Определение запасов статической апериодической устойчивости электроэнергетических систем в стохастической постановке Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

losses of thermal energy through thermal insulation of water heat network pipelines of municipal heating systems]. Moscow, Izd-vo NTs ENAS Publ., 2007, 56 p.

6. Metodicheskie ukazaniia po opredeleniiu teplovykh poter' v vodianykh teplovykh setiakh [Procedural guidelines for heat loss determination in water heat networks]. RD 34.09.255-97, Moscow, SPO ORGRES Publ., 1988, 28 p.

7. Metodicheskie ukazaniia po sostavleniiu energetich-eskoi kharakteristiki dlia sistem transporta teplovoi en-ergii po pokazateliu "Teplovye poteri" [Procedural guidelines for the compilation of energy characteristics for thermal energy transportation systems in terms of "Heat loss"]. SO 153-34.20.523(3), Moscow, SPO OR-

GRES Publ., 2003, 58 p.

8. Svidete'stvo Gosstandarta Rossii № AK-35/4 ot 16.04.2001 [GOST Russia Certificate of Complience no. AK-35/4 from 16 April 2001].

9. Sertifikat sootvetstviia na programmno-graficheskii kompleks "Applied Flow Techno-logy FathomTM" 57877 2009 AQ GBR UKAS ot 17.01.2001 2001 [Certificate of Conformity of "Applied Flow Technology FathomTM" 57877 2009 AQ GBR UKAS softwaregraphic complex from 17 January 2001].

10. SNiP 41-02-2003. Teplovye seti [Construction rules and regulations 41-02-2003. Thermal networks]. Moscow, 2003, 65 p.

УДК 621.311

DOI: 10.21285/1814-3520-2016-4-125-135

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАПАСОВ СТАТИЧЕСКОЙ АПЕРИОДИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ЭЛЕКТРОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ В СТОХАСТИЧЕСКОЙ ПОСТАНОВКЕ

© А.В. Крюков1, В.В. Сенько 2, Е.О. Тихомиров3

1Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83. 1Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15. 2,3Самарский государственный технический университет, 443100, Россия, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244.

Предложена методика определения запасов статической апериодической устойчивости электроэнергетических систем, использующая стохастический подход. Получены усовершенствованные уравнения, дающие возможность осуществлять поиск предельного режима в направлении его утяжеления, которое отвечает максимальному риску нарушения устойчивости. Компьютерное моделирование показало применимость разработанной методики при решении задач оперативного управления режимами электроэнергетических систем. Ключевые слова: электроэнергетические системы; запасы устойчивости; стохастический подход; уравнения предельных режимов.

DETERMINATION OF APERIODIC STATIC STABILITY MARGINS OF ELECTRICAL POWER SYSTEMS BASED

ON A STOCHASTIC APPROACH

A.V. Kryukov, V.V. Senko, E.A. Tikhomirov

Irkutsk National Research Technical University, 83, Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia. Irkutsk State University of Railway Engineering, 15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russia. Samara State Technical University,

1

Крюков Андрей Васильевич, доктор технических наук, член-корр. АН ВШ РФ и Российской инженерной академии, академик Российской академии транспорта, заслуженный энергетик Республики Бурятия, профессор кафедры электроснабжения и электротехники ИРНИТУ, профессор кафедры электроэнергетики транспорта ИрГУПС, e-mail: and_kryukov@mail.ru

Kryukov Andrei, Doctor of technical sciences, Corresponding Member of the Academy of Sciences of Higher School of the Russian Federation and Russian Engineering Academy, Academician of Russian Academy of Transport, Honoured Power Engineer of the Buryat Republic, Professor of the Department of Power Supply and Electrical Engineering of Irkutsk National Research Technical University, Professor of the Department of Transport Electric Engineering of Irkutsk State University of Railway Engineering, e-mail: and_kryukov@mail.ru

2Сенько Владислав Владимирович, кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизированных электроэнергетических систем, e-mail: senko-aees@yandex.ru

Senko Vladislav, Candidate of technical sciences, Associate Professor of the Department of Automated Electrical Power Systems, e-mail: senko-aees@yandex.ru

Тихомиров Евгений Олегович, магистрант, e-mail: tikhomirov-aees-3-2@yandex.ru Tikhomirov Evgeniy, Master's Degree Student, e-mail: tikhomirov-aees-3-2@yandex.ru

244, Molodogvardeiskaya St., Samara, 443100, Russia.

