CC BY
12УДК 629.784.064.56:531.15
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ КОРАБЛЕЙ
«ПРОГРЕСС» ПО ДАННЫМ ИЗМЕРЕНИЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ И ТОКА
СОЛНЕЧНЫХ БАТАРЕЙ
© 2013 г. Беляев М.Ю.1, Матвеева Т.В.1, Монахов М.И. 1, Рулев Д.Н.1, Сазонов В.В.2, Цветков В.В.1
ЮАО «Ракетно-космическая корпорация "Энергия" имени С.П. Королёва» (РКК «Энергия») Ул. Ленина, 4А, г. Королёв, Московская область, Россия, 141070, e-mail: [email protected]
2Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН (ИПМ РАН) Пл. Миусская, 4, г. Москва, Россия, 125047, e-mail: [email protected]
Рассмотрена задача определения углового движения транспортного грузового корабля «Прогресс» по телеметрической информации об угловой скорости корабля и параметрах электрического тока солнечных батарей. Приведены результаты определения вращательного движения кораблей «Прогресс М-11М», «Прогресс М-13М» и «Прогресс М-14М» в режиме одноосной солнечной ориентации. Полученные результаты позволяют рационально планировать эксперименты и рассчитывать квазистатические микроускорения, возникающие при их проведении.
Ключевые слова: микрогравитация, квазистатические микроускорения, динамические уравнения Эйлера, кинематические уравнения Пуассона.
EVALUATION OF ROTATIONAL MOTION OF THE PROGRESS SPACECRAFT USING TELEMETRY DATA ON THE SPACECRAFT ANGULAR RATE AND THE ELECTRIC CURRENT FROM ITS SOLAR ARRAYS
Belyaev M.Yu.1, Matveeva T.V.1, Monakhov МЛ.1, Rulev D.N.1, Sazonov V.V.2, Tsvetkov V.V.1
1S.P. Korolev Rocket and Space ^rporation Energia (RSC Energia) 4A Lenin Street, Korolev, Moscow region, Russia, 141070, e-mail:[email protected]
2Keldysh Institute of Applied Mathematics of Russian Academy of Sciences (IAM RAS), Sq. Miusskaya, 4, Moscow, Russia, 125047, e-mail: [email protected]
The paper examines the problem of evaluating rotational motion of the transport cargo spacecraft Progress using telemetry data on the spacecraft angular rate and the electric current from its solar arrays. The results of reconstruction of rotational motion of the Progress M-11M, Progress M-13M and Progress M-14M spacecraft in the single-axis solar orientation mode are presented. These results enable efficient planning of experiments and calculation of quasi-static micro-accelerations occurring during their performance.
Key words: microgravity, quasi-static micro-accelerations, Euler dynamic equation, Poisson kinematic equation.
БЕЛЯЕВ М.Ю. МАТВЕЕВА Т.В. МОНАХОВ М.И. РУЛЕВ Д.Н.
САЗОНОВ В.В. ЦВЕТКОВ В.В.
БЕЛЯЕВ Михаил Юрьевич - дтн, профессор, заместитель руководителя НТЦ РКК «Энергия», e-mail: [email protected]
BELYAEV Mikhail Yuryevich - Doctor of Science (Engineering), Professor, Deputy Head of Center at RSC Energia
МАТВЕЕВА Татьяна Владимировна - ведущий инженер-испытатель РКК «Энергия», e-mail: [email protected]
MATVEEVA Tatiana Vladimirovna - Lead testing engineer at RSC Energia
МОНАХОВ Михаил Иванович - ктн, ведущий научный сотрудник РКК «Энергия», e-mail: [email protected]
MONAKHOV Mikhail Ivanovich - Candidate of Science (Engineering), Lead scientist at RSC Energia
РУЛЕВ Дмитрий Николаевич - кф-мн, заместитель начальника отдела РКК «Энергия», e-mail: [email protected]
RULEV Dmitry Nikolayevich - Candidate of Science (Physics and Mathematics), Deputy Head of Department at RSC Energia
САЗОНОВ Виктор Васильевич - дф-мн, профессор, главный научный сотрудник ИПМ РАН, e-mail: [email protected]
SAZONOV Viktor Vasilyevich - Doctor of Science (Physics and Mathematics), Professor, Chief scientist at IAM RAS
ЦВЕТКОВ Вячеслав Владимирович - ктн, заместитель руководителя НТЦ РКК «Энергия», e-mail: [email protected]
TSVETKOV Vjatcheslav Vladimirovich - Candidate of Science (Engineering), Deputy Head of Center at RSC Energia
Одноосные закрутки кораблей «Прогресс»
Уровень остаточных микроускорений на Российском сегменте Международной космической станции (МКС) слишком высок для проведения некоторых экспериментов в области микрогравитации. По этой причине изучается возможность выполнения таких экспериментов на транспортных грузовых кораблях (ТГК) «Прогресс» во время их неуправляемого автономного полета. Несколько режимов неуправляемого полета были опробованы на ТГК «Прогресс М1-11» и «Прогресс М-51» в 2004-2005 гг., при этом исследовалась возможность реализации устойчивого режима, который обеспечивает в течение нескольких суток малый уровень
остаточных микроускорений [1-3]. Наиболее перспективным в этом отношении оказался режим гравитационной ориентации вращающегося спутника.
