Определение пространственных стационарных точек типа polar-sitter в круговой задаче трех тел с использованием солнечного паруса Текст научной статьи по специальности «Физика»

Akinshin Oleg Nikolayevich, candidate of technical sciences, head of department, rts@cdbae.ru, Russia, Tula, JSC Central Design Bureau of Apparatus Engineering,

Yesikov Dmitry Olegovich, postgraduate, rts@cdbae.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Akinshina Natalia Yuryevna, engineer, bauman@,bmstu. ru, Russia, Moscow, Bau-man Moscow State Technical University

УДК 629.154.4

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СТАЦИОНАРНЫХ ТОЧЕК ТИПА POLAR-SITTER В КРУГОВОЙ ЗАДАЧЕ ТРЕХ ТЕЛ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СОЛНЕЧНОГО ПАРУСА

С.М. Кабанов, Г. В. Фридлендер

Рассмотрена задача определения положений равновесия солнечного паруса в круговой ограниченной задаче трех тел в системе Солнце-Земля-парус. Получены уравнения движения паруса, определены положения равновесия солнечного паруса. Найдено параметрическое семейство оригинальных решений в виде асимптотического ряда в области между Солнцем и Землей.

Ключевые слова: солнечный парус, точки либрации, устойчивость, polar - sitter, асимптотический ряд.

Идея полетов в космосе с использованием солнечного паруса возникла в 1920-е годы в России и принадлежит одному из пионеров ракетостроения Фридриху Цандеру, исходившему из того, что частицы солнечного света — фотоны — имеют импульс и передают его любой освещаемой поверхности, создавая давление. Величину давления солнечного света впервые измерил русский физик Пётр Лебедев в 1900 году. В наше время в связи с высоким техническим прогрессом существуют необходимые материалы для технической реализации солнечногопаруса. Первое развёртывание солнечного паруса в космосе было произведено на российском корабле «Прогресс М-15» 24 февраля 1993 года в рамках проекта «Знамя-2». Японское космическое агентство (JAXA) 21 мая 2010 года запустило ракету-носитель H-IIA, на борту которой находились космический аппарат IKAROS с солнечным парусом и метеорологический аппарат для изучения атмосферы Венеры. Также в конце 2014 года специалистами NASA готовится запуск самого большого в истории паруса Sunjammerплощадью 111,5 квадратных метров при весе в 31,7 килограмм. Все это подтверждает актуальность использования солнечного паруса в виде движетеля космического аппарата.

Одна из первых книг [1] о солнечном парусе была издана в 1992 году и содержала обзоры основных работ по исследованию некеплеровых орбит в задаче Солнце-парус. Первые работы, посвященные солнечному парусу в задаче трех тел Солнце-Земля-парус, начали появляться с выходом книги [2], в которой, в частности, были приведены численные расчеты точек либрации солнечного паруса для малых значений параметра паруса и их возможное использование в практических целях. В настоящее время упор делается на исследование гало-орбит относительно классических точек либрации Ьг и ¿2, как представляющих наибольший интерес для практического применения. В работах [3, 4] рассматривается стабилизация малой периодической орбиты паруса около точек Ь12. В работе [5] исследована возможность импульсного управления парусом в плоскости эклиптики. Также есть статья [6], посвященная управлению парусом в задаче Земля-Луна-пару с.

Исследование гало-орбит солнечного паруса в задаче трех тел -большая и развивающаяся сфера в научном мире. Из свежих работ можно по изучению практических миссий солнечного паруса в задаче трех тел можно отметить [7, 8, 9].

В нашей работе не рассматривается динамика паруса, напротив, мы хотим получить и исследовать статические положения солнечного паруса. Подобные исследования проведены в работах [2,8,10]. Однако, в нашей работе мы больше делаем упор на поиск аналитического решения. Нам удается найти параметрическое семейство оригинальных решений в виде асимптотического ряда в области между Солнцем и Землей, что является большой редкостью для нелинейных уравнений такого типа и, таким образом, отличает от подобных работ [2, 8, 10] по исследованию точек либрации солнечного паруса.

1. Постановка задачи.

