CC BY
8Соловьёв А. С., Калач А. В.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ПАРАМЕТРАМИ СНЕЖНОЙ ЛАВИНЫ НА ОСНОВЕ СТАТИСТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
В статье произведена математическая обработка статистических данных по самопроизвольному сходу лавин в Кабардино-Балкарской Республике на основе корреляционных коэффициентов Пирсона. Получены аналитические формулы, связывающие основные параметры снежных лавин. Построена карта прогноза лавинной опасности.
Ключевые слова: снег, лавина, корреляция, прогноз.
Soloviev A., Kalach A.
DETERMINATION OF DEPENDENCES BETWEEN AVALANCHE PARAMETERS ON THE BASIS OF THE STATISTICAL ANALYSIS
The article provides mathematical processing of a spontaneous avalanche in Kabardino-Balkaria on the basis of Pearson's correlation factors of statistical data. The analytical formulae including key parameters of avalanches are shown. The map of avalanche danger forecast is made.
Keywords: snow, avalanches, correlations, forecast.
В исследовании физики лавин, оценке их поражающей способности и прогнозировании схода большое значение имеет статистическая информация [1]. Цель данной работы - в систематизации и статистической обработке материала о самопроизвольных лавинах в Кабардино-Балкарской Республике за период с 1970 по 2012 год (см. табл. 1) и использовании этой информации для выявления физической природы лавин, прогноза лавинной опасности, а также подготовке исходных данных для последующего математического моделирования снежной лавины.
Как видно из таблицы, к рассмотрению приняты семь параметров снежных лавин. Следует отметить, что на одном
и том же склоне при различных метеорологических условиях возможен сход лавин различного объёма, поэтому используется такой параметр как максимально возможный объём лавин У"тах.
Статистическая обработка материала о сходе лавин проведена следующим образом. Для оценки взаимосвязи параметров лавин первоначально были рассчитаны коэффициенты корреляции Пирсона между указанными параметрами (табл. 2) [2].
Коэффициент корреляции Пирсона
рассчитывается по формуле:
-,
где гху - коэффициент корреляции (далее г); п - количество анализируемых лавин; х,, у. - значения показателей, между которыми ищется корреляция; х, у - средние значения показателей; ох, оу - средне-квадратические отклонения показателей. Преимуществом его среди других, например, коэффициента ранговой корреляции Спирмена, является стандартизация выборочного ряда, вследствие чего коэффициент корреляции не зависит от размаха выборки [3, 4]. В правой верхней половине таблицы 2 (выше главной диагонали) представлены рассчитанные коэффициенты корреляции гху. Ниже главной диагонали, во избежание дублирования информации (так как корреляционная матрица симметрична относительно главной диагонали), приведены результаты первичного анализа коэффициентов корреляции.
Таблица 1
Параметры лавин в Кабардино-Балкарской Республике с 1970 по 2012 годы
Номер лавины Объём V, тыс. м3 Длина пробега лавины 1, м Высота падения лавины И, м Экспозиция £, градусы от направления на север Угол склона а, градусы Повторяемость /, раз в год Максимально возможный объём V , шах' тыс. м3
1 - 450 180 31 0,15 23
2 1 030 1 030 180 27 0,15 140
3 3 200 1 330 180 28 0,15 330
4 2 870 1 250 180 29 0,15 300
5 2 300 920 225 28 0,15 85
6 670 380 180 29 1 13
7 1 090 400 - 23 1,5 7
8 1 310 540 180 26 1,5 23
9 74,2 1 100 620 30 40 6,5 3 300
10 260 1 100 600 40
11 54,3 1 100 600 40 -
12 74,2 3 300 - 30 -
13 900 - 1 490 32 0,1
14 60,2 3 300 1 490 32 -
15 54,3 3 300 1 490 32 -
16 700 3 300 1 490 32
17 1 200 3 300 1 490 30 32 0,1
18 500 3 300 1 490 - 32 0,1
19 500 - 1 050 30 31 3,5 980
20 175 2 890 1 250 30 29 3,5 480
21 1 640 750 30 33 1 80
22 - - 30 28 1,5 300
23 2 080 810 30 28 1,5 300
24 4 340 1 490 30 23 1 5 000
25 - - 0 - - 160
26 1 560 1 050 0 24 1 3 000
Проанализируем наиболее существенные парные корреляции показателей. Общее количество сильных корреляций -шесть, три из них имеют положительный знак (с увеличением одного из показателей коррелирующий показатель увеличивается), три - отрицательный (с увеличением одного показателя коррелирующий показатель уменьшается). Наиболее су-
щественная корреляция (г = 0,91) наблюдается между высотой падения лавины и длиной её пробега. С точки зрения физики лавин, действительно, между этими показателями должна быть линейная связь. Экспериментальные точки зависимости Ь(И) довольно близки к прямой линии (см. рис. 1). Аппроксимирующая прямая имеет уравнение
Таблица 2
Коэффициенты корреляции между параметрами снежных лавин
Параметры лавины V, тыс. м3 L, м h, м е, градусы а, градусы /, год-1
V, тыс. м3 0,13 0,30 ? -0,58 -0,39 ?
