CC BY
19III. МАТЕМАТИКА В ОПИСАНИИ ХАОСА И СИНЕРГЕТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
DOI: 10.127037/7654
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ ОБЪЕКТА К ХАОТИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ НА ОСНОВЕ МЕТОДА СТРУКТУРНОЙ МИНИМИЗАЦИИ РИСКА
М.И.ЗИМИН, Т В. ГАВРИЛЕНКО, Д.К. БЕРЕСТИН, Н.А.ЧЕРНИКОВ
ГБОУ ВПО «Сургутский государственный университет ХМАО - Югры», пр. Ленина д.1, г. Сургут, Россия, 628412
Аннотация. В статье предлагается методика определения принадлежности объекта к хаотическим системам на основе метода структурной минимизации риска. Представлены примеры, демонстрирующие эффективность методики на модельных данных. В основе методики лежит использование полиномов Чебышева, позволяющих сделать обоснованный выбор равномерного закона распределения или мотивировано предпочесть другую плотность вероятности. Основным признаком хаотических систем является наличие равномерного закона распределения, которое характерно для систем третьего типа - основы современной теории хаоса-самоорганизации. Существенно, что в теории хаоса-самоорганизации на коротких интервалах времени т всегда распределения будут неравномерные. Однако, невозможно удерживать системы долго в этом состоянии.
Ключевые слова: структурная минимизация риска, полиномы Чебышёва, хаотическая система.
DETERMINATION OF AN OBJECT AS CHAOTIC SYSTEM ON THE BASIS OF
STRUCTURAL RISK MINIMIZATION
M.I. ZIMIN, T.V. GAVRILENKO, D.C. BERESTIN, N.A. CHERNIKOV
Medical University "Surgut State University Khanty-Mansiysk - Ugra", pr. Lenina square, 1, Surgut, Russia, 628412
Abstract. The paper proposes the method of determining the membership of the object to chaotic systems on the basis of structural risk minimization. It is presented examples that demonstrate the effectiveness of the methodology to model data. The methodology is based on Chebyshev polynomials that can make an informed choice of uniform distribution law or motivated to prefer a different probability density. The main feature of chaotic systems is the presence of a uniform law of distribution, which is typical for systems of the third type - the foundations of modern theory of chaos and self-organization. It is significant that in the theory of chaos and self-organization at short time intervals т always be uneven distribution. However, it is impossible to keep the system for a long time in this state.
Key words: structural risk minimization, Chebyshev polynomials, chaotic system.
Введение. В настоящее время проводится интенсивное изучение сложных биологических динамических систем, являющихся системами третьего типа (СТТ) с особыми пятью свойствами [5-13]. Тем не менее, методология сооотнесения заданной
системы к хаотической, стохастической или детерминированной досконально не разработана [1-4,17-21]. Многое остаётся неясным и в оценке параметров хаоса, его идентификация, что неизбежно приводит к неопределённости [6-12]. Очевидно, что по-
добные разработки могут иметь существенное значение как для повышения эффективности работы естественных (природных) объектов такого рода, так и для создания их искусственных аналогов и комбинированных человеко-машинных комплексов, предназначенных для получения, анализа и обработки нечёткой информации. Особенно это необходимо для изучения СТТ, когда хаос отличен от детерминированного хаоса и модели таких систем весьма приближенны в рамках современной науки [12-16].
Традиционно считается, что для хаотических систем характерно равномерное распределение параметров, а для стохастических - отличающиеся от равномерного. Различать такие системы (СТТ) можно только с определённой погрешностью. При этом вполне возможна ситуация, когда доступны только малые выборки, работа с которыми в рамках классической статистики затруднена. Другим важным вопросом является определение зависимостей параметров вктора состояни я системы от времени, что для СТТ сейчас крайне затруднено [5-13].
1. Метод структурной минимизации риска. Для решения задач моделирования СТТ представляется целесообразным применение метода структурной минимизации риска [1-3,14,15] и использование в качестве базисных функций полиномов Чебыше-ва. Это обусловлено тем, что указанный метод предназначен именно для работы с малыми выборками, а использование полиномов Чебышева позволяет сделать обоснованный выбор равномерного закона распределения или мотивировано предпочесть другую плотность вероятности. Рассмотрим данный метод более детально.
Задача восстановления регрессии сводится к минимизации следующей величины [1,2,14,16]: 3 (к)=1э(к)0, (1)
где 1(к) - средний риск, I э(к) - эмпирический риск, 1 - п - вероятность, с которой справедлива оценка, к - параметр, определяющий конкретную функцию из класса функций, О — некоторая переменная.
С ростом объёма выборки величина О всегда стремится к единице [2], хотя в каждом конкретном случае её вид различен, но
если выборка мала, то она может существенно отличаться от (1). Тогда функция может не обеспечить величину небольшого среднего риска.
Существуют различные классы базисных функций. При этом полиномы Че-бышева удобны именно в вычислительном отношении и позволяют решать широкий круг задач восстановления зависимостей. В данном случае они чётко выделяют равномерное распределение для СТТ (или его отсутствие). Кроме того, их применение минимизирует максимальную ошибку, что имеет важное значение при наличии больших погрешностей в исходных данных.
Напомним, что во многих случаях некоторая аппроксимирующая функция у(х) может отыскиваться в форме ряда:
у(*) = (*),
(2)
I = 0
где а ; - 1-ый коэффициент разложения, Q ; (х) - полином Чебышева степени 1,
Известно, что полиномы Чебышева имеют вид [1,2]:
в2=
0з=4х3-3х, д4=8х4-8х2+1, При таком представлении функционал эмпирического риска [2] определяется по формуле:
~\2
=2х2-1,
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
IЭ = 11
]=11_
у- (х-)
I=0
(8)
где 1 - объем выборки.
При фиксированной максимальной степени полинома коэффициенты а^ при которых эмпирический риск принимает минимальное значение, вычисляются путем решения системы линейных алгебраических уравнений [1]: ФТФ[а]= ФТ[у]Т , (9) где Ф - матрица значений полиномов Че-бышева в экспериментальных точках, [у] -матрица-строка значений переменной у в экспериментальных точках, [а] - матрица-столбец коэффициентов а1.
