ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПИД-РЕГУЛЯТОРА В КОНТУРЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ИНДИКАТОРНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА

Сырчина Анна Сергеевна; Кулешов Александр Викторович

Selezneva Maria Sergeevna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University,

Grigoriev Leonid Vladimirovich, student, technician, LGrigorev@rpkb. ru, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University, JSC «Ramenskoe Design Company»

УДК 531.383

DOI: 10.24412/2071-6168-2024-6-45-57

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПИД-РЕГУЛЯТОРА В КОНТУРЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ИНДИКАТОРНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА

А.С. Сырчина, А.В. Кулешов

Рассмотрена возможность аналитического определения параметров ПИД-регулятора в контуре обратной связи индикаторного гиростабилизатора с использованием критерия Вышнеградского. Приведены математические зависимости между коэффициентами ПИД-регулятора и параметрами Вышнеградского, которые являются координатами характерной точки на одноимённой диаграмме. Проведены исследования влияния расположения характерной точки на диаграмме на качество переходного процесса в системе одноосной индикаторной гироскопической стабилизации с ПИД-регулятором в контуре обратной связи. Даны рекомендации по выбору указанной точки для получения требуемого переходного процесса.

Ключевые слова: индикаторный гиростабилизатор, устойчивость, качество регулирования, ПИД-регулятор, коэффициенты ПИД-регулятора, диаграмма Вышне-градского, критерий Вышнеградского, колебательность.

При разработке системы автоматического управления одним из важнейших этапов является определение параметров регулятора, обеспечивающих устойчивость системы и качественный переходной процесс (ПП). Для исследования устойчивости такой системы используются различные методы, например, критерий устойчивости Гурвица или Найкви-ста-Михайлова. Построение переходного процесса осуществляется разными способами, одним из возможных является расчёт корней характеристического уравнения, по которым в дальнейшем получают переходную функцию, описывающую переходной процесс. Нахождение корней для систем высокого порядка является затруднительным, так как требует большого объёма математических вычислений. В настоящее время построение переходного процесса зачастую выполняется с использованием вычислительной техники.

При проектировании индикаторного гироскопического стабилизатора требуемые характеристики устойчивости и качества регулирования системы обеспечиваются контуром обратной связи за счёт определения правильных параметров регулятора [1 - 5]. О запасах устойчивости чаще

45

всего судят по логарифмическим частотным амплитудной и фазовой характеристикам (ЛАФЧХ). Оценка качества переходного процесса происходит косвенными методами или при моделировании системы.

Как было показано в статье [6], уравнение движения индикаторного гиростабилизатора (ГС) по оси стабилизации, например 0У, в операторной форме записи с учётом регулятора в контуре обратной связи можно представить так:

3у -б2 ■ а(+ Оу -б■ а(*) + Ку ■ Жррег(я)■ а(я) = М|(б) , (1)

где 3 у - осевой момент инерции ГС; а - угол отклонения ГС в инерци-альном пространстве по оси 0У; Бу - коэффициент демпфирования по оси У; К у - коэффициент усиления в контуре стабилизации по оси У;

у

Жрег - передаточная функция регулятора в контуре обратной связи; Му -

суммарный внешний возмущающий момент, действующий по оси У.

Тогда передаточную функцию разомкнутой системы можно представить как

Жу ( б ) =-2Ку--Ж .

У 3у-Б2 + Бу-Б рег

В простейшем случае регулятор в контуре обратной связи представляет собой комбинацию из одного апериодического и одного форсирующего звеньев первого порядка:

1 + Т ■ Б ЖРег (Б) = 1 + Т2-Б ' где ТХТТ2 - постоянные времени регуляторов.

В случае использования регулятора вида (2) характеристическое уравнение гиростабилизатора является уравнением третьего порядка. Как уже было сказано ранее, наиболее удобным методом исследования устойчивости системы является анализ ЛАФЧХ, по которым можно оценить полученные запасы устойчивости. Указанный метод удобен для систем практически любого порядка, однако он позволяет лишь косвенно судить о виде переходного процесса. Существуют различные методы определения вида и качества переходного процесса, в системах третьего порядка для достижения данной цели может быть использована диаграмма Вышнеград-ского (рис. 1), которая по выбранной характерной точке на диаграмме позволяет судить о виде и качестве переходного процесса.

