CC BY
0
ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАСХОДА ГАЗА ЧЕРЕЗ КАНАЛ ПРИ ДОЗВУКОВЫХ, СМЕШАННЫХ И ЗВУКОВЫХ РЕЖИМАХ ТЕЧЕНИЯ ГАЗА
В.И. Сиваков, инженер
Севастопольский институт ядерной энергии и промышленности (Россия, г. Севастополь)
DOI:10.24412/2500-1000-2024-8-2-179-185
Аннотация. Получена универсальная формула для определения расхода газа через канал при дозвуковых, смешанных и звуковых течениях газа. Усовершенствован показатель политропного процесса, который включает в себя не только отношение теплоемкостей идеального газа, но и отношение скоростей в газовом потоке.
Ключевые слова: расход газа, средние параметры, пристенный слой, универсальная формула.
Одной из актуальных проблем современной газодинамики являются вопросы определения расходов газа через различные каналы при изменении относительного противодавления за каналом в широком диапазоне с привлечением минимального количества экспериментальных данных и приемлемой погрешностью [1]. В настоящее время универсальной формулы, определяющей расход газа через канал с приемлемой погрешностью при изменении
режима течения газа от дозвукового до критического, не существует. Так, в работах [2-4] приводится формула, в которую необходимо подставить критическое отношение давлений и критический коэффициент расхода, а это не всегда представляется возможным.
Для получения формулы представим расход реального (вязкого) газа в следующем виде:
О.
с
_ срр
с.
(1)
V
5
V
т
ср
где Gд, Gs - действительный и теоретический (изоэнтропийный) расходы газа, соответственно;
Ссрр, С - среднерасходная и теоретическая скорости газа соответственно; vm , vs - средний и теоретический удельные объемы соответственно.
Обозначим:
V
т
срр
= % - средний коэффициент удельного объема,
V тср
С,
~~ = ^срр - среднерасходный коэффициент скорости. Тогда формула (1) запишется следующим образом:
и = . (2)
V
тср
Рассмотрим движение реального газового потока через канал при неравномерном поле скоростей на выходе из канала. Для этого разобьем газовый поток таким образом, чтобы в каждом слое выполнялось равенство ptvm' = const, где
Р, V, т - давление, удельный объем, показатель политропы газа в им слое, соответственно. Запишем уравнение для определения политропной скорости газа
C =
2m m -\
Po Vo
\ -s
m-1 \ m
и ее изоэнтропийной составляющей
C sm
2k
Po V
m-\ V
1 -sam
Отношение изоэнтропийной составляющей С^ к самой политропной скорости Ст назовем политропным коэффициентом скорости и обозначим его следующим образом:
Vm =
C
C
k m - \
}k - \
m
(3)
где к - показатель изоэнтропы; Р
а = —- - относительное противодавление за каналом. Ро
Из уравнения (3) получим формулу показателя политропы
m =
л k - \ 2 1--^Vm
(4)
0.5
и
0.5
Очевидно, что показатель политропы определяется не только отношением теп-лоемкостей идеального газа, но и отношением скоростей, характеризующих потерю кинетической энергии в данном слое газового потока. Главным фактором в определении показателя политропы является определение политропного коэффициента скорости, который зависит от поля скоростей на выходе канала.
С понижением давления за каналом скорости газа по слоям потока увеличиваются, и при некотором давлении за каналом в одном из слоев параметры газа достигают критических значений и остаются неизменными с дальнейшим понижением давления за каналом.
По мере увеличения скорости газа по слоям потока увеличивается и среднерас-ходная скорость газа. Когда в пристенном слое газа скорость достигла критического значения и образовалась ЗЗП, среднерас-ходная скорость потока достигла критического значения, а среднерасходный коэф-
С*
фициент скорости - р*рр = —= 1. Более
С*
подробно об этом изложено в работе [5].
Таким образом, при критическом режиме течения газа через канал среднерасход-ный коэффициент скорости равен единице. С увеличением относительного противодавления за каналом еа расход газа через
канал уменьшается, уменьшается и сред-нерасходный коэффициент скорости, и
при еа& 1 среднерасходный коэффициент
скорости равняется политропному коэффициенту скорости пристенного слоя, т.е.
<срр <тк .
Примем в первом приближении, на основании опытных данных, что среднерас-
ходный коэффициент скорости при изменении относительного противодавления от
1 *
еа = 1 до еа = е* изменяется по линейному
закону. Тогда эта зависимость выразится формулой.
фсрр фтк
1 +
1 -Утк 1 -Za
1 *
Фтк 1
(5)
*
где е* - критическое отношение давлений пристенного слоя.
Таким образом, для определения средне-расходного коэффициента скорости необходимо знать только политропный коэффициент скорости пристенного слоя газа в канале.
