CC BY
10
УДК 626.74:626.142.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ МЕЖДУ ГПЦ И ШКИВАМИ
Г.Л. Козинов1, Г.И. Старостин2
1 ФГБОУ ВПО «Сибирский государственный технологический университет»
660049 Красноярск, пр. Мира, 82, e-mail: pts@sibstu.kts.ru
2 ФГБОУ ВПО «Сибирский федеральный университет»
660041 Красноярск, пр. Свободный, 79
Сформулирована задача об определении сил взаимодействия ГПЦ (Козинов, 1999) со шкивами следующим образом: при заданных геометрических размерах передачи, моменте сопротивления M - на ведомом шкиве, скорости движения и физико-механических характеристик ГПЦ и футеровок найдены: 1) все силы, действующие в системе " ГПЦ -шкивы"; 2) условия на силы сопротивления, которые обеспечивают работу передачи без проскальзывания.
Ключевые слова нить, шкивы, гибкая пильная цепь, силы, уравнения
The problem{task} about definition of forces of interaction Flexible cutting circuit (Козинов,1999) with pulleys as follows is formulated: at the set geometrical sizes of transfer, the moment of resistance М - on a conducted pulley, speed of movement and physicomechanical characteristics Flexible cutting circuit and Rubber overlays are found: 1) All forces working in system " Flexible cutting circuit - pulleys "; 2) Conditions on forces of resistance which ensure the functioning into transfer without Shift.
Key words: a string, pulleys, flexible catting circuit, forces, the equations
ВВЕДЕНИЕ
Под термином ГПЦ понимается гибкая пильная цепь, состоящая из каната, или иного гибкого несущего органа, и резцов кольцевой формы одетых на несущий орган (Козинов,1999).
Передачи гибкой связью (ремнем, канатом) широко применяются в лесной отрасли. Работа передач гибкой связью возможна при отсутствии скольжения в месте контакта гибкой связи со шкивами и при образовании и развитии зоны скольжения. Поэтому, разбив эту задачу на две определим силовые параметры возникающие в системе.
1. Расчетная схема передачи
Рисунок 1 - Расчетная схема передачи
На рисунке 1: Т, Ті, Т2 - текущее натяжение ГПЦ на дугах обхвата; натяжение ведущей и ведомой ветвей ГПЦ, Н; dTі, dT2 - приращения усилия в бесконечно малом по длине элементе ГПЦ, на ведущем и ведомом шкивах, Н; Яі, Я 2 - радиус ведущего и ведомого шкивов, м; dф
- бесконечно малая по величине часть угла
обхвата ведущего и ведомого шкивов, рад; N, N1, N2 - текущее усилие действующее по нормали; усилия, действующие по нормали на ведущем и ведомом шкивах, Н; F , Е1, F2 - текущее усилие, действующее по касательной; усилия, действующие по касательной, на ведущем и ведомом шкивах, Н; V
- линейная скорость движения ГПЦ, м/с; М - момент сопротивления, действующий на ведомом шкиве, Н; 10 - длина ГПЦ, м; £ 2 - межосевое расстояние
между центрами ведущего и ведомого шкивов, м; £ 1
- межосевое расстояние между центрами ведущего и ведомого шкивов различного диаметра, м; р - текущий угол обхвата ГПЦ ведущего и ведомого шкивов, рад; 0 - полный угол обхвата ГПЦ ведущего и ведомого шкивов, рад; ро - часть угла обхвата, образовавшаяся при различных диаметрах ведущего и ведомого шкивов, рад; Тн , Тс - усилия в набегающей и сбегающей ветвях ГПЦ, Н; То -монтажное натяжение ГПЦ, Н.
Постановка задачи. Сформулируем задачу об определении сил взаимодействия ГПЦ со шкивами следующим образом: при заданных геометриче-
ских размерах передачи, моменте сопротивления М - на ведомом шкиве, скорости движения и физико-механических характеристик ГПЦ и футеро-вок найти:
1) все силы, действующие в системе " ГПЦ -шкивы";
2) условия на силы сопротивления, которые обеспечивают работу передачи без проскальзывания.
Теоретические исследования. Составим систему уравнений для схемы "ГПЦ - шкивы" при отсутствии проскальзывания, когда о < М < М1,
где М1 - значение момента сопротивления, при котором в передаче впервые возникает скольжение.
Для сил, действующих на ГПЦ, а их, три М, П ,Т1, выполняется уравнение -на ведущем шкиве:
1 dT 1 Я1 d р 1
+ П1 = о
< ~—Т1 - Nг - да п1 = О
Ял
7 - Тн = - А-1+Б,
Ср
Ср1
(1)
на ведомом шкиве:
Г =0
Я 2 Ср
Я Т 2 - N 2 - 2 = 0
Я 2
т2 -Тс = а2^+в2^-^-Ч. 2 с 2 с1ср 2 йср2
(2)
В системах, два первых уравнения взяты из классики передач гибкой связью (Щедров, 1961), третье уравнение выведено нами в работе (Козинов, 1999).
