CC BY
19
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО Там 73. ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА 1952 г.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ПРОЧНОСТИ ДИЭЛЕКТРИКОВ ИЗ УСЛОВИЯ /МИНИМУМА ПОДВИЖНОСТИ
ЭЛЕКТРОНОВ
А. А. ВОРОБЬЕВ, Е. К. ЗАВАДОВСКАЯ
Высказана гипотеза, чю подвижность электронов в диэлектрике перед пробоем уменьшается. Из условия минимума функции, описывающей зависимость подвижности от напряженности поля, получены формулы для вычисления электрической прочности кристаллов. Электрическая прочность выражена через характеристики решетки и энергию электрона. Вычисленные значения величины электрической прочности для кристаллов щелочно-галоидных солей близко подходят к измеренным.
Введение
В диэлектрике при высокой напряженности поля происходят сложные физические процессы, заканчивающиеся его пробоем. Разрушение твердой структуры диэлектрика наступает, вероятно, потому, что электроны, уча-ствующие в. переносе тока, часть своей энергии, получаемой от внешнего поля, передают решетке. Когда энергия, передаваемая от электронного потока узлам решетки, становится сравнимой с энергией решетки, то на-ступает разрушение связей между узлами—пробой диэлектрика.
Процесс пробоя характеризуется усиленной передачей энергии от электронов решетке и должен сопровождаться уменьшением их скорости. Так как уменьшение скорости движения электронов наступает при возрастающем электрическом поле, то, следовательно, уменьшается их подвижность [1].
Таким образом, перед пробоем должно иметь место уменьшение подвижности электронов в диэлектрике. Подвижность электронов в твердых диэлектриках должна зависеть от напряженности поля. Это имеет место в газах. Величина пробивной напряженности электрического поля может быть найдена из условия минимума функции, определяющей зависимость подвижности электронов от напряженности поля.
Давыдов [2] показал, что в полупроводниках подвижность электронов уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из напряженности поля. По измерениям Пружининой-Грановской [3] следует, что в слюде, в интервале напряжеиностей поля 103—10й в;см, подвижность электронов уменьшается обратно пропорционально напряженности поля.
Недавно [4] были описаны опыты, показавшие, что подвижность электронов в германии при высоких полях уменьшается обратно пропорционально напряженности поля. Приведем некоторые простые расчеты, показывающие, что подвижность заряженных частиц в решетке может зависеть от напряженности поля. Уменьшение подвижности и носителей тока по условию 1 приведет к току насыщения, так как I — иепЕ.
Такоё явление наблюдалось Хиппелем [5] при фотопроводимости в окрашенных кристаллах КС]. Как видно на фиг. 1, в этих кристаллах при на-
30 *tQ arrtn,
25
20
(5
to
пряженности поля порядка 600 нв/см и выше наблюдался ток насыщенна. Пробой этих кристаллов происходит при напряженности поля—1000 кв\см.
Средний свободный пробег 8 электрона в кристалле зависит от состава кристалла, температуры, концентрации ловушек и напряженности поля Е. Измерения величины среднего свободного пробега электрона в кристаллах щелочно-галоидных солей и алмазе производились при различных температурах и напряженностях поля порядка нескольких тысяч в/см.
В этой области измерений установлено для многих ионных кристаллов линейное увеличение среднего свободного пробега электронов с возрастанием поля: о — сЕ. По данным Хехта, определявшим величину о по методу светового зонда, для кристаллов AgCl при поле 104—312 в ¡см величина с — 2,5Л0~Л при поле о. 10:1 в! см и температуре 196°С с— 2,2 . 103.
По Лефельду для AgCI при ( = 170°С и поле, изменявшимся от 20 до 300 в/см, величина 0,04. Для Т1Вг при —70°С и поле 20—300 в(см получено с —0,022. В поле 5.10:'' в;см, температуре—196°С для Т1Вг—с = 1,24.10~3. Сопоставлять полученные величины для коэффициента пропорциональности с, полученные при разных температурах, и для кристаллов с разной концентрацией примесей затруднительно. Для кристаллов 1лР по этим измерениям средний Цробег вторичных электронов при температуре 300°К в поле, где
ксе о
о °
л
О 200 400 BOO ёОО (ООО
Напряженность электрического поля кв1см. Фототок в функции напряженности поля в кристаллах КС1 при облучении зеленой линии . ртутной лампы (X — 5461 А)
Фиг. 1. Ток насыщения в окрашенных кристаллах KCÍ при фотопроводимости
Е=5. К/ в/см составит: Ь = сЕ = 09П .5. 10» = 5,5. Ю- см.