Из формулы (1) средний коэффициент удельного объема <р равен отношению
удельных объемов, которые определяются из уравнения политроп своего слоя, т.е.
v е1к
тср _ s
ех/тсс
етср
ф = тср = -Us__(6)
г тср 1/тсс ■ v '
В уравнение (6) входят параметры разных слоев газового потока. Для получения аналитических зависимостей между параметрами разных слоев газового потока за-
пишем уравнение политропных скоростей для этих слоев и сравним их между собой. В результате этого получим следующее:
к-1
т1-1
тср-1
тк-1
е к = е т1 = е тср = е s т1 тср к
тк
и затем
т1-1 к
тср-1 к
тк-1 к
_ ~ т1 к-1 — р тср к-1 _ ,, тк к-1 bs ет1 е тср
= е
к
Но из уравнения (3)
т -1
т
к -1
= ф2т . Тогда получим
2 2 2 Р - рФт1 - рФср — фтк bs ет1 е тср ек
(7)
где
е , е ,, е , е, -
s' тР тср к
относительные
противодавления изоэнтропийного, первого, среднего и пристенного слоев соответственно.
В формуле (6) относительное противодавление приведем к одному основанию еа=ек, используя формулы (4) и (7). После некоторых преобразований получим
ФУ =8ффтк
тср
(
1
л
1 -у фтср J
(8)
Выражение формулы (8) и есть средний коэффициент удельного объема, но только для газового потока, в котором имеется изоэнтропийное ядро. Чтобы выражение (8) было универсальным, введены понятия параметров газа первого слоя, которые
обозначается ет1, рт1 и т.д. Первым слоем
газового потока назван тот слой, в котором впервые возникли критические параметры в канале [5]. Тогда формула (8) примет вид
V 2 ( -2_ -2
mср Vmk \Vm\ (^гжр
Vv...._ = — = S a
V
(8')
Отличие формул (8) и (8') заключается лишь в первом члене скобок показателей степени. В уравнении (8) этот член равен единице, в уравнении (8') - р—х. В первом случае в газовом потоке имеется изоэнтропийное ядро, поэтому а = а, и, как
следствие, ртХ = 1. Во втором случае нет изоэнтропийного ядра, а1 < а и ртХ < 1. В
целом уравнение (8') является универсальным для всех газовых потоков в каналах.
Для определения среднего коэффициента удельного объема по формуле (8') остается неопределенным средний политроп-ный коэффициент скорости р . В первом
приближении примем, что политропный коэффициент скорости газового потока по радиусу канала изменяется по закону
Vm, = Vm\ • У г
(9)
а относительная координата пристенно-— — у.
го слоя ук = 0,005 , где уг = —, у - рас-
К
стояние от стенки канала, К - радиус кана-
ла; а - показатель степени координаты /-го слоя газа.
Тогда уравнение (9) для пристенного слоя газа запишется в следующем виде:
Vmk _ ~ak У k •
Vm\
(9')
Прологарифмируем выражение (9') и из него определим показатель степени пристенного слоя
ak =
1П(VmJVm\)
ln yk
(10)
Из выражения (10) следует, что на оси газового потока показатель степени а1 = 0. Изменения показателя степени координаты газового потока по радиусу канала вы-
ражается уравнением а = ак (1 - уг). Подставим это в уравнение (9) и получим закон изменения политропного коэффициента скорости по радиусу канала
—ak (1-yi)
Vm, = Vml У г
(11)
Для подтверждения работоспособности формулы (11) воспользуемся эксперимен-
тальными данными работы [6] для трубопровода l/d = 49 .
