ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

УДК:517.9.539.3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ТЕМПЕРАТУРЫ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ

Муродилла Олимов НамИСИ, профессор, molimov5152@gmail.com +998972513242

Парпиев Санжарбек Пулат угли НамИСИ, стажёр преподаватель, saniarbekparpiYev5@gmail.com. +998950365151

Абдусамиев Яхё Низомжон угли НамИСИ, студент, yaxyo. abdusamiy ev003 @gmail. com +998940082143

Annotatsiya: Maqolada chekli elementlar usulining asosiy tushunchalari tasvirlangan. Chekli elementlar usulidan foydalanib, bir va ikki o'lchovli qattiqlashtiruvchi va plastinka masalalari uchun polinom koeffitsientlari qatorli vektorli haroratni taqsimlash algoritmlari ishlab chiqilgan. Bir va ikki o'lchovli ob'ektlarga chekli elementlar usulini qo'llashda, oddiy uchburchak elementi ichidagi uzluksiz funktsiyani yaqinlashtirish uchun interpolyatsiya polinomidan foydalaniladi. Ikki o'lchovli strukturada haroratni taqsimlash muammosining funksiyasini chekli elementlar usuli bilan aniqlash uchun boshlang'ich maydon odatda bir xil bo'lmagan to'r yordamida alohida chekli elementlarga bo'linadi. Tugunlarda kerakli funktsiyaning uzluksizligi sharti ishlatilgan. Cheklangan elementlar usulidan foydalanib, haroratning tarqalishi jarayonlari uchun algoritmlar va dasturiy ta'minot ishlab chiqildi va natiialar tahlil qilindi.

Аннотация: В статье описаны основные понятия метода конечных элементов. С использованием метода конечных элементов разработаны алгоритмы распределения температуры с вектором-строкой полиномиальных коэффициентов для одно- и двумерных ребер жесткости и пластинчатых задач. В процессе применения метода конечных элементов к одномерным и двумерным объектам используется интерполяционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию внутри симплексного треугольного элемента. Исходное поле определения функции задачи о распределении температуры в двумерной конструкции методом конечных элементов обычно разбивают на отдельные -конечные элементы с помощью неравномерной сетки. В узлах использовалось условие непрерывности искомой функции. С использованием метода конечных элементов разработаны алгоритмы и программные средства процессов распространения температуры, проведен анализ результатов.

Abstract: The article describes the basic concepts of the finite element method. Using the finite element method, temperature distribution algorithms with a row vector of polynomial coefficients have been developed for one- and two-dimensional stiffeners and plate problems. When applying the finite element method to one- and two-dimensional objects, an interpolation polynomial is used to approximate a continuous function within a simplex triangular element. The initial field for determining the function of the problem of temperature distribution in a two-dimensional structure by the finite element method is usually divided into individual finite elements using a non-uniform mesh. At the nodes, the condition of continuity of the desired function was used. Using the finite element method, algorithms and software for temperature propagation processes were developed and the results were analyzed.

Kalit so'zlar: Chekli elementlar usuli, rodlar, plitalar, bir o'lchovli, ikki o'lchovli, harorat taqsimoti, kompleks texnologiyalar, yaqinlashtirish, kompyuter dasturlari, analitik usul,

sonli usul, kompleks tuzilmalar.

Ключевые слова: Метод конечных элементов, стержены, пластинки, одномерные, двухмерные, распределение температуры, сложные технологии, аппраксимация, компьютерные программы, аналитический метод, численный метод, сложные конструкции.

Key words: Finite element method, rods, plates, one-dimensional, two-dimensional, temperature distribution, complex technologies, approximation, computer programs, analytical method, numerical method, complex structures.

Введение. Температурные задачи актуальны в строительстве, машиностроении, авиастроении и других отраслях. Поэтому многие ученые проводили научные исследования по вопросу распределения температуры [1].

Составление алгоритма с использованием метода конечных элементов состоит из следующих этапов [2,3]:

Этап 1. Определение аппроксимирующей функции для каждого элемента (определение функции элемента). На этом этапе значение непрерывной функции в произвольной точке ее конечного элемента аппроксимируется полиномом.

е ) = A е ) R + A ,

Здесь A(е) - вектор-строка полиномиальных коэффициентов; Ao - свободный член; R = (x, y, z) — вектор координат в рассматриваемой точке.

Задача этапа - определить неизвестный вектор Aе) и свободный член Ao . Для этого коэффициенты многочлена представляются вектором, используя условие непрерывности

функции в узлах. Выполняются узловые значения функции 0(е , координаты узлов и эквивалентные преобразования.