Считая, что при пробое электроны перебрасываются из Т7 полосы, отстоящей от полосы проводимости в кристаллах 1лР на 4,95 еиу получим, что в поле £^=3,1 мб¡см электроны должны сместиться на величину
= 1,65. Ю-6 см.
Такое значительное уменьшение средней длины свободного пробега электронов при напряженности поля, равной пробивной, может быть вызвано либо уменьшением подвижности электронов вследствие усиления их взаимодействия с решеткой, либо возрастанием концентрации ловушек, либо одновременным действием обеих причин.
Рассмотрим переход электрона из одного равновесного состояния в другое при температуре абсолютного нуля. Два соседних положения равновесия для электрона расположены на расстоянии 2 а друг от друга и разделены потенциальным барьером высотой щ.
Вероятность перехода из одного равновесного положения в другое при каждом колебании составляет для электрона или же^-"*»/«^ за одну
секунду, где V — частота собственных колебаний электрона и чюь — энергия электрона. Если в диэлектрике имеется электрическое поле напряженности Е\ то потенциальный барьер в направлении действия ускоряющего
поля снижается относительно положения равновесия на величину Егеа, где а является расстоянием между положением равновесия и максимумом потенциального барьера, а е — заряд электрона или дырки и
£'=£>0, а ^ =
где В — средняя расчетная величина напряженности поля и з0 — оптиче-
Фиг. 2. Изменение периодического распределения потенциальной энергии дли электрона в кристаллической решетке при воздействии постоянного электрического поля.
екая часть диэлектрического коэффициента. Вероятность перехода электрона в направлении ускоряющего поля при одном колебании составит
^ 1
е к
Частота переходов электронов в секунду составит
и0 —Е'.е.а и>
V. --/е к ,
(I)
где V — частота колебаний электрона на гребне потенциального барьера. В противоположном направлении частота переходов для электронов
составит
и'.а
= V е ^ . (2)
Суммарное число переходов электронов в направлении ускоряющего .поля и противоположном составит
д V = V \ е
и —П'еа о
и +1:геа
— е
Плотность тока определяется выражением: .электронов в единице объема. Имеем
п.еЛ
где п
I = пеы
п-Ееа
и Л-Н'еа \ о 1 4
(3)
числе
(4)
Подвижность электронов и определим из условия I — пеоАч = пеиЕ', где £ — расстояние, на которое смещается электрон в диэлектрике, откуда
и —
ЗДч
~ЁГ
Ъ!
и —Е'еи о
и -\-Е'еа о
(5)
Исследуем изменение функции и в зависимости от Ег при некоторых частных значениях
Изменение подвижности электронов в электрическом поле
По нашей просьбе А. М. Гайдамович исследовал ; уравнение (5) для некоторых частных случаев (фиг. 3 и 4). Если w = const, то функция*.
Фиг. 3. Изменение подвижности электронов в зависимости от поля при постоянной энергии электронов.
представляемая уравнением (5), имеет минимум при Е = 0 (фиг. 3 Минимальное значение подвижности составляет
Wk
_ JJo_
.е w
Предполагая, что энергия электронов линейно возрастает с увеличением поля, то есть = получаем:
__. ае __ ас_ _ н0
я - - . * т1Н е'т"-е
Ef \ 1 Ег
где
На фиг. 4 схематически изображено изменение функции и при изменении напряженности поля Е
Кривая, расположенная в третьем квадранте, показывает уменьшен и подвижности с увеличением тормозящего действия электрического ^поляе Кривая, расположенная в первом квадранте, показывает сложный харак тер зависимости подвижности электронов от напряженности электрического поля. Вначале с увеличением напряженности электрического пол-подвижность электронов растет. Подвижность достигает наибольшего
значения при напряженности поля, определяемой условием: =—-. По-
т
б
следующее увеличение напряженности поля сопровождается уменьшением подвижности электронов.