Характеристическое уравнение третьего порядка всегда имеет три корня, из которых: 1) все могут быть вещественными (зона III на рис. 1); 2) два корня могут быть комплексно-сопряжёнными, а один - вещественным. Второй пункт можно разбить на два подпункта в зависимости от располо-

46

жения корней на комплексной плоскости: 2.1) комплексно-сопряжённые корни могут быть ближе к мнимой оси, чем вещественный (зона I на рис. 1); 2.2) вещественный корень может быть ближе к мнимой оси, чем комплексно-сопряжённые (зона II на рис. 1). Каждая из трёх зон на диаграмме Вышнеградского соответствует трём возможным видам переходных процессов.

о1-1-1-1— 1 1

0123456789

а

Рис. 1. Диаграмма Вышнеградского

Ранее [6] было проведено исследование систем индикаторного ГС с регулятором вида (2) и предложена методика аналитического определения параметров регулятора в контуре обратной связи ГС, в статье [7] была предложена оптимизация данной методики путём нанесения дополнительных кривых на диаграмму Вышнеградского. В настоящей статье рассматривается возможность аналитического определения коэффициентов ПИД-регулятора при его использовании в контуре обратной связи одноосного индикаторного гиростабилизатора.

Опыт разработки и исследования гироскопических стабилизаторов показывает, что в цифровых контурах управления и стабилизации в качестве регулятора в контуре обратной связи чаще используют ПИД-регуляторы, которые оказываются более удобными в реализации и настройке. Рассмотрим возможность использования диаграммы Вышне-градского для определения коэффициентов ПИД-регулятора. Передаточная функция ПИД-регулятора

№ПИД = К П + ^Т + К Д ■ °, где Кп - коэффициент усиления пропорциональной составляющей; Ки -

коэффициент усиления интегральной составляющей; К д - коэффициент

усиления дифференциальной составляющей.

Введём относительные коэффициенты ПИД-регулятора и выразим их через коэффициенты усиления составляющих ПИД-регулятора:

К1=1

КД К2 = КП. (3)

Ки 2 КИ

Тогда передаточную функцию ПИД-регулятора можно записать в следующем виде:

К 2 ■Б2 + ^ ■ Б + 1

ЖПИД =Кп' К Б2-■ (4)

2

Важно отметить, что при использовании ПИД-регулятора в контуре обратной связи статическая ошибка системы будет обнуляться из-за наличия интегральной составляющей, соответствующие графики переходных процессов показаны на рис. 1.

Запишем характеристическое уравнение системы, описываемой уравнением (1) с передаточной функцией регулятора (4):

Зу-К 2- Б3 + (Ву-К 2 + Ку-К п- К2)- Б2 + Кг- К п- К 2- б + К г- К п = 0.(5)

Допустимо, не нарушая общности рассуждения, принять Ку = 1, тогда коэффициент усиления в контуре обратной связи будет

определяться только коэффициентом усиления пропорциональной составляющей Кп.

Несмотря на то, что статическая ошибка системы обнуляется, динамическая ошибка при правильном формировании регулятора может быть обеспечена на уровне статической в системе без интегральной составляющей ПИД-регулятора, что обеспечивается преимущественно выбором коэффициента Кп. Тогда, задавая максимально допустимую ошибку

стабилизации по оси 0У а , можно рассчитать коэффициент усиления

шах

пропорциональной составляющей

мУ К п =—-.

п а

шах

Представим уравнение (5) в следующем виде [6 - 9]:

д3 + Ад2 + Бд +1 = 0,

а + Ки - К? а2 К п- К2

где А = -=±= = у 2 п 1 ; Б = . 2 = . п 2

3«02«з 314 •К2 - Кп 3^о^з2 3Зу • К2 ■К^

ры Вышнеградского.

парамет-

Передаточную функцию разомкнутой системы с ПИД-регулятором вида (4) представим как

к„ к 2 • *2+к ■ *+1 жу (*) =--П---1——-2-.

У 3у ■ 82 + ■ 8 к 2 ■ * Построение ЛАЧХ выполняется по следующей формуле:

Г ■. /(1 - к2 -2^2 ■ ^ —2

Ц(ю) = 201я А(ю) = 201я

К„ ■(1 - к* ■ юу + к2 ■ю

А, К ■ю2 ■ ^'Т2 ■ ю2 + 1

(6)

т ^2 \7 ,

где Ц(ю) - логарифмическая амплитудно-частотная характеристика;

3У

А(ю) - амплитудно-частотная характеристика; Ту = —--постоянная вре-

АУ

мени платформы; ю - угловая частота.