^е) = N(*)ф(е) ^ (1 )

Здесь N1 е) — матрица-строка, элементы которой называются функциями формы конечных элементов.

Функции формы легко вычисляются в каждой точке конечного элемента, используя координаты самой точки и узлов элемента.

Этап 2. Соединение фрагментов конечных элементов. На этом этапе уравнения, относящиеся к отдельным элементам (1), объединяются в систему алгебраических уравнений:

ф = N0 (2)

система уравнений (2) является моделью искомой непрерывной функции.

Этап 3. Определение узловых значений функции.

Постановка задачи:

Исходную область определения функции задачи о распределении температуры в стержне методом конечных элементов обычно разбивают на отдельные - конечные элементы с помощью неравномерной сетки. Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочной функцией, определенной на множестве конечных элементов. Приближение можно задавать произвольно, но часто для этих целей используют полиномы, которые выбираются таким образом, чтобы обеспечить непрерывность искомой функции в узлах на границах элементов [3,4].

Нас в основном интересует определение распределения температуры для

одномерных задач, т. е. в случае стержней, и для двумерных задач, т. е. в случае пластины, с определением температуры во внутренней точке узловых значений. Алгоритм задачи и полученные результаты:

Интерполяционный полином для одномерного элемента ф = а + х имеет вид (рис. 1).

Рис. 1

Коэффициенты 0 и а2 определяются узловыми значениями функции Ф, и Фу по условию непрерывности:

ф = ф при X = Х.

ф = Ф . при х = Х] (3)

Подставив элемент в интерполяционный полином (3), получим систему уравнений:

Ф = а + а0Х ;

г 1 2 г '

Ф = а + а0Х

у 12 у Определим и ^2 из системы уравнений:

Ь = Х у - Х1;

у г

а} = Ф г - а2Хг

Ф1 = Ф г - а2Хг + а2Ху

Фу - Ф г Ху - Х г

а2

«1 = Ф -

( ф - ф Л

у

V Ь

X, =■

Ь

ФХу - ФуХ г

Ь

Получим:

«1 = ФХу - ФуХ,)/Ь; «2 = Фу - Ф )/Ь

'у- ^у^^г/1^

Подставив рассчитанные значения коэффициентов полинома аппроксимации

элемента в интерполяционный полином, получаем следующее.

ФХу - Фу X, ( Фу - Ф, Л Ф =-у-у--VI —у-I х

Ь I Ь )

Давайте проделаем эквивалентное преобразование правой части:

Ф,Ху - ФуХ ;,

Ф =-у-у— +

Ь

г

Ф, - Ф, Л . Х, - х _ х - Х.

у

V Ь У

X = Ф —-+ Ф

Ь у Ь

Члены уравнения, заключенные в круглые скобки, представляют собой функции в виде одномерного симплексного элемента:

N =(xj -х)/Ь Ы] =(х-Х,)/Ь

КУРИЛИШ

Получим. ф — N1ФI + N:Ф . или в матричной форме ф — NФ , здесь

N — [ N, N, ]

] ] Ф

матрица строк;

Ф —

Ф

}.

вектор-столбец.

Одномерный симплекс определяется температурой внутри элемента [3,4].

X - х х - Х-

ь ь ' (4)

Для приблизительного определения распределения температуры в стержне было определено, что температура в узлах г и ] равна 120 и 90°С соответственно (рис. 2). Определите точки, находящиеся на расстоянии определенного см от начальной точки. Узлы 7 и / расположены на расстоянии 1,5 и 6 см от координаты.

Рис. 2

Одномерный симплекс определяется температурой внутри элемента (1). В качестве примера мы взяли 2 узла и определили распределение температуры между ними. Информация об элементе:

X, = 1,5 см, Т = 120 0 С. Х} = 6,0 см, Т = 90 0 С Ь = Х} - X, = 4,5 см.

Результаты, полученные с помощью программирования, приведены в таблице 1.

№ И Т

1 1.8 118оС

2 2.25 115оС

3 2.7 112оС

4 3.15 109оС

5 3.6 106оС

6 4.05 103оС

7 4.5 100оС

8 4.95 97оС

9 5.4 94оС

10 5.85 91оС

В результате выяснилось, что в одномерных задачах, т. е. в стержне, определяется распределение температуры между двумя узлами. Как видно из таблицы, температура снижается под действием внешней силы.