Рассмотрим частные решения уравнения (5) при некоторых дополнительных условиях.
Фиг. 4. Изменение подвижности электронов в зависимости от поля при условии линейного возрастания энергии электронов в поле.
1. Допустим, что анергия электрона равняется тепловой и в направлении действия поля составляет = КТ — сопэ^ тогда уравнение (5) запишем в виде
и = А—, (6)
п
где
11,) а е
А = 2 иче"" а'г" и Ь — - 0 - .
КТ
Рассмотрим изменение производной функции и. В этом случае, считая, что е~ЬЕ' — 0, получим
(7)
\ Е' Е"1 ) 2
Вторая производная
„ _ / № _ 2Ь_ 2_\АеЬ]£' П ' " ' /; " """ Е'- Е"л )~~2~
Из этих выражений следует, что функция и при значении Е' — 1Ь имеет минимальное значение. Из (7) определяем
/■/,- ' Л7' . (8)
Ь еа
При пользовании этой формулой для вычисления электрической прочности необходимо учесть, что величина напряженности поля в диэлектрике, которую мы вычисляли, вследствие поляризации меньше средней расчет:
нон напряженности поля в г раз. Введя ату поправку для определения Электрической прочности диэлектрика, получим формулу
Е„Р = -^, (9)
еа
где гп—доля диэлектрического коэффициента за счет смещения электронов. В кристаллах типа каменной соли движение электронов происходит преимущественно по направлению диагонали грани. Вдоль этого кристаллографического направления, по которому располагаются положительные или отрицательные ионы, потенциальная энергия электронов сохраняет наименьшее значение. В этом направлении расстояние между двумя соседними и одноименными ионами составит \Z2ui-С-указанными поправками для вычисления величины электрической прочности каменной соли получим формулу
- ~ - ■ (Ю)
еау 2
По этой формуле для каменной соли получаем
1,4.10 ~1С. 300.2,25.300 , _ 1ЛГ
Ъпо — —--------= \ оЛ0{) в см,
4,8.10~1(\2,81 Л0~8Л,41
т. е. величину, находящуюся в удовлетворительном совпадении с измеренной опытным путем. В сильном электрическом поле электроны могут накопить энергию ад*, значительно превышающую их среднюю тепловую 3 2 КТ. Вообще, вследствие этого функция распределения электронов будет сильно отличаться от равновесной максвеловской. Это должно быть учтено при более точном рассмотрении задачи.
2. Интересно сопоставить предлагаемую гипотезу с другими, высказанными ранее. Хиппель ¡5] рассмотрел вопрос о взаимодействии электрона с колебаниями решетки. Его интересовало накопление электроном энергии, необходимой для производства ударной ионизации в решетке. Для этого нужно было найти условия, когда становится возможным накопление энергии электроном при движении его в электрическом поле. Скорость электрона в ускоряющем поле, при которой имеет место наименьшая потеря энергии электроном, Хиппель подсчитал следующим, образом. Передача энергии колебаниям решетки наиболее вероятна тогда, когда энергия движущегося заряда близка к энергии собственных колебаний ионов решетки. Известно, что энергия собственных колебаний ионов решетки определяется по остаточному излучению и составляет
Ьост~ 1—3,10-4
При таком значении энергии электронов их взаимодействие с колебаниями решетки будет наибольшим. По гипотезе Хиппеля, пока электрон на пути а накапливает в электрическом поле энергию, меньшую теряемой им на возбуждение колебаний решетки, то есть }гчост, где vf>fOT — частота остаточного излучения, он не может быть ускорен. Если же электрон на участке пути, равном постоянной решетки, накапливает энергию больше, чем Ьост, то величина энергии, передаваемая им решетке, резко уменьшается. В этом случае уменьшается также вероятность столкновений электрона с ионами.
При таких условиях становится возможным накопление электроном энергии, необходимой для производства в дальнейшем ударной ионизации.
Энергию порядка 10 ег\ необходимую для производства ударной ионизации в кристалле каменной соли, электрон в поле Е^ 1(У; в;см накапливает на пути, равном нескольким сотням междуионных расстояний.
Предлагаемое нами объяснение пробоя существенно отличается от приведенного. Нам кажется, что наступление пробоя определяется условием максимального взаимодействия электрона с решеткой при переходе его из одного равновесного положения в другое и величиной его энергии.