В 2011-2012 гг. на кораблях «Прогресс М-11М», «Прогресс М-13М» и «Прогресс М-14М» был опробован режим одноосной солнечной ориентации. Начальные условия движения в этом режиме - закрутка корабля с угловой скоростью 2 °/с вокруг направленной на Солнце нормали к плоскости солнечных батарей (СБ). Режим продолжался один-два орбитальных витка. Каждым кораблем до стыковки со станцией выполнялись две закрутки. Этот режим - не лучший по уровню микроускорений, но он представляет интерес для планируемых на ТГК «Прогресс» экспериментов с датчиком конвекции ДАКОН-М [4].
В экспериментах с этим прибором целесообразно менять уровень возникающих квазистатических микроускорений.
Для интерпретации результатов микрогравитационных экспериментов, в частности экспериментов с датчиком конвекции ДАКОН-М, необходимо знать реальные квазистатические микроускорения. Их можно рассчитать, определив вращательное движение корабля. Реконструкция закруток ТГК «Прогресс» выполнялась по телеметрическим значениям компонент угловой скорости корабля в его строительной системе координат и тока, вырабатываемого СБ ТГК. Данные измерений, собранные на некотором интервале времени, обрабатывались совместно различными статистическими методами с помощью интегрирования уравнений движения корабля относительно центра масс. В результате обработки оценивались начальные условия движения и параметры используемых математических моделей. Некоторые полученные результаты приведены ниже.
Математическая модель вращательного движения ТГК
Транспортный грузовой корабль в модели считается твердым телом. Для записи уравнений движения корабля относительно центра масс и соотношений, используемых при обработке данных измерений, вводятся три правые декартовы системы координат. Строительная система 0у1у2у3 жестко связана с корпусом ТГК. Точка 0 - центр масс корабля, ось 0у1 параллельна его продольной оси и направлена от стыковочного узла к агрегатному отсеку, ось 0у2 перпендикулярна плоскости СБ. В этой системе интерпретируются данные измерений угловой скорости. Светочувствительная сторона СБ обращена к полупространству у2 > 0. Система 0х1х2х3 образована главными центральными осями инерции ТГК. Оси 0х составляют малые углы с осями 0у. (I = 1, 2, 3). Система СУ1У2У3 близка ко второй геоэкваториальной системе координат эпохи даты. Ее начало находится в центре масс Земли, плоскость СУ1У2 совпадает с плоскостью экватора, ось СУ3 направлена в северный полюс мира, ось СУ1 направлена приблизительно в точку весеннего равноденствия — повернута от плоскости гринвичского меридиана на среднее звездное время против вращения Земли. В системе СУ1У2У3 задаются двухстрочные элементы ЫОЕАБ, которые использованы для моделирования орбитального движения ТГК. Эту систему считаем инерциальной.
Положение системы 0х1х2х3 относительно системы 0у1у2у3 будем задавать углами у, а и р,
которые введем следующим образом. Система Oyyy?, может быть переведена в систему 0x1x2x3 тремя последовательными поворотами:
1) на угол a вокруг оси 0y2;
2) на угол b вокруг новой оси 0y3;
3) на угол y вокруг новой оси 0y1, совпадающей с осью 0x1.
Матрицу перехода от системы 0x 1X2X3 к системе 0y.y„yQ обозначим II a..\\. . <, где a.. — ко-
^ w 2^ 3 11 ij г, j= 1 ^ij
синус угла между осями 0yi и 0х. Элементы этой матрицы выражаются через введенные углы формулами:
a11 = cos a cos b;
a21 = sin b;
a31 = - sin a cos b;
a12 = sin a sin y - cos a sin b cos y;
a22 = cos b cos y;
a32 = cos a sin y + sin a sin b cos y; a13 = sin a cos у + cos a sin b sin y; a23 = - cos b sin y; a33 = cos a cos y - sin a sin b sin y.
Матрицу перехода от систему 0x1x2x3 к системе CY.YY обозначим \\b..\\. . ., здесь
12 3 ij itj= Y ^
bj — косинус угла между осями CY. и 0x.. Элементы этой матрицы параметризуем углами yb, 5b и bb. Соответствующие формулы для by получаются из приведенных формул для ay подстановкой y = yb; a = 5b+ p/2 и b = bb .
Уравнения движения ТГК относительно центра масс образованы динамическими уравнениями Эйлера для компонент a. (i = 1, 2, 3) угловой скорости корабля в системе 0x1x2x3 и кинематическими уравнениями Пуассона для первой и второй строк матрицы \\ by |\ . В уравнениях Эйлера учитываются действующие на ТГК гравитационный и восстанавливающий аэродинамический моменты. Уравнения движения имеют вид
сЬ1 = ц((о2со3 - vx^) + к(гу?3 - v3p2)]
. Ц' - Ц К(1 _ Ц')
<В„ = 1-(®!®з - + i (V3Pl ~ ЧР3У>
1
1 -цц'
СО,
к(1 - ц')
-H'(«1«1-vrA)+Trí—
bu = ¿12®3 - 613ю2; esto II ¿22<°3 ~Ь2з
ьа = ¿13Ю1 - ¿ltro3; 623®1 - К<»г> (1)
Ьа = ЬпФ2 - Ь12щ к= 621®2 ~ VV
ц = л-л. л ' j з л. » V & '
R = ^ xf + + х^; к = Epa\lv?+v%+v*,
где точка над символом означает дифференцирование по времени £ xi и vi — компоненты в системе 0х1х2х3 геоцентрического радиуса-вектора точки 0 и скорости этой точки относительно поверхности Земли; p — параметры аэродинамического момента; Ji — моменты инерции ТГК относительно осей 0х; це — гравитационный параметр Земли; ра — плотность атмосферы в точке 0 (рассчитывается согласно модели ГОСТ Р 25645.166-2004); E — масштабирующий множитель.
