ОПРЕДЕЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ АРМИРОВАННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ Текст научной статьи по специальности «Физика»

2021. 17(6). 628-638 Строительная механика инженерных конструкций и сооружений Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings

ISSN 1815-5235 (Print), 2587-8700 (Online)

http://journals.rudn.ru/structural-mechanics

Динамика оболочек Shell dynamics

DOI 10.22363/1815-5235-2021-17-6-628-638 УДК 539.3

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH ARTICLE

Определение собственных частот колебаний армированной цилиндрической оболочки

М.А. Рустамова

Институт математики и механики Национальной академии наук Азербайджана, Баку, Азербайджанская Республика > mehsetir@gmail.com

История статьи

Поступила в редакцию: 9 июня 2021 г. Доработана: 29 сентября 2021 г. Принята к публикации: 14 октября 2021 г.

Для цитирования

Рустамова М.А. Определение собственных частот колебаний армированной цилиндрической оболочки // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2021. Т. 17. № 6. С. 628-638. http://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-6-628-638

Аннотация. Исследуются свободные колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью. Рассматривается случай орто-тропной оболочки, когда нити корда укладываются симметрично относительно меридиана оболочки. Движение жидкости потенциально, описывается волновым уравнением. Жидкость движется без отрыва от стенок цилиндров. Давление жидкости учитывается в уравнениях движения оболочек, а скорости жидкости и оболочки приравниваются на границах. Представление решения в гармоническом виде сводится к системе трансцендентных уравнений. При сравнении решений задач без жидкости и с жидкостью находится зависимость частоты системы без жидкости с частотой системы с жидкостью. Для решения уравнения предложен обратный метод, который позволил построить более точный частотный спектр свободных колебаний системы. При некоторых значениях параметров системы определены собственные частоты колебаний цилиндра.

Ключевые слова: цилиндр, плотность нитей корда, горизонтальное перемещение, плотность жидкости, объемная доля корда

Determination of natural vibration frequencies of reinforced cylindrical shell

Mexseti Akif Rustamova

Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan, Baku, Azerbaijan Republic mehsetir@gmail.com

Article history

Received: June 9, 2021 Revised: September 29, 2021 Accepted: October 14, 2021

Abstract. Free vibrations of a reinforced cylindrical shell filled with liquid are investigated. The case of an orthotropic shell is considered when the cord filament is placed symmetrically with respect to the meridian of the shell. The motion of a fluid is potential and is described by a wave equation. The fluid moves

Рустамова Мехсети Акиф кызы, кандидат физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, доцент отдела волновой динамики, Институт математики и механики, Национальная академия наук Азербайджана, Азербайджанская Республика, AZ1141, Баку, ул. Б. Вахабзаде, д. 9; ORCID: 00000001-5192-1166, eLIBRARY SPIN-код: 2290-2409, Scopus Author ID: 55489058000, Web of Science Researcher ID: AAE-2689-2019; mehsetir@gmail.com Mexseti Akif Rustamova, Candidate of Physical and Mathematical Sciences, leading researcher, Associate Professor, Department of Wave Dynamics, Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan, 9 B. Vahabzade St, Baku, AZ1141, Azerbaijan Republic; ORCID: 0000-00015192-1166, eLIBRARY SPIN-code: 2290-2409, Scopus Author ID: 55489058000, Web of Science Researcher ID: AAE-2689-2019; mehsetir@gmail.com

© Рустамова М.А., 2021

/^N 0 | This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License https://creativec0mm0ns.0rg/licenses/by/4.Q/

Rustamova M.A. Determination of natural vibration frequencies of reinforced cylindrical shell. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2021 ;17(6):628—638. (In Russ.) http://doi.org/10.22363/1815-5235-2021-17-6-628-638

For citation

without separation from the walls of the cylinders. The fluid pressure is taken into account in the equations of motion of the shells, and the velocities of the fluid and the shell are equalized at the boundaries. Representing a solution in a harmonic form reduces to a system of transcendental equations. Comparison of the solutions of the problems without a liquid and with a liquid shows the dependence of the frequency of the system without a liquid at the frequency of the system with the liquid. An inverse method is proposed for solving the equation. The inverse method for solving the problem has made it possible to construct a more accurate frequency spectrum of free oscillations of the system. For some values of the system parameters, the natural frequencies of the cylinder are determined.