Неучет второго члена в уравнении (5) увеличивает величину подвижности на е~1. Это показывает насколько приближенны наши рассуждения.
Допустим, что гик^Ь0Ст.
При этом условии уравнение (9) запишется в виде
(11)
еа
В таблице представлены результаты вычислений величины электрической прочности для кристаллов щелочно-галоидных солей. Величины электрической прочности кристаллов щелочно-галоидных солей, полученные путем вычисления по формуле (11) и измеренные, удовлетворительно совпадают.
Таблица
Электрическая прочность кристаллов щелочно-галоидных солей
№ II.п. Название . вещества t-np ' экс-пери м. 46 ¡CM ВЫ-ЧИСЛ. HO (10) Постоянная решетки а0 ИТ8 см Диэл. коэф. — п- Энергия собствен, колебаний эксдери м. 10"2 № faocm N о 10 еЕПр "о О
1 LSF 3,1 3,6 2,01 1,92 3,74 2,5 0,81
2 NaF 2,4 2,3 2,31 1,74 3,06 2,25 1,1
3 KF 1,8 1,6 2,67 1,85 2,33 2,24 1,18
4 NaCl 1,5 1,62 2,81 2,25 2,03 3,05 (»,93
5 KCl 1,0 1,18 3,14 2,13 1,74 ■ 3,7 0,85
6 RbCl 0,7 0,98 3,27 2,19 1 ,45 - »5 0,73
7 NaBr 1,0 1,55 2,98 2,62 1,74 4,6 0,65
8 KBr 0,7 U 3,29 2,33 1,52 5,0 0,65
9 RbBr 0,6 0,73 3,43 2,33 1,07 3,85 0.V5
10 NaJ 0,8 1,12 3,23 2,51 1,45 4,55 0,71
11 KJ 0,6 0,92 3,5? 2.69 1,20 5,4 0,65
12 RbJ ' 0,5 0,68 3,66 2,63 0,95 5,0 0,72
На фиг. 5, 6 и 7 представлены зависимости величины электрической прочности от энергии остаточного излучения, от постоянной решетки а и от доли диэлектрического коэффициента г0 за счет смещения электронов по экспериментальным данным. Как видно, между величиной электрической Прочности Епр, с ОДНОЙ стороны, И к^ост-у и е0, с другой, имеет место удовлетворительная линейная зависимость. Это находится в согласии с результатами наших вычислений, представленных формулой (11).
Интересно отметить, что в своей полу эмпирической теории пробоя Хиппель для вычисления величины электрической прочности пользовался формулой
■ гг ^ост
где С—коэффициент порядка 1,7, то есть двух. В приведенном нами расчете формула, составленная Хиппелем, получена в результате принятой
*
гипотезы пробоя. Коэффициент С, .определенный Хиппелем эмпирически, получил физический смысл диэлектрического коэффициента и логична встал на свое место.
¥ У* У I*
¥
Епр М8/см
1 . . 1 -__ 1Уравнение прямой:
Епр -- //8, <о~'-С!232)П » В/см ЛоР/
кш * *Ь8г
р ■
| 1
Оо (Оси
дзз Ц29 ЦЛ $4/ ДО $4,9 Ф
Зависимость электрической прочности Епр от
Электрическая прочность и квант энергии остаточного излучения
хб/см, 3600
3200
2800
2400 2000
1600 1200 800 400
2сР
V
На :е У 1
> /
се |р>1
оЛг Вг
3-6*10
? 4
Кван*п энергии остаточного излучения в еи (по измерениям)
Фиг. 6. Зависимость величины электрической прочности кристаллов щелочно-галоидных солей от величины кванта энергии остаточного излучений по экспериментальным данным.
Фиг. 5. Зависимость электрической прочности кристаллов хЦелочно-галоид-иых солей от величины постоянной решетки а по экспериментальным данным.
За висимост ь между электрической прочностью и диэлектрич'еским коэффициентом для щелочно-галоидных кристаллов
3200 2800
2400 2000
1600 1200
800
400
V МЪ
ьш Ж ЧаЬг
№г
к&з
1,7 1,9 2Л 2,3 2,5 2,7
Оптическая часть диэ гектрического коэффициента
Фиг. 7. Зависимость величины электрической прочности кристаллов щелочно-галоидных солей от величины доли диэлектрического коэффициента за счет смещения электронов по экспериментальным данным.
