CC BY
41
ЕЛЕКТРОДИНАМ1КА
УДК 535:537:539:546
ВИЗНАЧЕННЯ ВОЛОГОСТ1 ПОРИСТИХ СЕРЕДОВИЩ З ВИКРОРИСТАННЯМ МЕТОД1В РАДЮМЕТРП (ОБЕРНЕН1 ЗАДАЧ1)
Криворучко Я.С., Лерман Л.Б., Лющенко М.О., Якимiв Р.Я.
Для визначення д1електричних проникностей та товщин шар1в неоднор1дних почво-трунт1в розроблено методику чисельного розв 'язання оберненоХ задач1 взаемоди елект-ромагнтних хвиль з шаруватим середовищем. Запропоноваш методи можуть знайти широке застосування в систем1 точного землеробства.
Вступ. Постановка задачi
Необхщнють отримання шформаци про волопсть пористих середовищ та глибину проникнення вологи в них виникае в рiзних галузях народного господарства. Присутшсть води у таких середовищах змшюе !х фiзико-мехатчт характеристики, i, зокрема, дiелектричну проникнiсть. Вiдомо [1,2], що ця змша може суттево впливати на коефщент вiдбиття електро-магштно! хвилi (Я) вiд поверхш дослiджуваного об'екту. Оскiльки задача вимiрювання Я експериментально вирiшена [3], це дозволяе за змшою ко-ефщента вiдбиття оцiнювати кiлькiсть вологи у дослщжуваному об'ектi методами радюметри грунлв в дiапазонi НВЧ з використанням лтаюв та космiчних супутникiв [3]. Практичне застосування цих методiв потребуе оперативного розв'язування обернених задач. В данш роботi розглядають-ся неоднорщно зволоженi грунти в умовах неглибокого рiвня залягання грунтових вод (1,5...3,5 м) та пропонуеться методика чисельного розв'язання таких задач, що дозволяе з використанням сшввщношень для обчислення ефективно! комплексно! дiелектрично! проникност пористих середовищ та розв'язюв вказано! вище прямо! задачi отримати кiлькiсну ощнку присутностi вологи в грунтах.
Розглядаеться неоднорщний шар почвогрунту, розташований мiж двома нескiнченими середовищами: верхне - це повггря, а нижне - це грунтовi води, або якась шша основа. В неоднорiдному шарi грунту комплексна дiе-лектрична проникшсть г е функцiею вертикально! координати г, тобто е = г( г). Аналггичш розв'язки про поширення хвиль в неоднорщних шарах вiдомi лише для деяких функцш [1], тому цю залежнiсть ми моделюемо кусочно-сталою функщею, i шар грунту розглядаеться, як система плоско-паралельних п шарiв з рiзними комплексними дiелектричними проникнос-тями г = г' + ¡г' (г ' - дiйсна, г'' - уявна частини, / - уявна одиниця,
(' = 1,2, к, п) i товщинами ('=1,2,.., п). Зауважимо, що на практищ
зручно задавати дшсну частину дiелектрично! проникностi та тангенс дiе-лектричних втрат tg8 = г" / г', або використовувати провщшсть а. В остан-ньому випадку г = г' + /(4па / ю), де ю = 2пс/X - частота випромшювання,
с - швидюсть свггла, X - довжина хвилi. Запишемо комплексний коефщь ент вiдбиття Я, як функщю параметрiв шарiв, при цьому кут падшня 0 i довжина X плоско! електромагштно! хвилi - постiйнi:
Я = -(ере2,к ,е„;ара2,к ,ап;X) (1)
Якщо 0^0, то коефщент вiдбиття буде залежати ще й вiд поляризацп хвилi, i фактично матимемо двi залежностi для перпендикулярно! i парале-льно! поляризацiй
Я1 = Р1(е Р е 2,к ,е п; а р а 2,... , ап; 0; X )> (2)
Я || = — 2 ( е 1 , е 2 , ^ " ' еп ; а 1 , а 2 ,' ' ' ' а п ; 0 ; Х )
Радiометрiя дозволяе визначити залежностi Я вщ кута падiння та дов-жини хвил^ тобто отримати експериментальнi залежност Я- = Ц(0; X), Яех = а2(0;Х) (3)
Задача полягае в визначенш параметрiв е 1зе2, • • •,еп;ап за екс-периментальними залежностями (3), тобто з системи рiвнянь
-1( е1,е25к, еп; ап;0;X)=С^0^) (4)
-2( е1,е2,к, еп; ^ ап;0;X)=С^0;^) •
З рiвнянь (4) видно, що iснуе двi можливостi для визначення невщомих параметрiв шарiв• Перша пов'язана з використанням спектрально! залеж-носл, тобто залежностi коефiцiента вщбиття вiд довжини хвилi (частоти) при фжсованому кутi падiння, а друга - з використанням результата ска-нування по кутах падiння при фшсованш довжинi хвилi для обраного, або для обох тишв поляризацш. На практицi можливо застосування обох шд-ходiв, але другий мае певш переваги, оскiльки дозволяе використовувати при вимiрюваннях лише один генератор електромагштного випромшю-вання. В цш роботi розглядаеться друга можливiсть, але в розробленш ме-тодицi можливо застосування комбшованого методу, коли використову-еться iнформацiя, отримана в певному iнтервалi кутiв сканування i деякому дiапазонi довжин хвиль. Пiсля знаходження дiелектричних проникностей шарiв кiлькiсть вологи рw (об'емно! концентрацi! води у шарах грунив)
може бути ощнена, наприклад, за формулою Бруггемана-Ханаи [3])
рw = ( ес -ев/)/( ес -еw)^еw /ев/ (5)
або формулою Брауна
^ = +(1 -Pw)^f (6)
де е с, е ^, е w - дiелектрична проникшсть вiдповiдно сухого грунту, шару
зволоженого грунту (ефективна), води.