этому решим эту задачу с привлечением приближенных методов. В частности, на графике функции (11) проведем прямоугольник таким образом, чтобы его площадь была равна площади, образованной кривой функции (11) и осью абсцисс. Отсюда найдем зависимость между < , <
и <ртк. Она определяется следующим образом:
<тср = 0,75<т1 + 0,25<тк . (12)
1
0.9
0.8 Л. ■ - * i ♦
---
0.7
0.6 _ Расчет по формуле (11) ф Экспериментальные данные работы [6]
0.5
0.4 У,
0 0.1 0 .2 0 .3 0.4 0 .5 0 .6 0 .7 O.S 0 ■9 1
Рис. 1. Распределение поля скоростей по радиусу трубы l/d = 49
Из рис. 1 видно, что совпадение экспериментальных данных и расчетных по формуле (11) удовлетворительное. Для определения среднего значения политроп-ного коэффициента скорости < между
<Рт\ и <Ртк при изменении относительного
радиуса канала у от 1 до 0,005 необходимо взять интеграл от функции (11). Но интеграл от функции у а ( у) не берется. По-
Таким образом, определена величина <р , которая необходима для вычисления
среднего коэффициента удельного объема по формуле (8'). Подставив в формулу (2) значения ее составляющих по формулам
(5) и (8'), получим зависимость для определения коэффициента расхода канала при изменении относительного противодавления от единицы до критического отношения давлений:
_ фсрр _ ^к / -2
2
И = - = еа" (Фтср
Ф,
тср
Фтк
1 +
1 -Фтк 1 е a
1 *
Фтк 1 -е*
(13)
При достижении относительным противодавлением значения критического отношения данного канала, то есть е = е* , среднерасходный коэффициент скорости
<рр равняется единице, а коэффициент
расхода газа через канал достигает своего максимального значения, то есть критического, и определяется формулой
И =ек
2 ( -2 Фтк(Фтср
ФпЛ>
(14)
Для получения количественных значений величин по формулам (13) и (14) необходимо знать только величину полит-ропного коэффициента скорости пристенного слоя данного канала. Для подтверждения правильности формул (13) и (14) приведем экспериментальные данные работ [1-4] и нанесем их на график функции (13).
Из рисунка 2 видно, что совпадение экспериментальных и расчетных данных по формуле (13) удовлетворительное. Таким образом, формула (13) является единой во всем диапазоне изменения относительного противодавления, то есть универсальной.
0.5
0.4---------
0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 8.
Рис. 2. Изменение коэффициента расхода газа через различные каналы
1 *
при изменении относительного противодавления от еа = 1 до еа = е*
Кроме того, формула (13) является общей для каналов различной геометрии. На рис. 2 приведены экспериментальные данные следующих каналов: кольцевая щель, отверстие, конические сопла, лемнискат-ное сопло. Критическое давление этих каналов изменяется от е* = 0,1 - кольцевая
щель до е* = 0,4 - лемнискатное сопло. Это и позволяет утверждать, что формула (13) является универсальной формулой для определения расхода газа при изменении относительного противодавления от еа= 1
до sa = s
Выводы
1. Получена универсальная формула для определения расхода газа через различные каналы при дозвуковых, смешанных и звуковых режимах течения газа.
2. Усовершенствован показатель полит-ропного процесса, который включает в се-
идеального газа, но и отношение скоростей в газовом потоке. Это позволило впервые однозначную связь между полем скоростей газового потока в канале и его критическими параметрами.
3. Определены средние параметры газового потока в канале.
бя не только отношение теплоемкостей
Библиографический список
1. Дейч М.Е. Экспериментальное исследование критических режимов истечения перегретого и влажного пара из кольцевых щелей / М.Е. Дейч, В.К. Шанин, В.И. Соломко, Г.С. Зезюлинский // Теплоэнергетика. - 1974. - № 12. - С. 40-43.
2. Kearton W.I. Leakage of air through labyrinth glands of staggered type / W.I. Kearton, T.H. Keh // The institution of mechanical Engineers proceedings (A). - London, 1952. -Vol. 166. - № 2. - P. 180-188.
3. Аронов Б.М. Расчетное определение коэффициента расхода суживающихся конических сопл / Б.М. Аронов, Ю.И. Цыбизов // Серия. Авиационная техника. - М.: Известия вузов, 1969. - № 2. - С. 41-48.
4. Дейч М.Е. О критических режимах истечения перегретого пара из сопл и отверстий / М.Е. Дейч, В.К. Шанин, В.И. Соломко, В.А. Дорошенко // Теплоэнергетика. - 1973. - № 9. - С. 77-79.
5. Сиваков В.И. Определение критических параметров реального (вязкого) газового потока по известному полю скоростей на выходе канала. Определение поля скоростей по известному критическому отношению давлений в пристенном слое газового потока канала / В.И. Сиваков // Научный аспект. - 2024. - № 5.
6. Дейч М.Е. Об особенностях течения газа на выходном участке трубы при сверхкритических перепадах давлений / М.Е. Дейч, В.В. Усанов, В.Д. Евдокимов, А.Е. Комаров // Теплоэнергетика. - 1979. - № 2. - С. 28-31.
DETERMINATION OF GAS FLOW THROUGH THE CHANNEL IN SUBSONIC, MIXED AND SOUND MODES OF GAS FLOW
V.I. Sivakov, Engineer
Sevastopol Institute of Nuclear Energy and Industry (Russia, Sevastopol)
Abstract. A universal formula has been obtained for determining the flow rate of gas through a channel with subsonic, mixed and sound gas flows. The polytropic process indicator has been improved, which includes not only the ratio of the heat capacities of an ideal gas, but also the ratio of velocities in the gas flow.
Keywords: gas consumption, average parameters, wall layer, universal formula.