При численном интегрировании уравнений (1) единицами измерения служат: времени — 1 000 с, длины — 1 000 км, скорости — 1 км/с; угловой скорости — 0,001 с-1, действующего на КА аэродинамического момента — 1 см/кг, плотности атмосферы — 1 кг/м3, E = 1010. Третья строка матрицы 11 Ь^ 11 вычисляется как векторное произведение ее первой и второй строк, начальные значения переменных Ьи и Ь2 параметризуются углами уЬ, 5Ь и РЬ. Тем самым обеспечивается нужная точность выполнения условий ортогональности этой матрицы. Величины х и vi задаются формулами
з
к — 1
3
О4-Д>А«' ¿=1.2,3;
к = 1
V = У + ю У - 7 = У - со У - V = У
VI 1 е 2* 2 2 е 1' '3 3'
где юе - угловая скорость вращения Земли, координаты Ук и скорости Ук точки 0 в системе СУ1У2У3 вычисляются в функции времени с помощью модели 5СР4 по подходящему набору двухстрочных элементов.
Параметры ц , ц' в уравнениях (1) и углы у, а и р можно считать заданными: их проектные значения ц = 0,14; ц' = 0,87; у = а = р = 0.
Однако ниже эти величины и параметры р. определяются из обработки данных измерений наряду с неизвестными начальными условиями движения ТГК, т.е. служат параметрами согласования.
Методика обработки данных измерений
Во время закруток ТГК измерялись компоненты угловой скорости в системе 0у1у2у3 и электрический ток, вырабатываемый СБ. Данные измерений по телеметрическому каналу передавались на Землю. Обработка этих данных, относящихся к одной и той же закрутке, состояла в поиске решения уравнений (1), наилучшим образом согласующего эти данные с их расчетными аналогами.
Данные измерений угловой скорости имеют вид
О^П^П(3й), п = 1, 2, ...., М,
где 0("\г = 1, 2, 3) - приближенные значения компонент О. угловой скорости ТГК в строительной системе координат в момент времени t: 0(п)«0.и ); t,< < ... < t.. Расчетные аналоги
п I Л ^ 12 N
измерений компонент угловой скорости вычисляются по формулам
3
Ц=Хайсо4, ¿=1,2,3, (2)
к =1
где значения берутся из решения уравнений движения ТГК.
Данные измерений тока СБ представляют собой три ряда значений, получаемых от трех датчиков:
Ь'т,1^\Цт\Цт\ т = 1, 2, ..., М,
где — приближенное значение тока, фиксируемое в момент времени ?т датчиком с номером ] (| = 1, 2, 3); ... < Показания датчиков почти одинаковы, поэтому измерением тока в момент Ь'т считается I т = [/{+ /2(т)+[ /3. Расчетный аналог тока СБ имеет вид
з
1-10Цш, = (3)
¡,«=1
где 10 — максимальный ток, вырабатываемый СБ; П — косинус угла между осью 0у2 и ортом 8 направления Земля-Солнце; Ьы определяются уравнениями (1); 5к — компоненты орта 8 в системе СУ1У2У3. Зависимость величин 5к от времени рассчитывается по приближенным формулам.
Пусть ошибки в измерениях компонент угловой скорости независимы и имеют нормальное распределение с нулевым средним значением и стандартным отклонением стО. Ошибки в значениях I также независимы,
т
распределены нормально с нулевым средним значением и стандартным отклонением аГ Поскольку значения сО и а1 заранее не известны, совместная обработка обоих видов измерений выполняется методом максимального правдоподобия и сводится [5] к минимизации на решениях системы (1) функционала:
Ф1 = ЗМпФп + М1пФ7;
п= 1 1=1
М 2
ф,=Х К-ыо~\ -
т = 1
где функции и вычисляются по формулам (2), (3). Функционал Ф1 минимизируется по девяти величинам: аэродинамическим параметрам р. (I = 1, 2, 3) и начальным условиям
решения системы (1). Начальные условия задаются в момент предшествующий на несколько секунд наиболее раннему из моментов ^ и Начальные значения переменных ю. обозначим юю, начальные значения переменных Ь1; и Ь2, как уже говорилось, выражаются через углы уЬ, 5Ь и РЬ. Параметры 10, ц, ц', у, а и р при минимизации фиксированы. Они предварительно находятся из обработки тех же измерений с помощью более простых моделей.
Выражение Ф1 представим в виде м
Ф =/п2Ф . ф=ЕЬ -Лео]2- 4=1/1п-
I О Т1, л I. >т т' J , 1т т' О
т = 1
Поскольку параметр 10 фиксирован, минимизация Ф1 эквивалентна минимизации функционала
(4)
Ф9 = ЗМпФп + М1пФ .
Z 12 Т|
Величины nm и функция n(0 используются для представления результатов реконструкции движения ТГК. Ошибки в значениях величин nm независимы, распределены нормально с нулевым средним значением и стандартным отклонением сп = с/10.