Stochastic approach-based methods determining aperiodic static stability margins of electrical power systems are proposed. Advanced equations enabling the search for the limit mode in the direction of its weighting that satisfies the maximum risk of stability violation are obtained. Computer simulation has shown the applicability of the developed methods to solving the problems of operating control of electrical power systems modes. Keywords: electrical power systems; stability margin; stochastic approach; equations of the limit modes

Введение

Анализ статической апериодической устойчивости (САУ) электроэнергетических систем (ЭЭС) осуществляется для условий настройки автоматических регуляторов возбуждения, исключающей возникновение самораскачивания [9]. Процедура анализа включает определение предельных режимов (ПР), построение границ областей устойчивости в пространстве регулируемых параметров и оценку величины запаса САУ [2]. Характеризовать запас можно с помощью корней характеристического уравнения на основе нахождения отрицательного вещественного корня ^, расположенного

наиболее близко к мнимой оси [1]. Запас можно оценить по величине якобиана уравнений установившегося режима, который совпадает со свободным членом характеристического полинома. В качестве показателей запаса могут также использоваться значения синхронизирующих мощ-

ностей

dS\

Следует отметить, что большая часть из перечисленных параметров мало применима для нормирования запасов, так как они характеризуют ЭЭС в точке рассматриваемого режима, для их расчета применяют линеаризацию системы уравнений, и нелинейность характеристик мощности при этом исключается из рассмотрения. Поэтому эти показатели, заимствованные из теории автоматического управления, не находят практического применения из-за формальности оценок и недостаточной наглядности.

Постановка задачи

В задачах оперативного управления, определения надежности ЭЭС, а также при выборе управляющих воздействий проти-воаварийной автоматики необходимы быстродействующие методы оценки запасов, обладающие высокой обоснованно-

стью и достоверностью. Последним требованиям удовлетворяет показатель запаса САУ, отвечающий расстоянию в пространстве регулируемых параметров У от точки У0 анализируемого режима до предельной

гиперповерхности ^. Оценка запаса САУ

может осуществляться с помощью вектора [9]

К = [кхк2...кт]Т,

в состав которого входят значения коэффициентов запаса по параметрам у:

k, = ц( У l - Уо)> M, =

1

¡norm У, о

где yM,yiL - значения /-го параметра, отвечающие исходному и предельному режимам; kimrm - нормативные коэффициенты.

Критическое (наиболее опасное) направление утяжеления можно найти путем решения следующих задач оптимизации:

min Z = min max |k, (X ) (1)

или

min Z = min

in iE kf (Xl )

l \i *1

(2)

где X - вектор зависимых переменных в

точках предельной поверхности; 1 - величина запаса.

Условие (1) характеризует близость режима к границе ^ не в полной мере, так как не учитывает изменения всех переменных у , которые входят в вектор утяжеления. Критерий, определяемый евклидовой нормой (2), свободен от указанного недостатка и соответствует минимальному расстоянию от точки у до в пространстве К .

X

В основу дальнейшего развития методов определения запасов САУ, основанных на поиске критического направления утяжеления, может быть положен стохастический подход, описанный ниже.

Стохастический подход к определению запаса устойчивости

Идея стохастического подхода, основанного на обобщении уравнений предельных режимов [4, 7], была предложена

в [10].

