CC BY
51
УДК 539.3
Определение параметров градиентной теории упругости по потенциалам межатомного взаимодействия, учитывающим модифицированное правило Лоренца-Бертло
С.А. Лурье12, Ю.О. Соляев13
1 Институт прикладной механики РАН, Москва, 125040, Россия 2 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия 3 Вычислительный центр им. А.А. Дородницына РАН, Москва, 119333, Россия
Развита методика идентификации масштабных параметров в градиентной теории упругости на основе сравнения континуального решения задачи о деформировании неоднородного фрагмента композита в одномерном приближении и решения, найденного методом дискретного атомистического моделирования для двухатомной цепочки. Дискретной атомарной структуре ставится в соответствие континуальная модель неоднородного композита. Процедура идентификации основана на анализе и сравнении эффективных жесткостей эквивалентных композитных фрагментов. При дискретном моделировании считается справедливой гипотеза о взаимодействии только ближайших соседних атомов, а взаимодействие между различными типами атомов определяется с использованием модифицированного правила Лоренца-Бертло. В результате определена эффективная жесткость дискретного композита, представленного в форме неоднородной цепочки атомов. При континуальном моделировании использована градиентная модель, учитывающая нелокальные эффекты в объеме и адгезионные свойства границ фаз. В одномерном приближении задача определения эффективных жесткостей композитного фрагмента решена аналитически. Целью данной работы является построение процедуры идентификации масштабных параметров континуальных градиентных теорий, для которой найденные значения параметров не зависели бы от выбора потенциалов, используемых при дискретном моделировании. На примере моделирования с привлечением потенциалов Морзе и Леннарда-Джонса предложена методика идентификации, инвариантная по отношению к выбору потенциалов. Показано, что такая инвариантность методики может быть обеспечена, если выполнить условия «сращивания» потенциалов в окрестности равновесных точек при дискретном моделировании. Фактически показано, что для однозначного определения масштабных параметров градиентной теории упругости достаточно использовать простейшие двух-параметрические потенциалы, аппроксимирующие любые другие потенциалы путем удовлетворения двух условий: равенства равновесного расстояния и равенства второй производной в равновесной точке (т.е. жесткости связи). Приводится пример идентификации параметров градиентной теории упругости для двухфазного композита W-Si.
Ключевые слова: градиентная теория упругости, молекулярная динамика, идентификация параметров, модифицированное правило Лоренца-Бертло, двухатомная периодическая цепочка
Identification of parameters of gradient elasticity theory by interatomic interaction potentials accounting for a modified Lorentz-Berthelot rule
S.A. Lurie1,2 and Yu.O. Solyaev1,3
1 Institute of Applied Mechanics RAS, Moscow, 125040, Russia 2 Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia 3 Dorodnicyn Computing Centre RAS, Moscow, 119333, Russia
A procedure of identifying scale parameters in gradient elasticity theory is developed by comparing a continuous solution of a problem on the deformation of a heterogeneous fragment of a composite in a one-dimensional approximation with a solution found using the method of discrete atomistic modeling of a diatomic chain. A discrete atomic structure is put in correspondence with a continuous model of a heterogeneous composite. The identification procedure is based on the analysis and comparison of effective rigidities of equivalent composite fragments. A valid hypothesis in discrete modeling is that only nearest neighbor atoms interact with each other, and interactions between different type atoms are determined using a modified Lorentz-Berthelot rule. As a result, the effective rigidity of a discrete composite represented as a heterogeneous atomic chain is found. Continuous modeling uses a gradient model that takes into account nonlocal effects in the volume and adhesive properties of phase boundaries. In a one-dimensional approximation, the problem of determining the effective rigidities of a composite fragment is solved analytically. This paper is aimed to develop a procedure of identifying the scale parameters of continuous gradient theories for which the found parameter values would be independent of the choice of potentials used in discrete modeling. Using modeling with the Morse and Lennard-Jones potentials as an example, we propose an identification procedure which is invariant with respect to the choice of potentials. It is shown that the procedure invariance can be achieved if the conditions of potential "coupling" in the vicinity of equilibrium points are satisfied in discrete modeling. In fact, we demonstrate that the scale parameters of gradient elasticity theory can be unambiguously determined using only the simplest two-parameter potentials that approximate any other potentials by satisfying two conditions, such as the equality of the equilibrium bond distance and the equality of the second derivative in an equilibrium point (i.e., bond rigidity). An example of identifying parameters of gradient elasticity theory for a two-phase W-Si composite is given.