Минимизация функционала (4) проводится методами Левенберга-Марквардта и Гаусса-Ньютона [5]. Начальное приближение определяется на этапе упрощенной обработки данных измерений, который описан ниже. Точность аппроксимации измерений и разброс в определении компонент будем характеризовать соответствующими стандартными отклонениями. Приведем расчетные формулы. Пусть . и Ф — значения выражений
J Q min nmln
Фа и Фп в точке минимума функционала (4), CQ и C — вычисленные в этой точке матрицы систем нормальных уравнений, возникающих при минимизации указанных выражений методом Гаусса-Ньютона (матрицы 2CQ, 2Cn приближенно равны матрицам квадратичных форм d2ФQ, d2Фп ). Тогда формулы стандартных отклонений ошибок в измерениях и ковариационной матрицы K определяемых параметров можно записать в виде
/Ф Ф
Пшп . _ _ ЛДЦ" •
ст°~\злГ' стч" V М '
К - а2С У1
V П П г] •
В первых двух формулах должно быть М > 9; 3М > 9. Стандартные отклонения определяемых параметров равны квадратным корням из соответствующих диагональных элементов матрицы К. Стандартные отклонения величин р., ю.0, уЬ и т.п. будем обозначать с ,, сю., с Ь.
Упрощенные способы обработки измерений
Движение ТГК в режиме закруток происходило с большой угловой скоростью, поэтому уравнения (1) и описанный выше способ обработки данных измерений целесообразно использовать только на относительно продолжительных отрезках времени. На коротких временных отрезках (30-40 мин) лучше использовать другие модели. В этих моделях движение ТГК и расчетные аналоги измерений описываются более простыми соотношениями, содержащими дополнительные уточняемые параметры, которые в соотношениях (1), (2), (3) считают-ся фиксированными — в рамках модели, при-веденной выше, они уточняются плохо.
Для описания зависимости от времени величин ю. на сравнительно коротких отрезках времени оказалось возможным использовать динамические уравнения Эйлера свободного твердого тела, на которое не действуют внешние механические моменты. Эти уравнения имеют вид
ю1 = цю2о)3; ю2 = ^ ^ 0)3(0^ <а3= - ц'со^. (5)
Уравнения (5) допускают семейство стационарных решений:
ю1 = ю3 = 0; ю2 = О, (6)
где О — произвольная постоянная. Решения (6) описывают стационарные вращения ТГК вокруг его главной центральной оси максимального момента инерции. Движениям ТГК в режиме одноосной солнечной ориентации отвечают решения из малой окрестности семейства (6). Для нахождения таких решений можно воспользоваться линеаризованными уравнениями
со^цОШз; ю3 — ц'^Юр =
решив которые, получим приближенные формулы общего решения уравнений (5):
ш4 = Х[Азту(£ - £0) + Всо^\(Ь - £„)];
ю2 = Q;
со
(7)
з Асозу(£ - £0) - В?,ту(£ - £0);
где А и В — произвольные постоянные. Формулы (7) тем точнее, чем меньше абсолютные величины отношений А/О, В/О .
И решения (6), и формулы (7) можно использовать для обработки измерений угловой скорости ТГК, полученных во время реализации режима одноосной солнечной ориентации.
Расчетные аналоги измерений в обоих случаях определяются соотношениями (2). Рассмотрим сначала использование формул (7). В этом случае соотношения (2) содержат восемь параметров: A, B, О, А, V, у, а и р, которые считаем независимыми и оцениваем методом наименьших квадратов из условия минимума введенного выше выражения ФО. После того как оценки указанных параметров найдены, вычисляем ц = ^/О; ц' = v/АО. Параметры ц, ц' и углы у, а, р характеризуют тензор инерции ТГК, поэтому представляют большой интерес. Более точные оценки этих параметров можно получить, минимизируя выражение ФО на решениях уравнений (5). В этом случае ФО рассматривается как функция другого набора из восьми параметров: юю = ю(0) (I = 1, 2, 3), ц, ц', у, а, р. Минимизация ФО в обоих случаях выполняется методом Гаусса-Ньютона. Сначала минимизация выполняется с использованием формул (7), ее результат служит первым приближением для минимизации ФО на решениях уравнений (5). Затем найденные параметры ц, ц', у, а, р используются при упрощенной обработке измерений тока и при минимизации функционала (4). Стандартные отклонения указанных параметров обозначим сц, сц„ с^, са, Ср. Эти величины и стандартные отклонения остальных уточняемых параметров рассчитываются в рамках обычных предположений метода наименьших квадратов.
Упрощенная модель вращательного движения ТГК для обработки измерений тока СБ включает соотношения (2), (5) и уравнения Пуассона для компонент орта s в строительной системе координат. Эти компоненты обозначим si. В рамках вышеописанной модели они рассчитываются по формулам з
я. = г =1,2,3.
• к к) I?' > '
Если пренебречь изменением во времени величин Sk, то для компонент si будут справедливы уравнения
(8)
В этих уравнениях функции О. = О.(^) выражаются через решение уравнений (5) по формулам (2), параметры которых определены на заданном отрезке времени по измерениям угловой скорости ТГК. При этом значение п в формуле (3) расчетного аналога измеряемого тока принимается равным s2.
Уравнения (8) интегрируются численно. Начальные условия компонент si выражаются через независимые параметры z1 и z2 по формулам
_ . с_1-г}-4. = _ 2г2
Это обеспечивает равенство 5^+52 + 5^ = 1 в начальный момент времени. При численном интегрировании выписанное равенство выполняется с необходимой точностью в силу свойств уравнений (8).