Компоненты вектора У, которые представляют собой активные и реактивные мощности генераторов и нагрузок, являются случайными величинами. При нерегулярных изменениях этих параметров возможно достижение границы ; при

этом надежное функционирование ЭЭС будет обеспечено при условии, что гиперэллипсоид рассеяния (рис. 1)

DYT s-1Dy - C2 = 0

(3)

с центром в точке МУ не будет иметь общих точек с гиперповерхностью Ьш.

Здесь БУ = У - МУ; М - символ математического ожидания;

s = M

( y - My)( y - MY )T

- ковариаци-

онная матрица; С - величина, определяющая вероятность нахождения параметров Y внутри гиперэллипсоида (3). Ковариационную матрицу Б, входящую в (3), можно найти с помощью известных методов оценивания состояния ЭЭС [3].

Стохастический подход к оценке запаса САУ можно сформулировать следующим образом:

Определить

С составляется функция Лагранжа:

ь ( x ,МУ + БУ ,Л ) =

1

= (бут ббу )2 + +бт (x,МУ + бу ) л,

где л - вектор неопределенных множителей.

Экстремуму Ь соответствуют условия:

dL dDY

= S-1 DY ( DYT S-1 DY )

| Л = 0;

dDY

= (iF | Л = 0; ¿X 1 ¿x 1

dL

1Л

= F[ X ,MY + DY ] = 0,

(4)

дБ дБ где — - матрица Якоби УУР; - -

дХ дБУ

блочно-диагональная матрица.

Следует учитывать, что уравнения (4) имеют два решения:

1. Тривиальному решению соответствуют нулевые значения векторов

л = [0...0]тт = [0...0]т.

2. Искомое решение имеет место тогда, когда одна или несколько компонент векторов Л и БУ отличаются от нуля; при этом уравнение

V^X У

л = 0

c = extr ( DYT s-1dy )

при ограничениях в виде уравнений установившегося режима (УУР)

соответствует условию

йв1

V^X У

= 0,

Б (Х,МУ + БУ) = 0. Для решения задачи минимизации

следовательно, нетривиальное решение отвечает гиперповерхности предельных режимов.

Рис. 1. Определение запаса статической апериодической устойчивости электроэнергетической системы в стохастической постановке

Уравнения (4) можно представить в

виде

дь

Из первого уравнения системы (5) можно найти вектор

= S-1DY +

dD Y

JL_ (dF dX ~[dX dL дЛ

dF

Л (DYTS-1 DY )2 = 0;

дБ У . |Л = 0;

■ = Б [X ,МУ + БУ] = 0.

Выполнив замену переменных

1

Я = (БУТБ^БУ)2 Л ,

систему (4) можно представить в виде

dy = -s

f Jf ^

ddy

r = 0.

Подставив найденное значение Оу в третье уравнение, можно преобразовать систему к виду

x ,MY - s df

f

( ЛТ! ЛТ

f Jf ^

dDY

r

= 0;

VdX У

r = 0.

(6)

s-1Dy +

f Jf ^

VdDY У

r = 0;

С dF^

vdX У

r = 0;

f ( x ,MY + dy ) = 0.

(5)

Результаты компьютерного моделирования показывают, что при использовании уравнений (6) может иметь место выход итерационного процесса в точку тривиального решения. Чтобы исключить возможность такого завершения процесса итераций, можно использовать следующий прием. В систему (6) вводится дополнительное уравнение, отвечающее ненулевой длине вектора Я, и переменная у, обес-

г

печивающая «балансировку» первого векторного уравнения:

f ( x ,r ,y) = f v ( x,r ) =

X,MY -yS

( ßF ^T

ßdy

r

= 0;

f ßF '^

vßX у

r = 0;

w

( r ) = r t r -1 = 0.

(7)

Аналогичный прием может использоваться и для повышения эффективности определения запасов устойчивости в детерминированной постановке [5-7].