В качестве модели солнечного паруса, следуя пионерской работе [2], возьмем плоскую поверхность, полностью отражающую солнечный свет без потерь. Считаем, что масса такого паруса сосредоточена в одной точке. Тогда, согласно сделанным предположениям, сила давления солнечной радиации направлена по внешней нормали к отражающей поверхности и описывается формулой

где Рф — 5 X 10_6 Н/м2 - максимально возможное давление со стороны солнечной радиации на парус, находящейся на расстоянии в одну астрономическую единицу; А - площадь активной отражающей поверхности.

Будем рассматривать такой парус в круговой ограниченной задаче трех тел Солнце-Земля-парус. Для этого введем две ортогональные системы координат, следующим образом:

БХУ2 - инерциальная система координат, центр которой совпадает с центром масс Солнца. Ось БХ лежит в плоскости эклиптики, и в начальный момент времени направлена на центр масс Земли. Ось БУ дополняет систему до правой; Е2, Е3) - орты соответствующих осей системы 0ХУ1.

Бхуг - неинерциальная система координат, совпадающая в начальный момент с системой Бхуг и вращающаяся относительно оси Бг с угловой скоростью а) = равной угловой скорости обращения Земли вокруг Солнца. Таким образом, Земля и Солнце всегда находятся на оси 5х;(е1( е2, е3) - орты соответствующих осей системы Бхуг (рис. 1).

Рис. 1. Солнечный парус во вращающейся системе координат Бхуг 2. Вывод уравнений движения

Получим уравнения движения солнечного паруса под действием фотогравитациооных сил Солнца и Земли. Векторное уравнение движения паруса массой т в инерциальной системе координат БХУ2 запишется в виде

^ = + (1)

где Я = ХЕ± + УЕ2 + 1ЕЪ - радиус-вектор паруса в системе координат

БХУ1\ ш5аа = - ускорение, сообщаемое парусу силой солнечного

давления.

Пусть во вращающейся системе координат Бхугг — хе1 + уе2 + ге3 - радиус" - вектор паруса относительно центра масс Солнца. Причем, очевидно, что для первой производной вектора Я по времени во вращающейся системе координат выполнено равенство

118

Я = Г + 0)ё3Хг, (2)

тогда для второй производной по времени справедлива цепочка равенств

Я = — (г + а)ё3 X г) + а)ё3 X (г + а)ё3 X г) = ^

= г + 2а)ё3 х г + а)ё3 х (а)ё3 х г). Переписывая уравнение (1) с учетом выражения (3), получим векторное уравнение движения во вращающейся системе координат Бхуг

Г = —2й)ё3 X Г — 0)ё3 X (<л)ё3 х г) — ^-Щ-г —

+ Г (4)

ге

Перепишем уравнение (4) в скалярном виде. Для этого воспользуемся следующими векторными равенствами:

<х>ё3 х г = <х>ё3 х (хё1 + уё2 + гё3) = о)хё3 х ё± + соуё3 х ё2 =

= <х>хё2 — (л>уёг,

а)ё3 х (шё3 х г ) = а)2ё3 х (хе2 — уё\) = бо2хе3 хе2 - бо2уе3 х ех =

= — бо2хе1 — ш2уё2. Также запишем выражения для векторов г и Гф:

г = хё±+ уё2 + гё3,

гф = г — а = (х — а)е1 + уё2 + гё3.

В итоге получим следующую систему скалярных уравнений движения паруса во вращающейся системе координат:

х = 2соу + а)2х — —ух + —® (а — х) +

г гф

У — —2о)х + а) у--з-у---у + м/*аи, (5)

г гф

^О ^е , заи

г =---г--+ мл? ,

Т6

где

sa.il Р®А{а\2Г*

г = л]х2 + у2 + г2, гф = -у/ (х — а)2 + у2 + г2.

Для удобства работы с уравнениями (5) перейдем к безразмерным параметрам и переменным. Введем следующую каноническую систему единиц: за единицу массы примем массу Солнца Мф = 1; за единицу расстояния примем расстояние между центрами масс Земли и Солнца а = 1; за единицу времени - время, необходимое Земле для описания дуги в 1 радиан вокруг Солнца. В такой системе единиц: /¿ф = 1 и<х> = 1. И введем

Р = Т^ГТ^- (6)

безразмерный гравитационный параметр Земли как ¡1 = Дф/До- Что касается солнечного давления, то введем безразмерный коэффициент /? следующим образом:

У®А

772/^0 / О?