Параметры z1, z2 и максимальный ток 10 находятся методом наименьших квадратов из условия минимума введенного выше выражения Ф7 на решениях системы (8). Начальные условия этой системы и системы (5), которая интегрируется совместно с уравнениями (8) для расчета функций О.(^, задаются при £0 = ф. Минимизация вы-
полняется методом Гаусса-Ньютона из начальной точки z1 = z2 = 0; 10 = 29 А, отвечающей идеальной солнечной ориентации ТГК и номинальному значению максимального тока. Качество обработки характеризуется стандартными отклонениями искомых параметров сг1, сг2, с/0 и стандартным отклонением ошибок измерений с7.
Результаты упрощенной обработки измерений
Некоторые результаты обработки измерений угловой скорости приведены на рис. 1 и в табл. 1. В табл. 1 использовано декретное московское время — ДМВ (ЦГС + 3 ч). В ней для каждого интервала измерений указаны: его номер, начальная точка t1, длина tN - t1 и N — число включенных в обработку моментов времени с измерениями. Интервалы 1-6 относятся к полету ТГК «Прогресс М-13М», измерения на интервалах 7, 8 получены в ходе полета ТГК «Прогресс М-14М». Интервал 6 включает интервалы 4, 5. Табл. 1 также содержит результаты обработки измерений с использованием решений системы (5) (обработка с использованием формул (7) дает близкие результаты). Во всех случаях в качестве момента t0 использовался момент t1. В табл. 1 указаны оценки параметров и их стандартные отклонения; единицами измерения углов и угловой скорости служат, соответственно, радианы и 10-3с-1 (при такой единице времени орбитальная частота равна 1,14). Как видно из табл. 1, упрощенная обработка измерений угловой скорости позволяет получить приемлемые оценки тензора инерции ТГК. Особенно интересна оценка угла у « 7°. Это соотношение выполняется и для ТГК «Прогресс М-11М». Согласно формулам (2), (7), именно угол у определяет возмущенное движение ТГК в режиме закрутки на Солнце при принятом способе построения начальных условий режима.
Рис. 1. Обработанные данные измерений угловой скорости: маркеры — данные измерений; сплошные кривые — графики аппроксимирующих решений системы (5); слева — интервал 2; справа — интервал 8 (табл. 1)
Таблица 1
Результаты упрощенной обработки измерений угловой скорости
Номер интервала Дата Ч(ДМВ) ^ - ■Ц, мин N со ю10 Сю1 Ю20 Сю2 ю30 Сю3
1 31.10.2011 10:11:06 6,15 231 0,070 0,487 0,0063 40,183 0,0046 0,859 0,012
2 31.10.2011 11:32:22 18,88 703 0,077 -0,577 0,0040 39,986 0,0029 -0,312 0,0082
3 31.10.2011 13:05:01 20,12 739 0,082 -0,298 0,0067 -0,701 0,0079 0,890 0,0030
4 01.11.2011 16:09:45 7,90 297 0,068 -2,197 0,0059 41,282 0,0040 2,729 0,012
5 01.11.2011 16:19:06 74,00 114 0,129 1,699 0,016 41,177 0,012 3,965 0,028
6 01.11.2011 16:09:45 88,92 555 0,389 -2,163 0,022 41,294 0,017 2,270 0,035
7 26.01.2012 21:45:11 75,92 105 0,095 0,205 0,012 40,636 0,0093 -0,841 0,017
8 27.01.2012 05:09:39 88,86 513 0,282 1,807 0,016 40,965 0,013 2,495 0,025
Продолжение таблицы 1
Номер интервала ц с ц ц' с , ц У с У а са Р сР
1 0,155 0,0021 0,889 0,010 -0,1213 2,6.10-4 0,0235 0,0066 -0,0164 8,4.10-4
2 0,162 0,0012 0,872 0,0065 -0,1222 9.10-5 -0,0006 0,0041 -0,0130 5. 10-4
3 0,159 0,0016 0,882 0,0087 -0,1222 1. 10-4 0,0072 0,0049 -0,0143 6,1.10-4
4 0,156 4.10-4 0,871 0,0022 -0,1237 1,1. 10-4 0,0054 0,0013 -0,0139 1,7.10-4
5 0,157 0,0014 0,876 0,0080 -0,1252 3,5.10-4 0,0057 0,0047 -0,0128 6,8.10-4
6 0,156 0,0017 0,881 0,0094 -0,1225 4,1.10-4 -0,0027 0,0055 -0,0120 8,2.10-4
7 0,155 0,0054 0,864 0,030 -0,1368 3,2.10-4 0,0125 0,018 -0,0124 0,0024
8 0,154 0,0014 0,876 0,0080 -0,1337 3,3.10-4 0,0066 0,0047 -0,0111 7,5.10-4
Графики реконструированных функций Ц(Ь) (г = 1, 2, 3) на двух обработанных интервалах изображены сплошными линиями на рис. 1. Маркеры рядом с графиками указывают данные измерений — точки (£_, Согласно данным в табл. 1, характерное среднеквадратичное значение ошибки аппроксимации измерений угловой скорости составляет стп = 10~4с_1 « 0,006 °/с.
Результаты упрощенной обработки измерений тока приведены на рис. 2. и в табл. 2. Таблица содержит номера интервалов измерений (цифры со штрихом), их начальные точки длины и М — число включенных в обработку моментов времени с измерениями.
