CC BY
15
УДК 637.52
Определение продолжительности СВЧ-дефростации пищевых продуктов
Д-р техн.наук С.В.ФРОЛОВ
Санкт-Петербургский государственный университет низкотемпературных и
пищевых технологий С.Н.ГОРЯЙНОВ Компания «Ларнас-Холдинг»
The problem of microwave defreezing time calcuia tion for foodstuffs is considered.
The approximate formula for the process duration is suggested
Трудность определения времени размораживания пищевых продуктов при использовании СВЧ-нагрева заключается в том, что наряду с обычным теплоприто-ком к поверхности тела от окружающей среды имеются объемные источники тепла в оттаявшей части, которые зависят как от времени (из-за изменения размеров оттаявшей части в ходе процесса), так и от координаты (за счет затухания СВЧ-энергии [2]). Рассмотрим вначале случай оттаивания объектов малых размеров, когда затуханием СВЧ-энергии можно пренебречь. Мы полагаем, что вся энергия, генерируемая источником, выделяется в оттаявшей части тела, поскольку лед поглощает очень мало СВЧ-энергии. Запишем квазистационарное квазиодно-мерное уравнение теплопроводности для оттаявшей части тела:
Ь у* 1
= 0’ (1)
где 1(х,х) - распределение температуры в оттаявшей части тела, °С;
х - координата поперек тела, м; х = 0 соответствует центру тела, х = Я - поверхности тела;
Я - характерный размер тела, т.е. максимальное расстояние, которое должен пройти фронт таяния влаги в процессе дефростации, м;
А, - коэффициент теплопроводности оттаявшей части тела, Вт/(м2°С);
Q - выделение СВЧ-энергии в единице объема оттаявшей части тела за единицу времени, Вт/м3; к - некоторый безразмерный параметр, который определяется как
£=1/Ф-1;Ф=К/(5Я), (2)
где Ф - безразмерный коэффициент формы тела;
V - объем тела, м3;
к dt
х dx
Б - площадь поверхности тела, м2.
Для тел простой формы: к = 0 для бесконечной пластины, к = 1 для бесконечного цилиндра и к = 2 для шара.
Уравнение (1) имеет точное решение:
фг,т) = С,ефг‘1 +с2(т)-
Qx1
(3)
2\(к +1)
где т — текущее время, с, в момент начала дефростации т = 0;
С,(т) и С2(т) - константы интегрирования.
Если к = 1, то в выражении (3) необходимо заменить х'~к на 1п(х/У?). В дальнейшем мы не будем отдельно рассматривать случай к = 1, чтобы не загромождать изложение. Все необходимые соотношения для этого случая могут быть получены предельным переходом при к —> 1 из общих формул.
Константы С,(т) и С2(т) могут быть получены из граничных условий для уравнения (1):
=а{'1,=*-и;'и-д='~> (4)
ал х=Л
где /о - температура окружающей среды, °С;
а - коэффициент теплоотдачи с поверхности тела, Вт/( м2-°С);
Д(т) - толщина оттаявшей части, которая является функцией времени, причем Д(0) = 0, м;
/г— криоскопическая температура, °С.
Первое из соотношений (4) - стандартное краевое условие 3-го рода, а второе - условие, при котором на фронте дефростации температура равна криоскопичес-кой.
Подставляя (3) в (4), получим
о2 А? _ Л"*2!
(5)
2(к + l)Xot(<„ -/„) + Q(2XR + g[R2 -(Я-A) ] 1 2(* + 1)Ц(1-*ЯД'-* +<х[Я‘-* -(Л-Д)1-*]}
Выражение для определения С2(т) нам не понадобится, поэтому мы его не приводим.
Теперь запишем уравнение теплового баланса:
6(Д-Д)_
сі А , сії
<?Р -7- = -*“-7-ск сіх
^С/тХЛ-ДГ
к +1
2(к + 1)А-сс(г„ - 1СГ)+0(2^ + а[Д2 - (К - А)2]
' 2 (к + 1){(Я - А)*' [(!-£)Х. + а/?]/Г* -а(Л-Д)}
___________2(/г - а)*+| /г-* [(і - +сх/г]
’ 2(к + 1К(Л - А)* [(1 - к)Х + аЯ]/Г* - а(Л - Д) > ’
(6)
где q - теплота кристаллизации воды на единицу массы продукта, Дж/кг; р — плотность продукта, кг/м3.