Keywords: gradient elasticity theory, molecular dynamics, parameter identification, modified Lorentz-Berthelot rule, diatomic periodic chain
© Лурье С.А., Соляев Ю.О., 2016
1. Введение
Проблема идентификации дополнительных параметров неклассических моделей механики деформируемого твердого тела в целом в настоящее время является нерешенной. Традиционные подходы к решению этой задачи связаны с попыткой использования результатов механических испытаний для эффективных свойств образцов для микро/наноструктурированных материалов [1, 2]. Перспективными представляются методики, основанные на сопоставлении континуальных решений и решений, найденных методами дискретного численного моделирования с использованием моделей молекулярной динамики и квантовой механики [3-5]. При этом континуальные градиентные модели теории упругости привлекаются для построения решений тестовых задач, которые используются для определения масштабных параметров путем сравнения этих решений с результатами численного моделирования дискретным атомистическим методом. Отметим также континуальные модели и методы осреднения, обобщенные на градиентные модели, которые позволяют определить эффективные свойства, зависящие от масштабных параметров. В итоге это позволяет реализовывать приемы определения масштабных параметров по результатам механических испытаний образцов [6-9]. Отметим, что в работах [10, 11] показано, что при использовании градиентных теорий следует учитывать установленные недавно критерии корректности градиентных моделей. В связи с этим в общем случае возникает вопрос о выборе прикладных градиентных моделей для решения проблем идентификации масштабных параметров. Однако в настоящей работе обсуждается алгоритм идентификации в одномерном приближении. В этом случае критерий корректности не приводит к ограничениям в выборе моделей, т.к. в одномерном приближении все однопара-метрические градиентные модели становятся идентичными. Отметим, что в прикладных задачах для сред с микроструктурой масштабные параметры можно приближенно оценивать на основании данных о структуре материала (размер зерна, размер межфазных слоев и т.д.) [12]. Однако в этом случае невозможно оценить корректность полученных результатов и уточнения, связанные с использованием нелокальных теорий.
Рассматриваемая в данной работе одномерная модель градиентной теории упругости является однопара-метрической, однако учитывает характеристики адгезионных взаимодействий при контакте различных фаз, т.е. содержит дополнительную физическую постоянную, определяющую адгезионное взаимодействие [68, 13, 14]. В настоящей работе развивается алгоритм идентификации градиентных параметров и параметров, характеризующих адгезионные свойства контакта фаз. Впервые этот алгоритм был предложен в работах [5,
15]. Некоторое развитие он получил в работе [16], будучи применен не к одномерным структурам, а к структурам, состоящим из плоских атомарных цепочек.
В данной работе исследовано влияние выбора различных типов потенциалов межатомного взаимодействия на результаты решения проблемы идентификации масштабных параметров. Предложен вариант реализации методики, инвариантной по отношению к выбору потенциалов взаимодействия при дискретном моделировании.
2. Континуальная и дискретная модель периодической двухатомной цепочки
Рассмотрим периодическую линейную двухатомную цепочку, состоящую из произвольного числа п1 атомов первого типа и 2п2 атомов второго типа. Периодический фрагмент такой цепочки представлен на рис. 1.
Будем считать, что атомы представляют собой точечные массы, соединенные упругими связями, эффективные характеристики которых определяются парными потенциалами межатомного взаимодействия Лен-нарда-Джонса (6)-(12) или Морзе:
и тт = Вы
'я ыл
12
тт Л
ятт
6Л
им = Вм(е
.М , -2а( г - Ям)
2е
г
у ) -а( г - Я м)
(1)
тт
Здесь г — расстояние между двумя атомами; В В — глубина потенциальной ямы; Я , Я — равновесное расстояние, при котором потенциал достигает минимального значения (-Втт или - Вм соответственно); а — третий параметр потенциала Морзе.
Эффективная характеристика жесткости связи, реализующейся между двумя атомами, определяется соотношением
д V
k =
дг2
г=Я
Для рассматриваемых потенциалов имеем: kтт = 72Втт(Яи)"2, kм = 2Вм а2.