При пересечении графиком ЛАЧХ оси абсцисс, то есть при ю = юср,

выполняется следующее равенство:

201в А(юср) = 0 « А(юср) = 1. (7)

Из (6) и (7) получим соотношение между относительными коэффициентами К1 и К 2 :

л/(1 - К2 ■ ю2 )2 + К0 ■ ю2 ■ ю2 ■ \Т2 ■ ю2 +1

1 ср7 2 ср _ у ср \

У2 ■ ю2р + 1 (8)

К 2 К П

Таким образом, для ГС с рассчитанным суммарным внешним возу

мущающим моментом, действующим по оси У Му , и известными параметрами, а именно осевым моментом инерции ГС 3 у, коэффициентом демпфирования по оси А и максимально допустимой ошибкой стабилизации по оси 0Y а , задавая желаемую частоту среза системы, можно

шах

провести расчёт К^ и К^ по формуле (8). Далее, используя формулы (3),

можно рассчитать значения коэффициентов ПИД-регулятора, при подстановке которых в формулы для параметров Вышнеградского, получаем набор точек на плоскости параметров Вышнеградского, представляющий собой кривую равных частот среза. Построим такие кривые для различных частот среза (рис. 2).

Координаты выбранной точки на кривой равных частот среза обеспечивают требуемую частоту среза системы и вид переходного процесса в соответствии с выбранной зоной на диаграмме Вышнеградско-го (см. рис. 1), а также позволяют рассчитать параметры ПИД-регулятора.

Рассмотрим ГС с суммарным внешним возмущающим моментом

у

Мр = 1400 сН ■ см и со следующими характеристиками по оси стабилизации 0У: осевой момент инерции ГС = 120 сН ■ см ■ с , коэффициент демпфирования Вр = 13.37 сН ■ см ■ с, максимально допустимая ошибка

стабилизации а = 0.8', тогда Ки = 644.58 Н м . На примере частоты тах и рад

среза ю = 60 Гц (фиолетовая кривая на рис. 2) проведём исследование ср

влияния расположения выбранной точки на время и вид переходного процесса. Для выбранной частоты среза построим график для относительных коэффициентов ПИД-регулятора при изменении параметров Вышнеград-ского (рис. 3). Красная точка на графике с координатами А = 2,59 и В = 2,65 соответствует точке пересечения кривой равных частот среза с кривой на диаграмме Вышнеградского, разделяющей зоны I и II (кривая ВС). Также на график нанесены дополнительные точки с координатами В = 3,4,5, все полученные точки будут находиться в зоне II на диаграмме Вышнеградского.

Рис. 2. Кривые равных частот среза

На рис. 3 видно, что при увеличении значения параметра Вышне-градского В значения относительных коэффициентов ПИД-регулятора также увеличиваются. Рассчитаем коэффициенты усиления составляющих

50

ПИД-регулятора через его относительные коэффициенты по формулам (3) и (8). На рис. 4 представлены ЛАФЧХ, соответствующие передаточной функции Жу (£) для точек, представленных на рис. 3. Переходные процессы в ГС с ПИД-регулятором, коэффициенты которого соответствуют указанным точкам, показаны на рис. 5. Время переходного процесса будем определять при значении угла, не превышающего 3 % от максимального значения. Полученные результаты представлены в таблице.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

0.14 0.12 0.1 0.08

М

0.06 0.04 0.02 0

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035

Рис. 3. График относительных коэффициентов ПИД-регулятора Результаты расчета параметров ПИД-регулятора

III

В=5/ Н 3/ В-2.65«^ III -

В К ,[с] К2,[с] К И' " Н ■ м " рад ■ с К Д' Н ■ м ■ с рад Время ПП, [с]

3 0.0127 0.0224 28750.1574 4.3906 0.0651

4 0.0152 0.0345 18673.7750 4.3197 0.1120

5 0.0179 0.0482 13361.8657 4.2824 0.0161

Из полученных значений можно сделать вывод, что при уменьшении коэффициента усиления интегральной составляющей К^ и при малом

изменении коэффициента усиления дифференциальной составляющей К д

параметр Вышнеградского В увеличивается, что сказывается на времени переходного процесса. По графикам (см. рис. 5) видно, что в полученной системе отсутствует перерегулирование в переходном процессе обнуления статической ошибки.

250

10"3 10"2 10"1 10° Ю1 102 103

Частота, Гц

Рис. 4. ЛАФЧХсистемы с параметрами ПИД-регулятора из таблицы

Рис. 5. Переходные процессы системы с параметрами ПИД-регулятора из таблицы

Следовательно, можно сделать вывод, что при выборе характерной точки на кривой равных частот среза в зоне II следует стремиться к кривой АС сверху для минимизации времени переходного процесса.

52

В случае, когда характеристическое уравнение третьего порядка имеет пару комплексно-сопряжённых корней, переходной процесс системы будет колебательным. Из теории автоматического управления известно, что отношение мнимой части корня к действительной называется колебательностью [7 - 10]. В статье [7] для оптимизации методики выбора параметров регулятора было подробно рассмотрено построение дополнительных кривых колебательности на диаграмме Вышнеградского. Нанесём указанные кривые на диаграмму Вышнеградского, а также кривую равных частот для ранее рассмотренного примера (рис. 6).