Розв'язання оберненоУ задачi для визначення параметрiв шар1в
Система (4) для п шарiв мiстить 3п невiдомих, оскiльки комплексна дь електрична проникнiсть кожного шару визначаеться двома дшсними пара-
метрами, наприклад, дшсною частиною sта tgS , i до рiвнянь входять
J ■
розмiри шарiв d(j = 1,2,к, n). Якщо вибрати в iнтервалi кутiв скануван-ня 0 = [ü,Smax] вщповщне число m точок Sl (l = 1,2,...,m), то можна отримати алгебра!чну систему нелiнiйних рiвнянь
s2^ • ^sn;dpd2,к,dn;Sl;X) G1(Sl;X)
F2(sp s2,K, Sn; d1, d2,K, dn ;X )=G2(S ;X) (7)
яка дозволяе визначити шуканi параметри i яку доцшьно застосовувати при невеликш кiлькостi шарiв, коли для коефщенлв вiдбиття можна отримати кiнцевi формули. Для велико! кшькосп шарiв доцшьне викорис-тання методу нев'язок [6]. При цьому вводиться узагальнений функщонал
Ф(Sl, S2 ,к , sn ; dl, d2 ,к , dn ; X) =
m
аЕ [FH(Si,s2,к sn;d 1,d2,к dn;X) - Gu(sps2,к sn;d 1,d2,к dn;X)]2 +
l=1
m
+ßZ[F2l (s1. s2.-sn;d2,—dn ;X) - G2l(sl, s2,-sn;d2,-dn;X)]2 (8)
.=1
де а, ß - деякi вaговi коефiцiенти, а
Fjl(s 1,к s n;d 1,к dn; s.;X) = F }l(s 1,к s n;d 1,к dn; s l;X), ^
G jl (s 1,к sn;d 1,к dn; S.;X) = G jl (s 1,к sn;d 1,к dn;Sl; X), (j = 1,2)
Оскiльки на прaктицi вимiрюеться коефщент вiдбиття за потужнiстю, в рiвняннi (8) будемо розумiти модулi коефщент1в вiдбиття. Функцiонaл (8) - е сума середньоквадратичних вдаилень розрахованих та вимiряних зна-чень модулiв коефщенлв вiдбиття i його можна узагальнити, додавши вiдповiднi суми середньоквадратичних вщхилень за фазою. Тобто задача полягае у вщшуканш значень пaрaметрiв шaрiв, якi забезпечують Ф (sp s2,^, sn; dx, d 2,к, dn; X) ^ min. (10)
В сумах, що входять до (8) число m може бути довшьним, i, на вiдмiну вщ системи (5), не повинно дорiвнювaти числу невiдомих пaрaметрiв ша-рiв. Для досягнення кращо! узгодженостi з експериментальними даними число точок в iнтервaлi кутiв сканування прийняте з умови m > 3n. 1нтер-вали змiни пaрaметрiв шaрiв обмеженi i вiдомi з фiзичних мiркувaнь, тобто
s'min < sj < s'max, sjmin < sj < s jmax, dmin < dj < dmax (11)
Це означае, що мiнiмум (10) шукаеться у 3n - вимiрному замкненому пaрaлелепiпедi, i цей мтмум для неперервно! функци, якою е функщонал (8), завжди буде юнувати. Як i в [6], мшмум будемо шукати методом ви-падкового пошуку у 3n - вимiрному пaрaлелепiпедi iз застосуванням, так званих, ЛП-tau двiйкових послiдовностей [7].
Чисельш результати
Для апробаци наведеного алгоритму були змодельоваш експеримента-льш данi, отриманi за допомогою розв'язку прямо! задачi [1]. Для цього використовувалась формула
в] (д; X) = (1 + 52, )FJ (д; X) (12)
де 2 - рiвномiрно розподшена в iнтервалi (-1,1) випадкова величина, 5 -ампл^уда вщносно! похибки.
