CC BY
168
УДК 621.43. 551.31
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ПОРШНЯ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
Ю.П. Макушев, Т.А. Полякова, П.А. Батраков
Аннотация. Рассмотрено понятие «производной» и ее практическое применение в расчетах двигателей внутреннего сгорания. Расчетным путем определен путь поршня; при помощи ««производных» найдены значения скорости и ускорения поршня. Показано практическое применение кинематики поршня в расчетах двигателей.
Ключевые слова: производная, поршень, путь, скорость, ускорение.
Введение
В двигателях внутреннего сгорания процессы наполнения, сжатия, сгорания и выпуска отработавших газов являются неустановившими-ся и протекают за короткое время. Например, процесс сгорания топлива в цилиндре быстроходного двигателя протекает за время менее
0,002 с. Давление газов в цилиндре и его температура изменяются во времени. Скорость изменения любого процесса во времени можно оценить при помощи производной.
Для понятия производной рассмотрим движение толкателя 2 при вращении вала без кулачка и с кулачком (рис. 1). Толкатель применяют, например, для перемещения (открытия и закрытия) клапана механизма газораспределения двигателя.
Из анализа рис. 1а следует, что при вращении вала 1 путь толкателя 2 и его скорость будут равны нулю (наружная поверхность вала симметрична относительно оси вращения). Толкатель неподвижен даже при вращении вала и производная постоянного числа будет равна нулю. На рис. 1б показан вал 1, выполненный с кулачком. При вращении вала кулачок приводит в движение толкатель, изменяя его путь с учетом профиля. При этом изменяется и скорость толкателя 2. Скорость толкателя является первой производной пути по времени. В зоне вала, где нет кулачка, путь не изменяется, скорость толкателя и «производная» равны нулю.
На рис. 2 показано изменение пути и скорости толкателя в зависимости от угла поворота кулачкового вала.
/т, м/с
2,0
1,8
1,6
и
1.2
1,0
0,8
0,6
0А
0,2
л
/ / \
/ \ /
<
/ / \ \
/ / \ х
/ / \
/ / \ *
/ 7 \
/ /
\
Зт.ММ
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0 5 10 15 20 25 30 35 ІО І5 50 55 60 65
(р.
а) б)
Рис. 1. Механизмы привода толкателя
Рис. 2. Изменение пути и скорости толкателя
Производной функции у=^х) в точке хо называется предел отношения приращения функции (например, перемещение толкателя) Лу =у1-уо к приращению аргумента (например, угла поворота вала) Лх=х1-хо. При этом значение х1 стремится к величине хо. Приращение аргумента стремится к нулю.
Физический смысл производной - это скорость изменения процесса, а геометрический - тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике. Тангенс - это отношение противолежащего катета (приращения функции), к прилежащему (приращению аргумента).
На рис. 3 показана схема четырехтактного двигателя, а на рис. 4 схема центрального кривошипно-шатунного механизма (КШМ).
Рис. 3. Схема четырехтактного двигателя: 1 - цилиндр; 2 - поршень; 3 - впускной трубопровод; 4 - впускной клапан; 5 - свеча зажигания бензинового двигателя или форсунка дизельного двигателя; 6 - выпускной клапан; 7 - выпускной трубопровод; 8 - шатун; 9 - коленчатый вал; Vц - рабочий объем цилиндра; VС - объем камеры сгорания; Vп -полный объем цилиндра
1. Определение пути поршня Центральным кривошипным шатунным механизмом (КШМ) называется механизм, у которого ось цилиндра пересекает ось коленчатого вала. При помощи этого механизма работа газов в цилиндре двигателя передается кривошипу, и поступательное движение поршня преобразуется во вращательное движение коленчатого вала (рис. 4). Работа газов (Дж) равна произведению давления в цилиндре (Н/м2) на изменение его объема (м3).
Рис. 4. Схема кривошипно-шатунного механизма
Изменение направления движения поршня в цилиндре происходит в верхней и нижней мертвых точках. В мертвых точках скорость поршня равняется нулю, а ускорение достигает максимальной величины.
Отрезок ОВ является радиусом R кривошипа, ВА равен длине шатуна L, а ф - угол поворота коленчатого вала (рис. 4).
Верхней мертвой точкой (ВМТ) называют крайнее положение поршня, при котором он максимально удален от оси коленчатого вала (рис. 4, точка А).