где
3. Рассмотрим случай, когда — /(Е), например, — тЕ, , тогда
и0—ае£У ае
и ~ Ел е е~тс"1- (12)
не
. т
п —- и Л = е
т
Исследуем функцию
иГ1*^ Е еп Е. (13)
Очевидно, что максимум значения функции (13) будет соответствовать
минимуму функции (12).
Имеем
(и *у= (ЕепЕ)1 = епЦ 1 - £ Поэтому из условия (ц-1)' — 0 имеем £ — я,
(,Г')"=^т/'>0. (14,
Е-
Следовательно, функция и~х при Е~п имеет минимум, а интересующая нас функция и при Е-^п имеет максимум.
Этот результат совпадает с полученным выше при рассмотрении уравнения (5).
4. Учтем изменение кинетической энергии электрона, движущегося в решетке, за счет столкновения с фононами.
Для электрона, движущегося в атомной решетке [6, 7] и испытывающего столкновения с колебаниями решетки, энергия го к выражается условием: ♦
еЕа /~кт гг /-.-ч
-1/ — еЕап, (1о>
г\16 у т
где ъзв — скорость звука в диэлектрике, т — масса электрона. Вследствие пропорциональности энергии электронов напряженности > поля этот случай сводится к предыдущему. •
Приведенные расчеты величины электрической прочности диэлектриков показывают, что эта величина может зависеть от температуры. Зависимость электрической прочности от температуры определяется изменением величины энергии электронов в сильном электрическом поле, постоянной решетки а и потенциального барьера для электронов //0. Эти величины слабо зависят от температуры. Таким образом, не следует ожидать значительной температурной зависимости электрической прочности при электрическом пробое. '
; 5. Допустим, что подвижйость электронов определяется выражением
.//„—И'еа '■"
О V ъГ.
* * • (16)
В момент, предшествующий пробою, подвижность'имеет минимальное значение и изменяется по условию я ~/г"1. Поэтому можно записать, что
...... (17)
Следовательно, д0 — е а$Е' — 0, (18)
•откуда
Е
tip
еа
(19)
Полагая для каменной соли высоту потенциального барьера, разделяющего, два соседние положения равновесия для электронов, равной 1 eví получим
Е
пр
76.Ю,; в см. в 40—50 раз превышает
Вычисленная величина Епр в 4U—ои раз превышает максимальное значение электрической прочности, определяемой из опыта.
Весьма высокое значение величины электрической прочности, полученное в этом случае, вероятно, является следствием чисто электростатического рассмотрения вопроса об освобождении и движении электрона.
6. Для энергии электронов в полупроводниках с ионной решеткой при сильных полях Давыдов и Шмушкевич [6] дают предельное выражение для средней энергии zvk ~ 1 5 w-Li где rev энергия (ионизации) освобож-
_ дения электрона. В таком случае
Электрическая прочность и энергия A WF , соответствующая максимумi F—полосы поглощения
Епр —
Wi.z.
«Ъ/см. 3-200
Ъеа \/ 2
(20)
2400
2000
00
1200
SD0
i о ZLF
mj
КГ о ,
V lace
R6C6 /ксе f Not t л г
/к(р
Нами было показано, что для кристаллов щелочно-галоидного ряда имеет место линейная зависимость между величиной электрической прочности и энергией освобождения наиболее слабо связанных электронов -Р полосы [8] (фиг. 6). Полученная формула (20) находится в качественном согласии с этими результатами. Для каменной соли <№г— ДгС/.-—2,65 ечз. По формуле (20) величина электрической прочности полу-
пр
0,29 Л О8 в см
чается равной = 2,9 Л0Т в см.
Это значение превосходит в 20 раз определенное экспериментально и вычисленное по формуле (19). Возможно это получилось потому, что в расчете взято высокое среднее значение энергии электронов, образовавшихся вследствие ионизационных процессов. Известно [9], что подсчеты электрической прочности, произведенные другими авторами на основании представлений об ионизации, также приводили к высокому значению электрической прочности.