Уравнения (7) являются нелинейными, и их решение возможно только итерационными методами, например, методом Ньютона. На каждой итерации этого метода решается следующая система линейных уравнений:

ßX

ßv

ßX о

ySf ßF Т {dDY ) Sf ßF T R1 \dDY ) "AX" " F"

d i 0 AR = - V

2R T 0 Ay w

Результаты моделирования

В качестве примера ниже приведены результаты определения запасов устойчивости применительно к трехузловой модели ЭЭС, показанной на рис. 2. Модель отвечает сети 110 кВ, питающей два узла нагрузки, оснащенных установками распределенной генерации (РГ). Автоматические регуляторы установок РГ обеспечивают стабилизацию напряжения на шинах 110 кВ. На рис. 3 показаны графики изменения инъекций мощностей

Pk (t ) = Рнк (t)-Pg

gk '

где (t) - нагрузки потребителей, закон

изменения во времени для которых имеет случайный характер (для моделирования такого характера вариации нагрузок использовался оператор rnorm системы Mathcad); Рак - мощности генераторов

установок РГ, принятые неизменными; k = 1,2.

t

Рис. 2. Схема модели электроэнергетической системы

Рис. 3. Графики нагрузки

Результаты моделирования, полученные на основе экспериментальной программы, реализованной в системе МаШсаЬ, представлены в табл. 1 и проиллюстрированы на рис. 4-10. В табл. 1 приведены величины параметров у^), , характеризующих предельные режимы, полученные при различных значениях среднеквадратичного отклонения а графиков нагрузки потребителей. Кроме того, представлены значения Сь, отвечающие гиперэллипсоиду (3), а также величины Я8Аи, определяющие вероятностные оценки риска нарушения САУ (для получения Я использовался подход, аналогичный предложенному в [8] для оценки финансовых рисков):

(

rsau = exP

DYT s-1 dyl

T\ f

= exp

C

2Л

v

На рис. 4 приведены результаты определения предельных режимов в стохастической постановке. Для сравнения выполнен расчет предельного при детерминированном подходе; при этом было принято, что Б = Е, где е - единичная матрица. Более детально результаты расчета ПР в детерминированной постановке проиллюстрированы на рис. 5. На рис. 6 показаны результаты определения ПР при значении а = 40%.

На рис. 7 представлены результаты определения ПР при отключении генератора установки РГ мощностью 50 МВт в узле 1, а на рис. 8 - при отключении одной цепи линии электропередачи, связывающей узлы 2 и 3.

Таблица 1

Зависимость параметров предельного режима от среднеквадратичного отклонения а мощностей нагрузок

a,% CL, o.e. Rsau , % ys, МВт yL?, МВт Z, %

10 6,4 1,2810-7 -248,00 -275 74,76

20 4,03 0,03 -273,00 -245 63,67

30 2,5 4,4 -276,00 -241 62,55

40 1,9 16,4 -278,00 -239 62,19

Примечание. Величины 1 рассчитывались по выражению (2).

Рис. 4. Результаты определения предельных режимов в стохастической постановке

Рис. 5. Результаты определения предельных режимов в стохастической постановке: = - 287 МВт; = - 227 МВт; у01 = - 200 МВт; у02 = - 161 МВт

МВт -50

■100

150

-200

-250

-ЗОО

Vd bj II &

DY^S :DY - C'l = (

• • • jT W

s • / • i Г •• v? f./ • L-vC * • tl / La • / / Y jf /

yL А • vv •

! " N sj t®=ol ax ) Ух = pi

МВт

-300 -250 -200 -150 -100

Рис. 6. Увеличение риска нарушения устойчивости при росте размаха колебаний

нагрузки (Я5Аи = 17%)

Рис. 7. Увеличение риска нарушения устойчивости при отключении генератора

50 МВт в узле 1 (RSAU = 14%)

-: сс

МВт

-с; = о

■ 125

■ 150

■ 175

>2 = ¿2 D\T% LZ)Y - c\ =

/ • / • .Л • • iS / • . V/ • V • • I • 1

/ . • ш \\ *i *. >*• 1 • / Y(

iJ det — { ах Ii • y\ = pi

- 200' -2:0

-22э

-200

- 175

МВт

150

Рис. 8. Увеличение риска нарушения устойчивости при отключении цепи ЛЭП 2-3

(Я5Аи = 29%)

По данным табл. 1 построены графики Сь = Сь (а), Я^ = Яма И и 2 = 2 (а), показанные на рис. 9, 10.