Нижней мертвой точкой (НМТ) называет крайнее положение поршня в цилиндре, при котором он минимально удалён от оси коленчатого вала (рис. 4, точка А ).
Ходом поршня называется расстояние по оси цилиндра между мертвыми точками. По величине полный ход поршня равен двум радиусам кривошипа 5П = 2^.
Величина в - это угол отклонения оси шатуна от оси цилиндра. Значение 1=R/L - это отношение радиуса кривошипа к длине шатуна (конструктивный параметр двигателя). Для современных двигателей величина А может находиться в пределах 1/3 -И/4.
Зависимость между углом поворота коленчатого вала (град) и соответствующим ему временем ^ (сек) выражается формулой
2п-n 180•n•t
ф = ш • t =------t =---------- = 6 • n • t
60 30
(1)
где ш - угловая скорость вращения коленча-
-1
того вала, с , п - частота вращения коленча-
-1
того вала, мин .
Определим зависимость перемещения поршня от угла поворота коленчатого вала. Принимаем за исходное положение КШМ такое, положение, при котором поршень находится ВМТ (рис. 4 точка А).
S = OA - OA , OA = R + L,
OA' = R ■ cos р + L ■ cos Р, тогда S = (R + L) - (R ■ cos р + L ■ cos в),
RR S = (R + L—) - (R ■ cos р + L — ■ cos в). RR Вынесем значение R за скобку
S = R ■[(1 + L) - (cos P + L cos в)] R R
заменяя, L 1 получим:
R Я
(2)
S = R ■ [(1 + Я) - (совр + ^Ясовв)] ■ (3)
Я Я
Значение выражения
A = (1 + Я) - (cos р + — cos в)
Я Я
для различных значений ф и А приведены в работе [1].
Путь поршня может быть определен графическим способом. Для этого вычерчивают в определенном масштабе (например, 1:1) КШМ при положении кривошипа и шатуна на оси цилиндра. Поворачивают кривошип на угол, соответствующий 100, вычерчивают КШМ в новом положении и определяют пройденный путь поршнем. Затем кривошип поворачивают ещё на 100 (до 3600) и во всех точках определяют путь поршня. Строят график зависимости пути поршня от угла поворота коленчатого вала, который необходим для определения давления в цилиндре по анализу индикаторной диаграммы, построенной в координатах P-
V и перестроения ее в координаты Р-р..
2. Скорость поршня
Скорость поршня для любого угла поворота коленчатого вала является первой производной от его перемещения по времени [3].
dS dS dp dS
V =— =-------------— = о—
dt dp dt dp
(4)
dp de (7)
R ■ cos p— = L ■ cos p— dt dt
Из формулы (7) находим, что:
dp cos ф
L — = R • ш -----.
dt cos p
Формулу (5) можно представить в следующем виде:
V = R ■ о ■ sinp + R ■ о ■
cos p ■ sin в = cos в (8)
sin p ■ cos в + cos p ■ sin в R ■о ■ (--------------------------------------------------) =
= R ■ о ■
cos в sin(p + в) cos в
Численные значения выражения B = sin(p + в) для различных значений А и ф
cos в
приведены в работе [1].
Степень быстроходности двигателей определяется по средней скорости поршня (табл. 1)
V = 2 Sn-n = Sn ' П .
ср 60 30
(9)
где ю =^L - угловая скорость вращения ко-
dt
ленчатого вала в рассматриваемый момент
п ■ n = 30
Следует помнить, что производная постоянного числа равна нулю, cos'p = -sinp, а sin'p = cosp.
Так как текущий путь поршня определяется выражением
S = (R + L) - (R ■ cos р + L ■ cos в),
то, подставляя в формулу скорости V значение пути S, получим:
V = R ■ sinр — + L ■sinв —. (5)
dt dt
Из анализа рис. 4 следует, что:
BC = R ■ sin р = L ■ sin в. (6)
Продифференцировав это равенство по t, получим:
Таблица 1 - Степень быстроходности двигателей
Тихоходные 5 - - 6 м/сек
Средней быстроходности 6 - - 9 м/сек
Быстроходные 9 - - 12 м/сек
Сверх быстроходные более 12 м/сек
По средней скорости поршня Уср, площади поршня Fп, выбранной площади впускного трубопровода Fвп (рис. 3), определяют скорость во впускном трубопроводе Vвп:
Vвп = УСр' Fп/Fвп ■ (10)
Определив величину Увп, определяют потери давления в линии всасывания и величину давления в конце такта впуска.