Keywords: cylinder, density of cord filaments, horizontal movement, fluid density, volume fraction of cord

Введение

Круговые цилиндрические оболочки являются элементами, входящими в конструкции летательных аппаратов и двигателей, подводных и надводных средств передвижения, резервуаров и трубопроводов, сводчатых систем подводных и подземных тоннелей и хранилищ. Цилиндрические оболочки получили широкое распространение в технике. Одной из основных сфер их применения являются гидравлические системы, где такие оболочки применяются в качестве гибких вставок. Математическому описанию колебаний армированных оболочек с жидкостью посвящено множество работ [1-9].

Важным моментом при исследовании колебаний оболочек является определение частот свободных колебаний, что позволяет избежать резонанса от внешних источников колебаний. Следует отменить, что большинство рассматриваемых работ посвящены простейшим частным случаям или приближенным методам.

В [10] исследуются свободные колебания двух концентрически расположенных цилиндрических оболочек с жидкостью между ними. Представленное решение в гармонической форме сводится к системе трансцендентных уравнений. Собственные частоты колебаний определяются при некоторых значениях параметров системы, влияние размера цилиндров на свободные колебания цилиндра тоже изучается.

Исследование [11] посвящено численному анализу собственных колебаний вертикально и горизонтально ориентированных цилиндрических оболочек при разном уровне заполнения жидкостью и различных вариантах граничных условий, задаваемых на торцах упругой конструкции.

Рассматривается проблема движения твердого цилиндра [12], сохраняющего вертикальное положение под действием поверхностных волн в жидкости, которая решается операционным методом. Для нахождения оригинального решения, учитывая, что изображение представляет собой знаменатель табличной функции, используется интегральное уравнение Вольтера первого рода.

В работе исследуются свободные колебания армированной цилиндрической оболочки, заполненной жидкостью. Рассматривается случай ортотропной оболочки, когда нити корда укладываются симметрично относительно меридиана оболочки. Армированная оболочка представляет собой многослойный композит, состоящий из слоев наполнителя и корда. Поскольку нахождение собственных частот системы «цилиндрическая оболочка - жидкость» связано с решением трансцендентных уравнений, частота колебаний оболочки, не содержащей жидкость, выражается через частоту колебаний системы в явном виде, что позволяет, как аналитически, так и графически исследовать спектры частот системы.

Для описания движения оболочки используются классические уравнения в перемещениях [13].

Колебания жидкости, заполняющей оболочку, описываются волновым уравнением в цилиндрических координатах [14]. На границе контакта оболочки с жидкостью задается равенство радиальных скоростей.

Таким образом, колебания рассматриваемой системы описываются уравнениями

Постановка и решение задачи

A2'U + A22V + A23W = P Sh

д 2v dt2'

(

A31u + A32v + A33 w = -

д2 w

дФ

Л

p h—-r-+p f —

s dt2 f dt

(i)

где

Здесь

где B'n =

Ei

д2 C66 д

A'' Cu дх2 ' R2 дф '

A = A = C'2 + C 66 д 12~^'~ R дкдф'

A'3=Аз1=R1C'2 дх J'

д2

'

A22 =1 C66 + n2 D66 L 2 + n2 I C22 + n2 D

R

дх R

A23 = A; = R '

f

C22 д '

R дф R

д4

+ 4 Ü66)

R2 22 )дф2'

д3 D22 д3 ^

дх2дф R3 дф3

д4

д4

A33 = —C22 + D,,—-+ —ÍD„ + 2D66)—2—-+ -

33 R2 22 11 дх4 R 12 66} дх2дф2 дф4

(2)

h3

C& = hB й, Dk = - Вл,

Bn = Bj'j cos4 0 + 2 (в;2 + 2B66) Sin2 0 cos2 0 + B22 sin4 0, B22 = B,'j Sin4 0 + 2(B;2 + 2B'66) Sin2 0 cos2 0 + B'22 cos4 0,

B12 = B12 + ( + B'22 - 2(B2 + 2B66)) sin2 0 cos2 0. (3)