L, м 1,00 0,91 -0,31 0,05 -0,32 0,62
h, м 0,30 0,91 -0,30 0,11 -0,50 0,75
е, градусы -0,31 -0,30 -0,09 -0,49 -0,56
а, градусы -0,58 1,00 -0,18 0,04
/, год-1 -0,39 -0,32 -0,50 -0,49 1,00 0,28
V , тыс. м3 max' ? 0,62 0,75 -0,56 0,28 1,00
Примечание
| - главная диагональ; ■ - сильная корреляция с коэффициентом |г| > 0,5 [2]; [о] - слабая, но всё же существующая корреляция (0,2 < |г| < 0,5); □ - практически полное отсутствие взаимосвязи показателей (абсолютное значение коэффициента корреляции менее 0,2); Ш - невозможность рассчитать коэффициент корреляции по имеющимся данным (недостаточно статистической информации)
ЦЛ) = 2,4102Л - 218,16.
Необходимо отметить наличие ещё двух сильных прямых корреляций между максимально возможным объёмом лавины и длиной её пробега (г = 0,62), а также высотой падения (г = 0,75). Объяснением этому может служить то,
что объём снежной массы, собираемой лавиной, тем больше, чем большее расстояние проходит лавина и чем с большей высоты она спускается.
Проанализируем теперь наиболее сильные обратные корреляции. Объём сходящей снежной массы V уменьшается с увеличением угла склона а, о чём свидетельствует отрицательный коэффициент
5 000
4 000
<0 3 000 ф
ю о
Го 2 000
< С
1 000
•
•_____
• _______ в —
1 • >---- • ф
400 800 1 200
Высота падения h, м
1 600
Рисунок 1. Влияние высоты падения лавины на длину её пробега
0
Угол склона а, градусы
Рисунок 2. Влияние угла склона на объём сходящей снежной массы
корреляции (г = -0,58), а также график на рисунке 2. С увеличением угла склона лавины сходят чаще, из-за чего снежная масса меньше накапливается, поэтому объём каждой сходящей лавины меньше, чем при меньшем угле склона. В качестве аналитической функции, пригодной для описания данной зависимости, может быть использована функция типа «размытая ступенька» (или «сигмоидальная функция»), которая описывает переход с одного уровня на другой. Наиболее употребительной является сигмоидаль-ная функция Больцмана, которая часто применяется в химии, биологии, экономике и других отраслях знаний:
\+е "
где - начальное и конечное значе-
ния функции; С - коэффициент быстроты возрастания функции; х0 - точка перегиба сигмоидальной функции Больцмана.
Определение параметров х0, С функции Больцмана выполнено методом наименьших квадратов [2]. В результа-
те аппроксимации получена следующая аналитическая формула:
\+е 2-ш
Согласно полученной формуле, при неограниченном увеличении угла склона объём снежной массы стремится к постоянной величине около 138,7 тыс. м3.
