R/<p =sh[2--—_ —_____— _...)

Номер, n Значения элементов an Значения модуля, rn Значения аргумента, (pn Погрешность £г = 1го — гп 1 Погрешность £<р = 1^/2 - <Р„\

1 3,6268604078 3,6268604078 0 2,942443021 1,5707963268

2 1,0809919156 1,9800522165 0 1,295634830 1,5707963268

4 0,3417414454 0,9396450362 0 0,255227649 1,5707963268

8 -0,206400557 0,3189871008 0,7853981633 0,365430286 0,7853981635

16 0,5294388045 1,1737830133 1,1780972450 0,489365626 0,3926990818

65536 0,0950532182 0,6844344899 1,571467443 0,000017102 0,0006711165

131072 -1,639189824 0,6842074195 1,571611254 0,000209968 0,0008149272

262144 -0,562412624 0,6841933525 1,570820295 0,000224034 0,0000239684

524288 -0,035104892 0,6843274624 1,570832279 0,000089924 0,0000359526

1048576 17,287034682 0,6844173870 1,570844264 - 0,0006711165

В табл. 5 приведены результаты определения значений гиперболического синуса при различных х. Гиперболический синус мнимого аргумента задаётся бесконечной вещественной последовательностью

{ ( 4 + х2У)°° зк(1х)я/<р = \Бк\ап = 2 ---)\ , а± = 2, (31)

-Чг-1/ jn=1

V v 2 +

значение которой устанавливается Л/д-алгоритмом.

Таблица 5. Результаты определения значений sh í х 4 + х2 4 + х2 4 + х2

sh(ix)R/(p = sh I 2--— _ 4 _____

Значения аргумента, х Значения модуля, г0 Значения аргумента, <Ро Погрешность £,р = |7Г/2-<Р„|

0.01 0,0101092538 1,5706495200 0,0001468068

0.1 0,1114938872 1,5707693622 0,0000269646

0.5 0,6844173870 1,5707903346 0,0000059922

1 2,6125697260 1,5707903346 0,0000059922

1.5 5,7974359300 1,5707903346 0,0000059922

1.99 10,794646704 1,5707903346 0,0000059922

3 29,213831110 1,5707933307 0,0000029961

4 61,742060187 1,5707903346 0,0000059922

5 111,78244181 1,5708023189 0,0000059921

6 181,12768549 1,5708053149 0,0000089881

8 377,45717921 1,5707963267 0,0000000001

10 639,70459516 1,5707993228 0,0000029960

12 948,44235824 1,5707993228 0,0000029960

14 1284,3226081 1,5707873386 0,0000089882

16 1631,8029832 1,5707873386 0,0000089882

Каноническая формула, определяющая значение гиперболического синуса мнимого аргумента, имеет вид [21]:

shix = i sin х.

5. Определение значений гиперболического косинуса мнимого аргумента R/ф-алгоритмом

Запишем выражение, представляющее гиперболический косинус мнимого аргумента:

ch(ix)R/<p = ch (VFT^ (2 eos (arctg __1_ _1_ \ \

2 eos (arctg (x/b))-----2 eos (arctg (x/b))----) )

Гиперболический косинус мнимого аргумента может быть представлен бесконечной вещественной последовательностью

ch (£ х) й/ „ = с h (х ^я/„ = { ch - b)} п С32)

В табл. 6 приведены результаты определения значений гиперболического косинуса мнимого аргумента по вещественной последовательности подходящих непрерывной дроби

( Ьг + хг Ьг+хг Ъг + х2 \ ch (£х) R/„ = ch(b—-----) (33)

при .

Эта последовательность, значение которой определяется Л/ф-алгоритмом, имеет вид:

ОО

ch (íl) й/,р=| ch( an = 2-—-) | , % = 2 . (34)

IV ¿ т an-l'-'rl=i

Таблица 6. Результаты определения значения ch(iV)R/v

( 5 5 5 \

ch(il)R/tp = ch[2--_-_____- J

Номер, n Значения элементов ап Значения модуля, гп Значения аргумента, <Рп Погрешность £г = 1 г0 ~ гп |

1 3,7621956910 3,7621956910 0 1,2501703158

2 1,2946832846 2,2070006513 0 2,8053653555

4 1,0428371123 1,5074404134 0 3,5049255934

8 2,5037912465 5,6143263705 0 0,6019603637

16 1,1102871030 4,0878717803 0 0,9244942265

65536 1379,4025156 5,0197093570 0 0,0000972121

131072 24,666089158 5,0195208263 0 0,0000913186

262144 3,1693989044 5,0196409327 0 0,0000287878

524288 1,2090265567 5,0196344502 0 0,0000223053

1048576 1,1117678817 5,0196121449 0 -

В табл. 7 приведены результаты определения значений гиперболического косинуса мнимого аргумента, представляемого бесконечной вещественной последовательностью

( ( 4 + х2 Yf

ch(ix)R/<p = jcft = 2 — 2 + a Jj , ax = 2,

значение которой определяется Л/ф-алгоритмом.