Матрица Ф имеет вид:
р0 P11 ... <Plk^
ф =
P20 P2i
P20
Ф0 Ф1 ... Фа у где фу - значение ^ого полинома Чебышева в 1-ой экспериментальной точке, k - максимальная степень используемых полиномов Чебышева, 1 - число экспериментальных точек.
Рассмотрим конкретный пример, когда необходимо восстановить зависимость
1
у=Г(х) в виде: у (х) = (х) по двум
г = 0
экспериментальным точкам, в которых
х1=0,5, у1=0,5, х2=1, у2=1.
Тогда:
(1 0,5^ Ф = ,
I1 1 )
Фт =
Г 1 1"
0,5 1.
[ у ] = (0,5 1),
T Г 0,5
[ У ]T =
фт ф =
V ' 1
1
V0,5 Ъ
Л Г1 0,5^ Г 2 1,5 ^ 1,5 1,25
фт [ y]T =
0,5 1
V1 1 .
0,5 1
1,5
V1,25.
Г 2 1,5 ^ Га) Г 1.5 ^
V1,5 1,25.
а ^ w0
Va1.
V1,25 .
Va1.
Г 0 ^
V1.
что совпадает с точным решением.
Оценка качества приближения, справедливая для любой случайной выборки с вероятностью 1 - п, что даётся [1] формулой (10):
3 (к) = - 7"
11
(k +1)
ln
l
k +1
+1
- ln n (10)
I
Выражение (10) зависит от степени полинома к. Та степень, при которой J(k) принимает наименьшее значение, является
оптимальной степенью полиномиального приближения, а сама функция регрессии аппроксимируется полиномом этой степени, минимизирующим функционал эмпирического риска.
Поскольку полиномы Чебышева ортогональны на отрезке [-1, 1], то, если значения независимой переменной заданы не на этом отрезке, их надо привести к нему по формуле [1]
х, =
(Xgi - c1)
где х1 - значения независимой переменной, приведённые к отрезку [-1, 1], хё; - исходные значения независимой переменной,
( X
+ X
g max g min
2
c
(х
g max
X
g min
2
2
где хёШт - минимальное из заданных значение независимой переменной, хёшах - максимальное из заданных значение независимой переменной.
Для оценки плотности вероятности этот подход может быть использован без существенных изменений. Только в этом случае в качестве значений независимой переменной используются величины эмпирической функции распределения.
Неопределённость принадлежности объекта можно оценить по формуле:
V
10
1_ I J max
(11)
где V - неопределенность принадлежности объекта к хаотической или стохасти-ческой системе
J max = max( Js min , Jh ), J min = mln( Js min , Jh ),
где Jsmin - минимальное значение среднего риска при степени полинома, отличной от нуля, Jh - значение среднего риска при степени полинома, равной нулю.
В качестве примера можно привести восстановление плотности вероятности при следующих исходных данных: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20. В этом случае v=0,0679. Весьма низкая
c
2
)
)
7
J
неопределенность соответствует исходным данным - данные представляют собой равномерное распределение.
Таблица 1
Случайный поиск экстремума функции у=-(х - 2)2+1 по 15 реализациям
№ точки 1 2 3 4 5
Х 1,0000 1,4396 1,7320 1,7320 1,8810
У 0,0000 0,6965 0,9182 0,9860 0,9596
№ точки 6 7 8 9 10
Х 1,8865 2,0211 2,1494 2,1627 2,2042
У 1,0017 0,9915 1,0128 0,9512 0,9722
№ точки 11 12 13 14 15
Х 2,3589 2,4481 2,5208 2,5655 3,0000
У 0,8708 0,8247 0,7085 0,7073 0,0000
Таблица 2
Случайный поиск экстремума функции у=-(х-2)2+1 по 25 реализациям
№ точки 1 2 3 4 5
Х 1,0000 1,3636 1,4030 1,4396 1,4489
У 0,0000 0,6139 0,6256 0,7133 0,6765
№ точки 6 7 8 9 10
Х 1,5385 1,7250 1,7320 1,7358 1,7631
У 0,7956 0,9087 0,9584 0,9278 0,9466
№ точки 11 12 13 14 15
Х 1,8547 1,8810 1,8865 2,0211 2,1478
У 0,9453 1,0052 0,9783 1,0371 0,9539
№ точки 16 17 18 19 20
Х 2,1494 2,1627 2,2042 2,3346 2,3589
У 0,9884 0,9901 0,9923 0,8598 0,8983
№ точки 21 22 23 24 25
Х 2,4481 2,5208 2,5655 2,7957 3,0000
У 0,7820 0,7345 0,6710 0,3706 0,0000
2. Некоторые контрольные примеры для апробации метода. Программа восстановления функции методом структурной минимизации риска в классе полиномов Чебышева была опробована на ряде контрольных примеров. Одним из них является поиск максимума функции у=-(х-2)2+1 на отрезке [1,3] по различному числу реализаций, причем значения у(х) задавались со случайной помехой по формуле
у = у* + 0,04 у*(-1) Ч (12)
где у1 - точное значение функции у в ь ой точке, V- случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 1]. Значения х1 были случайным образом равномерно распределены на отрезке [1, 3].
При случайном выборе значений х 1 и вычислении в этих точках величин у 1 осуществляется простейший случайный поиск экстремума функции у(х).
В табл. 1-6 приведены значения х1 и у1 для различного реализаций, а в табл. 7 и табл. 8 - погрешности определения точки экстремума случайным поиском и случайным поиском в сочетании с методом структурной минимизации риска в зависимости от числа реализаций.