Отрицательная корреляция наблюдается также между высотой падения и частотой схода лавин (r = -0,50). Это свидетельствует о том, что масштабные лавины со значительной высотой падения и большой длиной пробега случаются реже, чем лавины меньшего масштаба. Отрицательная корреляция примерно такого же уровня (r = -0,50) обнаружена между максимальным объёмом снежной массы V и углом экспозиции в гори-
max j ^ г
зонтальной плоскости в. Причина такой зависимости в том, что на северных склонах солнечный нагрев снежной массы минимален, соответственно, минимально таяние и сползание снега, поэтому там она накапливается в большем объёме, чем на других склонах.
Угол экспозиции 8, градусы
Рисунок3. Влияние угла экспозиции склона (измеряется в градусах от направления на север) на частоту схода лавин
От угла экспозиции s также зависит частота схода лавин / (см. рис. 3). Линейная аппроксимация табличных данных позволила получить следующую формулу:
/(s) = -0,01026s + 2,4184.
Как видно из графика данной зависимости, наибольшая частота схода лавин наблюдается на северных склонах. Причина этого, как и в предыдущем случае, в том, что на северном склоне значительно интенсивнее происходит накопление снежной массы по отношению к другим направлениям.
Анализируемая совокупность данных позволяет построить карту прогноза поражающего действия снежной лавины. По известным углам экспозиции и склона могут быть предсказаны такие показатели поражающего действия, как длина пробега, частота схода и максимальный объём снежной лавины. Для получения зависимостей L(s, a), /(s, а), V(s, а) используется таблица 3, полученная из таблицы 1 удалением строк, в которых отсутствовало хотя бы одно значение s или a, а также пересчётом для некоторых лавин показателя V в показатель V .
max
Для анализа зависимостей 1(8, а), /(8, а), У(8, а) изобразим их графически. На рисунке 4 представлены поверхности отклика, на рисунке 5 - линии уровня функций, а также заштрихованы области факторного пространства, в которых показатели поражающего действия принимают неблагоприятные значения. Сглаженные поверхности по отдельным экспериментальным точкам получены с использованием метода сплайн-интерполяции.
Выбор границы между благоприятной и неблагоприятной областью производится экспертным путём. При этом руководствуются следующими правилами: благоприятная область должна содержать искомые максимальные или минимальные значения функции, занимать значительную долю факторного пространства (10-30 %) и по возможности не включать области резкого изменения функции [2]. С учётом данных соображений в качестве границ между областями благоприятного и неблагоприятного прогноза выбраны следующие изолинии: Ь = 2 000 м; / = 1 год-1; Утзх = 1 млн м3. Таким образом, сделан вывод, что опасной считается лавина, пробег которой превышает 2 км, которая
Таблица 3
Сокращенная таблица с параметрами снежных лавин для построения карт прогноза лавинной опасности
Номер лавины Экспозиция е, градусы от направления на север Угол склона а, градусы Длина пробега лавины Ь, м Повторяемость /, раз в год Максимально возможный объем V , тыс. м3 шах'
1 180 31 - 0,15 23
2 180 27 1 030 0,15 140
3 180 28 3 200 0,15 330
4 180 29 2 870 0,15 300
5 225 28 2 300 0,15 85
6 180 29 670 1 13
8 180 26 1 310 1,5 23
9 30 40 1 100 6,5 3 300
17 30 32 3 300 0,1 1 200
19 30 31 - 3,5 980
20 30 29 2 890 3,5 480
21 30 33 1 640 1 80
22 30 28 - 1,5 300
23 30 28 2 080 1,5 300
24 30 23 4 340 1 5 000
26 0 24 1 560 1 3 000
сходит как минимум раз в год, и максимальный объём снежной массы её составляет более 1 000 м3.