16,32
Кроме того, для каждого интервала с измерениями тока в таблице указан номер интервала с измерениями угловой скорости, результаты обработки которого использованы в соответствующей системе (8), и результаты минимизации функционала Ф7: оценки параметров упрощенной модели, их стандартные отклонения, стандартные отклонения ошибок измерений ст1 и величины стп, ст^/а^. Номер интервала с измерениями угловой скорости указывает, в частности, на использованные значения параметров ц, ц', у, а, р из табл. 1. Эти значения индивидуальны для каждого обработанного интервала.
1Л1.Л
16.29
13,05 16,29
£ - („. НИВ
16,32
3,26
9,79
13,05 16,32 I - г0, шш
Рис. 2. Обработанные данные измерений тока на ТГК «Прогресс М-13М» (интервал 2'): маркеры — данные измерений; сплошные кривые — графики аппроксимирующих функций; Ь = 11:32:19 ДМВ 31.10.2011
Таблица 2
Результаты упрощенной обработки измерений тока
Номер интервала Дата 1 мин М Номер интервала (П) ст1, А 10, А ст^ А ст п 21 СТг1 22 стй 62П/62Т1, 106с-2
1' 31.10.11 10:09:26 9,38 555 1 0,24 28,89 0,059 0,00822 0,1583 0,0022 - 0,2654 0,0021 71
2' 31.10.11 11:32:19 16,23 972 2 0,19 29,09 0,039 0,00679 - 0,2517 0,0012 - 0,2205 0,0013 129
3' 31.10.11 13:05:00 13,38 806 3 0,32 30,16 0,080 0,0105 - 0,3571 0,0019 - 0,0497 0,0023 61,4
4' 31.10.11 11:31:08 53,13 3 096 2 0,29 28,58 0,029 0,0101 - 0,24239 0,00095 - 0,01073 0,0011 58,5
5' 31.10.11 12:25:11 53,15 3 132 3 0,41 29,45 0,047 0,0138 0,0926 0,0016 - 0,3631 0,0013 35,4
6' 01.11.11 16:09:45 39,93 2 980 6 0,20 28,014 0,0049 0,00702 0,00889 0,00060 0,4220 0,00060 3 062
7' 26.01.12 21:42:31 52,40 3 144 7 0,16 28,035 0,0040 0,00573 - 0,03796 0,00052 - 0,03870 0,00053 268
8' 27.01.12 05:09:39 52,50 3 150 8 0,21 28,039 0,0037 0,00732 0,00384 0,00058 - 0,02842 0,00058 1 483
Интервалы 1'-6' относятся к полету ТГК «Прогресс М-13М», интервалы 7', 8' -к полету ТГК «Прогресс М-14М». Интервалы 1'-3' короткие, у них левые (правые) концы отрезков tN] и отстоят друг от друга на несколько минут. На рис. 2, иллюстрирующем интервал 2', сплошными гладкими линиями изображены графики решения системы (8) — функций з(?) (I = 1, 2, 3), а также график расчетного аналога тока СБ — функции I = 10з(). Графики построены на отрезке \р[, Маркеры рядом с графиками з() и 1(0 — точки (£, Г1и) и (Ъ'т, 1т), где т = 1, 2, ..., М. Нижний правый график на рисунке — ломаная с вершинами в точках (ь',I — . Эта ломаная иллюстрирует ошибку аппроксимации измерений тока упрощенной моделью.
Судя по рис. 2 и значениям с1 в табл. 2, аппроксимация измерений тока на коротких интервалах получилась достаточно точной. Однако для более продолжительных интервалов 4'-8' описанный способ обработки оказался неудовлетворительным. Поскольку уравнения (5) и даже формулы (7) вполне приемлемы для описания изменения угловой скорости ТГК,
уравнения (8) должны достаточно точно описывать изменение компонент орта 8 в строительной системе координат. Уравнения (8) имеют простую структуру. Это линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами (все представляющие интерес решения системы (5) — периодические). Система (8) имеет кососимметрическую матрицу, поэтому ее матрица монодромии ортогональна. Один мультипликатор системы (8) равен 1, два других образуют пару комплексно-сопряженных чисел, лежащих на единичной окружности. По этой причине в случае найденных О.(0 любое решение системы (8) для переменной з2 имеет специфический вид и совсем не похоже на любой из верхних осциллирующих графиков на рис. 3. Указанные графики — это ломаные с вершинами в точках (¿'т, 1т), где т = 1, 2, ..., М. Они должны быть близки графикам функций 10з() и не могут содержать ярко выраженной низкочастотной (с частотами менее 0,001 Гц) составляющей, которая в них очевидно присутствует. Такая составляющая не имеет отношения к движению ТГК и из обрабатываемых измерений тока должна быть исключена.
Рис. 3. Скорректированные данные измерений тока: слева — интервал 6'; справа — интервал 7'; вверху — исходные данные и корректирующая функция; внизу — скорректированные данные (значения указаны в табл. 2)
По-видимому, эта составляющая обусловлена вкладом солнечного света, отраженного от поверхности Земли. Математическая модель указанной составляющей еще не реализована в описываемом программном комплексе реконструкции вращательного движения ТГК, поэтому исключение данной низкочастотной составляющей из измерений тока на интервалах 4'-8' выполнялось формальным способом.
