CC BY
16
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
Научная статья УДК 539.384.2
doi: 10.18522/1026-2237-2023-1-11-16
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОГИБОВ ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНОЙ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ
Павел Викторович Кауров
Санкт-Петербургский государственный университет промышленных технологий и дизайна, Санкт-Петербург, Россия pucmo@mail. ru
Аннотация. Рассмотрены вопросы определения прогибов балки, лежащей на упругом основании с постоянным коэффициентом жесткости, при этом балка выполнена из материала, имеющего нелинейную зависимость между напряжением и деформацией. Физическая нелинейность материала балки учитывается путем аппроксимации зависимости между напряжением и деформацией кубической параболой; такая аппроксимация хорошо описывает кривые деформирования нелинейно-упругого тела с одинаковой диаграммой работы материала на растяжение и сжатие. В качестве примера рассмотрены прогибы нелинейно-упругой балки прямоугольного поперечного сечения, лежащей на основании Винклера и несущей равномерно распределенную нагрузку по всей длине для трех случаев опорных закреплений по краям: с двумя шарнирными опорами, с двумя заделками и с заделкой и шарнирной опорой. Методом последовательных приближений получено решение нелинейного уравнения для прогибов, зависящее от безразмерных параметров, учитывающих влияние упругого основания, физическую нелинейность материала и равномерно распределенную нагрузку. Приведена зависимость изменения величины максимального относительного прогиба от коэффициента постели и распределенной нагрузки, полученная с учетом влияния физической нелинейности материала для трех случаев опорных закреплений. Результаты проведенных расчетов показали, что наличие дополнительных связей уменьшает влияние физической нелинейности материала балки на её прогибы.
Ключевые слова: физическая нелинейность, упругое основание, прогиб балки, распределенная нагрузка
Для цитирования: Кауров П.В. Определение прогибов физически нелинейной балки на упругом основании // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки. 2023. № 1. С. 11-16.
Статья опубликована на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International (CC-BY4.0).
Original article
DETERMINATION OF DEFLECTIONS OF A PHYSICALLY NON-LINEAR
BEAM ON ELASTIC BASE
Pavel V. Kaurov
Saint Petersburg State University of Industrial Technology and Design, Saint Petersburg, Russia pucmo@mail.ru
Abstract. The article deals with the issues of determining the deflections of a beam lying on an elastic foundation with a constant coefficient of rigidity, while the beam is made of a material that has a non-linear relationship between stresses and deformations. The physical non-linearity of the beam material is taken into account by approximating the relationship between stresses and strains with a cubic parabola; such an approximation well describes the deformation curves of a non-linear elastic body with the same diagram of the work of the material in tension and compression. As an example, the deflections of a non-linear elastic beam of rectangular cross
© Кауров П.В., 2023
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
section, which lies on the Winkler base and carries a uniformly distributed load along the entire length, are considered for three cases of support fastenings at the edges: with two hinged supports, with two terminations, and with termination and hinged support. The method of successive approximations is used to obtain a solution to the non-linear equation for deflections, which depends on dimensionless parameters that take into account the influence of an elastic foundation, the physical non-linearity of the material, and a uniformly distributed load. The dependence of the change in the value of the maximum relative deflection on the coefficient of the bed and the distributed load, obtained by calculation, taking into account the influence of the physical non-linearity of the material for three cases of support fastenings, is given. The results of the calculations showed that the presence of additional bonds reduces the influence of the physical non-linearity of the beam material on its deflections.
Keywords: physical non-linearity, elastic base, beam deflections, distributed load
For citation: Kaurov P.V. Determination of Deflections of a Physically Non-Linear Beam on Elastic Base. Bulletin of Higher Educational Institutions. North Caucasus Region. Natural Science. 2023;(1): 11-16. (In Russ.).
This is an open access article distributed under the terms of Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC-BY4.0).
Введение
При математическом моделировании напряженно-деформированного состояния элемента конструкции в виде стержня необходимо знать физико-механические характеристики его материала. Экспериментальные данные по исследованию упругих свойств материалов при растяжении и сжатии в большинстве своем показывают нелинейную зависимость между напряжением и деформацией [1, 2], поэтому для учета физической нелинейности материала применяется аппроксимация диаграммы деформирования степенными зависимостями [3, 4].