Таблица 7. Результаты определения значений с h(ix)

( 4 + х2 4 + х2 4 + х2 ch(ix)R/(p = Chi 2--— _ ——_____—---

Значения аргумента, х Значения модуля, г0 Значения аргумента, ф0

0.01 1,0349746466 0

0.1 1,2139542376 0

0.5 2,4281675588 0

1 5,0196121449 0

1.5 9,2728349354 0

1,99 19,770356812 0

3 37,596206775 0

4 74,809438391 0

5 130,48968379 0

6 206,17269073 0

8 416,14070967 0

10 691,76106549 0

12 1012,4104074 0

14 1358,2760968 0

16 1713,7581490 0

Каноническая формула, определяющая значение гиперболического косинуса мнимого аргумента, имеет вид [21]:

ск IX = I СОБХ.

6. Определение значения гиперболического тангенса мнимого аргумента R/ф-алгоритмом

Запишем выражение для определения значения гиперболического тангенса мнимого аргумента

th (ix)R/p = th ^V^2 + x2 cos (arctg-j^

\ (35) -b\

2соэ (агид^ "' 2 со Б^агсЬд^' Гиперболический тангенс мнимого аргумента можно записать бесконечной вещественной последовательностью:

( ( I- БтГСп + 1)агад(х/Ь))

»лагая в (36) х = 1 ,Ъ = 2 , получим бесконечную по

Полагая в (36) х = 1 ,Ъ = 2 , получим бесконечную последовательность

■ (37)

значение которой устанавливается ЛЛд-алгоритмом. В табл. 8 приведены результаты определения t h ( i 1 ) .

Таблица 8. Определение значения th(i 1)

th (il)R/<p = th (V5 (2 cos (£vrctgI) - 2 cos(ftrrtg(i/2)) - - - 2 cos( Jtg(l/2)) - •••) " 2)

Номер элемента, n Значения элементов ап Значение модуля, гп Значение аргумента, (рп Погрешность £г = 1го — гп 1 Погрешность 71 £<Р = \-2-<РО\

1 0,9640275800 0,9640275800 0 0,4435551509 1,5707923267

2 0,6351489523 0,7824967140 0 0,2620242849 1,5707963267

4 -0,283668090 0,4204031389 0,7853981633 0,1000692902 0,7853981633

8 0,9167792416 0,6157907619 1,1780972450 0,0953183328 0,3926990816

16 0,4345080648 0,5616392984 1,1780972450 0,0411668693 0,3926990816

65536 0,9999997372 0,5204802419 1,5706525160 0,0000078128 0,0001438106

131072 0,9991778558 0,5204827005 1,5707244214 0,0000102714 0,0000719053

262144 0,9489198439 0,5204701302 1,5707843425 0,0000022989 0,0000119842

524288 0,5620375880 0,5204726939 1,5707783504 0,0000002648 0,0000179763

1048576 -0,436985953 0,5204724291 1,5707903346 - 0,0000059921

В табл. 9 приведены результаты вычислений Ш ( 1х), полученные по формуле (36) при и различных значениях .

Таблица 9. Определение значения th( iх)

th (ix)R/(p = th( л/4 + x2 ( 2 cos (arctg--у--_--Д-] - 2 ].

\ V 2 cos [arctg 2) "' 2 cos [arctg 2 J '"J J

Значения аргумента, х Значения модуля, г0 Значения аргумента, <Ро Погрешность £v = — <Ро\

0,01 0,0099109049 1,5706495200 0,0001468068

0,1 0,0918435669 1,5707693622 0,0000269646

0,5 0,3441655532 1,5708442636 0,0000479368

1 0,5204724291 1,5707903346 0,0000059922

1.99 0,6925991169 1,5707903346 0,0000059922

3 0,7770419847 1,5707933307 0,0000029961

4 0,8253244720 1,5707903346 0,0000059922

5 0,8566381547 1,5708023189 0,0000059921

6 0,8785241394 1,5708053149 0,0000089881

10 0,9247479055 1,5707993228 0,0000029960

12 0,9368160909 1,5707993228 0,0000029960

14 0,9455534218 1,5707873386 0,0000089881

16 0,9521781053 1,5707873386 0,0000089881

Определим значение t к ( I 1 ) через отношения найденных Я/-алгоритмом значений 5 к ( ¿ 1) и с к ( ¿ 1) , которые приведены в табл. 5 и табл. 7: Бк(11)ц/<р _ 2.61256 ...

tft(il) =

ck(il)R/<p

tk(il6) =

5.01961...

sk(il6)R/<p

= 0.52047 ... , 1631,8.