Запишем также условие постоянства длины ГПЦ (условие постоянства расстояния между центрами шкивов)
10 Т /ЕБ = $8^
или 10 Т о = $ ТС1 , (3)
Дополнительно к этому, запишем уравнение тягового баланса для системы " ГПЦ - шкив"
Тн - Тс =
М Я 2
(4)
Будем иметь в виду, что краевые условия в точках набегания и сбегания имеют вид:
(5)
т = т т = т
^ 1(0) *Н’ 1Кв\) 1с>
т = т т = т
2(0) ¿С’12(62) 1н-
(6)
Итак, имеем восемь уравнений (1;2;3;4) и восемь неизвестных : Т1(р); ПКр); N1(р); ; П2(р);
N • Т • Т
1У 2(р) ’ 1И ’ 1С ■
А. Решим систему уравнений (1), при
0 < р < 61.
Из первого уравнения системы (1), дифференцируя по р , находим
СП.
1 с 2т1
2 (1.1)
Ср Я1 Ср
Из второго уравнения системы (1), дважды дифференцируя по р , получаем
С2 N1 1 С2 Т1
Ср2 Я1 Ср2
(1.2)
Полученные значения (1.1;1.2) подставляем в третье уравнение системы (1), получаем
Тс - Тн =
А1 С2 7 + Б1 С 2 7
2 ■ 2 (!.3)
Я1 Ср Я1 Ср
Разрешаем это уравнение относительно
С 2Т1/ Ср2 , получаем
Я
С 2т
Ср А1 + Б1
Я
А1 + Б1
-Т .
-1 и
(1.4)
Так как А1, Б1 > 0, то, вводя обозначение
Я1 ,
А1 + Б1
(1.5)
и подставляя его в (1.4) получим общее уравнение для системы (1)
С 2Т1
2 - т?7 = -т1Тн .
Ср
Общее решение которого, имеет вид:
7 = С1 ещр + С2е-щр + тн,
(1.6)
(1.7)
где с1 , с2 - произвольные постоянные.
Используя краевые условия (5), получим следующие соотношения:
Т = Т = С + С + Т
^1(0) 1н М ^^2 ^ 1н
тт) = Тс = Сет6 + С2е~т * + 7
т6х
отсюда
ет161 - е-т‘6‘
Подставив (1.9;1.10) в (1.8), получим
Т = Т --'1 1 н
е т161 - е - т161
~(7н - Тс )■.
(1.8)
(1.9)
(1.10)
(1.11)
или, используя обозначение гиперболических функций,
р (1.12)
71 = Тн - (Тн - Тс )
shm 161
Из первых двух уравнений системы (1) выразим
1 СТ1 Я1 Ср
N1 = Я Т1 - Ч®„1 ■
(1.13)
(1.14)
Подставив сюда найденное значение для 71. окончательно получим
Г Т,=Тн-^^-{Тн-Тс)
shm 161 т1 ^т 1р
Я1 shm 161
(Тн - Тс)
(7)
м _Тн__ *кщр _Т) .
■ 1 Я1 Я^/ииД н с в1
Найденные соотношения (7) устанавливают зависимость функций
ет1р - е - т1р
71, П;, Nl от неизвестных сил натяжения вет-
! Тн Тс
Б. Решение системы (2), при 0 < р < 62.
Система (2) решается аналогично системе (1). Из двух уравнений (2) выразим
(2.1)
F _ — dT 2 ,
2 R 2 dp
N2 = Я-T2 - qan2' R 2
(2.2)
Дифференцируя первое равенство один раз по Ф, а второе - два раза, получим
dF 2 1 d T2
dp R dp
d 2N2 _ 1 d 2T2
dp R2 dpp
(2.3)
(2.4)
Подставив эти выражения в третье уравнение (2), получим
Т - т = А2 С Т2 + Б2 С Т2 (2 5)
2 с Я2 Ср2 Я2 Ср2
Разрешая это равенство относительно
С 2Т2/ Ср2 , и вводя обозначение
, (2.6)
A 2 + B 2
получим уравнение относительно T2 в виде
d 2 T
-2— m 22 T2 _ - m 2 Тс .