В работах [5, 6] рассматривается расчет балок симметричного сечения, выполненных из нелинейно-упругого материала, для которого зависимость между напряжением и деформацией описывается кубической параболой и приведен расчет балки на действие сосредоточенной силы с использованием обобщенного метода конечных разностей. В [7] показан пример расчета балки из нелинейно-упругого материала модифицированным методом последовательных нагружений. В статьях [3, 4] приводятся результаты расчетов прогибов балок из цементного и полимерного бетона методом последовательных нагружений при аппроксимации диаграмм деформирования комбинированными степенными зависимостями. В статье [8] рассматривается задача о нестационарных упругодиффузионных колебаниях ортотропной балки Бернулли - Эйлера, находящейся под действием распределенной поперечной нагрузки. Балка находится на упругом основании, моделью которого является основание Винклера. В работе [9] рассматривается шарнирно опёртая армированная балка из бимодульного материала на упругом основании Винклера под действием сосредоточенной силы. В публикации [10] представлены результаты расчета системы шарнирно соединенных железобетонных балок на упругом основании Винклера с учетом физической нелинейности материала балок, которая учитывается через переменную жесткость участков Жемочкина.
Приведенный анализ литературных данных показывает, что определение напряженно-деформированного состояния физически нелинейной балки на упругом основании исследовано недостаточно и поэтому является актуальной задачей.
Постановка задачи и основные уравнения
Рассматривается балка длиной L прямоугольного поперечного сечения шириной b и высотой h на упругом основании Винклера с коэффициентом постели К, с тремя случаями опорных закреплений по краям: схема I - левая опора шарнирно-неподвижная, правая опора шарнирно-по-движная (рис. 1а), схема II - левая опора жестко заделана, правая опора шарнирно-подвижная (рис. 1б), схема III - левая и правая опоры жестко заделаны (рис. 1в). Для каждой из трех расчетных схем балки начало координат выбрано на левой опоре, горизонтальная ось Х направлена вправо, а вертикальная ось Y - вниз; балка нагружена равномерно распределенной нагрузкой интенсивностью р (рис. 1).
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
а/а
б/b
в/с
Рис. 1. Расчетные схемы балки на упругом основании: а - схема I; б - схема II; в - схема III / Fig. 1. Design schemes of a beam on an elastic foundation: a - scheme I; b - scheme II; c - scheme III
Зависимость между напряжением а и деформацией е для материала балки принята в виде выражения с=Е18-Ез83, где Е1 - начальный модуль упругости; Ез - постоянная, учитывающая физическую нелинейность материала. Такое выражение, основанное на гипотезе о нелинейно-упругом теле с одинаковой диаграммой работы материала на растяжение и сжатие, хорошо описывает кривые деформирования бетона [2, 11, 12], композитов [13], некоторых видов сплавов и сталей [1, 2, 14], которые имеют достаточно сильную физическую нелинейность.
Выражение для зависимости изгибающего момента М от кривизны в пределах малых прогибов имеет вид [3-7]
Н2у н2у
М(Х)=Е111^-Ез1А^?, (1)
dX2i
где /1=М3/12, /з=М5/80 - осевые моменты инерции поперечного сечения.
Для случая балки на упругом основании уравнение равновесия принимает вид [8-10]
г]2 М
±£ = р-К¥(Х). (2)
Дважды продифференцировав выражение (1) и подставив в уравнение для изгибающего момента (2), получим уравнение для прогибов в безразмерном виде
!tZ = q-4ß4y(x) + R
й2у Гй3уу га2у\2а4у 6 йх2\йх3) +3\йх2) йх4\' (3)
гдеу=У/Ь - безразмерная вертикальная координата; х=Х/Ь=0...1 - безразмерная горизонтальная координата; q=pL3/ElIl - безразмерный параметр распределенной нагрузки; $=Ь • [К/(4 »ЕьЛ)]^4 -безразмерный параметр, учитывающий влияние упругого основания; Я=Ез1з/(Е111^2) - безразмерный параметр, учитывающий физическую нелинейность материала.