Следует отметить, что в точке решения уравнений (7) векторы нормалей к

предельной гиперповерхности ^, отвечающей условию

det

У

= 0,

и к гиперэллипсоиду (3)коллинеарны.

13 16

14 12 10

3 6

4

CL, o.e. -KsauJ

0 /

/

"■¡¡au \ /

\

Cr

iT:%

10

15

20

3 о

35

40

с

Рис. 9. Зависимость параметра 1 и вероятности выхода режима за пределы области САУ от среднеквадратичного отклонения а мощностей нагрузок

\ Z=%

а.%

10 Ii 20 25 j0 35 40

Рис. 10. Зависимость запаса устойчивости от среднеквадратичного отклонения а мощностей нагрузок

В работе [7] показано, что вектор Я , определяемый в результате решения уравнений (7), совпадает с направлением нормали к . Направление нормали к гиперэллипсоиду (3) можно найти на основе вычисления вектора-градиента

n = (бутб-1 БХ - С2Ь ) = = ((б-1 )Т + б-1) БХ.

Коллинеарность векторов Я и N можно определить с помощью нахождения угла между ними

. nт я

(n,я)= // г ч и т \ ■

4(nt n н(ят я)

Расчеты для предельного режима, полученного при а = 15%, дают следующие результаты:

= - 261 МВт; у(3 = - 260 МВт; Я = (0,767 0,641)т;

n = (-0,349 -0,291)т ; сов ( N ,Я )= -1.

Эти результаты подтверждают теоретический вывод о коллинеарности векторов Я и N.

Заключение

На основе результатов компьютерного моделирования можно сделать следующие выводы:

1. Модифицированные уравнения, исключающие выход итерационного процесса в точку тривиального решения, обеспечивают высокую надежность получения результатов при определении запасов устойчивости в стохастической постановке; прием, основанный на введении дополнительной переменной, можно использовать для улучшения сходимости вычислительных процессов при определении запасов устойчивости в детерминированной постановке.

2. Параметры предельных режимов, полученные в детерминированной и стохастической постановках, могут заметно отличаться.

3. С ростом дисперсии графиков нагрузки существенно возрастает риск нарушения устойчивости; при этом величина запаса, определенная на основе евклидовой нормы, остается излишне оптимистичной.

4. В расчетном примере значительное увеличение риска нарушения устойчивости имеет место при плановых и аварийных отключениях элементов ЭЭС.

Статья поступила 24.02.2016 г.

1. Бушуев В.В., Поляк А.Д., Пустовитов В.И. Использование доминирующих корней для оценки запаса статической устойчивости // Известия СО АН СССР. Серия: Технические науки. 1973. Вып. 2. № 6. С. 98-104.

2. Веников В.А., Строев В.А. Обеспечение устойчивости электрических систем, содержащих мощные синхронные генераторы // Электричество. 1971. № 12. С. 8-16.

3. Гамм А.З. Статистические методы оценивания состояния электроэнергетических систем. М.: Наука, 1976. 220 с.

4. Конторович А.М., Крюков А.В. Использование уравнений предельных режимов в задачах управления энергосистемами // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1987. № 3. С. 25-33.

5. Крюков А.В. Выбор управляющих воздействий противоаварийной автоматики // Известия вузов. Энергетика. 1991. № 11. С. 10-15.

чии список

6. Крюков А.В. Математические модели предельных режимов сложных энергосистем // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2004. № 1. С. 97-103.