= 0.95217.

ск(П6)К/(р 1713,7. Из табл. 9 имеем значения tк (¿1) и tк (¿1 6) , полученные непосредственными вычислениями по формуле (37):

¡к(П)К/(р = 0,52047 ... . 16)К/(р = 0.95217 ... На рис. 4 показаны графики функции у = Шх и модуля г(х) мнимого числа,

.71

представляющего функцию tк (¿х) й /^ = г (х) е1^.

.У' 1 к th x y(x)

-j-1- —1-1-1-1- , x *

2

3

4

5

6

Рис. 4. Графики функции tк х и г (х)

Каноническая формула, определяющая значение гиперболического тангенса мнимого аргумента, имеет вид [21]:

¿х = I Ьд х.

Установленные посредством ^/-алгоритма значения гиперболических функций мнимого аргумента, где мнимые числа представляются осциллирующими вещественными последовательностями, отличны от значений этих функций, полученных по каноническим формулам [21, 22].

Следует обратить внимание, что значения гиперболических функций мнимого аргумента, найденные ^/-алгоритмом, получены из серии вычислений «предельным переходом», когда мнимый аргумент ¿х представляется все более удлиняющейся вещественной последовательностью.

0

7

8

Заключение

Введены функции е11(а + ¿Ь) и е11(ге1р), которые определяют алгоритм,

ставящий в соответствие комплексным числам бесконечные осциллирующие

вещественные последовательности.

а2 + Ь2 а2 + Ъ2 а2 + Ъ2

еП^а + гЬ) = 2а---- —-- —-- ,

2 а — 2 а ----- 2 а ----

Ь\

ell2 (а + ib) = yja2 + b21 2 cos | arctg —^

2 cos [arctg —) 2 cos [arctg —) "J

, . ч ( 1 1 1 \

ell(reltp) = r 12 cos a?--- - ,

V 2 cos — 2cos cp-----2cos cp----)

a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2

ell-tiib) = a -

ell2 (ib) = ^a2 + b2 ^2 cos [arctg —^

2 a — 2 a ----- 2 a

1

2 cos [arctg —) 2 cos [arctg —)

Ьч-...

a.

ell

i i-\ n 1 1 \re 2 J = ell(ir) = r 12 cosr---jf -

Значения бесконечных вещественных последовательностей, соответствующих комплексным числам, устанавливаются Д /-алгоритмом.

Аналогично могут быть введены функции «расщепления» для вещественных чисел:

а2 — Ь2 а2 — Ь2 а2 — Ь2

Ыр^а + Ь) =2а---- —-- —-- , а > Ъ,

2 а - 2 а ----- 2 а ----

hip2(a + b) = Va2 - b2 ( 2 ch (arth-)--—

\ V aJ 2 ch [ar

1

iarK) "' 2 ch(arth%) -J

, ч ( 11 1 \

hip(reu) = r [2chu — —— —— .

V 2chu — 2chu-----2 chu----J

Представление комплексных чисел непрерывными дробями с вещественными элементами позволяет устанавливать значения функций с комплексными аргументами последовательными уточнениями вычислений, то есть, прибегая к процедуре «предельного перехода», обеспечивающей высокую надежность результатов.

Список литературы /References

1. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. О представлении комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями с положительными элементами. // Вестник науки и образования № 19 (97). Часть 1, 2020. С. 9-21.

2. Шмойлов В. И.Алгоритмы суммирования бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. №14 (68). Часть 1, 2019. С. 5-19.

3. МаркушевичА.И. Теория аналитических функцией. Т.1. М.: Наука, 1967. 486 с.

4. Canchy O. Analyse algebrique, 1821.

5. Уиттекер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа, Т. 1. М.: Физматгиз, 1963. 344 с.

6. Шмойлов В.И. О критерии сходимости вещественных последовательностей. // Вестник науки и образования. №3 (106). Часть 1, 2021. С. 11-24.

7. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

8. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

9. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.

10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

11. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.

12. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.

13. Шмойлов В. И. Непрерывные дроби и г/-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012. 608 с.

14. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.

15. Шмойлов В. И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраический уравнений. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

16. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474, Номер 4, 2017. С. 410-412.

17. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450 с.

18. Шмойлов В. И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Непрерывные дроби и суммирование рядов. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2018. 524 с.

19. Шмойлов В.И. Представления комплексных чисел бесконечными вещественными последовательностями. // Вестник науки и образования. № 20 (98). Часть 1, 2020. С. 5-17.

20. Шмойлов В.И. Определение значений тригонометрических функций мнимого аргумента посредством R / -алгоритма. // Вестник науки и образования. № 7 (110), 2021. С. 11-24.

21. Янпольский А.Р. Гиперболические функции. М.: Физматлит, 1960. 196 с.

22. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1965. 716 с.