Таблица 3
Случайный поиск экстремума функции у=-(х-2)2+1 по 30 реализациям
№ точки 1 2 3 4 5 6
Х 1,0000 1,0201 1,3636 1,4030 1,4396 1,4489
У 0,0000 0,0405 0,5756 0,6475 0,6840 0,7201
№ точки 7 8 9 10 11 12
Х 1,5385 1,7250 1,7320 1,7358 1,7631 1,8547
У 0,7716 0,9327 0,8933 0,9533 0,9335 0,9812
№ точки 13 14 15 16 17 18
Х 1,8811 1,8865 2,0211 2,1478 2,1494 2,1627
У 0,0509 1,0185 0,9683 0,9992 0,9701 0,9866
№ точки 19 20 21 22 23 24
Х 2,2042 2,3346 2,3589 2,3918 2,4212 2,4481
У 0,9483 0,9070 0,8411 0,8592 0,8072 0,8135
№ точки 25 26 27 28 29 30
Х 2,5208 2,5655 2,2955 2,7957 2,9912 3,0000
У 0,7154 0,7003 0,6384 0,3814 0,0172 0,0000
Таблица 4
Случайный поиск экстремума функции у=-(х-2)2+1 по 40 реализациям
№ точки 1 2 3 4 5
х 1,0000 1,0201 1,1284 1,1449 1,3636
у 0,0000 0,0406 0,2381 0,2788 0,5802
№ точки 6 7 8 9 10
х 1,4030 1,4396 1,4489 1,5385 1,6063
у 0,6506 0,6844 0,7210 0,7620 0,8714
Продолжение тпблицы 4
№ точки 11 12 13 14 15
х 1,7250 1,7320 1,7358 1,7631 1,8469
у 0,9045 0,9354 0,9177 0,9537 1,9557
№ точки 16 17 18 19 20
х 1,8547 1,8811 1,8865 2,0211 2,1478
у 1,0127 0,9711 1,0057 0,9816 0,9962
№ точки 21 22 23 24 25
х 2,1494 2,1627 2,2042 2,3346 2,3589
у 0,9488 0,9841 0,9203 0,9060 0,8674
№ точки 26 27 28 29 30
х 2,3918 2,4212 2,4481 2,5208 2,5655
у 0,8494 0,8046 0,8046 0,7242 0,6887
№ точки 31 32 33 34 35
х 2,5955 2,6251 2,7957 2,9912 3,0000
у 0,6340 0,6298 0,3658 0,0181 0,0000
№ точки 36 37 38 39 40
х 2,5955 2,6251 2,7957 2,9912 3,0000
у 0,6340 0,6298 0,3658 0,0181 0,0000
Таблица 5
Случайный поиск экстремума функции у=-(х-2)2+1 по 50 реализациям (реализации 1 - 40)
№ точки 1 2 3 4 5
х 1,0000 1,0201 1,1175 1,1284 1,1449
у 0,0000 0,0405 0,2171 0,2446 0,2638
№ точки 6 7 8 9 10
х 1,3636 1,3907 1,4030 1,4396 1,4482
у 0,6125 0,6219 0,6691 0,6721 0,6974
№ точки 11 12 13 14 15
х 1,4489 1,5206 1,5385 1,5479 1,6063
у 0,6939 0,7871 0,8006 0,8344 0,9087
№ точки 16 17 18 19 20
х 1,6727 1,7250 1,7320 1,7358 1,7631
у 0,9183 0,8933 0,9308 0,8982 0,9637
№ точки 21 22 23 24 25
х 1,8469 1,8547 1,8811 1,8865 1,9784
у 0,9603 1,0092 0,9504 0,9774 1,0129
№ точки 26 27 28 29 30
х 2,0211 2,0689 2,0746 2,1478 2,1494
у 1,0126 0,9562 1,0323 0,9434 1,0077
№ точки 31 32 33 34 35
х 2,1627 2,2042 2,2411 2,3346 2,3589
у 0,8522 0,8667 0,8152 0,7994 0,6999
№ точки 36 37 38 39 40
х 2,3918 2,4212 2,4481 2,5208 2,5619
у 0,9667 0,8152 0,7994 0,6998 0,7092
Таблица 6
Случайный поиск экстремума функции у=-(х-2)2 + 1 по 50 реализациям (реализации 41 - 50)
№ точки 41 42 43 44 45
х 2,5655 2,5885 2,5955 2,6251 2,7137
у 0,6659 0,6783 0,6209 0,6142 0,4776
№ точки 46 47 48 49 50
х 2,7744 2,7957 2,8756 2,9912 3,0000
у 0,4038 0,3628 0,2362 0,0170 0,0000
Таблица 7
Зависимость точности определения экстремума функции у=-(х-2)2+1 от числа реализаций при использовании случайного поиска
Число реализаций N 15 25 30 35 50
х в точке экстремума 2,1494 2,0211 1,8865 1,8547 2,0747
у в точке экстремума 1,0128 1,0371 1,0185 1,0127 1,0323
Погрешность определения независимой переменной (х) в точке экстремума (51) , % 7,47 1,06 5,68 7,27 3,74
Таблица 8
Зависимость точности определения экстремума функции у=-(х-2)2+1 от числа реализаций при использовании случайного поиска в сочетании с методом структурной минимизации риска
Число реализаций N 15 25 30 35 50
х в точке экстремума 2,0021 1,9991 2,0014 1,9998 1,9997
у в точке экстремума 1,0026 1,0025 0,9979 0,9988 0,9982
Погрешность определения независимой переменной (х) в точке экстремума (52) , % 0,105 0,045 0,070 0,010 0,015
Зависимости 5 1 (К) и 5 2 (К), т.е. от числа реализаций К, иллюстрируются рис. 1 и рис. 2.
30 N
Таблица 9
Случайный поиск экстремума функции у=8шх по 15 реализациям
№ точки 1 2 3 4 5
х 0,0872 0,1681 0,3174 0,7111 1,2568
У 0,0833 0,1594 0,3546 0,6442 1,0637
№ точки 6 7 8 9 10
х 1,3714 1,5844 1,8990 2,1720 2,1883
У 0,9928 0,9584 1,0728 0,8293 0,7535
№ точки 11 12 13 14 15
х 2,2039 2,3107 2,3804 2,5488 2,6228
У 0,7914 0,6334 0,6558 0,6297 0,5033
Рис. 1. Зависимость погрешности определения точки экстремума функции у=-(х-2)2+1 от числа реализаций при случайном поиске
0.12
0.1
^0.08 _о
£0.06
з ^
50.04
С
0.02 0
0 10 20 30 40 50 60
N
Рис. 2. Зависимость погрешности определения точки экстремума функции у=-(х-2)2+1 от числа реализаций при расчёте по предлагаемой методике
Другим примером может быть поиск максимума функции у = бшх на отрезке [0, 3], зашумлённой по формуле:
* у 1 = у1* + 0,2у1* (-1) 1 V , (13) где у1 - точное значение функции у в 1-ой точке, V - случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 1]. Значения х 1 были случайным образом равномерно распределены в интервале [0, 3].