Як тестову задачу розглянемо вщбиття електромагнiтно! хвилi вщ тв-простору, за який приймемо товщу морсько! води (залежностi модуля кое-фщента вiдбиття для тако! задачi наведенi в [1]). Результати розрахунюв показанi на рис.1 для двох тишв поляризацiй. Експериментальнi дат пока-занi пунктиром. Для ампллуди похибки було прийнято значення 5%, а для дiелектричних параметрiв води i повiтря - в 1 = 81, 1§51 = 0,05, в2 = 1,
1§52 = 0, вщповщно. За цими даними були отримаш вiдновленi значення
дiелектричних характеристик води в1 = 77,5, tg51 = 0,03. Розрахунковi за-
лежностi Я вiд кута сканування для цих значень параметрiв показаш на рис. 1 суцiльними лтями. При розрахунках було використано 512 проб-них точок, значення ваг приймалися рiвними одиницi, що дозволило дося-гти похибки при вщновленш е менше 5%, тобто в межах похибки модельо-ваного експерименту. Одночасно похибка вщновлення tg5 виявилась до-сить великою (до 40 %), але ця розбiжнiсть, як показують прямi розрахун-ки, не суттево впливае на коефщент вщбиття.
и"
0,8
0,6 0,4 0,2 0
АЛ А*. Л А ■ Лл V ¡л & ч гй«
2 1
]
V
0 10 20 30 40 50 60 70 80 д°
Рис.1. Коефщенти вiдбиття Рис.2. Коефiцiенти вщбиття вiд поверхнi морсько! води вщ шару зволоженого грунту
1 - паралельна поляризацiя; 2 - перпендикулярна поляризащя; _розрахунковi значення за вщновленими параметрами.
Як другий приклад, розглянемо шар зволоженого грунту, товщиною 0,3 м, розташований мiж повггрям i сухим глиняним простором. Значення
параметрiв, прийнятих при симуляци експерименту та вщновлеш значення тих самих параметрiв наведенi в таблицi. Ампштуда задано! похибки при розрахунках складала 5%. Результати симуляцi! експерименту та розраху-нковi залежностi коефщенлв вщбиття за вiдновленими параметрами тв-простору i шару грунту для двох типiв поляризацi! хвилi наведенi на рис. 2.
Таблиця
Задаш i вiдновленi значення дiелектричних характеристик шару
зволоженого грунту i нижнього твпростору.
Шар Задаш значення Вщновлешзначення
Швпроспр s3 = 6,0 tgS3 = 0,05 s3 = 5,5 tgS3 = 0,06
Зволожений грунт б'2 = 20 tgS2 = 0,10 s2 = 22,5 tgS2 = 0,09
Похибка при вiдновленнi дiелектричних характеристик знаходилась в
межах 10% i може бути зменшена збiльшенням числа тестових точок i звуженнi промiжкiв пошуку невiдомих значень параметрiв.
Висновки
Розроблено методику визначення параметрiв шарiв почвогрунтiв за да-ними радюметри в дiапазонi НВЧ за допомогою розв'язання обернено! за-дачi. Наведет тестовi приклади розрахункiв свiдчать, що похибка в вщно-вленнi значень дiелектричних параметрiв знаходиться в межах похибки модельованих експериментальних залежностей коефщенлв вiдбиття.
Л1тература
1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. - М.: Наука. - 1973. -343 с.
2. Lerman L.B., Grechko L.G, Semchuk A.Yu. // Antenna Theory and Techniques. Effect of water absorption on radio technical characteristics of radar covers. Proceeding IV-th International Conference. - 9-12 September 2003, Sevastopol, 2003. - V.2. P. 301-303.
3. Шутко А.М. СВЧ -радиометрия водной поверхности и грунтов. - М.: Наука, 1986.
4 Ефективна д1електрична проникшсть зволожених дисперсних систем в наближен-
ш локально! пористосп Бойко В.В., Гречко Л.Г., Шкода Н.Г., Шостак С.В. // Ме-хашзащя сшьськогосподарського виробництва. - 2002,. - Т. XII. - С. 103 - 113.
5. Д1електрична проникшсть пористих середовищ. Гречко Л.Г., Лерман Л. Б., ш.// Вю-ник Ки!вського ушверситету. Сер1я: ф1зико-математичш науки. 2005, 2. С. 287-293.
6. Гречко Л.Г, Лерман Л. Б., Шкода Н.Г. Ефективна д1електрична проникшсть мат-ричних дисперсних систем з багатошаровими включеннями: пряма та обернена задач1 // Вюник Ки!в. ушверситету. Сер1я: ф1з.-мат. науки. - 2004, 2. - С. 181-186.
7. Соболь И.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со мно-
гими критериями. - М.: Наука, 1981. - 111 C.
Криворучко Я.С, Герман Л.Б, Лющенко М.О, Якимов Р.Я. Определение влажности пористых сред с использованием методов радиометрии (обратные задачи). Для определения диэлектрических прони-цаемостей и толщины слоев неоднородных почвогрунтов разработана методика численного решения обратной задачи взаимодействия электромагнитных волн со слоистой средой. Предложенные методы решения могут найти применение в земледелии. Lerman L.B., Lioushechenko M.O., Kri-voruchko Ya.S., Yakymiv R.Ja. Defining of the humidity porous medium with using of the radiometric methods (inverse tasks). The numerical method of an inverse problem solution of interaction electromagnetic waves with a lamellar media to determination of slabs' permeability and cross-dimensions of not uniform soils is elaborated. The methods of solving may be used in the system of fine agriculture.