Из равенства (6) видно, что безразмерный параметр паруса равен отношению силы, действующей на парус со стороны давления солнечного давления, к силе гравитационного притяжения Солнца на расстоянии в одну астрономическую единицу.

Теперь можно переписать уравнения (5) в безразмерном виде. Здесь, в отличии от уравнений (5), координаты х, у, 2 измеряются в терминах астрономической единицы. Обозначения х,у,х сохраненыдля удобства.

х [1 (г • п)

х = 2у + х~ — - — (х-1) + р—— пх,

г гф г

у = -2х + у- — --Ту + р пу> (V)

Т° Гф Г'

2

[I (г • п)

ге г

где

Х~2У-— = Р-12-™Х>

Г = л]х2 + у2 + 22, Гф = -у/(х — I)2 + у2 + 22. (8)

Уравнения (7) можно переписать в более удобном виде, если ввести безразмерную потенциальную функцию

и = -(х2 +у2)+- + —. 2 г гф

Таким образом система (7) примет вид

ди (г • п)

1Г = Р—

ох г

г % Ал ^

ди (г•п) д2 г1

Или еще короче - в векторной записи

г + 2е3 X г - V и = (3^-^-п.

(10)

3. Определение положений равновесия в плоскости Sxz

Для определения точек равновесия паруса положим нулю все производные по времени в системе уравнений (7) и получим систему уравнений

х /¿ (г • п)

x-^-^ix-V + ß r2 ñx = О,

0

у /i 0(г-п)\

0

z и (г • п)

-T-^z + ß^—= 0.

у J yi j у• ¿

0

С первого взгляда на систему (11) становится понятно, что определить аналитическое решение таких нелинейных уравнений затруднительно. Поступим следующим образом: будем искать решение в плоскости Sxz (рис. 2, а), полагая, что пу = 0. Тогда второе уравнение системы (11) допускает решение у = 0.Таким образом, система уравнений перепишется в проекции на плоскость Sxz

х /i (г • п)

Ф 2 (12) Z U (Г-п)

-r-^z + ß^—= 0.

у J yi j y ¿

0

3.1. Задача Солнце-парус

Даже после такого существенного упрощения аналитическое решение не очевидно. Будем считать, что отношение массы Земли к массе Солнца мало, то есть /¿ « 1. Попробуем искать решение в виде асимптотического ряда по целым степеням малого параметра /¿. Вкачестве порождающего решения возьмем решение при /¿ = 0, что соответствует решению фотогравитациоонной задачи в поле одного притягивающего центра, Солнца (рис. 2, б). Будем называть такую задачу Солнце-парус. Итак, при ¡i = 0, с учетомтого, что г - п = cos а и

х z

пх = cos (а + (р) = — cos а —sin а,

Z X

пх = sin ( а + (р) = - cos а + — sin а,

перепишем систему уравнений (12) в виде

ß cos2 а х

х Л--=— (х cos а — z sin а) = —,

у* á у К.

/?cos2a

, (z cos а + х sin а) = .

■у* ó -у* ó

а

б

Рис. 2. Солнечный парус в плоскости Бхг. а - с учетом гравитационного поля Земли; б - без учета поля Земли, то есть при ц = О

Система уравнений (13) допускает точное решение

i

В2 cos4 a sin2 а\3 (В cos4 a sin2 а х = \1- Р cos3 а + --^-I It:---+ 1

1 — /? cos а

(1-Р cos3 а)2

(3 cos2 a sin а

z = 1-Ъ-з—х-

1 — р cos6 а

(14)

0.85 0.9

X (AU)

-0.9 -0.85

X (AU)

Рис. 3. Кривые равновесия задачи Солнце-парус

Формулы (14), по сути, определяют параметрическое (по параметру ß) семейство параметрических по углу а(—п/2 < а < п/2) кривых, задающих положения равновесия паруса, то есть х = Xß(a), z = Zß(a). Также следует отметить, что х uz, определяемые формулами (14) являются регулярными функциями угла а при значениях параметра ß не превосходящими единицу, то есть при 0 < ß < 1. Поэтому случай ß > 1 пока исключим из рассмотрения. Также на такое заключение наталкивает то, что при ß > 1 нужно иметь большую площадь паруса при очень малой массе, чего не позволяют существующие материалы и технологии. В действительности, безразмерный параметр паруса в реализуемых полетах с использованием солнечной радиации не превосходит 0.07 [8].