.. . . . . (2.7)
С р
Общее решение этого уравнения имеет
(2.8)
где с1 , с 2 - произвольные постоянные, которые определим из краевых условий (6)
Т2(0) = Тс = С1 + С 2 + Тс
вид Т2 _ с 1 em2p + с 1- m2p + T
(2.9)
T2(02) _ TH _ С.в^ + С2еГ,Пгвг + TH . (2.10)
Отсюда выражаем: С 2 = —С, T — T
c = h 1 с ^1 _
em2e2 — e -m2e2
(2.11)
(2.12)
Подставив С и С2 в выражение для T2, по-
лучим
Т2 _ ТС +
em2p — e — m2p
em2e2 — e —m2e2
(Th — Тс ),
(2.13)
(2.14)
или через гиперболические функции
т = т + 2р (Т Т .
7 2 = 7 С + —,-7— (7 н - 7 С )
shm 262
Подставив (2.14) в полученные ранее (2.1; 2.2), окончательно имеем:
Т2 _ Тс + 4^^ — Тс )
F _
m2 chm 2p
R2 shm 2в2’(Тн Тс ^
N2 _Tl(Th — Тс) — q*n2.
(8)
R2 R2shm2e2
Найденные соотношения (8) устанавливают зависимость функций T2^; F2{
2(p)> N2(p) от нЄ-
известных Тн , Тс .
В. Определение натяжений в набегающей и сбегающей ветвях ГПЦ при неизменном расстоянии между шкивами.
Условие (3) в рассматриваемом случае (при отсутствии проскальзывания) имеет вид
61 62
10Т0 = 11тн + 7 + я1 $ т1 Ср + я 2 $ т2 Ср .(9) 0 0
Вычислим интегралы, используя зависимости
(7; 8) :
$ТСр = Тн6, - СтГ(Тн - Тс )|61 =
в^Н —
(Th — Tc);
m1shm 2в1
(9.1)
2
IT2dp _ Tce2 +
chm 2p m 2 shm в
■(Th —T: )||
в-Гс + (Th — Tc ).
m2shm 2в2
(9.2)
Подставляя интегралы, получаем
/0T0 = IjTh + ljTc + -Wh — ^ 1 (Th — Tc ) +
m1 shm101
+ R a T + chm 2в2 — 1 (T — T ).
+ R 2a 2T C + , n (T H TC )
m 2 shm 2a 2
Группируя по TH и Tc , получаем
(9.3)
l0T0 _ TH (l1 + R1e1 —
с
R1 chm-ß1 — 1 R2 chm2e2 — 1
+ -
m1 shm1e1 m2 shm2e2
-) +
+ 7 (/1 + R2в2 +
R1 chm 101 — 1 R2 chm 202 — 1) c 1 22 m 1 shm 1a1 m 2 shm 2Ö2
. (9.4)
Вводя обозначения a 1 и a 2 и присоединяя уравнение тяги (4), получим систему относительно
TH и Tc .
a T + a T _ T
H ~ id2J с J0
TH—TC _ M, (10)
H R2
2
N1; Е^; Т1; Ы2; ^2; Т2; Тп ; Тс полностью решена, для случая, когда 0 < М < М1.
ВЫВОДЫ
Определены - все силы взаимодействия ГПЦ со шкивами и условия на силы сопротивления, которые обеспечивают работу передачи без проскальзывания - при заданных геометрических размерах передачи, моменте сопротивления М - на ведомом шкиве, скорости движения и физико-механических характеристиках ГПЦ и футеровок.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Безухов, Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести [Текст]/ Н.И. Безухов. - М.: Высшая школа. 1968. - 512 с.
Козинов, Г.Л. Беззажимная распиловка древесины гибкими нитями: Дисс.... докт. техн. наук: 05.21.01. / Г.Л. Козинов. - Воронеж, 1999.-345с.
Щедров, В.С. Основы механики гибкой нити [Текст]/
В.С. Щедров. - М.: Машгиз. 1961.-170 с.
Поступила в редакцию 24 марта 2010 г. Принята к печати 3 ноября 2011 г.
где
Я1 окт 1в1 - 1 + Я2окт 2в2 - 1
10 т 1 якт 1в1
11 + Я2в2 + Я1окт 1в1 - 1 Я2окт 2в2 - 1 •
10т1 зкт 1в1 10т2зкт 2в2
10 = 211 + Я 1в 1 + Я 2в 2 Заметим, что из (10) а 1 + а 2 = 1 .
Из системы (10) находим
Т -г + М ,Т = Т + М .
Т Н = Т 0 + а 2 п Т С Т 0 + а 1 п
Я.
Я.
Заметим,что
Т Н - Т С = 2 Т 0 + ( а 2 - а 1) ---
(10.1)
(11)
(12)
(13)
то есть, формула Понселе - Грасгофа не выполняется в общем случае, так как а 2 ^ а 1, потому
что а 2 - а 1 = 2 а 2 - 1 = 1 - 2 а 1.
Полученные результаты. Итак, поставленная задача по определению неизвестных восьми сил
+ я 1в1
а, =
I