(2)
Принимая гипотезу о взаимодействии только ближайших соседних атомов, поставим в соответствие рассматриваемой двухатомной цепочке упругий неоднородный по длине стержень, состоящий из трех последовательно расположенных частей (рис. 2). При этом длина и жесткость каждой части стержня определяется только параметрами межатомного взаимодействия типа 11, 12 и 22 соответственно, т.е. длины Ь1 и L22 (рис. 2)
Рис. 1. Линейная двухатомная цепочка
Рис. 2. К сопоставлению дискретной и континуальной модели двухатомной цепочки
определяются взаимодействием только между атомами первого и второго типа соответственно, а длина промежуточной части Ь12 определяется характером связи между атомами различного типа.
Будем считать, что параметры взаимодействия атомов одного типа (11 и 22) известны, а параметры, характеризующие взаимодействие атомов разного типа, определяются по правилу Лоренца-Бертло в следующем виде [5, 15, 17-19]:
^12 =ХА1 ®22 , Я12 = ^ 2 ^ , а12 =л/а11а22- (3)
Здесь величины с индексами 11 и 22 являются параметрами потенциалов взаимодействия одинаковых атомов первого и второго типа соответственно; величины с индексами 12 являются параметрами потенциалов взаимодействия атомов различного типа; % > 0 — эмпирический корректирующий коэффициент, который может подбираться на основе квантово-механических расчетов [19].
Для определения равновесного расстояния Я12 также иногда используется среднее геометрическое [18]:
Я12 = V Я11Я22- (4)
Таким образом, жесткости и длины частей рассматриваемого неоднородного стержня определяются по формулам
1 Ы ^и / сЫ Ч-2 т М 0 тлМ 2
кУ = 72Ви (Яи ) , кУ = Щ аи,
Lll = (П - 1)^11, ¿22 = (П2 - 1)^22, ^2 = К12'
Для стержня, представленного на рис. 2, мы можем определить эффективную жесткость к с использованием модели последовательно расположенных фаз. Если предположить, что фрагмент, представленный на рис. 1, является фрагментом периодической двухатомной цепочки, то необходимо учесть наличие дополнительных связей с двух сторон этого фрагмента, жесткость и длина которых определяются взаимодействием атомов разного типа. В этом случае эффективная жесткость стержня имеет вид
Ь11 + 2Ь12 + Ь22 = Ь11 , о Ь12 , Ь2
к12 к22
(5)
Здесь рассматривается фрагмент, который может быть продолжен периодически. Для этого в него с двух сторон включены две дополнительные связи жесткостью к12 и длиной Ь12/2.
3. Аналитическая модель неоднородного стержня периодической структуры в рамках градиентной теории упругости
Поставим в соответствие цепочке атомов, приведенной на рис. 1, стержень, состоящий из трех частей общей длиной 2(Ь +1). При этом рассмотрим симметричный фрагмент, для которого удобно записать периодические граничные условия (рис. 3). Сопоставляя рис. 2 и 3, получим: 2Ь = Ь22 + Ь12 и 21 = Ь11 + Ь12, т.е. в данном случае мы не учитываем наличие участков цепочки, для которых реализуются взаимодействия между атомами разного типа, и включаем их в соседние части стержня.
Рассмотрим задачу определения эффективных характеристик неоднородного стержня методом асимптотического усреднения. Для проведения вычислений будем считать, что цепочка расположена вдоль оси X, а начало координат находится в центре рассматриваемого представительного фрагмента на рис. 3. Запишем уравнения градиентной теории упругости в одномерном случае [5, 20]. Уравнения равновесия в отсутствие объемных нагрузок:
д 2 д 2
НЬ (и) = 0, Ь = к—, И = 1 -12 —, (6)
дх дх
условия сопряжения:
л2 д2и
[ и ] =
ди дх
к 12
ди
к 12
дх 2 "
з
А ди =
дх
0.
(7)
дх дх
Здесь х — координата вдоль оси стержня; и — функция перемещений точек стержня; к — жесткость стержня; 1 — масштабный параметр материала стержня (дополнительная физическая характеристика материала в рамках градиентной теории упругости); А — адгезионный параметр модели, характеризующий связь между различными частями стержня [5, 10].