B66 = Br66 + (Bi + B'22 - 2 (B2 + 2B'66)) sin2 0 cos2 0,

B22 = T~2—; B66 = G; Bi2 = , ^ E| = , , E1, E2' ^ - параметры

1 -V1V2 1 -Vi^2 1 -ViV2

композита по главным направлениям упругости, вычисляемые по формулам

E1 = E„Vt + Em (1 - Vb),

TT = E" + • = vV + vm (' - V ), V2 = V2 E-

E2 Eb Em, E1

1 _ Vb , (1 - Vb)

G Gb

Gm

где Eь, Оь, vь - модуль Юнга, модуль сдвига и коэффициент Пуассона; Ет, Gm Ут - соответствующие

параметры наполнителя; Уь - объемная доля корда. Плотность определяется из выражения

Р, _ РьК + Р m (1 - V ) ,

где рь и pm - плотность нитей корда и наполнителя соответственно; - плотность оболочки; р^- -

плотность жидкости; h - толщина оболочки; R - радиус срединной плоскости оболочки; Bjk - упругие

параметры обобщенного закона Гука в цилиндрической системе координат оболочки. Потенциал Ф удовлетворяет волновому уравнению

а2ф а2ф 1 дФ 1 а2ф ю2 л

—Г + —Г +--+ _Г-г + _Гф_ 0.

дx дr г дr г дф a

На границе между жидкостью и оболочкой отвечает условию совместимость движения.

(4)

дт _ дФ дt дг

г _К

(5)

Решение системы (1) представляется в виде

пх

и _ ucos пф sin юt cos — п У 1

пх

3 _оп sin пф sin юt sin—,

пх

т _ тп cos пф sin юt sin —

(6)

пх

Ф _ Фп (г) cos пф cos юt sin —I—

(7)

п ,

где — _ к. I

Подставим (7) в (4), получим

Ф"п+1 Ф'п +

г

Г ю2 ,2 п2 ^ — - к - —

Vа Г У

Фп _ 0.

(8)

Внутри цилиндра решение уравнения (8) выглядит следующим образом:

Ф п (г) _ СЗп

\

' ¡К-к1 г

/ а

V У

(9)

Учитывая (9) в (7),

f

Ф = CJ„

2

Л

П- - k r

Jа У

cos пф cos rot sin kx,

(10)

f

где C - постоянно; J

2

\

pr - k2 r

Jа У

- функция Бесселя порядка п .

И применяя (6) и (10) в (5), получаем

С _-

wnro

(

j:

2

х

" k2 R

Jа У

(11)

Подставив (11) в (10), получим

(

wn roJn

ф = —-

,2

Л

а- - k2 R

v/а У

г

Л

2

\

cos пф cosюt sin кх,

о,-

V У

(12)

где а - скорость звука в жидкости; ю - круговая частота; 3 п, - функции Бесселя порядка п . Подставив (6) и (12) в (1), имеем

(

п

2 Л

k C11 + D2 C66 V R У

U" + R ^ + C66 ) — ]^C12 W + P*hro4 = 0

R(C12 + C66) un — ^k2 (C66 + R-D66 ^ — RR! (C22 + RD22 | + p>ro2

+ -

R2

,з Л

—nC22 + k2n (D12 + 4D66 ) -— D22

R

W = 0.

(13)

k C + 1 --C12un + —

R 12 n R2

Г

nC22 + k2n ((12 + 4D66 ) + ly D22

R

3 Л

1Л, +

1

Jn

1 2k2n2 n4

— C22 + ^ + ((,2 + 2D66 )+ R4 D22 — P shro2 +

ro2 p

Г ГГ (ro

а2

— k2 R

j:

2

Л

—^R

V ■ а У У

wn = 0.