Способ состоит в следующем. Сначала строится аппроксимация низкочастотной составляющей с помощью выражения (конечного ряда
фурье)
ь -
= а1+1 + аь+2(г - О + £ а1 - + ' '
I-1 ьы 11
коэффициенты которого а1, а2, ..., а1+2 наилучшим образом (при использовании метода наименьших квадратов) сглаживают точки (С'^в), т = 1, 2, ..., М. Графики низкочастотной составляющей для интервалов 6', 8' изображены плавными линиями в верхней части рис. 3. Затем вычисляется среднее значение (х) выражения х(Ь) на сетке Функция х(Ь) - (х) считается той посторонней составляющей, которую следует удалить из данных измерений. Удаление состоит в замене величин I величинами I - х (Ь ) + (х) с сохране-
т т Л ^ т' 1
нием прежних обозначений. Ломаные линии, а,,о2, о,, ю-V1
шят
О 18.05 36,10 54,15 72.19 90,24
проходящие через новые точки (р'т, / ), приведены в нижней части рис. 3.
Результаты обработки скорректированных измерений тока на интервалах 4'-8' приведены в соответствующих строках табл. 2. Рис. 4-6 составлены аналогично рис. 1, 2 и иллюстрируют эти результаты для интервалов 6' и 7'. На рис. 4, 5 сплошными гладкими линиями изображены графики функций Ц(Ь) и $.(Ь) (I = 1, 2, 3) — коэффициентов и решений системы (8). Графики Ц(Ь) построены на отрезке [Ь1, ЬЫ] и [£', графики $.(Ь) — на отрезке Маркеры рядом с графиками Ц(Ь) — это использованные для построения решений системы (5) измерения , п = 1, 2, ..., Ы; маркеры рядом с графиками $2(Ь) — точки (р'т, т]ш), т = 1, 2, ..., М. В верхней части рис. 6 приведены результаты аппроксимации измерений (р'т, 1т) функциями I = 10$2(Ь), а в нижней части рисунка представлены ошибки такой аппроксимации. Как видим, ошибки аппроксимации скорректированных измерений тока их расчетным аналогом на интервалах 6', 7' несколько выше, чем в случае интервала 2'. Расчетный аналог плохо воспроизводит некоторые локальные детали измерений, хотя значения с1 остаются примерно на прежнем уровне. Следовательно, коррекция сделана не вполне адекватно, однако без нее согласие измерений с моделью было бы значительно хуже.
11111» 40,31 50,30 60,28 70,27 80,26 90,24
тмт ¡тшй
О 18,05 36,10 54,15 72,19 90,24 40,31 50,30 60,28 70,27 80,26 90,24
шмш мшш
О 18,05 36,10 54,15 72,19 90,24 40,31 50,30 60,28 70,27 80,26 90,24
С - £„, мин £- (д, мин
Рис. 4. Обработанные данные измерений угловой скорости и тока на ТГК «Прогресс М-13М» (интервалы 6 и 6): маркеры — данные измерений; сплошные кривые — графики аппроксимирующих функций; ¿0 = 16:09:45 ДМВ 01.11.2011
Рис. 5. Обработанные данные измерений угловой скорости и тока на ТГК «Прогресс М-14М» (интервалы 7 и 7): маркеры — данные измерений; сплошные кривые — графики аппроксимирующих функций; t0 = 21:42:31 ДМВ 26.01.2012
Рис. 6. Аппроксимация измерений тока на интервалах 6 (^ = 16:09:35ДМВ 01.11.2011) и с по-
мощью упрощенной модели: маркеры — данные измерений; сплошные кривые — графики аппроксимирующих функций
Результаты обработки измерений с помощью полной модели
Обработка измерений с помощью полной модели была выполнена на пяти интервалах времени. Результаты обработки представлены в табл. 3 и на рис. 7, 8. Состав измерений на этих интервалах соответствует интервалам 4 -8 из табл. 2.
В случае интервалов 6 ' , 7 ' и 8 ' соответствие полное, в случае интервалов 4 и 5 данные измерений угловой скорости несколько дополнены. Вследствие указанного соответствия обозначения интервалов в табл. 2 и 3 одинаковы. В частности, включенные в обработку интервалы измерений угловой скорости из табл. 1 указаны в скобках в первом столбце табл. 3.