Процедура асимптотического усреднения композиционных материалов с периодической структурой предполагает использование условия периодического скачка для рассматриваемого фрагмента: и (х + Ь +1) = и (х). Следовательно, задача сводится к решению градиентного уравнения (1) в области, изображенной на рис. 3 (в ячейке периодичности), с условиями
Рис. 3. Континуальная модель двухатомной цепочки в рамках градиентной теории упругости (симметричный представительный фрагмент)
и(-Ь -1) = и(Ь +I) - 2(Ь +1),
^ (-Ь -1) = ^ (Ь +1), к = 1, 2, 3. дх дх
(8)
Ь +1
Тогда эффективная жесткость на растяжение/сжатие к определяется по средним деформациям ячейки периодичности:
к = 1*0.
дх
(9)
Решение краевой задачи (6)-(8) находится в явном аналитическом виде через три функции в различных диапазонах изменения аргумента:
и = и1(х), -Ь -1 < х <-1,
и = и2(х), -I < х < I,
и = и3 (х), I < х < I + Ь,
где
щ(х) = Нмх + (Нм -1)(Ь +1)-
- ^м
sh ((х + Ь +1)/1 м ), и2(х) = Н1х - :), (10)
из (х) = Нм х - (Нм - 1)(Ь +1) -
- dмsh((х- Ь -1)/ 1 м ),
где индекс I относится к центральной части представительного фрагмента («включение»); индекс М — к двум крайним частям («матрица»); величины 1 м, 1: — масштабные параметры материалов соответствующих частей.
Представление решения в форме (10) автоматически удовлетворяет уравнению (6) и краевым условиям (7), а также необходимому условию симметрии м(-х) = = -и(х). Оставшиеся невыполненными четыре условия сопряжения (7) дают необходимые уравнения для четырех неизвестных констант Н1м и ^ 1м в представлении решения (10). Разрешая эту систему линейных алгебраических уравнений явно, определяем константы Н1 м и йгм в следующем виде:
dм = к1 к- км - А а 1 (Ь +1),
^ = -км
Q sh(Kм Ь)
к1 - км + А ам
Q^h(K7Г
(Ь + 1),
Н = к к1ам + км а1 А а 1ам (ь +1) Н = к к1 ам + км а1 ~ А а1ам (ь +1)
Q = (к1Ь + км I + А)(к: ам + км а:-А а^м) -
- (к - км - Аа:) (к - км + Аам),
а = cth( Ь/1 м) = с&(1/ 1,)
1 м 11
Эффективная жесткость к, найденная согласно (9), может быть представлена в виде
Ь I А - + — + -
к км к1 к1 км
(к1 - км - Аа:)(к: - км + Аам)
(11)
(к1ам + км а1 А а1ам)к1км В отсутствие адгезионных эффектов (А = 0) получаем упрощенный вид выражения (11) [5]:
Ь +1
Ь I +-
(к1 - км)
(12)
к км к: (к: ам + км а:)к: км Классическая формула смеси к_1 = (кмм1Ь + к^оД Ь +1) следует из (12) в том случае, если масштабные параметры малы: 1: ^ 0,1 м ^ 0.
4. Идентификация масштабного и адгезионного параметров континуальной градиентной модели
Проведем сопоставление классического (5) и градиентного (11), (12) решений для эффективной жесткости стержня, эквивалентного рассматриваемой двухатомной цепочке, представленной на рис. 1. Рассмотрим вначале «идеальную» структуру, в которой перекрестные взаимодействия между атомами различного типа определяются по правилу Лоренца-Бертло с единичным поправочным коэффициентом х = 1 (см. (3)). Заметим, что левые части выражений (5) и (12) равны. Тогда, учитывая, что 21 = Ь11 + Ь2 и 2Ь = Ь22 + Ь2 (рис. 2 и 3), и подставляя к1 = к11, км = к22, после преобразований получаем следующее равенство:
+ к22а1 = 2
(к11 - к22)
2 (
Ь12
к11 + к22 - 2
к11к;
22
к12
Заметим, что функции гиперболического котангенса принимают близкое к единице значение уже при соотношениях Ь = 21 м, I = 21а величина масштабных параметров 1:, 1 м для идеальных структур очень мала и имеет порядок менее нанометра [5, 15]. Поэтому мы можем принять: ам = 1-^, а: = 1-1. Сделаем предположение, что 1: = 1 м = 1. Возможность такого упрощения подтверждена тестовыми расчетами [5]. Тогда можем получить следующее аналитическое соотношение для определения масштабного параметра рассматриваемой структуры:
) = Ь12 2
(к + к Л2 ( к11 + к22
к11 - к:
22
Л
1 - 2-
к12
(13)
где к = к11к22/(к11 + к22).