Для схем I—III (рис. 1) граничные условия для прогибов у1 -уш имеют вид
yi(0) = 0, yii(0) = 0, Уш(0) = о,
d2yi dx2 dyii dx dym
x=0
= 0, yi(1) = 0, ^
X=0
= 0, yu(1) = 0,
d2yi dx2 d2yu
x=1
= 0,
dx
x=0
= 0, уш(1) = 0,
dx2 dym
x=1
= 0,
dx
= 0.
x=1
(4)
(5)
(6)
Метод решения
Для решения нелинейного уравнения (3) в данной работе используется метод последовательных приближений Пикара [15], согласно которому сначала решается уравнение для определения
нулевого приближения в виде = Е0 = ц, затем находятся последующие приближения путем последовательного решения уравнений:
^ = Fi-i(x) = q-4ß4yi-i + R
d2yl-1 /й3У1-Л^ 3 id2yl-1\ dx2 \ dx3 J V dx2 J
' d4y-i
dx4
где выражения для прогибов уI (х) для каждого приближения имеют вид
у^х) = и4Л(х) + А£ + В£ + С1Х +
6
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
= и2Л(х) +А1х + В1, ^= и1Л(х) + А1, и^Ю = I изл(х)йх, изл(х) = I и2Л(х)ах, = I и1Л(х)йх, и1Л(х) = 1Р1-1(х)0х. Постоянные интегрирования А, В, СI и О^ определяются из граничных условий (4)-(6) для каждой из схем 1-111:
01 =0, А1> 1 = - и 2, ¿1), В1:1 = 0, С1:1 = М^-и^Х),
Апл = 3ЩЛ(1) - 1,5и2Л(1), Впл = 0,Би2Л(1) - 3и4Л(1), Спл = 0,
Атл = 12иАЛ(1) - визл(1), Вшл = 2ЩЛ(1) - биАЛ(1), Сшл = 0.
Численные результаты
Начиная с третьего приближения, выражения для интегралов СЛ-Ц имеют громоздкий вид, поэтому для их определения использовался численный метод трапеций с равномерным шагом 0,01. Расчеты, проведенные для десяти приближений, показывают, что, начиная с пятого приближения, результаты решения практически не отличаются друг от друга.
Величины максимальных относительных прогибов ]=Утах1Ь, полученных расчетом в десятом приближении для трех схем балки, в зависимости от безразмерных параметров задачи д, в и Я показаны на рис. 2.
/,% 0.7
0.5
0.3 / %
0.28 0.26 0.24 0.22
0.2 f,%
0.13 -I 0.12 0.11
qi=0 ,5 - £
/ -GS II L/i
,ß = 2
0 10 20 30 R
qii=0,5
/Р= = 1.5
,ß = 2
0 10 20 30 R
qiii=( ),5 fi=o
^ß =1.5
1.4 1
0.6
ß=0
ß = 1.5
ß = 2
0 2
8 R
0 2
0 10 20 30 R
f, % 0.26
0.24
0.22
= 1 >=o
1.3 -
ß = 2
û
0 l 4 5 R
f,% 3
2.5 2 1.5
¿sa II 2 ,ß=0
ß=1.5
,ß = 2
0 0.5 1 1.5 R
0 0.5 1 1.5 R
f. %
0.53 0.5 0.47 0.44
= 2 ,P=°
,ß=l .5
,ß = 2
0 0.5 1 1.5 R
Рис. 2. Зависимость максимального относительного прогибаf от безразмерных параметров задачи q, в и R / Fig. 2. The dependence of the maximum relative deflection f on the dimensionless parameters q, в and R
Сравнивая влияние нелинейности на прогибы при различных вариантах закрепления (рис. 2), можно сделать следующие выводы:
1) для всех рассмотренных случаев зависимость максимального относительного прогиба / от параметра физической нелинейности материала Я близка к линейной, кроме шарнирно опертой балки без упругого основания (кривые в=0 для д1=0,5.. .2), где эта зависимость близка к параболической;
ISSN 1026-2237 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН. ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ._2023. № 1
ISSN 1026-2237 BULLETINOFHIGHEREDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTHCAUCASUSREGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
2) наложение дополнительных связей, таких как наличие заделки вместо шарнира в схемах II и III, увеличение параметра в, учитывающего влияние упругого основания, ведет к уменьшению влияния физической нелинейности материала балки на её прогибы.
Заключение
В результате нелинейного расчета исследовано напряженно-деформированное состояние физически нелинейной балки прямоугольного поперечного сечения на упругом основании Вин-клера, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой с тремя случаями опорных закреплений по краям.