Поглощаемая на фронте дефростации теплота фазового перехода согласно уравнению (6) должна подводиться через оттаявший слой. Проинтегрировав уравнение (6) по А в пределах от 0 до К, определим время дефростации. При этом необходимо учитывать, что тепловыделение Q в единице объема оттаявшего слоя величина непостоянная. Дело в том, что, хотя мощность СВЧ-установки постоянна, объем оттаявшего слоя в ходе процесса увеличивается. Объем оттаявшего слоя У(А) можно представить как
У( А):
к +1
1-
Введем величину и (Вт/м2), представляющую собой мощность СВЧ на единицу площади поверхности продукта. Тогда величину можно представить в виде
Щк+1)Я*
е=-
(7)
Л*+1-(Л-Д)*+|'
Подставляя (7) в (6) и проинтегрировав, получим формулу для определения времени дефростации:
т. чря2 41.-1")
I
Р(к,Ві,и);
2(1 - )[(!-* + Ві)г* - Віг]А
І (1 -*)[2Ві + И(ВІ + 2)] + иВі(* + 1)гг - 2[Ві(1 -к) + и(Ві +! - і)]**'
Здесь мы ввели безразмерные комплексы:
(8)
ОТ
я-д
Ві =
аЯ
Н‘а-‘сг) * X.
Интеграл в (8) в общем случае не выражается через элементарные функции, однако некоторые частные случаи можно выразить. Например, если к = 0 (пластина), то имеем
2 1 к
— н------1п
и ВІ
мВі
(9)
2(В1 + и)
В случае к - 2 (шар) формула получается очень громоздкой. При В1 = 0 имеем
Р(к,0,и) =
1
т = Ф
(10)
«(* + !) ~ и
Выражение (10) можно получить и без вычислений,
поскольку в случае В! = 0 поверхность продукта является теплоизолированной и вследствие этого теплота фазового перехода равна выделившейся в оттаявшем слое СВЧ-теплоте. Ну и, наконец, при и = 0 получаем, как и следовало ожидать, классическую формулу Планка (поскольку в этом случае СВЧ-теп-лота равна 0):
1 П П чрк
Г (к, Ві,и) =
I _1_ (* + іЯ2 + Ві
А I
2Х а
Теперь рассмотрим случай, когда продукт имеет значительные размеры и затуханием СВЧ-энергии пренебречь нельзя. Здесь мы ограничимся рассмотрением только случая к — 0, т.е. бесконечной пластины. Это связано с тем, что при к Ф 0 уравнение теплопроводности (1) не решается в квадратурах (не говоря уже о том, что экспоненциальный закон убывания СВЧ-теплоты, который мы используем далее, справедлив только для пластины, а в случае общего квазиодномерного тела он превращается в очень сложное выражение, содержащее комплексные функции Бесселя). Итак, для бесконечной пластины при к = 0 уравнение (1) приобретает вид
сіх‘
- + б ехр[-£(Я - *)] = 0.
(И)
В выражении (11) мы использовали известный закон экспоненциального убывания СВЧ-теплоты в глубь тела [1], £, = \/к - коэффициент затухания, 1/м; к - характерная глубина проникновения СВЧ-поля в продукт (для широкого класса продуктов составляет 1,5 - 2 см). Уравнение (11) легко интегрируется:
Ох2
1(х, т) = С, (х)х + С2 (т) - |_ехрК(Л - *)]. (12)
Далее подставляем (12) в граничные условия (4) и находим константу С,(г) (С2(т) нас не интересует):
^ .,4 _ - ‘сг) + аб[1 - ехрКд)] + ^ ____
С|(т)------------------------------■ (13)
В уравнение теплового баланса подставляем (13):
с/Д . сії ар— = \— сН сіх
= А.С,(т)-—ехр(-£Д) =
_ аЦ2(/0-?„) + ад[1-(1 + ^Д)ехр(-^А)] £2(Х + аД)
+ адь-ехркд)!