Путём наложения друг на друга опасных областей для каждой из функций Ь(е, а), /(е, а), V(е, а) получена карта прогноза лавинной опасности (см. рис. 5, внизу). Затемнённые области соответствуют опасным лавинам. Нижняя затемнённая область соответствует склонам, ориентированным в направлениях от северного до восточного (е от 0 до 100°) и с малыми углами склона (менее 28°). На таких склонах накапливаются значительные массы снега, и по достижении критической массы снега приблизительно один раз
в год происходит сход масштабной снежной лавины с большой длиной пробега. Верхняя затемнённая область соответствует склонам, ориентированным в направлениях от северо-восточного практически до юго-западного (е от 40 до 230°) и со значительными углами склона (более 34°). На таких склонах снежная масса не накапливается до образования толстого снежного покрова: благодаря значительному солнечному нагреву и крутизне склона снежная масса сходит часто (несколько раз в год), но лавинами малого масштаба, с довольно малой длиной пробега. Однако при этом лавина увлекает не только
4 000
34
38
Р
42 ^
L(8, а)
22
/(8, а)
12 000 10 000 8 000 6 000 4 000 2 000 0 -20
180 180 220 22
V (8, а)
тях х ' '
Рисунок 4. Влияние угла экспозиции склона и угла склона на показатели поражающего действия снежной лавины L, /, V
верхние слои снега, а всю толщину снежной массы, поэтому максимальный объём составляет существенную величину.
Таким образом, в зависимости от параметров 8 и а образуется два разных типа снежных лавин.
с у
д
о л к У
42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22
00000000000000 CM M^IDOOOM'ilflOOOM'i I HHHHHWOICN
Экспозиция склона, градусы
L(b, а)
с у
д
о л к У
42 40 38 36
34
32 30 28 26 24 22
if t..i ГТНЦЯ М/>1год IЩщя■ ЩI
I A 5 ) 1 I I 1 1 1 I 1
00000000000 24680246802
HHHHHCNOJOI
Экспозиция склона, градусы
/(в, а)
42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22
штт
4:l- f rm=x > 1 млн м3 Т
00000000000000 CM CM^fCOOOOCM^fCOOOOCM^f I HHHHHWOICN
Экспозиция склона, градусы
V (в, а)
maxv ' '
у д
а
42 40 38 36 34 32 30 28 26 24 22
0000000000000 СМ CN^IiCOOOI'iOCOOOl^ I HHHHHWOICN
Экспозиция склона, градусы
L(b, а) П /(в, а) П V(b, а)
42 40 38
с у
д
о л к У
36 34 32 30 28 26 24 22
00000000000000 CM CM^fCDOOOCM^fCDOOOCM^f I HHHHHWOICN
Экспозиция склона, градусы Результирующая карта прогноза
Рисунок 5. Карты прогноза лавинной опасности
Обобщая изложенный в статье материал, можно сформулировать следующие выводы. Выявлены корреляции между рядом параметров снежных лавин и получены выводы относительно физической сути взаимосвязи параметров. Получены аналитические формулы, связывающие основ-
ные параметры снежных лавин. Построена карта прогноза лавинной опасности. Полученные в результате статистической обработки сведения могут быть использованы для повышения степени приближённости к реальности математической модели зарождения и схода снежной лавины [5].
ЛИТЕРАТУРА
1. Соловьёв А. С. и др. Исследование взаимодействия снежной лавины с элементами защитных сооружений // Технологии гражданской безопасности. - 2012. - № 2. - С. 74-77.
2. Орлов А. И. Прикладная статистика. -М.: Экзамен, 2006.
3. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика: Учеб. пособие для вузов. -М.: Высшая школа, 2003.
4. Справочник по прикладной статистике. В 2 т. / Под ред. Э. Ллойда, У. Ледермана, Ю. Н. Тюрина. - М.: Финансы и статистика, 1989, 1990.
5. Соловьёв А. С, Лебедев О. М., Калач А. В. Мониторинг рисков возникновения и способы предотвращения чрезвычайных ситуаций, связанных со сходом снежных лавин // Проблемы управления рисками в техносфере. - 2012. -№ 2. - С. 44-50.