Расчет выполнен методом последовательных приближений для случая описания зависимости между напряжением и деформацией материала балки кубической параболой.
Приведена зависимость максимального относительного прогиба от параметра физической нелинейности материала балки при различных значениях величины коэффициента постели и распределенной нагрузки для трех видов опорных закреплений.
Список источников
1. Лукаш П.А. Основы нелинейной строительной механики. М.: Стройиздат, 1978. 208 с.
2. Петров В.В., Кривошейн И.В. Методы расчета конструкций из нелинейно деформируемого материала. М.: АСВ, 2009. 206 с.
3. Селяев В.П., Уткина В.Н., Грязное С.Ю., Бабушкина Д.Р. Определение прогибов балки из нелинейно-упругого материала методом Ритца - Тимошенко при аппроксимации диаграмм деформирования комбинированными степенными зависимостями // Эксперт: теория и практика. 2021. № 2. С. 42-50. Doi: 10.51608/26867818_2021_2_42.
4. Селяев В.П., Грязное С.Ю., Безрукова Е.С., Бабушкина Д.Р. Влияние вида функциональной зависимости «о - е» на расчетные прогибы балки из нелинейно деформируемого материала // Эксперт: теория и практика. 2022. № 1. С. 46-54. Doi: 10.51608/26867818_2022_1_46.
5. Александровский М.В. Использование обобщенного метода конечных разностей для расчета балок из нелинейно-упругого материала // Транспортные сооружения. 2019. № 4. URL: https://t-s.to-day/PDF/0 5 SATS419.pdf (дата обращения: 01.06.2022). Doi: 10.15862/05SATS419.
6. Александровский М.В. Использование метода последовательных аппроксимаций для расчета балок из нелинейно-упругого материала // Изв. вузов. Технология текстильной промышленности. 2019. № 5. С. 242-247.
7. Горбачева О.А. Расчет конструкций из нелинейно-упругого материала модифицированным методом последовательных нагружений // Эксперт: теория и практика. 2022. № 2. С. 28-31. Doi: 10.51608/26867818_2022_2_28.
8. Вестяк А.В., Земсков А.В., Тарлаковский Д.В. Модель нестационарного изгиба упругодиффузионной балки Бернулли - Эйлера на винклеровском основании // Механика композиционных материалов и конструкций. 2021. Т. 27, № 1. С. 110-124. Doi: 10.33113/mkmk.ras.2021.27.01.110_124.08.
9. Кадомцева Е.Э., Стрельников Г.П., Кармазина Л.А. Исследование влияния коэффициента постели на НДС армированных балок с заполнителем из бимодульного материала на упругом основании // Инженерный вестн. Дона. 2017. № 3. URL: https://ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2017/4271 (дата обращения: 01.06.2022).
10. Козунова О.В. Развитие теории расчета шарнирно соединенных балок на упругом основании // Наука и техника. 2020. Т. 19, № 5. С. 389-394. Doi: 10.21122/2227-1031-2020-19-5-389-394.
11. Карпенко Н.И. Общие модели механики железобетона. М.: Стройиздат, 1996. 416 с.
12. Залигер Р. Железобетон, его расчет и проектирование. М.: ГНТИ, 1931. 694 с.
13. Тарнопольский Ю.М., Кинцыа Т.Я. О механизме передачи усилий при деформации ориентированных стеклопластиков // Механика полимеров. 1965. № 1. С. 28-36.
14. Писаренко Г.С., Яковлев А. П., Матвеев В.В. Вибропоглощающие свойства конструкционных материалов. Киев: Наукова думка, 1971. 325 с.
15. Корн Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1973. 832 с.
ISSN 1026-2237 BULLETIN OF HIGHER EDUCATIONAL INSTITUTIONS. NORTH CAUCASUS REGION. NATURAL SCIENCE. 2023. No. 1
References
1. Lukash P.A. Fundamentals of non-linear structural mechanics. Moscow: Stroiizdat Publ.; 1978. 208 p. (In Russ.).
2. Petrov V.V., Krivosheyn I.V. Methods for calculating structures from non-linearly deformable material. Moscow: ASV Publ.; 2009. 206 p. (In Russ.).