3.2. Задача Солнце-Земля-парус

Перейдем теперь к задаче Солнце-Земля-парус (рис. 2, б). Уравнения (12) для определения положений равновесия запишем в виде

123

(3 соз2 а

(х соз а — 2 зт а) = +

х /¿(х — 1)

/3 соб а 2 \12 --— (г соз а + х зт а) = — + —т.

Г6 Г6 Гф

Рис. 4. Схематическое изображение кривых равновесия задачи

Солнце-Земля-парус

Решения системы (15) можно записать в виде асимптотического ряда по целым степеням малого параметра ¡л\

X» (а) = х0 (а; (3) + \1УХ (х0, г0) + —,

(16)

{а) = г0(а; (3) + \шх (х0, г0) + • ■•

где х0 иг0 - решение задачи Солнце-парус, определяемое формулами (14). Асимптотическое решение задачи Солнце-Земля-парус мало отлично от порождающего решения задачи Солнце-парус ввиду малости параметра 11,11 = 3 X Ю-6. Также решение (16) в виде ряда неверно описывает поведение кривых равновесия задачи Солнце-Земля-парус в окрестности Земли. Точнее сказать, что ряд расходится внутри сферы действия Земли [17], так как отношение д/г® будет определяющим и им пренебрегать нельзя. Поэтому будем считать, что ряд (16) сходится к точному решению внутри области (х — I)2 + г2 > /¿2/5.

Перед использованием численных методов для определения точного решения вблизи Земли системы Солнце-Земля-парус, решим систему (15) для частных предельных значений углов а = 0 и а = п/2. При а = п/2 имеем классическую задачу трех тел, в которой решения лежат на оси 5х; имеем три классические точки Лагранжа [11], представимых в виде разложения по малому параметру

/1 I1')

^, = -1-12 + -.

При а = 0 и/? < 1 решения также лежат на оси Бх и задаются уравнением

(х - 1)2(х3 + р - 1) = ¡IX2, (18)

для которого, после применения методов [11,12], найдется три корня

И-

Х5Ь1 = Ц1-Р-—=-"7 +

= 1 + N

г©"-.

и-

= -VI-Р- -

Полученные аналитические выражения (19) позволяют оценить зависимость от безразмерного параметра /? сдвига классических точек Лагранжа (рис. 4). Также эти точки наряду с точками Лагранжа дают хорошее начальное приближение для численного поиска решения в области, где аналитическое решение в виде ряда (16) несправедливо, то есть в окрестности Земли.

Используя численный метод продолжения по параметру а для решения системы (15), изложенный в [13, 14, 15], построим параметрическое семейство кривых равновесия паруса в трех областях для различных параметров паруса: за Солнцем (кривые в окрестности точки ¿3); между Солнцем и Землей (кривые в окрестности точки ¿2); и за Землей (кривые в окрестности Ь2) (рис. 5). Схематическое изображение кривых равновесия в трех областях представлено на рис. 6, где синим обозначены решения, к которым сходится асимптотический ряд (16) (то есть справедливо аналитическое решение); красным - решения, полученные в процессе численного решения, для которых ряд расходится.

Перейдем к исследованию устойчивости в линейном приближении полученных точек равновесия.