Результаты расчёта для этого случая иллюстрируются табл. 9-15.
Таблица 10
Случайный поиск экстремума функции у=втх по 20 реализациям
№ точки 1 2 3 4 5
х 0,0783 0,2704 0,3417 0,4294 0,4363
У 0,0752 0,3132 0,2927 0,3710 0,4218
№ точки 6 7 8 9 10
х 0,5268 0,9478 1,1529 1,4643 1,7137
У 0,4994 0,7199 1,0406 1,0516 0,8156
№ точки 11 12 13 14 15
х 1,8275 1,9724 2,2631 2,3181 2,3542
У 1,1249 0,9872 0,7231 0,7959 0,6168
№ точки 16 17 18 19 20
х 2,4696 2,5457 2,6010 2,6069 2,6412
У 0,7158 0,6594 0,5377 0,5484 0,3996
Таблица 11
Случайный поиск экстремума функции у=8шх по 30 реализациям
№ точки 1 2 3 4 5
х 0,0713 0,1351 0,1462 0,1678 0,3838
У 0,0756 0,1581 0,1311 0,1711 0,3276
№ точки 6 7 8 9 10
X 0,5339 0,5541 0,7348 0,8817 1,0497
У 0,5255 0,5338 0,7501 0,7261 0,8766
№ точки 11 12 13 14 15
х 1,1336 1,1429 1,3122 1,4018 1,4175
У 1,0039 1,0896 1,0642 0,9709 1,1742
№ точки 16 17 18 19 20
х 1,4552 1,6277 1,6605 1,7843 1,7872
У 0,8398 1,0065 0,8001 0,8940 0,9365
№ точки 21 22 23 24 25
х 1,8230 1,8578 1,9129 1,9513 2,4572
У 1,0889 0,9228 0,9352 0,8374 0,7229
№ точки 26 27 28 29 30
х 2,5624 2,5855 2,6519 2,7886 2,9602
У 0,5173 0,4272 0,5367 0,3007 0,1493
Таблица 12
Случайный поиск экстремума функции у=зшх по 40 реализациям
№ точки 1 2 3 4 5
х 0,0037 0,0347 0,0991 0,1156 0,3442
У 0,0044 0,0386 0,0809 0,1267 0,3045
№ точки 6 7 8 9 10
х 0,3534 0,3921 0,4641 0,5013 0,5068
У 0,3416 0,4469 0,4889 0,3874 0,3999
№ точки 11 12 13 14 15
х 0,5071 0,5258 0,5293 0,6936 0,8095
У 0,5233 0,4277 0,5509 0,6066 0,8372
№ точки 16 17 18 19 20
х 0,8230 0,9139 0,9597 0,9810 0,9838
У 0,6313 0,8192 0,9198 0,8960 0,6918
№ точки 21 22 23 24 25
х 1,0397 1,0801 1,1211 1,1501 1,2661
У 0,8169 0,7787 0,8241 1,0296 0,8216
№ точки 26 27 28 29 30
х 1,3515 1,5006 1,6306 1,7652 1,9536
У 0,9243 0,8605 0,7991 1,0710 0,8588
№ точки 31 32 33 34 35
х 2,1051 2,1090 2,4417 2,5823 2,6704
У 0,8679 0,7841 0,7034 0,4497 0,3733
№ точки 36 37 38 39 40
х 2,6817 2,6852 2,7124 2,9442 2,9783
У 0,5067 0,5100 0,4173 0,1997 0,1806
Таблица 14
Зависимость точности определения экстремума функции у=8шх от числа реализаций при использовании случайного поиска
Число реализаций N 15 20 30 40 50
х в точке экстремума 1,2568 1,8275 1,4175 1,7652 1,5826
у в точке экстремума 1,0637 1,1249 1,1742 1,0710 1,1196
Погрешность определения независимой переменной (х) в точке экстремума (51) , % 20,0 16,3 9,76 12,4 0,75
Таблица 13
Случайный поиск экстремума функции у=зшх по 50 реализациям (реализации 1 - 40)
№ точки 1 2 3 4 5
х 0,0783 0,1747 0,3086 0,3527 0,3648
У 0,0677 0,1460 0,2548 0,3037 0,3266
№ точки 6 7 8 9 10
х 0,4150 0,4383 0,5804 0,6441 0,6818
У 0,3942 0,4639 0,6108 0,6486 0,7469
№ точки 11 12 13 14 15
х 0,7343 0,7423 0,7694 0,8435 0,9010
У 0,6664 0,6931 0,7538 0,8641 0,8750
№ точки 16 17 18 19 20
х 0,9657 0,9830 1,0981 1,1161 1,2567
У 0,8440 0,9386 0,7453 0,8669 0,8661
№ точки 21 22 23 24 25
х 1,2631 1,2874 1,3898 1,4069 1,4437
У 0,9938 0,9239 0,8542 0,9631 0,8136
№ точки 26 27 28 29 30
х 1,5508 1,5826 1,6411 1,7191 1,7636
У 1,0632 1,1196 0,8626 1,0150 0,8977
№ точки 31 32 33 34 35
х 1,9084 1,9272 1,9998 2,0740 2,0808
У 0,9311 1,0762 0,9911 0,7121 0,9157
№ точки 36 37 38 39 40
х 2,1471 2,1590 2,2922 2,2978 2,3345
У 0,9446 0,8689 0,7977 0,7850 0,6999
№ точки 41 42 43 44 45
х 2,3542 2,5074 2,5295 2,5423 2,5876
У 0,6860 0,7087 0,6307 0,5179 0,4868
№ точки 46 47 48 49 50
х 2,6436 2,6921 2,7084 2,9536 2,9865
У 0,4612 0,4405 0,4904 0,1809 0,1316
Таблица 15
Зависимость точности определения экстремума функции у=8тх от числа реализаций при использовании случайного поиска в сочетании с методом структурной минимизации риска
Число реализаций N 15 20 30 40 50
х в точке экстремума 1,5346 1,5708 1,5436 1,5719 1,5718
у в точке экстремума 1,0096 1,0023 0,9944 0,9338 0,9871
Погрешность определения независимой переменной (х) в точке экстремума (52) , % 2,30 2,34-10-4 1,73 0.070 0,064
Зависимость погрешности определения точки экстремума функции у=втх от числа реализаций в условиях зашумления при использовании случайного поиска показана на рис. 3.
