CC BY
20Уравнение движения газа перед ударной волной и начальное распределение удельного объема соответственно имеют вид
<7*2(1+ 2С1)
х0
2
1 _ gt3(^C\ - (1 - /х)2) ( gt2C\( 1 + 2C\) gt2C\
Ро V 1(1-/х)2 V (1 — /х)(3/хС1 — (1 — р)2) (1 - /х)2
На внешней границе слоя {¡л3 = 0) скорость ударной волны и удельный объем, которые вычисляются по соответствующим формулам
vs\us=o — gtsCi, — Ро
= gH5sC1(l + C1)
^s=o Pi
оказываются конечными. Далее происходит распад произвольного разрыва с последующим разлетом в пустоту. При этом граница слоя через определенное время будет падать в сторону источника гравитационного поля, а по газу пойдет волна разрежения, и решение усложнится.
Таким образом, данное решение показывает, что, несмотря на действие силы тяжести, существует начальное распределение плотности, такое, что при подходящем движении поршня ударная волна, ускоряясь, уходит на бесконечность при конечной величине Ар, которая может быть даже сколь угодно малой.
Автор приносит благодарность А.Н. Голубятникову за постановку задачи и полезные замечания.
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 14-01-0056).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. 8-е изд. М.: Наука, 1977.
2. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988.
3. Голубятников А.Н. О сферически-симметричном движении гравитирующего газа при наличии сильной ударной волны // Докл. АН СССР. 1976. 227, № 5. 1067-1070.
4. Голубятников А.Н., Ковалевская С.Д. Автомодельные движения газа в поле тяжести // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2014. № 3. 123-132.
Поступила в редакцию 15.09.2014
УДК 629.783
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТРАЕКТОРНЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВИЖЕНИЯ МАЛОГО СПУТНИКА ПРИ ПОМОЩИ ПЕРВИЧНЫХ СПУТНИКОВЫХ ИЗМЕРЕНИЙ
А. А. Голован1, А. Джепе2
Исследуется задача определения траекторных параметров малого спутника с использованием аппаратуры спутниковой навигации. Предложен алгоритм решения задачи при помощи первичных спутниковых измерений, когда информация СНС не всегда регулярна.
Ключевые слова: малый спутник, СНС, первичные спутниковые измерения.
The problem of determining the motion parameters of a small satellite on the basis of satellite navigation equipment is studied. A TclW dcltcl processing algorithm is proposed when the satellite measurements are not always regular.
Key words: small satellite, GNSS, raw satellite measurements.
Введение. Спутниковые навигационные системы (СНС) широко используются для определения местоположения и скорости объектов. Приемники СНС предоставляют указанную информацию,
1 Голован Андрей Андреевич — доктор физ.-мат. наук, зав. лаб. управления и навигации мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: aagolovanQyandex.ru.
2 Джепе Али — асп. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: axepeQnavlab.ru.
когда доступны измерения не менее чем от четырех спутников. В статье рассматривается задача определения траекторных параметров движения малого спутника, когда число видимых спутников может быть меньше 4, т.е. когда информация СНС не регулярна.
Методически эта задача схожа с задачей коррекции в инерциальной навигации [1, 2]. Отличие состоит в том, что не используются инерциальные датчики для счисления модельной траектории объекта, а роль модельных уравнений выполняют уравнения движения искусственного спутника Земли.
Выписываются линейные уравнения ошибок счисления траекторных параметров — уравнения в вариациях. Для оценивания ошибок привлекаются первичные спутниковые измерения — кодовые псевдодальности, доплеровские псевдоскорости [3]. С целью исключения из модели задачи погрешностей часов спутникового приемника предлагается использовать первые разности первичных спутниковых измерений.