X II»-3

0.98 0.985 0.00 0.005 1 1.005 1.01

1 1.002 1.004 1.006 1.008 1.01 1.012 1.014 X (А11)

Рис. 5. Схематическое изображение кривых равновесия задачи

Солнце-Земля-парус

ЕлгчЬ

Рис. 6. Схематическое изображение кривых равновесия задачи

Солнце-Земля-парус

126

4. Исследование устойчивости точек равновесия в линейном приближении

Запишем уравнения движения солнечного паруса в плоскости Бхг в

виде

х = Пх - Ш2,

z = az + wx,

где для удобства введены следующие обозначения

1 1 + (3 cos3 il(x,z) = —х Н--

2 г

(20)

а д

ге

/3 cos a sin а

(21)

Пусть ((, () - вариации координат (х, г) относительно точек равновесия (х0>г0), тогда уравнения в вариациях для системы (1) запишутся в виде

( = а( + Ь(, ( = с{ + с1(.

Здесь

а = пхх - шХ2, ъ = аХ2 - ш22, с = а*22 + шХ2, &

(22)

д2П

где = ш]

= аш + и/,;,

(23)

(xO'Zo)

ТАГ* d2W

= Лд]

(x0,z0)

Перейдем к фазовым координатам. Вводя вектор 7] = ( ЗД , перепишем систему (22) в матричном виде

г] = Аг].

Матрица А задается в блочном виде

О /1 и

, щеВ =

(24)

А =

В О

(25)

а матрицы 0 и/ - нулевая и единичная матрицы соответственно. Характеристический многочлен матрицы А равен

Р(Я) = Я4 - 1т В • Я2 + с!е1: В, (26)

где 1т В = а + (I = + й22 ис!е1: В = ас1 — Ьс.

Численное исследование для следа и определителя матрицы В в точках равновесия дает цепочку неравенств:

(1т В)2 — 4с1е1: В > 0,

Иг Я > 0, (27)

с!е1: В > 0.

Исходя из неравенств (27), можно заключить, что характеристический многочлен (26) имеет пару действительных корней Я1>2 = ± | ш | и пару чисто мнимых корней Я3 4 = +1\у\. Однако, это справедливо не для всех точек равновесия. В одной предельной точке (ЬР), находящейся в окрестности точки определитель матрицы В обращается в нуль. Тогда харак-

теристический многочлен имеет только действительные корни: Д12 = 0 -корень второй кратности и Я3 4 = +л/1:г В. В таблице приведены значения координат предельных точек для некоторых значений параметра паруса. Численный анализ показывает, что первая предельная точка появляется для параметра паруса /? « 0.16.

Таким образом, заключаем, что плоское движение относительно точек равновесия неустойчиво в линейном приближении для любых параметров паруса /? < 1 в отличии от точек в плоскости эклиптики [10, 16].

Рис. 6. Схематическое изображение кривых равновесия задачи

Солнце-Земля-парус

Значения предельных точек для некоторых параметров /?

р « О ж (AU) z (AU)

0.16 ±64.992581 0.994806 ±0.015625

0.19 ±67.266544 0.995813 ±0.0156526

0.22 ±69.01765 0.995813 ±0.0167276

0.30 ±72.234991 0.996514 ±0.017225

0.50 ±76.404123 0.997371 ±0.0176578

0.60 ±77.624885 0.997615 ±0.017756

0.80 ±79.321167 0.997950 ±0.017869

0.99 ±80,216751 0.998124 ±0.0179179

Заключение

В выполненном этапе работы стало ясно, что нужные для практического применения положения равновесия типа polar-sitter существуют. Более того, в области между Солнцем и Землей существуют решения в виде замкнутых кривых, параметризованных углом установки паруса, мало от-

личные от равновесных решений задачи Солнце-парус. Последние существуют в аналитическом виде. Таким образом, для общей задачи справедливы решения в виде асимптотического ряда по малому безразмерному гравитационному параметру Земли.

Однако вблизи Земли решение в виде ряда становится несправедливым ввиду сильного влияния планеты, тем самым сила притяжения Земли становится определяющей. В этой области в процессе численного исследования плоских решений методом продолжения были найдены решения в окрестности точки L2 также в виде семейства замкнутых параметрических кривых. Эти решения не характерны задаче Солнце-парус и никак не могут быть определены аналитически даже в виде асимптотического ряда. Такие решения обусловлены добавлением силы притяжения Земли, которая в этой области становится определяющей.

