CC BY
22
УДК 539.3
Р. А. Каюмов, С. В. Гусев
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРЕДЕЛА ПРОЧНОСТИ НА СДВИГ КОМПОЗИТА ИЗ ЭКСПЕРИМЕНТА НА РАСТЯЖЕНИЕ ПОЛОСЫ С ПЕРЕКРЁСТНОЙ УКЛАДКОЙ ВОЛОКОН
Ключевые слова: композиционный материал, слой, прочность на сдвиг, предельное равновесие.
Предлагается определять предел прочности на сдвиг слоя композиционного материала из эксперимента на растяжение полосы с укладкой волокон ±а. Для отыскания разрушающей нагрузки положена теория предельного равновесия. Система из уравнений равновесия, закона течения, геометрических граничных условий сводится к одному нелинейному уравнению, связывающего прочность на сдвиг и разрушающую нагрузку. Исследуется влияния степени анизотропии и неточности замера разрушающей нагрузки на сходимость итерационного процесса.
Keywords: composite material layer, the shear strength, limit equilibrium.
It is proposed to determine the ultimate shear strength of the layer of composite material from the experiment on the tension of a strip with the laying of the fibers of ±a. To find the breaking load on the theory of limit equilibrium. The system of equations of equilibrium, law of flow, geometric boundary conditions is reduced to one nonlinear equation relating the shear strength and breaking load. Investigated the influence of the degree of anisotropy and inaccuracies of the measurement of the breaking load at the convergence of the iterative process of determining the shearing strength.
Рассматривается конструкция, изготовленная намоткой или наложением слоев из композиционного материала (КМ). Для каждого слоя в каждом квадранте с номером к плоскости (стц, ст22) при любом т12 критерий прочности в осях ортотропии имеет вид
[оч3]+
Ы{
______—
ы
LK с=1, f с > CYAC) = 1 (1)
к=\
где {ст}г={стп СТ22 [2 | ' вектор, составленный из компонент напряжений, и - знак объединения, Т -операция транспонирования, А - матрица, составленная из прочностных характеристик слоя, имеющая вид
А =
У k L 0
0
V [cLL
0 0
1/ И
(2)
Здесь [стп ] [ст22 ] - пределы прочности при
растяжении или сжатии, зависящие от номера квадранта к в который попадает вектор напряжений {ст}, (например, [стп ] = [стп ]+ , если стп > 0, и
[о-ц ] = [стп ] , если СТ11 < 0, рис. 1), [12 ] -прочность на сдвиг в плоскости ленты. В каждом квадранте напряжений функция Тк(ст) имеет вид
Рис. 1 - Сечение поверхности прочности в плоскости т12 = 0
Пусть известны экспериментальные значения
[ст11 ]+ , [ст11 , [ст22 ]+ [ст22 ] .
Рассмотрим задачу определения предела прочности на сдвиг [["12 ] из эксперимента не на сдвиг, а из эксперимента на растяжение полосы с укладкой волокон ±а. При этом в основу методики решения задачи положим теорию предельного равновесия, поскольку традиционный подход требует знания большого объема информации (это и линейно или нелинейно упругий закон, связывающий напряжения и деформации, и соотношения теории пластичности, поскольку к моменту разрушения деформирование становится необратимым, возможно, и теории накопления микроповреждений). Некоторые примеры решения прямых задач по вычислению предельных нагрузок для композиционных материалов и сравнение с экспериментом приведены в работе [2].
fk с=
( [4 Г + (С22/ \с22\к) + [[[2 /[-12 Г
(3)
=ь
и представляет собой часть поверхности эллипса (рис. 1). Назовем поверхность, составленную из частей эллипсоидов, поверхностью прочности.
Рис. 2 - Схема эксперимента
0
Пусть нагружение в эксперименте пропорционально параметру г , то есть РЭКСП = Р0 г, где Р0 - некоторая величина, имеющая размерность силы. Обозначим
РэКСП - Р 00 ^
(4)
П*
здесь Рэксп - нагрузка, при которой образец
считается разрушенным.
Для отыскания нижней границы предельной нагрузки в соответствии со статической теоремой необходимо выполнение двух уравнений равновесия
ахх - С хх, эксп ,
эксп
' XX, эксп
Л
*сеч
°уу - 0 ,
(5)
(6)
где Асеч - площадь поперечного сечения образца. Кроме того, функция у(С) должна быть не больше
единицы.
Представим ниже методику решения обратной задачи по определению [г12 ], основанную на методе вариации упругих постоянных [1, 2].