Для упрощения вводим в (13) следующие обозначения:

(ап + р^Ю2 ) + ап3„ + а!з= О,

а21ип + ( а22 + Р№2 ) °п + а23^п = 0

(14)

а31ип + а32^п +

Jn

а33 - Р^ю + ю р—у

У Г~2- М

Ю - к2 * ^

- \

л

2

а? **

V ¿¿

Ж, = О,

где

а11 = -

к2С + — С *2

2 Л

, а23 * (С12 + С66 ),

а12 а21 * (С12 + С66),

(

а22

п

1

к IС66 П66 ^ V С22 ^22

, а13 а31 * С12,

п _ к2 п

П к п п п к п п

= —^тС22 (В12 + 4В66)---В22, а32 = С22 + (Д2 + 4В66) + В,

п2 22 пИ 12 66) и4 22' 32 т-,2 22 пИ 12 66 / 04

п _ к2 п

п

а

23

*2 ~ *

*

*2 " *

22

а

2к2 п

= 4тС22 + к4Вп + ((12 + 2В66) + В22.

п2 22 11 т-,2 V 12 66/ г>4 22

33

*

*

* 4

Выпишем условие нетривиальности решения системы (14) относительно ип, Уп , :

а11 + р^ю2

а

12

а

13

а

а

а22 + Р ^Ю2

а

л.

Л

а

а33 - р^ю + ю рг—у

Г к2 *

V ■ ¿

2

Л

- \

- к2 *

а

= 0.

Отсюда получим:

(( + pshro2 )(a22 + Pshro2)

f

Jn

a33 — Pshro2 + ro2 p f —j

2

\\

^ -kR

V ' _У

- л

j:

2

Г2 - k R Jа У J

I au ^a23 a3 1 I

+a13a21a32 — (a22 + p shro2 )a13a31 — a

a12a21

f

Jn

a33 — p shro2 + ro2 p f —j

2

of—kR

v _У

- Л

j:

2

- k1R v' а у у

-a32 (a11 + pshro2) a23 = 0.

(15)

—p^h3ro6 +(-an —a22 + a33 )p2 h2ro4 +(a11a33 + a22a33 —a11a22 —a13a31 —a32a23 + a12a21 )phro2 +

+a11a22a33 + p,2 hV 0p f у I a22p shro4p fJT+ a1Ahro4p fjr +

Jn

I 1 a22 roroo pp f у I a12 23 1 I ^^13 ^^^21 ^^32

j:

2 Jn =

a13a31a22 — a11a32a23 — a12a21a33 + a12a21ro Pf j, = 0

(16)

Уравнение (16) представляет собой трансцендентное уравнение

Qj3 + AlQl2 + A2 Qx + A3 = 0,

(17)

где

Q1 = p shro2,

(18)

Ац йц I a*22 ,

A2 ^22^33 I 0(110(22 I 0130131 I ^32^23 ^^12^^215

A3 =

1 22 a33 2 a23 1 3 21 ^^32 I 3 1 22 I 1 2 23 I 2 21 ^^33

—P2h Vp fJ — a22Pshro4P J — a11pshro4Pf J —

2

Jn

p J

2

J„

—a11a22ro pf —7-1a12a21ro pf—7-.

12 21

p J

Определим 01 из (17):

0 = у

(19)

у + ру+ч = о,

, „ А + В .Л - В I-

У1 = Л+В; у2,3 = —— ^

(20)

Л=В=а=ГрШ

Р = -Л + Л2, Ч = 2

Л1 1 Л1Л2

+ Л3.

V 3 ¿ 3

В случае отсутствия жидкости (р = 0) уравнение (17) примет вид

(о° )3+л0 (о0 )2 + Л^0+Д3 = 0.

(21)

Здесь

О = р^ (Ю0 )2,

(22)

где Ю0 - частота свободных колебаний оболочки без жидкости.

Л1 Л1, Л^ Л3 + + а12а21а'

■32-

Решением уравнения (21) станет

Л0

о0 = у0 - у;

= Л + В у0 = Л + В0 , 7- Л0 В0 /3".

У1 = Л0 + В0, У 2,3 =--2- -2-

(23)

(24)

4=^+Та0, В0=^^л/о", а0

Г Р0 I3

2

Ч 1

Р0 = Р, Ч = 2

У Л13 Л Л

V 3 ¿

+ Д30.

Учитывая (20) в (19),

Q1 = AIB — A 1 3

(25)

И учитывая (24) в (23), получаем

Отсюда

Следовательно,

A0

Q0 = A IB0— A

1 ^ 0 3

A0

Q0 = A0 I B0—~^

Q1 AIB — A

Q0 =■

A0

A01

AIB — A 3

Q1.