Списоклитературы

1. Wright J., «Space Sailing». Routledge, 1992. 258 p.

2. Mclnnes C.R. Solar sailing: technology, dynamics and mission applications. Springer Praxis, 1999. P. 214 - 222.

3. Bookless J., Mclnnes C. Control of lagrange point orbits using solar sail propulsion. In: Proceedings of 57th International Astronautical Congress, IAC-05-C1.6.03, 2005.

4. Baoyin H., Mclnnes C. Solar sail halo orbits at the sun-earth cal L± point. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy 94, 2006. P. 155 - 171.

5. Ming Xu, Shijie Xu Nonlinear dynamical analysis for displaced orbits above a planet. Celest. Mech. Dyn. Astron. 102, 2008. P. 327 - 352.

6. Keita Tanaka and Jun'ichiro Kawaguchi. A Design of Small Circular Halo Orbits around the L2 of the Earth-Moon System. AAS 12-539, 2008.

7. Heiligers J., Ceriotti M., Mclnnes C.R. and Biggs J.D. Design of Optimal Transfers Between North and South Pole-Sitter Orbits. 22nd AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting, Charleston, SC, 2012.

8. Jeannette Heiligers, Colin R. Mclnnes. Agile Solar Sailing in three-body problem: motion between artificial equilibrium points. In: Proceedings of 64th International Astronautical Congress, IAC-13-C1.8.3, 2013.

9. Waters T.J. and Mclnnes C.R. Periodic Orbits Above the Ecliptic in the Solar-Sail Restricted Three-Body Problem. Journal of Guidance, Control, and Dynamics 30 (3), 2007. P. 687-693.

10. Bombardelli C., Pelaez J. On the stability of artificial equilibrium points in the circular restricted three-body problem. Celest. Mech. Dyn. Astron. 109(1), 2011. P. 13-26.

11. Маркеев А.П. Точки либрации в небесной механике и космоди-намике. М.: Наука, 1978. С. 17-24.

12. Вигдорович И.И., Алексин В.А. Асимптотические разложения корней алгебраических уравнений: учебно-методическое пособие. М.: МГИУ, 2007. 135 с.

13. Kuznetsov Yu.A. Elements of Applied Bifurcation Theory. SpringerVerlag, 1998.

14. D. Roose, B. De Dier and A. Spence. Aspects of continuation software. In: Continuation and Bifurcations: Numerical Techniques and Applications, NATO ASI series, Series C, Vol. 313, Kluwer, 1990. P. 261-268.

15. Yu.A. Kuznetsov, V.V. Levitin, A.R. Skovoroda. Continuation of stationary solutions to evolution problems in CONTENT. Mathematisch Centrum, 1996.

16. Thomas Waters, Patrick Browne. Using AUTO on the Solar sail CR3BP. School of Mathematics, NUI Galway, Ireland, 2010.

17. Балк М.Б. Элементы динамики космического полета. М.: Наука, 1965. С. 201-209.

Кабанов Сергей Михайлович, главный инженер-математик отдела разработки специального программного обеспечения, smkahanovainhox.ru, Россия, Москва, АО «Системная динамика»,

Фридлендер Григорий Владимирович, инженер-математик отдела разработки специального программного обеспечения, fridlender.g. vagmail.com, Россия, Москва, АО «Системная динамика»

DETERMINATION OF THE SPATIAL STATIONARY POINTS OF TYPE POLAR-SITTER IN A CIRCULAR THREE-BODY PROBLEM WITH THE USE OF SOLAR SAIL

S.M. Kahanov, G. V. Fridlender

This paper considers the problem of determination of equilibrium position of solar sail in the circular restricted three - hody problem in the system Sun - Earth - sail. Obtained the equitation of the sails motion, determined the equilibrium position of solar sail. Founded parameter family of original solutions in form of an asymptotic series in the region between the Sun and Earth.

Key words: solar sail, lihration point, steadiness, polar - sitter, an asymptotic series.

Kahanov Sergej Mihajlovich, chief engineer-mathematician of department of development of the special software, smkahanovainhox.ru, Russia, Moscow, JSC "Sistemnaya di-namika",

Fridlender Grigorij Vladimirovich, engineer-mathematician of department of development of the special software, fridlender. g. va gmail. com, Russia, Moscow, JSC "Sistemnaya dinamika"