Введем вектор напряжений
0/) - 'ауу ) и выразим его через вектор напряжений в осях ортотропии слоя Су } - \схх , <гуу } с помощью матрицы поворота Тх [3]:
{Т*у)-Т1 ^12 }
(7)
Для ее решения организуем итерационный процесс, в котором выполняются уравнения равновесия (10), (11), а функция у (с) в критерии
прочности (1) стремится к единице. Предполагаем, что он приводит к истинному решению задачи в случае хорошего начального приближения. Номер итерации будем обозначать буквой / или цифрой в виде верхнего индекса, заключенного в круглые скобки. Для первой итерации (при / = 1) можно принимать т1\)- 05 о*ххЭКСП.
В соответствии с теорией предельного равновесия из закона течения следует, что вектор напряжений {с12} связан со скоростями деформаций соотношением [4,5,6]:
02}
,(1) '12
вектор скоростей деформаций в осях
ортотропии.
Для решения задачи о предельной нагрузке используем метод вариации упругих постоянных [1, 2]. Как оговаривалось ранее, согласно соотношению (4) нагружение в эксперименте проходит пропорционально параметру г. Следовательно, скорости деформаций можно выразить через фиктивные деформации
П -
СОв а ЭШ а эт2 а С032а 2э1 Па СОЗа
,ф, С) 12
£12
где а - угол укладки волокон.
Перепишем уравнения равновесия (5), (6) с учетом (7)
охх - СОЭ2а С11 + П2 ас22 -- 2э1 ПаС05аг12 - С
хх,эксп
суу - П2 ас1| + С052ас22 + + 2э1 ПаС05аг12 - 0
(8) (9)
При а = 45° получим
°хх- °.5°п + °-5°22 - Т12 -CrXX,ЭKCП, (10)
Оуу- 0.5 сп + 0.5С22 + Г12 - 0. (11)
Если из (10) вычесть (11), то получим г12 = -
*
0.5 СХХ,ЭКСП .
Таким образом, получаем систему нелинейных
уравнений (1), (8), С , C11, [Г12].
(9) для определения
тогда
С)}
[А® ]-1
,ф,(1)
,ф, (1)
,ф,(1)
(12)
Здесь матрица прочностных характеристик [А] зависит от искомого предела прочности |г12'].
Для определения компонент вектора фиктивных деформаций } используем уравнения
равновесия и уравнение совместности деформаций
гУ-0,
(13)
здесь гф0)
- фиктивная деформация сдвига в
лабораторных осях х, у (см. рис. 1).
Таким образом, вектор фиктивных деформаций в
осях х, у примет вид
9
г
12
12
12
,s
>• о }■
ss/"}
Вектор фиктивных деформаций £12 ' / в осях
ортотропии 1,2 (рис. 2) связан с вектором фиктивных деформаций в осях х, у соотношением [3]:
-Г2 , (14)
[Г 2
sin a cosa
- sin a cosa
Здесь матрица преобразования [т2 ]1 соответствует работе [3].
После подстановки (14) в (12) с учетом (13) получим компоненты вектора напряжений {с12}, зависящие от двух компонент вектора фиктивных
деформаций s
ф() с.ф,(0
yy
искомого предела прочности \\
угла намотки а и
■(*) I.
12
сс2 ьО^йч^ч аМ i (15)
Используя (15) при известном угле намотки а и заданном в первом приближении [['] из соотношений статики (8), (9), получим систему двух нелинейных уравнений относительно двух
фф неизвестных sXX, sjy .
а уу °УУ
( еф)--
( s)
V XX ' b уу /
' xx, эксп ■
= о.
(16)
(17)
После определения 8фх, £фу из (16) - (17), с помощью соотношений (12) отыскивается вектор
напряжений {с^} . Вычислим далее разницу
между уровнем напряженности растягиваемого образца на / той итерации и напряженностью, соответствующей моменту разрушения. Обозначим эту невязку следующим образом:
AaK [i2i )= 1 -
■ О
. (18)
Если невязка больше нуля, предел прочности уменьшается и итерация повторяется.
Процесс итерирования относительно [[']
заканчивается при достижении достаточной малости
для невязки [2 ^ ) в (18).
Для проверки работоспособности методики решения обратной задачи по определению [['] построим решение тестовой задачи. Запишем уравнения равновесия (8) - (9) через компоненты
вектора фиктивных деформаций в осях образца еХХ, 5фу . После подстановки выражений (12), (14)
в уравнение равновесия (9) получим связь между рф и рф
с хх а с уу ■
s ф sin4a[o'11]2 + cos4a [с11]2 + 4sin2a cos2a[r12]2 s = Sy sin2 a cos2a ([стп]2 + [ст11]2 - 4[r12]2)
(19)
Уравнение равновесия (8) примет вид
_ sSx
J хх, CALC | ф
sSX(cos4a[CT11]2 + sin4a [ст22]2 + 4sin2a cos2a[r12]2)+!