С другой стороны, из (19) и (22):

ro0 =

A0

A01B0—^^

AIB — A 3

ro.

(26)

7x105T

6x10'

5x105-

4x10"

ю0( ю )

3x105 "

1x10

V

-+-

-+-

2x10

.5

3x10 4x10 ю

5x10

6x10

7x10

График частот колебаний системы в зависимости от частоты пустой оболочки A graph of the system vibration frequencies versus the frequency of the empty shell

Формула (26) выражает зависимость ю0 от ю. Уравнение (26) связывает свободную частоту системы со свободной частотой оболочки в отсутствие жидкости. Однако решение обратной задачи позволяет строить графики зависимости частот колебаний для различных мод системы от частоты пустой оболочки, что упрощает исследование, в том числе определение частоты свободных колебаний системы (рисунок).

Заключение

Исследованы свободные колебания наполненной жидкостью армированной цилиндрической оболочки. Для нахождения частот свободных колебаний системы получено трансцендентное уравнение. Для решения трансцендентного уравнения многие исследователи используют приближенные методы и асимптотические решения. Однако для решения уравнения в этом случае был предложен обратный метод, позволяющий построить более точный частотный спектр свободных колебаний системы.

Список литературы

1. Филиппов С.Б. Решение уравнений свободных колебаний вращающейся на роликах цилиндрической оболочки методом Фурье // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2018. Т. 5 (63). Вып. 2. С. 321-333. https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.212

2. Leizerovich G.S., Seregin S. V. Free vibrations of circular cylindrical shells with a small added concentrated mass // J. Appl. Mech. Tech. Phy. 2016. Vol. 57. Pp. 841-846. https://doi.org/10.1134/S0021894416050102

3. Abedini Baghbadorani A., Kiani Y. Free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells reinforced with grapheme platelets // Composite Structures. 2021. Vol. 276. 114546. https://doi.org/10.1016/j.compstruct202L114546

4. Ghasemi A.R., Meskini M. Investigations on dynamic analysis and free vibration of FGMs rotating circular cylindrical shells // SN Appl. Sci. 2019. Vol. 1. 301. https://doi.org/10.1007/s42452-019-0299-5

5. Talebitooti M., Ghasemi M., Hosseini S.M. Vibration analysis of functionally graded cylindrical shells with different boundary conditions subjected to thermal loads // Journal of Computational and Applied Research in Mechanical Engineering. 2017. Vol. 6. No. 2. Pp. 103-114.

6. Агаларов Дж.Г., Сейфуллаев А.И. Свободные колебания сферический оболочки с упругим заполнителем // Строительная механика инженерных конструкций и сооружений. 2015. № 3. С. 74-80.

7. Сейфуллаев А.И., Новрузова К.А. Исследование колебания продольно подкрепленной ортотропной цилиндрической оболочки с вязкой жидкостью // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. 2015. Т. 3. № 7 (75). С. 29-33. https://doi.org/10.15587/1729-4061.2015.44393

8. Latifov F.S., Yusifov M.Z., Alizade N.I. Free vibrations of heterogeneous orthotopic cylindrical shells reinforced by annular ribs and filled by fluid // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2020. Vol. 61. Pp. 486-493. https://doi.org/10.1134/S0021894420030219

9. Prakash V.S., Sonti V.R. Asymptotic expansions for the structural wavenumbers of isotropic and orthotopic fluid-filled circular cylindrical shells in the intermediate frequency range // Journal of Sound and Vibration. 2013. Vol. 332. Issue 16. Pp. 3696-3705. https://doi.org/10.1016/jjsv.2013.02.025

10. Seyfullayev A.I., Rustamova M.A., Agasiev S.R. Free oscillations of two concentrically located cylindrical shells with a fluid between them // International Journal of Engineering and Innovative Technology. 2014. Vol. 3. Issue 10. Pp. 33-37.

