CC BY
42
Энергетика
УДК 621.455
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛООБМЕНА НА ГРАНИЦАХ РАСЧЕТНОЙ ОБЛАСТИ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ ПРОЦЕССОВ ГОРЕНИЯ Ю.А. Булыгин, А.В. Кретинин, А.А. Бураков
Изложена математическая модель процессов горения 002-0СН4 двухкомпонентного топлива в камере сгорания энергетической установки. При постановке граничных условий для тепловых потоков на границах расчетной области используется теоретическое решение интегральных уравнений турбулентного пограничного слоя высокотемпературной диссоциированной газовой смеси
Ключевые слова: горение, пограничный слой, диссоциация, теплообмен
Математическая модель процесса горе-
ния
Система уравнений составлена с учетом результатов работ [1-4] и включает следующие уравнения (используется цилиндрическая система координат и общепринятые обозначения параметров). Уравнение неразрывности
Т" (ри)+1 ЭТ (фу ) = ^ (1)
ох г Эг
где х, г - осевая и радиальная координаты;
и, V - продольная и радиальная компоненты скорости;
р - плотность газа.
Уравнение сохранения импульса для осевой компоненты
— (pu 2)+-----------(rpvu)+ — =
dxKF ' r dr ' dx
=± г 2Ц du 1+1A'
dx I dx J r dr
(du dv
4 ^+dx
(2)
где р - давление;
ц - эффективная вязкость.
Уравнение сохранения импульса для радиальной компоненты
dp
—(puv)+1—(r pv 2)+
Эх ’ r ЭИ ' dr
= ^ i du + dv 1 +1Э f 2ф dv
Эх ^ dr Эх) r dr ^ dr
Уравнение энергии
T v '2Ц-у ■ r
(3)
Булыгин Юрий Александрович профессор, тел. (473) 252-34-52 Кретинин Александр Валентинович наук, доцент, e-mail: [email protected] Бураков Александр Александрович тел. (473) 252-34-52
ВГТУ, д-р техн. наук, ВГТУ, д-р техн. ВГТУ, аспирант,
^(PuH )+1 d^(rPvH ) = dx r dr
d ( ц dH dx I 0,9 dx
+11_ ( r_^_ dH r dr ^ 0,9 dr
где Н - полная энтальпия газа.
Уравнение для кинетической энергии турбулентности к
d^(puk)+1 ^(rPvk ) = dx r dr
d ( ц dk 1 1 d ( ц dk ,
= — I —— I + -—I r—■— I + G,
dx I 0,9 dx J r dr I 0,9 dr
Уравнение для скорости диссипации энергии турбулентности 8
Э/ ч 1 Э / \ Э ( ц Э8 |
ох <ри8)+г ^ (ф,,8)=э;х 109 ох1+
+1 d(rJL Эе1 + s ( -c2pe),
r dr I 0,9 dr J ky 1 k1 2 ’
(6)
где производство турбулентной кинетической энергии вычисляется по формуле
Gk1 = ц
du + dv dr dx
В к-8 модели используются стандартные значения констант С1 = 1,44 и С2 = 1,92. Входящая в уравнения эффективная вязкость рассчитывается по формуле
к 2
ц = ц I + 0,09р—.
8
Уравнение распределения соотношения компонентов ф = 1/ +1) (кт - массовое соот-
ношение компонентов топлива)
2
2
2
+
+
^(риф) +1 ^(ф»ф) =
dx r dr
d (і Ф | +1 d (r і ІФ
dx і 0,9 dx J r dr I 0,9 dr
где
(7)
Уравнение сохранения концентрации горючего Хг
Э- (риХ г)+10-(гРvXг ) =
Эx г Эг
= — Г-^ЭХ^| +1—Гг-^дXг | - W, (8)
Эx ^ 0,9 дx J г Эг ^ 0,9 Эг
где скорость горения метана
W = 1010 р 2 Xг X 0 ехр(-153000/ ЯТ), (9)
где Я - газовая постоянная;
Т - температура газа.
После решения уравнений (7) и (8) определяется равновесный состав продуктов сгорания (ПС) в данной точке потока с учетом полученного значения Хг с использованием первого вариационного принципа термодинамики, т.е. выбирается такой состав ПС, при котором изобарно-изотермический потенциал системы (свободная энергия Гиббса) принимает минимальное значение.
Энтальпия ПС в данной точке потока соответствующего кт, найденная из решения уравнения энергии, должна быть равна
Т
Н = I [сг (Т )ХГ + Со (Т )Х0 + спс (Т )ХПС ]1Т +
То
+Нг (То)+ Но (То)+ Нпс (То),
где Н(Т0) - энтальпия образования данного вещества из стандартных веществ при температуре Т).