Таким образом, мы получили явное выражение для определения масштабного параметра градиентной теории упругости через характеристики межатомного взаимодействия. Из (13) следует, что масштабный параметр не зависит от числа атомов в цепочке, а определяется только параметрами жесткости различных межатомных связей и равновесным расстоянием, которое реализуется между атомами первого и второго типа. Следует от-
метить, что полученное соотношение (13) теряет смысл, если цепочка однородна. В этом случае сопоставление выражений (5) и (12) неприменимо для определения масштабного параметра континуальной модели.
Далее заметим, что для определения жесткости к12 мы используем выражения (2) с учетом правила Лорен-ца-Бертло. При этом для потенциала Морзе мы фактически получаем, что жесткость к12 является средним геометрическим жесткостей к11 и к22 в случае идеального контакта (х = 1):
Кг =л/ кпкю. (14)
Аналогичный результат мы получим для потенциала Леннарда-Джонса, если воспользуемся соотношением (4), которое иногда применяется для упрощения вычислений [18]. Подставляя (14) в (13), после преобразований находим
, Ь12 2
к а
(15)
к а + к
где к g = к12 = л/ к11к22, к а = (к11 + к22)/2 — среднее геометрическое и среднее арифметическое жесткостей однородных подцепочек, из которых состоит рассматриваемая двухатомная цепочка.
Соотношение (15) показывает, что масштабный параметр градиентной континуальной модели всегда принимает положительные значения. Более того, нетрудно видеть, что значение масштабного параметра определяется соотношением жесткостей к11/к22 и зависит от среднего геометрического от равновесных расстояний Ь12 = Я12 =^Я11Я22 в случае использования правила Лоренца-Бертло в форме (4). Для большинства кристаллических веществ соотношение жесткостей может изменяться в пределах 0.1 < к11/к22 < 10.0. Для этого диапазона на рис. 4 построен характер изменения масштабного параметра, нормированного на характерное расстояние между различными типами атомов (1/Ь12 = = 1/ Я12). Из данного расчета следует, что значение
масштабного параметра 1 континуальной градиентной модели двухатомной цепочки, рассматриваемой в приближении взаимодействия только между ближайшими соседними атомами, не превосходит одной третьей от межатомного расстояния Я12. Однако, как показывают расчеты [5], масштабный параметр может увеличиваться в случае учета нелокального взаимодействия между атомами цепочки.
В отличие от выражения (13), форма записи выражения для определения масштабного параметра (15) позволяет рассмотреть случай, при котором к11 = к22. Видно, что минимальное значение масштабного параметра реализуется именно в этом случае — если жесткости однородных подцепочек равны.
Далее рассмотрим цепочку, в которой перекрестные взаимодействия между атомами различного типа определяются с пониженными или повышенными значениями коэффициентов, т.е. в выражении (3) имеет место соотношение % Ф 1. В этом случае эффективная жесткость цепочки может быть ниже или выше, чем жесткость однородных цепочек, составленных только из атомов первого или только второго типов. Поэтому если мы будем использовать континуальную градиентную модель без учета адгезионных взаимодействий (выражение (12)), то из сопоставления решений (5) и (12) мы получим, что масштабный параметр модели должен быть отрицательным, что противоречит его определению и физическому смыслу.