Таким образом, рассмотрение явления пробоя приводит к интересным следствиям. Пробой развивается при значении энергии электронов порядка энергии собственных колебаний решетки. Следовательно, в пробое участвуют не быстрые электроны, имеющие энергию порядка ионизационной, а более медленные, имеющие энергию порядка энергии собственных колебаний ионов решетки.
Неучет взаимодействия электронов с решеткой и электростатическое рассмотрение вопроса об ионизации и движении электронов в решетке приводят к весьма высоким значениям электрической прочности. Учет
> 2 3 4 5 6 л вУ/молбКулц
■"Фиг. <£. Зависимость величины электрической прочности кристаллов щелочно-гйлоидных солей от величины энергии связи электронов в Р полосе.
взаимодействия электронов с колебаниями решетки при пробое приводит к значению электрической прочности, удовлетворительно совпадающему с определяемым экспериментально.
7. Подсчитаем среднее увеличение энергии электрона, движущегося в зоне проводимости ионного кристалла [10]. Приращение энергии электрона за секунду составит &и> — еЕ^у где V— групповая скорость. Вероятность столкновения и отклонения электрона за единицу времени можно записать в виде 1 Функция фр), представляющая время движения
электрона до отклонения или столкновения, может быть названа временем свободного движения электрона.
Подвижность электронов, находящихся в зоне проводимости, определяется как:
в
и = — - {т). (21 у
т
Скорость V сноса электронов в поле Е запишется в виде
V — иЕ— е (22)
т
Таким образом,
е2Ь2
км -— ег% Е —-г (го\ (23У
т
Допустим, что вся энергия, получаемая электронами от электрического поля, скорость накопления которой представлена формулой (23), затрачивается на разрушение решетки на пробой. Величина энергии, затрачиваемой на пробой диэлектрика, определится условием
гик — Аго —— т (го)М, (24}
т
где — время пробоя диэлектрика.
Величина т в области пробоя зависит от напряженности поля х — дЕ , где ц — коэффициент пропорциональности. Поэтому энергия электроне в, участвующих в передаче энергии при пробое, определится условием:
е1
г&я = — дЕМ = рЕ, т
где
£>2
т
д Д и
Таким образом, этот случай сводится к уже рассмотренному ранее.
В рассмотренном случае получим формулу для вычисления величины электрической прочности диэлектрика в виде
Еяр=^ = (25)
р е2.дЛ1
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
1. Подвижность электронов в твердых диэлектриках зависит от напряженности поля.
2. Из условия минимума функции, описывающей зависимость подвижности от напряженности поля, можно получить формулы для вычисления величины электрической прочности диэлектрика.
К
'3'. Величина электрической прочности диэлектрика уменыиаётся с уве-личепйем постоянной решетки и зависит от энергии электрона в решетке и диэлектрического коэффициента.
4. Неучет взаимодействия электроноз с колебаниями решетки, одно электростатическое рассмотрение вопроса об ионизации и движении электронов в решетке приводят к неправдоподобно высоким значениям величины электрической прочности.
5. Пробой развивается при значении энергии электронов порядка энергии собственных колебаний ионов решетки.
Выражаем благодарность А. М. Гайдамович за полезные советы и обсуждение отдельных вопросов.
ЛИТЕРАТУРА
1. Е. К. Зав адов ск а я. ДАН, XXXII, 1952.
2. Б. И. Давыдов. ЖЭТФ, 7, 9, 1039, 1937.
3. В. И. Пружинина-Грановскан. ЖЭТФ, 10,8,878,1940.
4. Е. J. Ryder and W. Shockly Phys. Rev. 75, 310, 1949.
5. A. Hippel. Appl. Phys. 8, 815, 1937.
6. Б. И. Давыдов u И. M. Шмушкевич. УФН, XXIV, 1, 21, 1940.
7. Al. 'Ландау и А. Компане е ц. ЖЭТФ, 5, 3-4, 276, J 935.
S. А. А. В о р о б ь е в и Е. К. Завадовскан. ДАН (в печати).
9. Ф. Ф. Волькен штейн. Электропроводность полупроводников, ОГИЗ, Гос-•гехиздат.
10. А. А. Воробьев и Е. К. Завадовская. ДАН, XXXI, 3, 375, 1952.