3. Selyaev V.P., Utkina V.N., Gryaznov S.Yu., Babushkina D.R. Determination of beam deflections from a non-linear elastic material during the approximation of deformation diagrams by combined degree dependences using the Ritz-Timoshenko method. Ekspert: teoriya i praktika = Expert: Theory and Practice. 2021;(2):42-50, doi: 10.51608/26867818_2021_2_42. (In Russ.).
4. Selyaev V.P., Gryaznov S.Yu., Bezrukova E.S., Babushkina D.R. Influence of the type of functional dependence "a - e" on the designed bending of a beam from non-linear deformable material. Ekspert: teoriya i praktika = Expert: Theory and Practice. 2022;(1):46-54, doi: 10.51608/26867818_2022_1_46. (In Russ.).
5. Aleksandrovskii M.V. Use of generalized finite difference method for calculation of beams from non-linear elastic material. Transportnyye sooruzheniya = Journal of Transport Engineering. 2019;(4), doi: 10.15862/05SATS419. Available from: https://t-s.today/PDF/05SATS419.pdf [Accessed 1st June 2022]. (In Russ.).
6. Aleksandrovskii M.V. Using the method of sequential approximations for the calculation of beams from a non-linear-elastic material. Izvestiya vyzov. Tekhnologiya tekstil'noipromyshlennosti = Bulletin of Higher Educational Institutions. Technology of the Textile Industry. 2019;(5):242-247. (In Russ.).
7. Gorbacheva O.A. Calculation of structures made of nonlinear elastic material by the modified method of sequential load. Ekspert: teoriya i praktika = Expert: Theory and Practice. 2022;(2):28-31, doi: 10.51608/26867818_2022_2_28. (In Russ.).
8. Vestyak A.V., Zemskov A.V., Tarlakovskii D.V. Unsteady elastic diffusion bending model for a Bernully-Euler beam on a Winkler foundation. Mekhanika kompozitsionnykh materialov i konstruktsii = Mechanics of Composite Materials and Structures. 2021;27(1):110-124, doi: 10.33113/mkmk.ras.2021.27.01.110_124.08. (In Russ.).
9. Kadomtseva E.E., Strelnikov G.P., Karmazina L.A. Investigation of the influence of the bed coefficient on the stress-strain state of reinforced beams with a filler from a bimodular material on an elastic base. Inzhenernyi vestnik Dona = Engineering Bulletin of the Don. 2017;(3). Available from: https://ivdon.ru/ru/magazine/ar-chive/n3y2017/4271 [Accessed 1st June 2022]. (In Russ.).
10. Kozunova O.V. Development of Calculation Theory for Hinged-Connected Beams on Elastic Base. Nauka i tekhnika = Science and Technique. 2020;19(5):389-394, doi: 10.21122/2227-1031-2020-19-5-389-394. (In Russ.).
11. Karpenko N. I. General models of reinforced concrete mechanics. Moscow: Stroiizdat Publ.; 1996. 416 p. (In Russ.).
12. Zaliger R. Reinforced concrete, its calculation and design. Moscow: GNTI Press; 1931. 694 p. (In Russ.).
13. Tarnopolsky Yu. M., Kintsya T. Ya. On the mechanism of force transfer during deformation of oriented glass-reinforced plastics. Mekhanikapolimerov = Polymer Mechanics. 1965;(1):28-36. (In Russ.).
14. Pisarenko G.S., Yakovlev A.P., Matveev V.V. Vibration-absorbing properties of structural materials. Kyiv: Naukova dumka Publ.; 1971. 325 p. (In Russ.).
15. Korn G. Mathematical handbook for scientists and engineers. Moscow: Nauka Publ.; 1973. 832 p. (In Russ.).
Информация об авторе
П.В. Кауров - кандидат технических наук, доцент, кафедра основ конструирования машин, Высшая школа технологии и энергетики.
Information about the author
P. V. Kaurov - Candidate of Science (Technical Science), Associate Professor, Department of Fundamentals of Machine Construction, High School of Technology and Energy.
Статья поступила в редакцию 06.06.2022; одобрена после рецензирования 14.07.2022; принята к публикации 02.03.2023. The article was submitted 06.06.2022; approved after reviewing 14.07.2022; accepted for publication 02.03.2023.