Модельные уравнения траекторного движения малого спутника. Воспользуемся моделью, рекомендованной контрольным документом системы ГЛОНАСС [4]. Определение координат и скоростей малого спутника производится путем численного интегрирования методом Рунге-Кутты 4-го порядка следующих дифференциальных уравнений движения спутника, записанных в осях гринвичской системы координат:
( ° и 0\
Г]' = У^, У^ = 2+ д°' - й2г]', й = —и 0 0
\ о 0 о)
(1)
Здесь г/ = (г^, г/2, Г1з)т, У^ = {Ущ,Ущ,Ущ)Т — модельные гринвичские координаты и компоненты вектора относительной скорости; и — угловая скорость вращения Земли, равная 7,292115 х Ю-5 рад/с; д®' = (д® д~2', 9т')Т — вектор удельной нормальной силы тяготения:
сР ' = Ут гз
1 +
4 (г = 1,2),
сР ' =
УVЗ г3
1 +
где /л = 398 600,44 х 109 м3/с2 — константа гравитационного поля Земли; С20 = —1082,6257 х 10_6 — коэффициент при второй зональной гармонике разложения гравитационного поля Земли в ряд по сферическим функциям; а = 6 378136 м — большая полуось модельного эллипсоида Земли координатной системы ПЗ-90; г = ^г]'2 + т]'22 + т]'32.
Предполагается, что в начальный момент времени ¿о известна информация г/(£о), достав-
ляемая приемником СНС при достаточном количестве видимых спутников.
Уравнения движения спутника в вариациях — линейные уравнения ошибок. Введем позиционные и скоростные ошибки:
А т] = г]' — г/,
А Уг, = ^ - Уп.
Здесь г], У^ — истинные значения траекторных параметров.
Введем остаточные внешние возмущающие силы действующие на спутник и порождаемые, например, влиянием остаточной атмосферы, солнечным давлением, не учтенными в (1) силами тяготения Солнца и Луны.
Считаем, что остаточные внешние силы представляются в виде суммы неизвестной постоянной составляющей и шумовой = + Тогда уравнения в вариациях запишутся следующим образом:
А г? = АУп, ДУЧ = 2йД^ - и2Аг] + Т(г/)Дг? + + = 0,
где Т(г]) — гравитационный тензор, для сферической модели поля тяготения имеющий вид
з^тт \
грО гр
Т =
5 к - -з 3 £ тъ
о ^
3 ^ ът и
34Г?22-
3 # ЩЩ
Корректирующие измерения при использовании вторичной информации СНС (слабая интеграция). При наличии в зоне видимости по крайней мере четырех навигационных спутников приемник СНС доставляет информацию о координатах и векторе относительной скорости движения спутника:
Zpcs = rJ + ArjPos s zvel = Vrj + Д yvel ^
где Ar]pos, Al^vel — ошибки спутниковых навигационных решений. Уравнения корректирующих измерений примут вид
zpos = rf - Zpos = Аг] + rv, rv = —Ar?pos,
zvel = y, _ Zvel = д^ + ^ ^ = _Ayvel_ (3)
Корректирующие измерения на основе первичных кодовых, доплеровских спутниковых измерений (тесная интеграция). Если число видимых спутников меньше четырех, то вторичная позиционная и скоростная информация отсутствует. В этом случае следует использовать первичные спутниковые измерения (кодовые псевдодальности, доплеровские псевдоскорости) в качестве корректирующих измерений. Приведем их общеизвестные модели:
Zp = p + pAT + Aps, ZVp = VP + AVP + AVp, (4)
где p — расстояние приемник-спутник; Vp — соответствующая радиальная скорость; рдт = сАт — погрешность часов приемника, выраженная в метрах; AVP — скорость ухода погрешности часов приемника; Aps, AVp — приведенные погрешности измерений.
Предполагается, что в (4) погрешность часов навигационного спутника уже учтена известным способом [3], тропосферные и ионосферные задержки, погрешности многолучевости отсутствуют.