Для учета особенностей взаимодействия между различными типами атомов (повышенной или пониженной жесткости связи) будем использовать континуальную градиентную модель, учитывающую адгезионные взаимодействия между различными частями неоднородного стержня через дополнительный параметр А (11). В этом случае соотношение для определения масштабного параметра модели 1 и адгезионного параметра А может быть найдено из сопоставления решений (5) и (11) в следующем виде:
1 - А(кц + *22)/(КП - к22)2 = 1 - А/(1 (Кп + к22))
= Ь12
К11 + К22
1 - 2-
К11К22
Рис. 4. Влияние соотношения жесткостей к11/к22 на масштабный параметр градиентной модели
- - (16) К11 - К22 ) ^ К12(К11 + К22) ^ Из данного выражения следует, что в общем случае, масштабный и адгезионный параметры могут быть определены не единственным образом. Для устранения этой неоднозначности предположим, что масштабный параметр является неизменным для цепочки с «идеальной» (х = 1) и реальной (% Ф 1) структурой, и он может быть определен на основании выражения (11). Тогда из (16) с учетом предположения (14) находим следующее выражение для адгезионного параметра:
2К1 -X)
1/ Ка -X (Ка + kg)
или в другой форме: А_ 21(1 -X) к 1 - 2х(1/а'
Таким образом, с учетом сделанных гипотез мы получили однозначное определение масштабного параметра и параметра адгезии континуальной градиентной модели двухатомной цепочки с «поврежденным» характером взаимодействия между различными типами атомов. Этот параметр определяется коэффициентом X, входящим в правило Лоренца-Бертло для рассматриваемой «поврежденной» структуры, и масштабным параметром 1, найденным для аналогичной идеальной структуры. В соотношение (17) также входят абсолютные значения жесткости однородных подцепочек к11 и к22. Значения параметра А не зависят от числа атомов в цепочке. Он принимает положительные значения, если параметр X < 1, и отрицательные значения, если X > 1, что соответствует наличию пониженной или повышенной эффективной жесткости к12. Размерность А отличается от параметров жесткости на единицу длины, как это имеет место для всех поверхностных параметров в континуальных моделях адгезии. В случае если контакт идеальный, т.е. X = 1, мы получаем А = 0.
На рис. 5 представлена зависимость нормированного значения адгезионного параметра А/ (1к22) от параметра X, участвующего в правиле Лоренца-Бертло. С точки зрения физического смысла на данном графике представлена зависимость для относительной жесткости некоторой эквивалентной гипотетической связи длиной 1, расположенной между однородными подцепочками. Мы получаем, что адгезионный параметр увеличивается при увеличении жесткостей однородных подцепочек и при уменьшении коэффициента X.
В заключение мы приведем пример идентификации параметров континуальной градиентной модели двухатомной цепочки, состоящей из атомов вольфрама и
кремния. Для этих материалов в работе [17] приведены значения параметров потенциала Морзе и параметры, участвующие в модифицированном правиле Лоренца-Бертло:
_ 0.3032 нм, _ 0.9906 эВ
>м
а
_ 14.116 нм
-1
_ 0.395 нм, DSM-S1 _ 0.7 эВ
ая-я _16.4 нм
-1
>м ^^
_ 5
+ Р м
^^ _ 0.3 нм, 2
Dw-Si _ к^М^Dsм-sl _ 0.8 эВ,
(18)
а
_ т4
а
^ая-а _ 20 нм
-1
к _ 0.96,5 _ 0.86, т _ 1.315.
В данном случае необходимо использовать выражения (13) и (16), т.к. используемое здесь правило Ло-ренца-Бертло содержит дополнительные поправочные коэффициенты для определения параметров Р^-й'
а
Найдем по формулам (13) и (16) значения параметров градиентной континуальной модели для двухатомной цепочки системы W-Si. Для определения жесткос-тей к11, к22 будем использовать выражения (2) для потенциала Морзе с учетом заданных параметров (18). Для определения масштабного параметра по формуле (13) будем использовать значение к12, найденное через параметры DW-S1, а^^ в предположении, что в
выражении (18) используются значения к _ I _ т _ 1. Для определения адгезионного параметра будем использовать найденное значение масштабного параметра и точные значения параметров DW-S1, Р^^, а приведенные в (18). Тогда получим, что параметры континуальной градиентной модели составляют
1 _ 0.0872 нм, А _ -232.7 Н. (19)
А1{^к22)
ю-
5-
о- '—- % ч
-5- * \ \\
-10- \ % % \
-15- \ \ *
70-
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 х
Рис. 5. Зависимость адгезионного параметра А от коэффициента X и соотношения жесткостей подцепочек кп/ к22 = 1 (1), 5 (2), 10 (3)
5. Об инвариантности методики определения масштабных параметров в отношении выбора потенциалов при дискретном моделировании
Очевидно, что если мы будем использовать какой-либо другой тип потенциала межатомного взаимодействия, эквивалентного с точки зрения жесткости и равновесного расстояния по отношению к рассмотренному потенциалу Морзе, то мы найдем те же самые значения параметров континуальной модели. Таким образом, значения масштабного и адгезионного параметров градиентной континуальной модели инвариантны к типу потенциалов, используемых для описания межатомного взаимодействия в том случае, если они определяют одинаковые значения эффективной жесткости межатомных связей и равновесного расстояния. Это утверждение справедливо в рамках гипотезы ближайших соседей и
0.20
0.25
0.30
0.35
Рис. 6. Эквивалентные потенциалы межатомного взаимодействия с точки зрения равенства эффективной жесткости и равновесного расстояния. Потенциал Морзе с параметрами (18) (1), потенциал Леннарда-Джонса с найденными параметрами (20) (2)
в случае малых деформаций, для которого применима модель градиентной теории упругости.