Исходное поле определения функции задачи о распределении температуры в двумерной конструкции методом конечных элементов обычно разбивают на отдельные -конечные элементы с помощью неравномерной сетки. Искомая непрерывная функция аппроксимируется кусочной функцией, определенной на множестве конечных элементов. Двумерный симплексный элемент представляет собой равносторонний треугольник,

стороны которого представляют собой прямые линии.

Интерполяционный полином, аппроксимирующий непрерывную функцию f (x) внутри элемента симплексного треугольника, имеет следующий вид.

/ (x) — ах + a2 x + a3y

Для получения выражений для функций формы элемента необходимо пронумеровать узлы треугольника. Обозначим их цифрами г , ] , к, начиная с произвольно выбранного узла, двигаясь против часовой стрелки (рис. 3). Значения узлов Ф, , Ф] , Фк также считаются известными.

(6)

(7)

Рис. 3.

Используя условие непрерывности искомой функции в узлах, аналогичное предыдущему случаю, построим систему уравнений.

Ф. — ах + а2Х1 + аъУ1;

ф — а + ^х, + ауг;

] 1 2 ] 3 ]

Фк — а1 + а2Хи + а3ук .

Решая неизвестные коэффициенты через п, получаем:

01 — (0.5/-XkYj)Ф, + (Ху -Хук)Ф] + (Х?] -Ху)Фк]

a2 — (0.5/- Ук )Ф, + У - у )Ф. + (у - У. )Фк ] а2 — (0.5/-XJ.)Ф. + (X -Хк)Ф. + (X. -X)Фк] Здесь S — площадь элемента, рассчитываемая по формуле

5 — ОД^. У - Ук )+ X.. (Ук - у)+Xk (у - Г..)

Подставим (7) в (6), проделаем аналогичные преобразования и получим следующую формулу.

ф — И1Ф1 + И] Ф ] + Ик Фк; И, — (0,5/ 5 )(а, + Ь,х + с,у), И] — (0,5/ 5 )(а] + Ь]Х + С].у), Ик — (0,5/ 5 )(ак + Ькх + ску); а. — ^кУ - \ ак — Xу. - X.У., Ь — п - у, Ьк — У - У.,

ск — xj -xi■

(8)

(9)

аг — XjУk - XkУj Ьг — У. - Ук,

сг = xk -x

— у к с 1 — x г - x к,

Определитель системы связан с площадью 2S треугольника

Х г У Х,- У,

1 Хк Ук

= 28

При вычислении значений функций вида N1, N N следим за тем, чтобы они были равны 1 в узлах с соответствующими номерами и 0 в остальных узлах элемента. Температура внутри элемента (^ определяется по формуле.

г = N т + МуГу + мктк:

Вычислить значения функций формы во внутренней точке А с координатами х=2, у=2,5 двумерного симплексного элемента со следующими узловыми координатами: х^ = 1; у, =2; X} =4; у}-=1; хк =3; ук =4. Определить значение температуры Т во внутренней точке А

при следующих узловых значениях непрерывной функции: Тг = 15 ° С; Ту = 20 С ;

/ = 23.4375°С

Т = 40 ° С .

В двумерной задаче был определен случай температуры произвольной внутренней точке пластины.

Вывод: На основе этапов метода конечных элементов определены закон распределения температуры в одномерной задаче Штерна и температурное состояние в произвольной точке двумерной задачи о пластине. Для решения вышеописанных задач была создана пакетная программа с использованием языка программирования С++. [5].

ЛИТЕРАТУРА

1. ^урилиш механикаси: Олий укув юрт. учун дарслик. К.С.Абдурашидов, Б.АДобилов, Н.Ж.Туйчиев, А.И.Рах,имбоев;/Б.АДобиловнинг умумий тахрири остида /. —Т.: Узбекистан, 1999.—384 б.

2. "Амалий масалаларни чекли элементлар усули билан ечиш" фанидан таълим технологиялари. Услубий кулланма. - Самарканд: СамДУ нашри, 2010. - 60 бет.

3. Методические указания к практическим занятиям по дисциплине «Модели и методы анализа проектных решений» для студентов направления подготовки бакалавров 230100 «Информатика и вычислительная техника» (профиль «Системы автоматизированного проектирования в машиностроении») очной и заочной форм обучения / ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»; сост. О.В. Собенина. Воронеж, 2014. 39 с.

4. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер с англ. - М.: Мир, 1986-318 с., илю.

5. Полатов А.М. Алгоритмлар ва С++ тилида дастурлаш асослари. Тошкент. "Университет" - 2017. 123 бет.