Обозначим через pcomp, !^отр вычисленные при помощи информации о координатах r?sat, векторе скорости навигационного спутника и модельных переменных г/, V^ значения:
У--(„sat _ /\т (ysat _ у!\
рсотр = у (vsat - v'f (vsat - Г}'), ^comp = -'-j^-V-.
Сформируем корректирующие измерения: zp = Zp — pcomp, zyp = Zyp — V^omp. В линейном приближении получим
Zp = hTAr] + рАт + A ps, zVp = hTAVv + hjAr] + AVP + AVps,
/ sat _ / \ у sat _ у I ycomp
у pcomp J ' 1 pcomp pcomp2 \ ' 1 >
(i)
Обозначим через zp измерение, сформированное при помощи измерения от спутника с номером г. Обозначим через z номер опорного спутника (обычно используется спутник с максимальным углом возвышения). Сформируем первые разности измерений:
Vzf = zf - zf, Vz^ = z;y - zi
y(0 _ Ji) _ »
— ^p ' ^p ' ! V ' В линейном приближении получим
Vzf = h^TAr] + VAp«s, Vz^ = h^TAVv + hfT Arj + VAV^\
(^sati _ rv-J i (^,sat2 _rv-J i
pbuinPi pb
(т/sat; _ т//\ T/comPi (ysatz _ т//\ T/compz
M = К^-V_vl _ / sat, _ A _ Vv-V + Vp- /sat, _ Л _
I nCODlD; rninnf v ' ' > лСОП11). .mmn' V ' ' >
рсотр, рСотр| ^ ' ' ' рсотр, рСотр|
Модель (5) не содержит погрешности часов приемника, она имеет смысл тогда, когда число видимых спутников не меньше двух.
Модель задачи оценивания. Введем вектор состояния х и вектор шумов q динамической системы (2):
Вектор 2 измерений и вектор г погрешностей измерений (3), (5) формируются следующим образом:
2 = (zposT, zveiT j , г = At]posT, — AtfeiT^ при слабой интеграции;
г = (VApWs,..., VАр^"1)5, VAFP(1)S,..., VAFp(m_1)S ) T при тесной интеграции,
где m число видимых спутников.
На основе вышеприведенных уравнений ошибок траекторных параметров спутника и линеаризованных уравнений корректирующих измерений (вторичных или первичных) можно поставить задачу оценивания следующего вида:
х = Ах + Bq, z = Нх + г,
где матрицы А, В, H определяются согласно уравнениям (2), (3), (5). Задача решается методами калмановской фильтрации (если постулировать соответствующие гипотезы). При моделировании уравнения записываются в эквивалентной дискретной форме.
С помощью полученных оценок A?), AVv уточняются координаты и скорости спутника:
V = V' - Af?, Vv = V¿ - AVv.
Решение задачи целесообразно приводить не в варианте оценивания, а в варианте введения обратных связей или, что то же самое, использовать расширенный фильтр Калмана. В данном случае алгоритм сводится к реинициализации начальных значений координат и вектора относительной скорости перед этапом численного интегрирования уравнений движения спутника (1):
V'(U) —► rf (и) - Afi(U), V^u) —► V^u) - AVv(U).
Описание моделирования задачи. Выделим четыре составляющие моделирования:
1) движение малого спутника МГУ "Татьяна-2" |5|. Параметры орбиты: большая полуось 7210 220 м, эксцентриситет 0,00321, наклонение орбиты 98,8 град;
2) движение спутников системы GPS;
3) первичные спутниковые измерения (кодовые, доплеровские), а также вторичная спутниковая информация. Шумовые составляющие кодовых измерений были порядка 1 м, доплеровских порядка 5 см/с;
_i_i_i_i_i_i _i_i_i_i_i_i
500 1000 1500 2000 2500 3000 500 1000 1500 2000 2500 3000
Время, с Время, с
Сравнение по модулю: а ошибок оценивания ||Д?/||. полученных при слабой (кривая 1) и тесной (кривая 2) интеграции: б среднеквадратичных отклонений (СКО) ошибок оценивания ||<тд?)||, полученных
при слабой (кривая 1) и тесной (кривая 2) интеграции
4) алгоритм оценивания для случаев регулярной и нерегулярной спутниковой информации, когда вторичная информация отсутствует, а коррекция при помощи первичных измерений возможна.