Граничные условия.
При постановке граничных условий на стенках камеры сгорания используется методика с использованием аналитических соотношений решения интегральных уравнений пограничного слоя.
Интегральное уравнение энергии в форме В. М. Иевлева имеет вид [5]:
dzT
- +
Zj daT Zj
dD
dx aT dx
x d(l0« - їст) dx
D dx Px
= Re0 p
(ї0« їст) ^0«
(10)
= (1 -p2)k/k-1 1
■N1,88
(1 + Tct )152 (3 + Tct Г
1-
P 2_
2(1 + Tct ).
1-
9P2 4(3 + Tct ).
(11)
и для получения возможности решения используется зависимость одной неизвестной от другой (закон конвективного теплообмена):
1 - 0,21
1 - Pr P2 Pr43 1 - TC
307,8 + 54,8lg2
19.5
(12)
В формулах (1)-(3) x = xjdKp - относитель-
ная координата вдоль образующей камеры; d„„ -
диаметр
критического сечения;
В = 2Я^ - относительный текущий диаметр; 10¥, Г0¥ - энтальпия и температура
адиабатически «заторможенного» потока вне пограничного слоя; 1СТ - энтальпия газа при
температуре стенки; Re0 =
2k
PKdKpeK
р0«
'к -1 (RT )0Г mo г характерное число Рейнольдса, определяемое по плотности и вязкости «заторможенного» потока, диаметру критического сечения и теоретически возможной максимальной скорости истечения данного газового потока (ек -
max v к
показатель неизобаричности камеры сгорания); Tct = TcT/T0¥ - относительная температура стенки (температурный фактор);
b = и¥/umax = X/^J(к + 1)(к -1) - относительная скорость истечения (X - коэффициент скорости, к - показатель адиабаты); рх, mх - определяемые для данного газового потока характерные значения плотности и вязкости (рх - var, mх - const по длине камеры), при которых для газа будут справедливы теплообменные соотношения, полученные В.М. Иевлевым экспериментально для несжимаемой жидкости; Pr - критерий Прандтля, z, Zt -функции, пропорциональные толщинам потерь импульса и энергии в пограничном слое.
С использованием газодинамических соотношений (10) можно преобразовать к виду, удобному для численного решения:
1,52
0,18
0,56
0,089Pr
0,9225
Z
z
т
a =
т
Pr0'45 z"0'08 - 650
z
T
(Ит 2т («т %т (Ю
Р ( е
1Кикр*к (1 ___р2 \к/к-
(RT)0г5 тог1 Р '
2к
(13)
(1 + ТСТ )1,52 (3 + ТСТ )о'18
1
1 _
р 2_
2(1 + Тст )
1_
9П2 4(3 + Тст )
где аТ = Лг/2 2_п/2, Л=0.01352, и=0.15,
(
1 -р2+р2
1,769-
1 - 0,08696-
1 -р2 1 - ТСТ + 0,1р2
0,54 '
1 - ТСТ + 0,1р2
Теоретическое определение закона конвективного теплообмена
Метод решения уравнения (10) по Иевлеву основан на эмпирических зависимостях коэффициентов трения и теплообмена от вспомогательных функций г, гТ, полученных для несжимаемой жидкости и обобщенных для сжимаемого газа. Для исследования законов трения и теплообмена на микроуровне необходимо моделировать распределения скорости и температуры в пределах турбулентного пограничного слоя. В этих целях возможно использование аналитического решения интегрального уравнения энергии согласно газодинамической теории теплообмена [6]. Уравнение энергии в этом случае удобно записать в виде (в дальнейшем предполагаем Рг = 1):
й Яе*
йх
1-\ * + Яет
йх
Л- р-*-
ЛТ р0¥
йх
•(14),
Кег =
(15)
где тэф0¥ - вязкость, соответствующая температуре торможения недиссоциированных продуктов сгорания вне пограничного слоя. У В. М. Иевлева
5Г
5т = |
риг
( ] - ] ^
10~ ]0
Яет —
0 Р хи¥Я
р хи¥5Т
йу,
СТ
(16)
Поэтому
КеТ = ИеТ
тэфо«-
- = Ие7
= Ие7
1 + Тс 2
4
(17)
Здесь Тщ - средняя по длине камеры температура Тт ( Тт - средняя температура в пограничном слое, соответствующая средней энтальпии в пограничном слое 1т , которая по В.М. Иевлеву, определяется в виде разности средней энтальпии торможения и среднего динамического добавка). Из сопоставления выражений для Лт и закона конвективного теплообмена дсТ = аТрхи¥(10¥ - 1ст ) следует
Лт =
р0с
Р х Р0 Рх = _Р_ ро» Роо
получаем
¥ ат
хИ ¥ V 0»
и с учетом 1
1 + Тг-
,р_
4
~ \ о,82 / _
2 ' Г 3 + Тг-
9р2 ’ 16
(18)
1 + Тг-
- \ о,82 . _
^ ' Г 3 + Т,
9р2
16
(19)
ро¥м¥
-ып.