ц.=4 |д~3 [.1=2 |д=1 (.1=0.5

На графике рис. 6 видно, что в зоне I диаграммы Вышнеградского при увеличении параметров Вышнеградского А и В значение колебательности уменьшается, соответственно переходной процесс будет обладать меньшим перерегулированием. В подтверждение вышесказанного построим график переходных процессов для В = 1; 1,5; 2; 2,5 (рис 7).

Таким образом, можно сделать вывод, что при выборе характерной точки на кривой равных частот среза в зоне I следует стремиться к кривой ВС снизу для уменьшения перерегулирования и колебательности переходного процесса.

Учитывая полученные ранее выводы для двух рассмотренных выше случаев, можно утверждать, что при выборе точки на кривой равных частот среза в зонах I и II диаграммы Вышнеградского следует стремиться к выбору точки, лежащей на кривой ВС.

53

Для ГС с указанными параметрами также рассмотрим вариант, при котором кривая равных частот попадает в зону III диаграммы Вышнеград-

ср

вой DC, построим переходные процессы для В = 2; 3; 4; 5; 6; 7 (рис. 8).

При B = 2,3 в системе присутствует перерегулирование в переходном процессе обнуления статической ошибки, что соответствует выводу, сделанному ранее для случая попадания кривой равных частот в зону I диаграммы Вышнеградского.

По полученным графикам также видно, что при нахождении в зоне III при увеличении параметра Вышнеградского B время переходного процесса будет увеличиваться, следовательно, следует выбирать характерную точку ближе к кривой CF .

Таким образом, можно сформулировать методику аналитического определения параметров ПИД-регулятора в контуре обратной связи индикаторного ГС, согласно которой первоначально выполняется построение диаграммы Вышнеградского, после чего для ГС с рассчитанным суммарным внешним возмущающим моментом и с учётом параметров, таких как осевой момент инерции ГС, коэффициент демпфирования ГС, максимально допустимая ошибка стабилизации, и желаемой частотой среза на неё наносится кривая равных частот среза.

Выбор характерной точки на полученной кривой следует проводить на основе требований, предъявляемых к виду и качеству переходного процесса. В случае расположения кривой равных частот среза в зонах I и II диаграммы Вышнеградского в качестве характерной точки на кривой следует выбирать точку, лежащую на кривой пересечения указанных зон (кривая DC ). В случае попадания в зону III выбирать характерную точку следует на кривой пересечения зоны I и III (кривая CF ). Соблюдение указанных рекомендаций позволяет получить желаемый переходной процесс с малым временем регулирования.

После выбора характерной точки на кривой равных частот среза с координатами, выраженными в параметрах Вышнеградского A и B, можно провести расчёт коэффициентов усиления каждой из трёх составляющих ПИД-регулятора.

Предложенная методика позволяет аналитическим образом определять параметры ПИД-регулятора в контуре обратной связи индикаторного ГС и обладает наглядностью и эффективностью.

Список литературы

1. Матвеев В.А., Подчезерцев В.П., Фатеев В.В. Гироскопические стабилизаторы на динамически настраиваемых вибрационных гироскопах. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. 103 с.

2. Fateyev V.V., Polynkov A.V., Kuleshov A.V. Long-focus optoelectronic systems for Earth remote sensing // AIP Conference Proceedings. 2021. Т. 2318. №.1. С. 170001.

3. Кулешов А.В., Фатеев В.В. Устойчивость двухосного индикаторного гиростабилизатора с нежестким подвесом. XLVI Академические чте-

55

ния по космонавтике, посвященные памяти академика С.П. Королёва и других выдающихся отечественных ученых - пионеров освоения. 2022, с. 362-364.

4. Колосов Ю.А., Ляховецкий Ю.Г., Рахтеенко Е.Р. Гироскопические системы. Проектирование гироскопических систем. Ч. II. Гироскопические стабилизаторы: учебное пособие для вузов / под ред. Д.С. Пельпо-ра, М.: Высшая школа, 1977, 223 с.

5. Бесекерский В.А., Фабрикант Е.А. Динамический синтез систем гироскопической стабилизации. Л.: Судостроение, 1968.

6. Сырчина А. С., Кулешов А.В. Синтез регулятора индикаторного гиро-стабилизатора с использованием критерия Вышнеградского // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. Вып. 11. С. 99-110.