Зависимость погрешности определения точки экстремума функции у=Бтх от числа реализаций в условиях зашумления при применении предлагаемой методики иллюстрируется рис. 4.
Следующим примером является поиск экстремума функции ъ=8т(х)8т(у) при 0<х<3 и 0<у<3. Использовалась одна начальная точка, и осуществлялся один проход по каждой координате. Зашумление проводилось по формуле +0,211 (~1)'у, (14) где ъ; - точное значение функции ъ в 1-ой
точке, V - случайная величина, равномерно распределенная в интервале [0, 1]. Значения х1 и у1 были случайным образом равномерно распределены в интервале [0, 3].
Рис. 3. Зависимость погрешности определения точки экстремума функции у=8тх от числа реализаций в условиях зашумления при использовании случайного поиска
Рис. 4. Зависимость погрешности определения точки экстремума функции у=8тх от числа реализаций в условиях зашумления при применении предлагаемой методики
В табл. 16 приведены результаты случайного поиска экстремума функции ъ в сечении при случайно выбранной величине у=0,6110.
После восстановления одномерной зависимости в одномерном сечении было определено, что функция принимает максимальное значение при х=1,5502. Это значение было зафиксировано, и поиск экстремума выполнялся в сечении по у, это иллюстрируется табл. 17.
Таблица 16
Случайный поиск экстремума функции г=8т(х)8т(У) по 30 реализациям при У=0,6110
№ точки 1 2 3 4 5
х 0,0119 0,0675 0,1713 0,3682 0,5538
z 0,0056 0,0393 0,1073 0,2356 0,3355
№ точки 6 7 8 9 10
х 0,5719 0,6779 0,6805 0,7750 1,0739
z 0,3517 0,3192 0,4274 0,3893 0,4790
№ точки 11 12 13 14 15
х 1,0914 1,1038 1,1545 1,1889 1,3093
z 0,5013 0,4712 0,5224 0,5373 0,4798
№ точки 16 17 18 19 20
х 1,4463 1,5069 1,5604 1,7363 1,8443
z 0,5799 0,5981 0,6681 0,4546 0,5457
№ точки 21 22 23 24 25
х 1,9968 2,1817 2,2014 2,3450 2,4254
z 0,4712 0,5393 0,4252 0,4530 0,3039
№ точки 26 27 28 29 30
х 2,5606 2,6758 2,6922 2,1765 2,7915
z 0,3659 0,2686 0,2173 0,2725 0,1603
Таблица 17
Случайный поиск экстремума функции г=8т(х)8т(У) по 30 реализациям при х=1,5502
№ точки 1 2 3 4 5
у 0,1576 0,1789 0,1850 0,1065 0,2394
z 0,1837 0,1706 0,1762 0,2038 0,1979
№ точки 6 7 8 9 10
у 0,4103 0,4158 0,5901 0,9149 0,9373
z 0,4221 0,3773 0,4678 0,7632 0,8223
№ точки 11 12 13 14 15
у 0,9577 0,9801 1,0979 1,1394 1,1443
z 0,7712 0,6803 0,7274 0,9580 1,0839
№ точки 16 17 18 19 20
у 1,2755 1,3430 1,6474 1,6739 1,8948
z 1,1406 1,0430 0,8741 1,1178 0,8457
№ точки 21 22 23 24 25
у 1,1248 2,3296 2,5461 2,5686 2,6138
z 0,9703 0,6394 0,5636 0,4676 0,5989
№ точки 26 27 28 29 30
у 2,6723 2,7803 2,7934 2,8401 2,9060
z 0,5004 0,3387 0,3523 0,2499 0,2603
Восстановленная зависимость ъ(у) имеет максимум при у=1,5712. Результаты поиска экстремума функции ъ=8т(х)8т(у) иллюстрируются табл. 18.
Таблица 18
Результаты поиска экстремума функции г=8т(х)8ш(У), значения которой зашумлены по формуле (14)
^^ Методика Результаты^^. Простейший случай-ный поиск в одномерных сечениях Предлагаемая методика
Значение х в точке экстремума 1,5604 1,5502
Погрешность определения х в точке экстремума, % 0,662 1,31
Значение у в точке экстремума 1,2755 1,5712
Погрешность определения у в точке экстремума, % 18,8 0,0257
Как видно из табл. 18, погрешности определения координаты х в точке экстремума сопоставимы, а погрешность определения координаты у в точке экстремума на три порядка ниже у предлагаемой методики по сравнению со случайным поиском в одномерных сечениях.
Следующим примером является восстановление зависимости в том случае, когда значения у являются случайной величиной, равномерно распределённой в интервале [0,17; 0,23]. Поскольку они не зависят от х, то оптимальная степень полинома должна быть равна нулю. Исходные данные для этого примера приведены в табл. 19.
Таблица 19
Исходные данные для восстановления зависимости, когда значения у являются
случайной величиной, равномерно распределённой в интервале [0,17; 0,23]
№ 1 2 3 4 5 6
х 1 2 3 4 5 6
у 0,1745 0,2202 0,2177 0,1949 0,2012 0,2082
№ 7 8 9 10 11 12
х 7 8 9 10 11 12
у 0,1717 0,1749 0,2251 0,1883 0,2288 0,1923
Для повышения чувствительности распознавания к возможной связи между переменными значения зависимой пере-
менной приводились к интервалу [0; 1] по формуле:
У - У Ш1П
У'
' 01
УШ
УШ
(15)
где у101 - 1-ое значение зависимой переменной, приведённое к интервалу [0; 1]; у1 - 1-ое значение зависимой переменной до приведения к интервалу [0; 1]; уш1п - минимальное значение зависимой переменной до приведения к интервалу [0; 1]; ушах -максимальное значение зависимой переменной до приведения к интервалу [0; 1].