3. Ускорение поршня
Ускорение поршня является первой производной от его скорости по времени:
. = dV = dV dp= dV dt dp dt dp
(11)
Тогда:
j = Rш
cos(<p + Р) • (1 + <dP) • cos p + sin p • <dP • sin(<p + P) Іф йф
= R • ш2 [
cos2 P
2 vcos(ф + Р) cos фcos2 p — sin фsin P^ cosP
cos P
cos 2 P
sin фsin P- CosP + cosфsin2 P dp
Іф
cos2 P
= R • ш
cos(ф + P) cos ф^ (cos2 P + sin2 P) dP
---------------+--------------2------------—
cosP cos P
= R •ш
cos( ф + P) + cos ф dP cos P cos2 P Іф
іф (12)
Из равенства (7) находим, что
dp . dв R cos р-----= L ■ cos в----
dt dt
R cosp = dв dt я cosp = dв
L cos в dt dр cos в dp
Подставив полученное выражение для ф/бф в уравнение 12, получим:
j = R ш
cos^ + P)
cos^ + P) cos ф cos ф
---------------1-----2----A---------
cos P cos2 P cos P
cos P
+ A
cos2 ф cos3 P
(13)
j = R • ш 2 •C (14)
Численные значения постоянной величи-
ны
С =
cos^ + P) , cos ф
+ A • ■
cos P
cos P
для различных значений ф и А приведены в работе [1].
Численное значение ускорения поршня необходимо для определения сил инерции от поступательных масс КШМ и расчета на прочность деталей двигателя. Для расчета сил инерции от поступательно-движущихся масс (Р) используют выражение
Pj тПОС ' j;
(15)
где тпос - масса от поступательных частей, равная массе поршня и 1/3 массы шатуна.
Графики пути, скорости, ускорения поршня удобнее строить, заполнив табл. 2, в которой указаны расчетные коэффициенты А, В, С, абсолютное значение пути, скорости, ускорения поршня и их значения с учетом выбранного масштаба.
В качестве примера рассмотрим двигатель с А= 1/3,8, Я=0,05м, частотой вращения коленчатого вала 6000 мин-1 , угловой скоростью ш=628с-1 и частично заполним табл. 2.
Таблица 2 - Определение пути, скорости, ускорения поршня в зависимости от угла поворота коленчатого вала
путь, м скорость, м/с ускорение, м/с2
ф 0 знак A S S* знак B V знак C j J*
V*
0 + 0,0 0,0 + 0,0 0,0 + 1,26 24850
30 + 0,17 0,008 + 0,61 19 + 1,0 19720
60 + 0,60 0,03 + 0,98 31 + 0,37 7300
90 + 1,13 0,056 + 1,0 32 + 0,27 5324
360
В табл. 3 приведены результаты кинематического расчета на ПЭВМ двигателя на базе ВАЗ-2108 с частотой вращения 4900 мин" , угловой скоростью 513 с , А = 0,26 и радиусом кривошипа 0,035 м. На рис. 5, 6, 7 показаны графики изменения перемещения поршня, его скорости и ускорения [2].
0,080 и
S 0,070 -
х 0,060 -3
0 0,050 -с
® 0,040 -х
1 0,030 -
4»
І 0,020 -с 0,010 -0,000 -
0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360
угол поворота коленчатого вала, град
Рис. 5. Изменение перемещения поршня
Таблица 3 - Результаты кинематического расчета двигателя
ф град S, м V, м/с J, м/с
0 0,000 0,000 11765,45
30 0,006 11,153 9300,542
60 0,021 17,817 3454,933
90 0,040 18,207 -2427,79
120 0,057 13,718 -5882,72
150 0,067 7,054 -6872,75
180 0,071 0,000 -6909,87
210 0,067 -7,054 -6872,75
240 0,057 -13,718 -5882,72
270 0,040 -18,207 -2427,79
300 0,021 -17,817 3454,933
330 0,006 -11,153 9300,542
360 0,000 0,000 11765,45
Рис. 6. Изменение скорости поршня
BC = R ■ sin р = L ■sin в
■ в R ■ а •
sin в = L sinp = Яsmр Зная, что sin в + cos в = 1 имеем:
(16)
cos в = \ 1 - sin в = \ 1 -а sin в= (17)
:(l -Я2 sin2 вГ.