где величина AT =
Ро¥
Цст
обратно про-
порциональна коэффициенту теплоотдачи от газа в стенку; М0„ = V -1ст ; Р0¥ - давление торможения вне пограничного слоя. Отличие записи данного уравнения от соответствующего в форме Иевлева заключается в определении чисел Рейнольдса, построенным по толщине потери энергии, и формах записи выражений для данной толщины. В (15)
5г риг Г ]{
„ ** _ 'I риг 5т = I
0 рли¥Я
-1п
\
V 10¥
йу,
1СТ у
Зависимость Лт (Яе”, ТСТ, Р) может быть получена непосредственно из интегральных соотношений импульса и энергии при расчетных профилях скоростей и температур в погранс-лое. Согласно газодинамической теории теплообмена эта зависимость может быть найдена из совместного решения уравнений
¡ТэфлХХт
Ш,
X
1,88
2
X
1,52
о,18
г
Т
г =
о.7
Т
Т
о
о.7
ср
1
о .18
2
4
Т
о .18
2
4
4
Л2 =
Т
а
Т
Р
Лт =
оо
Ref = -
ХФі(тзф.л Y711 -21 exp(xr)
^T ехР(кСл )
Ф=Хт
где
Tt + (1 - rCT )КСаa
-(Tct Г
(20)
(21)
2 V
1,7*30, (1 - Тст )( Тст + (1 - Гг Х - (^
V Хг V Х
к - эмпирическая константа в формуле для длины пути перемешивания модели турбулентности Прандтля (к = 0,38 - 0,4); % - эмпирическая константа в условии Кармана для толщины ламинарного подслоя
Фл
= С = 11,5; Z, ZT - вспомогательные
т л
переменные, входящие в уравнения для профилей скорости и температуры в турбулентной части пограничного слоя.
Входящие в уравнения (20) величины -Тэф л - относительная температура недиссоции-
рованных ПС на границе ламинарного подслоя и ал - переменная преобразования координат при задании линейного в ламинарном подслое и логарифмического в турбулентной части пограничного слоя профиля скоростей и температур, находятся из совместного решения уравнений
Г рК%ал ^
Тэф.л = TCT + (1 TCT )
ЩРп
XT
X
T
эф.л
T I (1 Tct ) - 2 P КХал
эфл xT X2
(22)
(23)
Таким образом, при расчетных значениях в вдоль контура камеры, задаваясь значениями Тст , Хг и учитывая условие Хг - Х = 0,5, на** ____________________________
ходят зависимость Лт (Яег , Тсг, Р), т.е. устанавливается закон теплообмена, зная который возможно получить решение интегрального уравнения энергии для пограничного слоя.
Полученные результаты могут быть использованы для расчета распределения скорости и температуры поперек пограничного слоя. Определив из решения уравнений (11)-(13)
** _ _____________________
значения Хг, Х, Яег , Тл при известных р и Тсг ,
с учетом Re** =
Ф1(Тэф.л )0,7 (1 -|J exp(X)
ехр(КСЯл )
исполь-
зуя определения
** р ли¥5
Яе =----------- (рл - плотность на границе ла-
т эф0¥
минарной части пограничного слоя), имея в виду, что
««=P“max = РЛ1Т2^ (RTL , Рл =
Р0
Р0«
к -1
Тэф.л (RT)0« Тз
1эф0—
1000
эф.л 0,7
(24)
где вязкость ПС при 1000 К
1
m1000 =
X
ті х №
(т- молекулярная масса, Рі - парциальное давление), найдем толщины потери энергии и импульса от и о , зная которые можно найти толщины теплового и динамического пограничного слоя 5^, 5^ в данном сечении камеры:
ST* 1- 2| и •;
dT =
dT; Хт і X
=1 ii- 2
xі xj'
(25)
Здесь 5^ и 5^ отсчитываются в соответствии
с переменной п, коллинеарной у и выражаемой для турбулентной части пограничного слоя г р
соотношением dh = —— dy .