Модифицированная по формуле (15) выборка приведена в табл. 20.
Таблица 20
Модифицированные по формуле (15) данные (исходные значения у, равномерно распределённые в интервале [0,17; 0,23])
№ 1 2 3 4 5 6
х 1 2 3 4 5 6
у 0,0490 0,8494 0,8056 0,4063 0,5166 0,6392
№ 7 8 9 10 11 12
х 7 8 9 10 11 12
у 0,0000 0,0560 0,9352 0,2907 1,0000 0,3608
Зависимости эмпирического и среднего рисков от степени аппроксимирую-щего полинома представлены в табл. 21.
Таблица 21
Зависимости эмпирического и среднего рисков от степени аппроксимирующего полинома , когда значения у являются
случайной величиной, равномерно распределённой в интервале [0,17; 0,23]
Степень полинома 0 1 2 3
Эмпирический риск 0,1164 0,1159 0,1154 0,1085
Средний риск 0,4393 0,7512 1,4446 4,2463
Исходная выборка и аппроксимирующая зависимость иллюстрируются на рис. 5. Таким образом, оптимальная степень полинома равна нулю и связь между х и у отсутствует.
Рис. 5. Исходная выборка и аппроксимирующая зависимость
В тоже время зашумлённая зависимость также хорошо распознаётся. Одна из
них была выбрана в виде: у = x + £, где х=1,2,...,12; а принимает значения у! табл. 22.
Данные для восстановления регресии во втором случае представлены в табл. 22, а зависимости эмпирического и среднего рисков от степени аппроксимирую-щего полинома иллюстрируются табл. 23.
Таблица 22
Данные для восстановления защумлённой линейной зависимости
№ 1 2 3 4 5 6
х 1 2 3 4 5 6
у 1,0490 2,8494 3,8056 4,4063 5,5166 6,6392
№ 7 8 9 10 11 12
х 7 8 9 10 11 12
у 7,0000 8,0560 9,9352 10,2907 11,0000 12,3608
Таблица 23
Зависимости эмпирического и среднего рисков от степени аппроксимирующего полинома при восстановлении зашумлённой линейной зависимости
Степень полинома 0 1 2 3
Эмпирический риск 11,4252 0,1006 0,09862 0,08957
Средний риск 43,1343 0,6522 1,2342 3,5044
Как следует из результатов анализа, оптимальная степень полинома в этом случае равна единице, то есть зависимость
восстановлена правильно и приведена на рис. 6.
Рис. 6. Зависимость эмпирического и среднего риска от степени аппроксимирующего полинома, при восстановлении зашумлённой линейной зависимости
Рис.7. Исходные данные и восстановленая линейная зависимость
Описанная методика была опробована также на решении системы трансцендентных уравнений:
-(х-пп] -[у-|] + яп г = 1
-х-§] + я1п у-п] =1
я1п x -1 у -
п
-i 2--
= 1
2
2
Решение системы (16) можно свести к нахождению минимума суммы квадратов невязок. Точное решение - х=у=ъ=п/2, полученное - х=1,56; у=1,59; ъ=1,55. Использовалось 3 начальных точки и 30 точек в одномерных сечениях. Случайный поиск по 270 реализациям привёл к весьма посредственным результатам - х=1,05; у=0,89; ъ=1,16.
Приведённые примеры показывают, что метод структурной минимизации риска хорошо распознаёт зашумлённые зависимости, а точность определения экстремума функции с помощью предлагаемого метода действительно может быть на порядки выше, чем точность случайного поиска.
3. Соотношение между детерминизмом, стохастикой и хаосом. Взаимовлияние и организация элементов системы может привести к качественному изменению объекта - из хаотического он может превратиться в стохастический или даже в детерминированный. Это очень важно, так как хаотическая прогностическая система в состоянии дать только средние значения и пределы изменения рассчитываемых величин. Её трансформация в стохастическую или детерминированную систему повышает точность анализа и показывает эффективность осуществлённой организации её элементов и внешних управляющих воздействий. Даже если она осталась хаотической, но размеры аттрактора сократились, то эффективность анализа тоже повышается за счёт уменьшения разброса результатов.
Стохастическая прогностическая система позволяет уже строить плотности вероятности прогнозируемых параметров. Появляется возможность оценки состояния объекта.
Если случайный разброс мал и им можно пренебречь, то система становится детерминированной. Она даёт однозначный прогноз или диагноз реального состояния анализируемой системы.
Следует также отметить, что объект допустимо считать детерминированным и в том случае, когда размеры зон, в пределах которых параметры хаотически флуктуируют, малы и этим с достаточной для практики точностью можно пренебречь [5-13].
Таким образом, классификация прогностической системы позволяет оценить насколько качественно выполнен её синтез и принять обоснованное решение о возможности её внедрения в практическую деятельность.
Прежде всего необходимо оценить является ли распределение случайной величины равномерным. Поскольку не всегда большая выборка можент быть получена, то представляется целесообразным применение метода структурной минимизации риска [1]. Для решения такой задачи случайным образом отбираются и фиксируются все прогностические параметры, кроме одного. Далее случайным образом выбираются величины незафиксированного параметра, для которых вычисляется функция принадлежности к опасной ситуации. После этого в классе полиномов Чебышева методом структурной минимизации риска восстанавливается зависимость з(х), где 8 -функция принадлежности к опасной ситуации, х - незафиксированный параметр. Эта операция повторяется для всех независимых переменных.
Так как характерной чертой СТТ на больших интервалах времени измерения Т [5-13] является равномерное распределение параметров в пределах аттракторов [2], то оптимальная максимальная степень полиномов 8(х), равна нулю. Это иллюстрируется рис. 8.