7. Крюков А.В. Предельные режимы электроэнергетических систем. Иркутск: Изд-во ИрГУПС, 2012. 236 с.

8. Пичугин Ю.А., Малафеев О.А. Об оценке риска банкротства фирмы // Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация. Минск: Изд-во БГУ, 2013. С. 204-206.

9. Расчет запаса статической устойчивости электрической системы / В.А. Веников, В.А. Строев, В.И. Идельчик, А.А. Виноградов // Известия АН СССР. Энергетика и транспорт. 1984. № 3. С. 56-65.

10. Kryukov A.V., Senko V.V. Stochastic approach of the power systems ready state stability limits estimation // Proc. 9-th. International Power System Conference. St.-Peterburg, 1994. Vol.1. P. 153-163.

References

1. Bushuev V.V., Poliak A.D., Pustovitov V.I. Ispol'zovanie dominiruiushchikh kornei dlia otsenki za-pasa staticheskoi ustoichivosti [Using dominant roots for static stability margin estimation]. Izvestiia SO AN SSSR. Seriia: Tekhnicheskie nauki - Proceedings of the Siberian Branch of the USSR Academy of Sciences, 1973, vol. 2, no. 6, pp. 98-104.

2. Venikov V.A., Stroev V.A. Obespechenie ustoichivosti elektricheskikh sistem, soderzhashchikh moshchnye sinkhronnye generatory [Ensuring stability of electric systems including powerful synchronous generators]. Elektrichestvo - Electricity, 1971, no. 12, pp. 8-16.

3. Gamm A.Z. Statisticheskie metody otsenivaniia sostoianiia elektroenergeticheskikh sistem [Statistical methods for electric power system condition estimation]. Moscow, Nauka Publ., 1976, 220 p.

4. Kontorovich A.M., Kriukov A.V. Ispol'zovanie uravnenii predel'nykh rezhimov v zadachakh upravleniia energosistemami [Using equations of marginal conditions in power systems management problems]. Izvesti-ia AN SSSR. Energetika i transport - Proceedings of the USSR Academy of Sciences. Power engineering and transport, 1987, no. 3, pp. 25-33.

5. Kriukov A.V. Vybor upravliaiushchikh vozdeistvii protivoavariinoi avtomatiki [Selection of servo system control actions]. Izvestiia vuzov. Energetika - High

school proceedings. Power engineering, 1991, no. 11, pp. 10-15.

6. Kriukov A.V. Matematicheskie modeli predel'nykh rezhimov slozhnykh energosistem [Mathematical models of complex power systems marginal regimes]. Sov-remennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirova-nie - Modern technologies. System analysis. Modeling, 2004, no. 1, pp. 97-103.

7. Kriukov A.V. Predel'nye rezhimy elektroenergetich-eskikh sistem [Marginal regimes of electric power systems]. Irkutsk: Izd-vo IrGUPS Publ., 2012, 236 p.

8. Pichugin Iu.A., Malafeev O.A. Ob otsenke riska bankrotstva firmy [On assessment of company bankruptcy risk]. Dinamicheskie sistemy: ustoichivost', up-ravlenie, optimizatsiia - Dynamical systems: stability, control, optimization. Izd-vo BGU Publ., 2013, pp. 204-206.

9. Venikov V.A., Stroev V.A., Idel'chik V.I., Vinogra-dov A.A. Raschet zapasa staticheskoi ustoichivosti el-ektricheskoi sistemy [Calculation of electric system static stability reserve]. Izvestiia AN SSSR. Energetika i transport - Proceedings of the USSR Academy of Sciences, 1984, no. 3, pp. 56-65.

10. Kryukov A.V., Senko V.V. Stochastic approach of the power systems ready state stability limits estimation. Proc. 9-th. International Power System Conference. St.-Petersburg, 1994, Vol. 1, pp. 153-163.