К р л
Толщина ламинарного подслоя в координатах х, ^ ( й^ = — ау в ламинарном подслое)
т
определяется из условия Кармана 5 стл %тлХ
5^Л = =
где динамическая
Рлм'*ал Рлал ku¥ скорость (скорость трения) w* вводится усло-
t tCT i 2 вием ----2 = 2 = const = w* , рл и и¥ опреде-
ра рлал
ляются по (24), а вязкость на границе ламинар-
ного подслоя mл =^1000
Ґ Т1 Т1 \0,7
т лтэф0—
1000
. Профи-
ли скорости и температуры в ламинарном подслое в координатах x,; линейные (в пределах подслоя Сp = CpCp = const)
2 2 2
tCT Pлапк u«
u =-CT ; = pл л —— ;,
тл x2
22
AT0 = ^C^; = AT°«PлК a^u— ;, (26)
cpm л m лСт X
и
/
а значения u, ATq изменяются от 0 соответст-
венно до uл = u¥
kC
и Ат0 л = Ат0»
kC
Х "л УЛ VХ л •
Преобразования координат х, ц в х, у в ламинарном подслое можно провести по формуле
г ^
у = I
0,7
т
V тл у
йц. В формулах (26) и (27)
МТ0 = Тэф.0 - ТСТ , МТ0¥ = Тэф.0¥ - Тст
Распределения скорости и температуры в турбулентной части погранслоя, т. е. при 5лл < л £ 5л определяются выражениями
= 1 + - ln
x
h + Ô
'^л
Ф
-1
ôh exP(XT -x)
(
= 1 + ^n Ат0~ xt
П + 0Лл ôTh
Ф
-1
(27)
причем множитель ехр(Хг - Х) в знаменатель формулы для скорости введен для выполнения условия 5ц = 5|л при Рг = 1. Преобразование
координат х, л в х, у в турбулентной части погранслоя выполняется по формуле л Г
у = | —йц . Таким образом, можно получить
ôh
т
расчетные профили скорости и температур поперек пограничного слоя продуктов сгорания для произвольной осесимметричной области течения.
Заключение
Получено распределение характерных параметров турбулентного пограничного слоя продуктов сгорания в огневом пространстве цилиндрической камеры. Повышение точности математического моделирования тепловых потоков на границах расчетной области позволяет повысить робастность математического моделирования процессов горения.
Литература
1. Kalmykov G.P., Larionov A.A., Sidlerov D.A., Yan-chilin L.A. Numerical simulation and investigation of working process features in high-duty combustion chambers / Journal of Engineering Thermophysics. 2008. Vol. 17, № 3. pp. 196-217.
2. Рубинский В.Р., Хрисанфов С.П., Климов В.Ю., Кретинин А.В. Математическое моделирование и экспериментальные исследования горения кислороднометанового топлива при соосно-струйной подаче в камеру сгорания ЖРД// Известия вузов. Авиационная техника. 2010. № 1. С 54-57
3. Расчет смесеобразования и горения кислороднометанового топлива при соосно-струйной подаче в камеру сгорания жидкостного ракетного двигателя /А.В. Кретинин, Ю.А. Булыгин, В.Ю. Климов, А.В. Студени-кин//Вестник ВГТУ. 2009. Т. 5, № 3. С. 134-136.
4. Решение интегрального уравнения энергии для турбулентного пограничного слоя высокотемпературной диссоциированной газовой смеси /А.А. Бураков, С.А. Стецкий, Е.В. Панов, А.Г. Бездетко // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2010. Т. 6. № 2. С. 103-107.
5. Основы теории и расчета ЖРД. В 2 кн./ А.П.Васильев, В.М.Кудрявцев, В.А.Кузнецов и др.; Под ред. В.М.Кудрявцева. - М.: Высш. шк., 1993. 713 с.
6. Калихман Л.Е. Турбулентный пограничный слой на поверхности, обтекаемой газом. - М.: Оборонгиз, 1956. 213 с.
V ал
u
u
Воронежский государственный технический университет
DEFINITION OF CONVECTIVE HEAT EXCHANGE PARAMETERS ON COMPUTING AREA BORDERS AT BURNING PROCESSES MODELING Yu.A. Bulygin, A.V. Kretinin, A.A. Burakov
The mathematical model of mixing and burning of oxygen-metane fuel in the combustion chamber of the liquid rocket engine is resulted. The numerical method is applied at the decision of the integrated energy equation of a turbulent boundary layer in the combustion chamber of the energy unit
Key words: burning, boundary layer, dissociation, heat exchange