Рис. 8. Зависимость 8(х) при оптимальной максимальной степени полинома 8(х), равной нулю
Кроме того, представляет интерес исследование зависимостей параметров распределений, например, их математических ожиданий, от времени. Это позволяет, по крайней мере приближённо, ответить на
вопрос: эволюционирует ли исследуемая СТТ с течением времени, или ответить на вопрос: уменьшаются ли размеры аттракторов и повышается ли точность прогнозирования. Ввиду того, что осуществляется только оценка принадлежности распределения к равномер-ному, восстановление плотности вероятности осуществляется весьма упрощен-но, а значения функции распределения вычисляются в точках элементов исходной выборки.
Для решения этих задач используются полиномы Чебышева, так как при линейной функции распределения имеет место плотность вероятности в виде равномерной зависимости (показано на рис. 8).
При реализации таких процедур в соответствии с [1] сначала по выборке оценивается функция распределения. Для этого на оси (о!), содержащей точки случайной выборки Хь Х2, ... ХП, где п - объём выборки, выбирается совокупность точек ю1, ю2, ... юП, координаты которых рассчитываются по формуле:
tmim +
L
L
n -1
(i - 1), (17)
где 1 - номер точки.
Функция распределения в точках вычисляется следующим образом [1]:
1
Ft=-- tj),
n j=1
(18)
где
Г1 при (а -г,) > 0 $(р - г ) = \ ' ) ' (19)
4 г [1 при (а - г}) < 0 4 7
Далее методом структурной минимизации риска в классе полиномов Чебышева восстанавливается зависимость Б(ю). Если её оптимальная степень равна 1, то это говорит о том, что значения X распределены по закону, близкому к равномерному.
Заключение. Представленный метод показывает свою эффективность для решения задач по определению принадлежности объекта к хаотическим системам на основе метода структурной минимизации риска при использовании в качестве базисных функций полиномов Чебышева. Метод демонстрирует свою эффективность с малыми выборками, а использование полиномов
Чебышева позволяет сделать обоснованный выбор равномерного закона распределения или мотивировано предпочесть другую плотность вероятности. Программа для определения принадлежности объекта к системе третьего типа была опробирована на ряде медицинских и биологических примеров, что будет продемонтрировано в следующем сообщении.
Литература
1. Вапник В.Н. Восстановление зависимостей по эмпирическим данным.- М.: Наука, 1979.- 220 с.
2. Вапник В.Н., Глазкова Т.Г., Кощеев В.А., Михальский А.И., Червоненкис А.Я. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей.- М.: Наука, 1984.- 816 с.
3. Вахмина Ю.В. Модели сложных систем с позиций физики и теории хаоса-самоорганизации // Сложность. Разум. Постнеклассика.- 2013.- №1.- С.51-59.
4.Ведясова О.А., Еськов В.М., Живо-гляд Р.Н. Соотношение между детерминистскими и стохастическими подходами в моделировании синергизма и устойчивости работы дыхательного центра млекопитающих // Вестник новых медицинских технологий.- 2005.- Т. 12, № 2.- С. 23-24.
5. Гавриленко Т.В., Еськов В.М., Ха-дарцев А.А. Новые методы для геронтологии в прогнозах долгожительства коренного населения Югры // Успехи геронтологии.- 2014.- Т. 27, № 1.- С. 30-36.
6.Еськов В.М., Филатова О.Е., Пап-шев В. А. Сканирование движущихся поверхностей биологических объектов // Измерительная техника.- 1996.- № 5. С. 66.
7. Еськов В.М., Зилов В.Г., Хадарце-ва А. А. Новые подходы в теоретической биологии и медицине на базе теории хаоса и синергетики // Системный анализ и управление в биомедицинских системах.-2006.- Т. 5, № 3.- С. 617-622.
8. Еськов В.М., Назин А.Г., Русак С.Н. Системный анализ и синтез влияния динамики климатоэкологических факторов на заболеваемость населения Севера РФ // Вестник новых медицинских технологий.-2008.- Т. 15, № 1.- С. 26-29.
9. Еськов В.М., Еськов В.В., Филатова О.Е. Особенности измерений и моделирования биосистем в фазовых пространствах состояний // Измерительная техник.-2010.- № 12.- С. 53-57.
10.Еськов В.М., Филатова О.Е., Ха-дарцев А.А., Хадарцева К.А. Фрактальная динамика поведения человекомерных систем // Вестник новых медицинских технологий.- 2011.- Т. 18, № 3.- С. 330-331.
11. Еськов В.М., Еськов В.В., Филатова О. Е. Особые свойства биосистем и их моделирование // Вестник новых медицинских технологий.- 2011.- Т. 18, № 3.-С.331-332.
12. Еськов В.М., Гавриленко Т.В., Козлова В.В., Филатов М.А. Измерение параметров динамики микрохаоса в поведении реальных биосистем // Метрология.- 2012.- №7.- С. 39-48.
13. Еськов В.М., Еськов В.В., Гавриленко Т.В., Зимин М.И. Неопределенность в квантовой механике и биофизике сложных систем // ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ - 2014 - № 5 - С. 41-46.
14. Зимин М.И. Метод структурной минимизации риска в задачах строительной механики // Тезисы докладов пятнадцатой республиканской научно-технической конференции по проблемам строительства и машиностроения.- Нальчик, Кабардино-Балкарский государственный университет, 1988.- С. 3-4.
15. Зимин М.И., Вахмина Ю.В., Гав-риленко Т. В. Модели сложных систем с позиций физики и теории хаоса-самоорганизации // Сложность. Разум. Постнеклассика.- 2013.- № 1.- С. 51-59.
16. Карпин В.А., Филатова О.Е., Со-лтыс Т.А., Соколова А.А., Башкатова Ю.В., Гудков А.Б. Сравнительный анализ и синтез показателей сердечно-сосудистой системы у представителей арктического и высокогорного адаптивных типов // Экология человека.- 2013.- № 7.- С. 3-9.
17. Eskov V.M. Models of hierarchical respiratory neuron networks // Neurocomputing.- 1996.- V. 11, № 2-4.- С. 203-226.
18. Eskov V.M., Filatova O.E. Respiratory rhythm generation in rats: the importance
of inhibition // Neurophysiology.- 1993 — V. 25, № 6.— P. 420.