^2(Я. + аД) ’
(14)
Теперь нам снова необходимо выяснить характер зависимости <2 от Д. Здесь появляется одна тонкость: СВЧ-энергия выделяется в оттаявшем слое неравномерно, поэтому выражение (7) использовать нельзя. Общую мощность СВЧ-энергии на единицу поверхности продукта I/ можно получить интегрированием
г=Я-Д
Зависимость продолжительности дефростации от мощности СВЧ-энергии, приходящейся на четвертину туши
экспоненциальной зависимости (11) по оттаявшему слою: .
о
U = |с?ехрК(Л - х)]Л = у [1 -ехр(-4Д)];
R-А ^
<2 =
(15)
1-ехр(ЧД)
Подставляя полученную зависимость (15) в (14) и интегрируя, определяем время оттаивания:
. чр1?
V[1 - exp(-v8)](l + Bi5)(/8
(16)
; В1 ■ у[1 - ехр(-уб)] + и{ у[1 - ехр(-у5)] + В1[1 - (1 + уб) ехр(-у5)]}
Здесь мы ввели безразмерные комплексы 5 = А/К и
V = Интеграл (16) также в общем случае не выражается через элементарные функции, но в некоторых предельных случаях его выразить можно. Во-первых, при V = 0 (т.е. в отсутствие затухания) из (16) получим выражение (9). Далее при В1 = 0 получим выражение (10) независимо от значения V. Наиболее интересен случай достаточно больших V. Например, при дефростации стандартных говяжьих полутуш Я = 0,1 м (половинатолщины бедра) получаем V = 5...7. При этом в интеграле (16) экспонентами можно пренебречь, поскольку ехр(-у) = 1 ...5-10 3, а вот членами с 1 /V пренебрегать нельзя. Тогда из (16) получаем:
F0(v,BU)'
v(Bi + 2)
2[Biv + M(v + Bi)]
n! R 1
да*
(17)
Выражение (17) отличается от формулы Планка лишь наличием дополнительного слагаемого в знаменателе. Поскольку форма говяжьих полутуш сильно отличается от пластины (коэффициент формы
Ф = 0,56 [4], что соответствует значению к = 0,79), то в первом приближении можно просто умножить (17) на коэффициент формы, как в классической формуле Планка.
В качестве примера рассмотрим дефростацию четвертин говяжьих туш (бедренная часть). Параметры продукта следующие (см. [1, 4]): масса 50 кг; коэффициент формы Ф = 0,56; характерный размер (половина толщины бедренной части) R = 0,1 м; плотность р = = 1030 кг/м3; теплопроводность оттаявшей части X = - 0,465 Вт/(м-°С); влажность W= 0,74%; криоскопи-ческая температура / = - 2 °С. Коэффициент теплоотдачи с поверхности продукта примем равным а = 10 Вт/(м2 • °С) (это отвечает обдуванию воздухом со скоростью 1 м/с и достаточно часто применяется при СВЧ-нагреве с целью предотвращения перегрева наружных слоев), глубину проникновения СВЧ-энергии в продукт h = 0,015 м; температуру окружающего воздуха tg = 20 °С. График зависимости времени оттаивания от мощности СВЧ-энергии Р, приходящейся на объект, показан на рисунке для рассмотренного выше случая, а также при а = 0.
При небольших значениях мощности (до 0,5 кВт) продолжительность дефростации при а = 0 больше (см. рисунок), чем при а = 10 Вт/(м2- °С), поскольку в последнем случае имеется дополнительный приток тепла к поверхности. При более высоких мощностях, наоборот, продолжительность дефростации при а = = 0 меньше, поскольку в этом случае СВЧ-теплота, выделяющаяся в поверхностном слое, настолько высока, что при а = 10 Вт/(м2- °С) теплопоток идет не к поверхности, а от поверхности, которая нагревается выше температуры среды.
Список литературы
1. Бражников А. М. Теория термической обработки мясопродуктов. - М., Агропромиздат, 1987.
2. Рогов И.А., Некрутман С.В. Сверхвысокочастотный нагрев пищевых продуктов. - М.: Агропромиздат, 1986.
3. Фролов С.В., Куцакова В.Е., Кгтнис В.Л. Тепло- и массообмен в расчетах процессов холодильной технологии пищевых продуктов. - М.: Колос-пресс, 2001.
4. Чижов Г.Б. Теплофизические процессы в холодильной технологии пищевых продуктов. - М.: Пищевая промышленность, 1979.
■