7. Сырчина А. С., Кулешов А.В. Оптимизация методики синтеза регулятора индикаторного гиростабилизатора с использованием критерия Вышнеградского // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2023. Вып. 10. С. 96-110.

8. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического управления. 4-е изд., перераб. и доп. СПб.: Изд-во «Профессия», 2004. 752 с.

9. Крутов В.И., Спорыш И П., Юношев В.Д. Основы теории автоматического регулирования: учебное пособие для студентов машиностроительных специальных вузов. М.: Машиностроение, 1969, 360 с.

10. Теория автоматического управления. Ч. I. Теория линейных систем автоматического управления / под ред. А. А. Воронова. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Высшая школа, 1986, 367 с.

Сырчина Анна Сергеевна, студентка, sheeser@,mail. т, Россия, Москва, МГТУ им. Н.Э. Баумана,

Кулешов Александр Викторович, канд. техн. наук., доцент, [email protected], Россия, Москва, МГТУ им. Н. Э. Баумана

DETERMINATION OF PARAMETERS OF THE PID CONTROLLER IN THE FEEDBACK LOOP INDICATOR GYROSTABILIZER

A.S. Syrchina, A.V. Kuleshov

The paper reviews the possibility of analytical determination of PID controller coefficients in the feedback loop of indicator gyrostabilizer using Vyshnegradsky criterion. The article presents mathematical dependences between PID controller coefficients and the Vysh-negradsky parameters which are the coordinates of the characteristic point on the diagram. The influence of the location of the characteristic point on the diagram on the quality of the transient process in the system of single axis indicator gyrostabilizer with PID controller in the feedback loop has been studied. Recommendations on the choice of this point for obtaining the required transient process are given.

Key words: indicator gyrostabilizer, stability, quality of regulation, PID controller, PID controller coefficients, Vyshnegradsky diagram, Vyshnegradsky criterion, oscillation.

Syrchina Anna Sergeevna, student, sheeser@,mail. ru, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University,

Kuleshov Alexander Viktorovich, candidate of technical sciences, docent, kuleshov@,bmstu.ru, Russia, Moscow, Moscow Bauman State Technical University

УДК 528.3.021.7

БОГ 10.24412/2071-6168-2024-6-57-64

ОПТИКО-ЭЛЕКТРОННЫЕ ПРИБОРЫ ДЛЯ ОРИЕНТАЦИИ И НАВИГАЦИИ ПО ЗВЕЗДАМ

А.П. Мальцев

Рассмотрены вопросы, связанные с появлением и внедрением в системы ориентации КА ДЗЗ звездных датчиков для выполнения астрокоррекции. Данные приборы способны осуществлять измерения с погрешностью ориентации в доли угловой секунды. В результате в отечественной космической технике приборы звездной ориентации стали основой для создания систем ориентации КА ДЗЗ. Для эффективной работы данных систем, не только для ориентации, но и для навигации, разработан алгоритм определения географических координат КА ДЗЗ по двум высотам светил на небесной сфере. Данный алгоритм позволяет определить положения КА ДЗЗ без графических построений на карте, применяя аналитические методы и вычислительные мощности БЦВМ КА ДЗЗ. Рассмотрены вопросы проведения геодезической привязки с использованием БОКЗ в интересах ориентации и навигации КА ДЗЗ. Прибор БОКЗ представляет собой аппаратно-программный комплекс, обеспечивающий съемку произвольных участков звездного неба и определение параметров ориентации КА ДЗЗ в геоцентрической инерциальной системе координат. Разработан алгоритм для стенда полунатурного моделирования с использованием БОКЗ на основе систем технического зрения.

Ключевые слова: автоматическая привязка навигационных систем КА ДЗЗ, область видимости ОЭС КА ДЗЗ, кадровая съемка, системы технического зрения.

Оптические приборы для измерения направления по звездам.

Для навигации космических аппаратов существуют оптические приборы для измерения направления на светила на небесной сфере. Астронавигация по планетам и звездам позволяет определить координаты положения космического корабля в пространстве и осуществлять коррекцию траектории в полете, а также решать ряд других задач. Поэтому развитие и совершенствование визуальных и оптико-электронных приборов для астронавигации по звездам относятся к основным вопросам дальнейшего развития и совершенствования систем управления космических аппаратов.

57

DETERMINATION OF PARAMETERS OF THE PID CONTROLLER IN THE FEEDBACK LOOP INDICATOR GYROSTABILIZER

Текст научной работы на тему «ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ ПИД-РЕГУЛЯТОРА В КОНТУРЕ ОБРАТНОЙ СВЯЗИ ИНДИКАТОРНОГО ГИРОСТАБИЛИЗАТОРА»