11. Бочкарев С.А., Лекомцев С.В., Сенин А.Н. Численное моделирование несоосных цилиндрических оболочек, частично заполненных жидкостью // Вестник Самарского Государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки. 2020. Т. 24. № 1. C. 95-115. https://doi.org/10.14498/vsgtu1746

12. Агаларов Дж.Г., Рустамова М.А., Сейфуллайев А.И. Движение вертикально расположенного цилиндра в результате волн на поверхности жидкости // Вестник современной науки. 2017. № 2. C. 7-15.

13. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М.: Машиностроение. 1970. 734 с.

14. Ho You J., Inaba К. Fluid-structure interaction in water-filled thin pipes of anisotropic composite materials // Journal of Fluids and structures. 2013. Vol. 36. Pp. 162-173. https://doi.org/10.1016/j.jfluidstructs.2012.08.010

References

1. Filippov S.B. Using the Fourier series for analysis of free vibrations of a cylindrical shell rotating on rollers. Vestnik of St Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy. 2018;5(2):321-333. (In Russ.) https://doi.org/10.21638/11701/spbu01.2018.212

2. Leizerovich G.S., Seregin S.V. Free vibrations of circular cylindrical shells with a small added concentrated mass. J. Appl. Mech. Tech. Phy. 2016;57:841-846. https://doi.org/10.1134/S0021894416050102

3. Abedini Baghbadorani A., Kiani Y. Free vibration analysis of functionally graded cylindrical shells reinforced with grapheme platelets. Composite Structures. 2021;276:114546. https://doi.org/10.1016/j.compstruct2021.114546

4. Ghasemi A.R., Meskini M. Investigations on dynamic analysis and free vibration of FGMs rotating circular cylindrical shells. SNAppl. Sci. 2019;1:301. https://doi.org/10.1007/s42452-019-0299-5

5. Talebitooti M., Ghasemi M., Hosseini S.M. Vibration analysis of functionally graded cylindrical shells with different boundary conditions subjected to thermal loads. Journal of Computational and Applied Research in Mechanical Engineering. 2017;6(2):103-114.

6. Agalarov J.G., Seyfullaev A.I. Free vibrations of a spherical shell with an elastic filler. Structural Mechanics of Engineering Constructions and Buildings. 2015;3:74-80. (In Russ.)

7. Sejfullaev A.I., Novruzova K.A. Oscillations of a longitudinally reinforced orthotopic cylindrical shell filled with a viscous fluid. Eastern-European Journal of Enterprise Technologies. 2015;3(7(75)):29-33. (In Russ.) https://doi.org/10.15587/1729-4061.2015.44393

8. Latifov F.S., Yusifov M.Z., Alizade N.I. Free vibrations of heterogeneous orthotopic cylindrical shells reinforced by annular ribs and filled by fluid. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. 2020;61:486-493. https://doi.org/10.1134/S0021894420030219

9. Prakash V.S., Sonti V.R. Asymptotic expansions for the structural wavenumbers of isotropic and orthotopic fluid-filled circular cylindrical shells in the intermediate frequency range. Journal of Sound and Vibration. 2013;332(16):3696-3705. https://doi.org/10.1016/jjsv.2013.02.025

10. Seyfullayev A.I., Rustamova M.A., Agasiev S.R. Free oscillations of two concentrically located cylindrical shells with a fluid between them. International Journal of Engineering and Innovative Technology. 2014;3(10):33-37.

11. Bochkarev S.A., Lekomcev S.V., Senin A.N. Numerical modeling of eccentric cylindrical shells partially filled with a fluid. Journal of Samara State Technical University. Series: Physical and Mathematical Sciences. 2020; 24(1):95-115. (In Russ.) https://doi.org/10.14498/vsgtu1746

12. Agalarov J.G., Rustamova M.A., Seyfullayev A.I. The movement of a vertical cylinder as a result of water waves. Bulletin of Modern Science. 2017;2:7-15. (In Russ.)

13. Filippov A.P. Oscillations of deformable systems. Moscow: Mashinostroenie Publ.; 1970. (In Russ.)

14. Ho You J., Inaba K. Fluid-structure interaction in water-filled thin pipes of anisotropic composite materials. Journal of Fluids and Structures. 2013;36:162-173. https://doi.org/10.1016/jjfluidstructs.2012.08.010