Результаты моделирования. Приведем некоторые результаты моделирования.
1. При достаточном числе видимых спутников интеграционные решения с использованием вторичной и первичной информации соизмеримы по точности.
2. Использование первых разностей первичных спутниковых измерений позволяет решать задачу, когда число видимых спутников меньше четырех.
3. Для тестирования алгоритма моделировались пропуски, например 5 мин, при которых спутниковые позиционные и скоростные решения отсутствуют. В эти моменты в случае слабой интеграции ошибки определения истинной траектории быстро нарастают, а в случае тесной интеграции они удерживаются почти на прежнем уровне (рисунок).
Заключение. Представлены модели задачи определения траекторных параметров движения малого спутника при помощи вторичной и первичной информации СНС. Показано, что следует использовать так называемые первые разности первичных спутниковых измерений, позволяющих решать задачу определения траекторных параметров при малом числе видимых спутников, когда информация СНС не всегда регулярна.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Часть I: Математические модели инерциальной навигации. 3-е изд., исправленное и дополненное. М.: МАКС Пресс, 2011.
2. Голован A.A., Парусников H.A. Математические основы навигационных систем. Часть II: Приложения методов оптимального оценивания к задачам навигации. 2-е изд., исправленное и дополненное. М.: МАКС Пресс, 2012.
3. Вавилова Н.Б., Голован A.A., Парусников H.A., Трубников С.А. Математические модели и алгоритмы обработки измерений спутниковой навигационной системы GPS. Стандартный режим. М.: Изд-во МГУ, 2009.
4. Глобальная спутниковая навигационная система ГЛОНАСС. Интерфейсный контрольный документ ГЛО-НАСС (редакция 5.1). М., 2008 (URL: http://www.spacecorp.ru).
5. Александров В.В., Беленький А.Д., Бугров Д.П., Лебедев A.B., Лемак С.С., Герреро Санчез В.Ф. Оценка точности ориентации по телеметрии спутника "Татьяна-2" // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 3. 69-72.
Поступила в редакцию 05.11.2014
УДК 539.3:534.1
НОВЫЙ ПОДХОД В ЗАДАЧАХ О СЕЙСМИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ ПЕРИОДИЧЕСКИ НЕОДНОРОДНЫХ ПОДЗЕМНЫХ ТРУБОПРОВОДОВ
М. Ш. Исраилов1
Методом Е.А. Ильюшиной исследуются продольные колебания сегментных подземных трубопроводов. Показано, что "усредненная" скорость волн в периодически неоднородном трубопроводе определяется эффективными статическими модулями ячейки периодичности и что в случае использования на стыках прокладок из резины или мягкого металла эта скорость может быть значительно меньше скорости продольных волн в основной трубе. Последнее обстоятельство оправдывает рассмотрение в постановках задач о сейсмических колебаниях сверхзвукового режима, при котором скорость волн в трубопроводе меньше скорости волн в грунте.
Ключевые слова: сегментный трубопровод, сейсмические колебания, усредненная скорость.
The longitudinal vibrations of segmented buried pipelines are studied by E.A. Ilyushina's method. It is shown that the "averaged" wave velocity in a periodically inhomogeneous pipeline is defined by the effective static moduli of its cell and that, in the case of the use of rubber
1 Исраилов Мухади Шахидович — доктор физ.-мат. наук, проф., директор НИИ математической физики и сейсмо-дииамики Чечен, гос. ун-та, г. Грозный, e-mail: israilerQhotmail.com.