19. Eskov V.M., Kulaev S.V., Popov Yu.M., Filatova O.E. Computer technology for measurement of instability origin in stationary regimes of biological dynamic system // Measurement techniques.— 2006.— № 1 .— P. 40—45.
20. Eskov V.M., Eskov V.V., Filatova O.E. Medical and biological measurements: characteristic features of measurements and modeling for biosystems in phase spaces of states // Measurement techniques.— 2011.— V. 53, № 12.— P. 1404—1410.
21. Eskov V.M., Eskov V.V., Filatova O.E., Filatov M.A. Two types of systems and three types of paradigms in systems philosophy and system science // Journal of Biomedical Science and Engineering.— 2012.— V. 5, № 10.— P. 602.
References
1. Vapnik VN. Vosstanovlenie zavisi-mostey po empiricheskim dannym. Moscow: Nauka; 1979. Russian.
2. Vapnik VN, Glazkova TG, Koshcheev VA, Mikhal'skiy AI, Chervonenkis AYa. Al-goritmy i programmy vosstanovleniya zavisi-mostey. Moscow: Nauka; 1984. Russian.
3. Vakhmina YuV. Modeli slozhnykh si stem s pozitsiy fiziki i teorii khaosa-samoorganizatsii. Slozhnost'. Razum. Postnek-lassika. 2013;1:51-9. Russian.
4. Vedyasova OA, Es'kov VM, Zhivog-lyad RN. Sootnoshenie mezhdu determi-nistskimi i stokhasticheskimi podkhodami v modelirovanii sinergizma i ustoychivosti rabo-ty dykhatel'nogo tsentra mlekopitayushchikh. Vestnik novykh meditsinskikh tekhnologiy. 2005;12(2):23-4. Russian.
5. Gavrilenko TV, Es'kov VM, Khadart-sev AA. Novye metody dlya gerontologii v prognozakh dolgozhitel'stva korennogo nase-leniya Yugry. Uspekhi gerontologii. 2014;27(1):30-6. Russian.
6. Es'kov VM, Filatova OE, Papshev VA. Skanirovanie dvizhushchikhsya po-verkhnostey biologicheskikh ob"ektov. Izmeri-tel'naya tekhnika. 1996;5:66. Russian.
7. Es'kov VM, Zilov VG, Khadartse-va AA. Novye podkhody v teoreticheskoy bi-ologii i meditsine na baze teorii khaosa i siner-getiki. Sistemnyy analiz i upravlenie v biome-ditsinskikh sistemakh. 2006:5(3):617-22. Russian.
8. Es'kov VM, Nazin AG, Rusak SN. Sistemnyy analiz i sintez vliyaniya dinamiki klimatoekologicheskikh faktorov na zabole-vaemost' naseleniya Severa RF. Vestnik no-vykh meditsinskikh tekhnologiy. 2008; 15(1):26-9. Russian.
9. Es'kov VM, Es'kov VV, Filatova OE. Osobennosti izmereniy i modelirovaniya bio-sistem v fazovykh prostranstvakh sostoyaniy. Izmeritel'naya tekhnik. 2010;12:53-7. Russian.
10.Es'kov VM, Filatova OE, Khadartsev AA, Khadartseva KA. Fraktal'naya dinamika povedeniya chelovekomernykh sistem. Vestnik novykh meditsinskikh tekhnologiy. 2011;18(3):330-1. Russian.
11. Es'kov VM, Es'kov VV, Filatova OE. Osobye svoystva biosistem i ikh modelirova-nie. Vestnik novykh meditsinskikh tekhnologiy. 2011;18(3):331-2. Russian.
12. Es'kov VM, Gavrilenko TV, Kozlo-va VV, Filatov MA. Izmerenie parametrov di-namiki mikrokhaosa v povedenii real'nykh biosistem. Metrologiya. 2012;7:39-48. Russian.
13. Es'kov VM, Es'kov VV, Gavrilen-ko TV, Zimin MI. Neopredelennost' v kvanto-voy mekhanike i biofizike slozhnykh sistem. VMU. Seriya 3. FIZIKA. ASTRONOMIYa. 2014;5:41-6. Russian.
14. Zimin MI. Metod strukturnoy mini-mizatsii riska v zadachakh stroitel'noy mekha-niki. Tezisy dokladov pyatnadtsatoy respubli-
kanskoy nauchno-tekhnicheskoy konferent-sii po problemam stroitel'stva i mashinostroe-niya. Nal'chik, Kabardino-Balkarskiy gosu-darstvennyy universitet; 1988. Russian.
15. Zimin MI, Vakhmina YuV, Gavrilenko TV. Modeli slozhnykh sistem s pozitsiy fiziki i teorii khaosa-samoorganizatsii. Slozh-nost'. Razum. Postneklassika. 2013;1:51-9. Russian.
16. Karpin VA, Filatova OE, Soltys TA, Sokolova AA, Bashkatova YuV, Gudkov AB. Sravnitel'nyy analiz i sintez pokazateley ser-dechno-sosudistoy sistemy u predstaviteley arkticheskogo i vysokogornogo adaptivnykh tipov. Ekologiya cheloveka. 2013;7:3-9. Russian.
17. Eskov VM. Models of hierarchical respiratory neuron networks. Neurocomputing. 1996;11(2-4):203-26.
18. Eskov VM, Filatova OE. Respiratory rhythm generation in rats: the importance of inhibition. Neurophysiology. 1993;25(6):420.
19. Eskov VM, Kulaev SV, Popov YuM, Filatova OE. Computer technology for measurement of instability origin in stationary regimes of biological dynamic system. Measurement techniques. 2006;1:40-5.
20. Eskov VM, Eskov VV, Filatova OE. Medical and biological measurements: characteristic features of measurements and modeling for biosystems in phase spaces of states. Measurement techniques. 2011;53(12): 1404-10.
21. Eskov VM, Eskov VV, Filatova OE, Filatov MA. Two types of systems and three types of paradigms in systems philosophy and system science. Journal of Biomedical Science and Engineering. 2012;5(10):602.