Рис. 7. Изменение ускорения поршня
4. Приближенные вычисления пути, скорости, ускорения поршня
При расчете коленчатого вала на крутильные колебания и анализе уравновешенности двигателя выражения для определения 5, V, / желательно иметь в виде функции только угла Ф поворота коленчатого вала.
Из анализа рис. 4 следует, что
Разложим выражение (17), в ряд по формуле бинома Ньютона, получим
п л 1 л2 2 1 п4 4
cos в = 1 а sin р — Я sin р.
2 8
При Я=1/4 и ф=900 второй член разложения составляет от первого примерно 3% , а третий 0,05%.
Поэтому с достаточной для практики точностью считаем,что
cos в = 1 - ■“Я2 sin 2 р. (18 )
Подставляем выражение (18) в формулу пути.
R
S = R■ (1-cos р)+L—(1-cosв) ,
R
(приведенная формула является результатом алгебраических преобразований формулы пути (2)), получим:
S=R ■ (1-cos р)+L~
1-| 1- -2 Я sin? р
S = R ■ (1 - cos p) + —
X
1.
Библиографический список
Попык, К.Г. Динамика автомобильных и
с п п \ R ■ X ■ 2
S = R ■ (1 - cos p) +---------sin p .
2 ■ X
О Г. /1 \ R ■ X ■ 2
S = R-(1 -cosp) + —^sin p.
Так как sin2 p = 1 - cos 2p , то 2
S = R ■(! - cosp) +
R ■ X 4
(1 - cos2p) (19)
Из формулы (19) следует, что перемещение поршня можно условно представить состоящим из двух гармонических перемещений: S=S1+S2, где S1=R ( 1- cosy) - перемещение поршня первого порядка, если бы шатун имел бесконечно большую длину; S2=X R (1-cos2q)/4 - перемещение поршня второго порядка или дополнительное перемещение, зависящее от конечных длин шатуна и определяемое вторым членом бинома.
Определив путь (формула 19), находим скорость и ускорение поршня как первую и вторую производную пути по времени.
V = Ru[sin (ф +(X/2)sin 2ф]. (20)
j = R-ш (cosy +X cos 2ф).
(21)
Выводы по работе
- дано понятие «производной» как скорости изменения процесса, дан вывод формул для определения пути, скорости, ускорения поршня в зависимости от угла поворота коленчатого вала, показано их практическое применение;
- произведен расчет кинематики двигателя, построены графики пути, скорости, ускорения поршня;
- показаны возможности использования знаний, полученных студентами в результате изучения курса «Высшая математика» (раздел «производные»), в расчетах двигателей внутреннего сгорания.
тракторных двигателей / К.Г. Попык. - М.: Высшая школа, 1972. - 327 с.
2. Двигатели внутреннего сгорания. В 3 кн. Кн. 2. Динамика и конструирование: Учебник для вузов / В.Н Луканин и др.; под ред. В.Н Луканина и М.Г Шатрова. - М.: Высшая школа, 2005. - 400 с.
3. Письменный, Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс / Д.Т. Письменный -М.: Айрис-пресс, 2007. - 608 с.
Determination of piston’s velocity and speedup by means of derived
Y.P. Makushev, T.A. Polyakova,
P.A. Batrakov
In the article is considered the notion "derived" and its practical application in the calculation of the engines of internal combustion. By the accounting method it is determined the way of piston; by means of "derived" it was founded the values of the piston’s velocity and its speedup. The practical application of the piston’s kinematics has been shown in the calculation of the engines.
Макушев Юрий Петрович - канд. техн. наук, доцент кафедры «Теплотехника и тепловые двигатели» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - расчет и проектирование двигателей и их систем. Имеет более 100 опубликованных работ. E-mail makushev321@mail.ru Полякова Татьяна Анатольевна - канд. пед. наук, доцент кафедры ««Высшая математика» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление научных исследований - методика преподавания математики в школе и в вузе; методика преподавания теории вероятностей и математической статистики посредством реализации прикладной направленности. Имеет 12 опубликованных работ. E-mail: ta_polyakova@mail.ru
Батраков Петр Андреевич - студент группы ДВС-05-А1 Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований - совершенствование двигателей. Имеет 3 опубликованные работы.
Статья поступила 20.05.2010 г.