si sin2 a cosa (f + [0-22]2 - 4[гц]2)
[CTn]2 ( cos*asSx + sin2asS, ) + [CT22]2(sin2aSxSX + cos^as*„ ) +
|(4sin2 a cosa[rj2( s^ -ssS )2
. (20)
Пусть известно тестовое значение прочности слоя на сдвиг [ 12 и другие компоненты матрицы
прочностных характеристик [А]. Как это видно из (12), значения компонент вектора деформаций могут задаваться с точностью до постоянного множителя. Поэтому величина поперечной деформации ефу задавалась произвольной. Затем по соотношению (19) определялась продольная деформация ефх, и по (20) - значение охх ¡^. Таким образом,
test
12
соответствовали
тестовому значению
значения 8%, , и Схх , удовлетворяющие
уравнениям равновесия. Далее, при известном значении Схх на первых двух итерациях при
произвольных начальных значениях [['] и [т1|'] по соотношению (18) определялось отличие уровня
напряженности А-^4 ([2^) и А д/4 М2 ^ )
от
предельного значения, равного единице. Значения
[2 'J для следующих итераций определяются линейной интерполяцией. Процесс считался сходящимся при величине невязки менее 2%.
При решении тестовой задачи были использованы прочностные характеристики слоя армированного стеклопластика, приведенного в [7]:
[f J+ = 1600МПа, [f J" = 500 МПа, [[f J+ =
136 МПа, [f J" = 32 МПа, [2 J = 66 МПа.
Для определенности в тестовом примере первым двум итерациям соответствовали отклонения на ± 30%, и ± 20% от [f J. Картина сходимости
итерационного процесса по отысканию [\12 J показана на рис. 3. По оси абсцисс откладываются номера итераций, по оси ординат - отношение вычисленного на каждой итерации предела прочности [ 'J к тестовому [{2' J. На четвертой итерации разница между [ 'J и J не
превышала 2% (рис. 3).
2
cos a
sin а
sin а
2
cos a
- 2sin a cosa 2sin a cosa cos a- sin a
2
2
2
+
+
Рис. 3 - Сходимость итерационного процесса
Для исследования влияния степени анизотропии было создано шесть тестовых задач с различными пределами прочности ]п = п ], где п = 0.5;
2; 4; 5; 6; 8, то есть 3 <
[-Г ] / ИГ ] < 48. Для
всех тестовых задач картина сходимости предела
.test
I
прочности на сдвиг к точному значению [
аналогична графику, изображенному на рис. 3. На рис. 4 показана чувствительность задачи
.test
от
определения прочности на сдвиг неточности АР замера разрушающей нагрузки Р* .
' ътггтт
ом,-<^0x7 0.7(1
и. 74
0.673.
ЛР (%]
При увеличении в тестовых задачах предела прочности на сдвиг [12 ] до п = 4, ( \п - 4
.test
l)
неточность замера разрушающей нагрузки АР приводит к аналогичному отклонению искомого предела прочности на сдвиг. При n = 4 и АР = +30%, вызывает изменение отклонение а[12 j = +33%. При
n > 5 пропорциональность нарушается (см. рис. 4).
Таким образом, предложенный алгоритм
определения предела прочности на сдвиг [12 J из эксперимента на растяжение полосы обладает хорошей сходимостью и устойчивостью к неточности замера разрушающей нагрузки.
Литература
1. Каюмов Р.А. Метод вариации упругих характеристик в задаче о предельной нагрузке // Журнал ПМТФ. -1990.- №3. - С. 134...139.
2. Каюмов Р.А., Гусев С.В., Нежданов Р.О. Прямые и обратные задачи расчета слоистых оболочечных конструкций. Казань.: Каз. гос. энерг. ун-т. 2004.- 180с.
3. Композиционные материалы: Справочник/В.В. Васиьев и др.; под общ. ред. В.В. Васильева, Ю.М. Тарнопольского. - М..; ил.
4. Ерхов М.И. Теория идеально пластических тел и конструкций. - М.- Наука, 1969. - 420с.
5. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести - М.- Машиностроение, 1990. - 400с.
6. Качанов Л.М Основы теории пластичности. - М.-Наука, 1978. - 352с.
7. Зиновьев П. А., Тараканов А.И., О нелинейном деформировании композиционных материалов // Применение пластмасс в машиностроении, М.: МВТУ., 1978, - №19. - С. 33-58.
Рис. 4 - Отклонение прочности на сдвиг от тестовой при неточности замера разрушающей нагрузки АР и степени анизотропии -п-
© Р. А. Каюмов - д.ф.-м.н., профессор кафедры «Дизайн» КНИТУ, kayumov@rambler.ru, С. В. Гусев - к.ф.-м.н., доцент. кафедры механика КГАСУ, g48s487@mail.ru.
© R. A. Kayumov- doctor of physical and mathematical sciences, professor department of Design KNRTU, kayumov@rambler.ru,
S. V. Gusev - candidate of physical and mathematical sciences, associate professor Kazan State University of Architecture and Engineering, g48s487@mail.ru.