Результаты упрощенной обработки измерений угловой скорости
Таблица 3
Номер интервала 10 Д£ со с п То с,о «о сбо Ро сро
4 '(1, 2) 11:31:08 53,13 0,0925 0,00974 5,546 0,019 - 5,443 0,023 -2,605 0,0097
5' (3) 12:25:11 53,15 0,0891 0,0138 2,441 0,031 - 2,011 0,038 0,829 0,0072
6' (6) 16:09:45 39,93 0,358 0,00580 2,563 0,060 - 4,317 0,075 1,002 0,026
7' (7) 21:42:31 52,40 0,110 0,00546 2,641 0,061 1,420 0,11 - 0,547 0,040
8' (8) 05:09:39 52,50 0,275 0,00719 3,149 0,095 2,204 0,14 - 0,739 0,010
Продолжение таблицы 3
Номер интервала ®1о с„1 ®2о с«2 ®3о ссв Р1 сР1 Р2 ср2 Ръ с , р3
4' (1, 2) 0,429 0,0038 40,132 0,0028 0,976 0,0060 0,104 0,020 0,003 0,0039 -0,0013 0,0006
5 '(3) 0,488 0,0043 40,065 0,0028 - 0,144 0,0077 0,017 0,022 - 0,050 0,0048 -0,0006 0,0006
6'(6) - 2,058 0,018 41,371 0,0069 2,169 0,037 - 0,083 0,11 - 0,324 0,0093 0,018 0,0028
7 '(7) 0,030 0,012 40,589 0,0098 0,952 0,018 0,330 0,10 0,121 0,012 0,027 0,0036
8 '(8) 1,713 0,015 40,913 0,0063 2,946 0,026 0,033 0,10 0,103 0,0075 - 0,009 0,0028
Рис. 7. Обработанные данные измерений угловой скорости и тока на ТГК «Прогресс М-13М» (интервалы 6 и 6) с помощью полной модели: маркеры — данные измерений; сплошные кривые — графики аппроксимирующих функций; t0 = 16:09:35 ДМВ 01.11.2011
Рис. 8. Обработанные данные измерений угловой скорости и тока на ТГК «Прогресс М-14М» (интервалы 7 и 7) с помощью полной модели: маркеры — данные измерений; сплошные кривые — графики аппроксимирующих функций; t0 = 21:42:21 ДМВ 26.01.2012
Обработка выполнялась в два этапа. На первом этапе минимизировался функционал наименьших квадратов Ф3 = Фп + (^Ат,2)®/, в котором отношение а^/о^ бралось из соответствующей обрабатываемому интервалу строки табл. 2. Начальная точка минимизации формировалась следующим образом. Значения углов уь, 5ь и Рь находились из условия, что ось 0х2 направлена точно по орту s, а ось 0х1 лежит в плоскости СУ1У2. Начальные условия угловых скоростей, 10 и параметры тензора инерции ТГК выбирались такие же, как при упрощенной обработке соответствующих интервалов из табл. 2. Принималось р1 = р2 = р3 = 0. Минимизация Ф3 выполнялась сначала методом Левенберга-Марквардта, а после окончания его работы полученный результат проверялся методом Гаусса-Ньютона. Затем минимизировался функционал (4).
Как оказалось, решение системы (1), обеспечивающее локальный минимум функционалу (4) или Ф3, не единственное. После того как один локальный минимум найден, преобразование углов уь ^ -уь; 5ь ^5ь ±р; Рь ^ -рь позволяет иногда получить из най-
денной точки минимума начальное приближение для удачного поиска другого локального минимума с весьма близким значением функционала. Это преобразование задает поворот ТГК вокруг оси 0х2 на угол р. В указанном выше начальном приближении точки экстремума ось 0х1 в плоскости орбиты можно направить двумя способами. Разные направления этой оси также могут привести к разным точкам минимума.
Аппроксимация данных измерений разными решениями системы (1), обеспечивающими функционалу (4) близкие минимальные значения, на вид одинакова; количественно (по значениям сп и сп) такие аппроксимации почти идентичны. В такой ситуации для выбора решения, описывающего фактическое движение ТГК, необходимо привлечение дополнительной информации о положении осей ТГК. Если же не задаваться целью детальной реконструкции движения, а сосредоточиться на свойствах солнечной ориентации, то можно ограничиться анализом движения орта 8 в строительной системе координат ТГК. Конкурирующие минима-ли функционала (4) описывают его практически
одинаково. По этой причине на рис. 7, 8 движение ТГК иллюстрируется графиками компонент угловой скорости и компонент орта 8 в системе 0у1у2у3. Графики изображены сплошными линиями. Маркеры на рисунках указывают точки (рп, П™) и (¿т,г]т).
В табл. 3 приведены оценки уточняемых параметров полной модели, их стандартные отклонения, а также стандартные отклонения ошибок измерений сп и с^. Кроме того, в таблице приведены моменты времени Ь0, в которые задавались начальные условия системы (1) и длины ЛЬ объединенных интервалов ^ Анализ таблиц и рисунков по-
казывает, что результаты обработки измерений с помощью полной модели несколько изменились по сравнению с результатами упрощенной модели, но все же близки последним.
Выводы
Таким образом, с помощью данной методики можно рассчитать фактическое движение ТГК и квазистатическое микроускорение в любой заданной точке его борта. Указанная неединственость реконструкции движения практически не повлияет на результат.
Полученные результаты позволяют рационально планировать эксперименты в области микрогравитации на ТГК «Прогресс» и
рассчитывать квазистатические микроускорения, возникающие при их проведении.
Список литературы
1. Беляев М.Ю., Бабкин Е.В., Сазонов В.В. Режимы неуправляемого вращательного движения КА «Прогресс» для экспериментов в области микрогравитации. Препринт, М.: Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, 2004, № 44.
2. Брюханов Н.А., Цветков В.В., Беляев М.Ю., Бабкин Е.В., Матвеева Т.В., Сазонов В.В. Эксперименты с неуправляемым вращательным движением КА «Прогресс». Препринт, М.: Институт прикладной математики имени М.В. Келдыша РАН, 2005, № 83.
3. Брюханов Н.А., Цветков В.В., Беляев М.Ю., Бабкин Е.В., Матвеева Т.В., Сазонов В.В. Экспериментальное исследование режимов неуправляемого вращательного движения КА «Прогресс» // Космические исследования. 2006. Т. 44. № 1. С. 52-61.
4. Путин Г.Ф., Глухов А.Ф., Завалишин Д.А., Беляев М.Ю., Сазонов В.В. Исследование микроускорений на борту МКС с помощью датчика конвекции ДАКОН-М // Космические исследования. 2012. Т. 50. Вып. 5. С. 373-379.
5. Бард Й. Нелинейное оценивание параметров. М.: Статистика, 1979.
Статья поступила в редакцию 26.03.2013 г.