Таким образом, в качестве базового потенциала мы можем выбрать любой потенциал, например потенциал Морзе. Методика определения масштабных параметров будет инвариантной по отношению к выбору иного потенциала, если для него будут выполнены сформулированные выше условия «эквивалентности».
На основе имеющихся параметров потенциала Морзе мы можем определить параметры потенциала Леннарда-Джонса (6)-(12), (1), исходя из двух условий «эквивалентности»: для инвариантности значений параметров континуальной модели требуется: 1) равенство равновесного расстояния двух потенциалов и 2) равенство эффективных жесткостей. С учетом (1) и (2) получаем
ЯМ = Яи = Я, КМ = Кы:
В и = -1В М а 2 Я 2 36
Используем эти соотношения и найдем параметры «эквивалентного» (в указанном смысле) потенциала Лен-
Рис. 7. Зависимость эффективной жесткости двухатомной цепочки от числа атомов в ней. Рассмотрены различные варианты соотношения числа атомов в однородных подцепочках: п1 = п2 = п (1), п1 = п2/2 = п (2), п1/2 = п2 = п (3)
нарда-Джонса:
Я^ = 0.3032 нм, В/™ = 0.504 эВ,
Я/ = 0.395 нм, В/ = 0.816 эВ, Я/ = 0.3 нм, В/ = 0.8 эВ.
(20)
Для рассматриваемой в примере структуры вид потенциалов Леннарда-Джонса и Морзе представлен на рис. 6. Эти потенциалы оказываются эквивалентными в рамках рассматриваемого подхода, при котором мы сопоставляем двухатомной дискретной цепочке континуальную градиентную модель неоднородного стержня. Зависимость эффективной жесткости к двухатомной периодической цепочки системы W-Si от числа атомов, входящих в ее состав, представлена на рис. 7.
Для построения этой зависимости использованы классическое выражение модели последовательных фаз (5) и аналогичная формула в рамках градиентной теории упругости (11). Обе эти формулы при найденных значениях масштабного и адгезионного параметров (19) совпадают с высокой точностью для любого числа атомов. Полученная зависимость неизменна при использовании потенциала Морзе с параметрами (18) и потенциала Леннарда-Джонса с найденными параметрами (20).
6. Заключение
В работе показано, что с точки зрения эффективной жесткости модель градиентной теории упругости позволяет учесть особенности взаимодействия между атомами различного типа и сопоставить двухатомную периодическую цепочку и неоднородный стержень, состоящий из двух последовательно расположенных частей. В классическом представлении между частями такого стержня необходимо учитывать наличие особой связи, которая реализуется между атомами различного типа. В градиентной теории эта связь учитывается естественным образом, однако модель содержит два дополнительных параметра: масштабный параметр и адгезионный параметр. Мы показали, что однопараметри-ческая градиентная модель (без учета адгезионных взаимодействий) позволяет описать жесткость двухатомной
цепочки, в которой взаимодействие между атомами разного типа определяется правилом Лоренца-Бертло с единичными поправочными коэффициентами. В случае, если при молекулярно-динамическом моделировании используется модифицированное правило Лоренца-Бертло, для адекватного сопоставления дискретной цепочки и континуальной градиентной модели необходимо учитывать адгезионные взаимодействия.
Предложенный алгоритм идентификации параметров градиентной модели позволяет определить их однозначно и инвариантно по отношению к типу потенциалов межатомного взаимодействия, в случае если мы рассматриваем случай малых упругих деформаций двухатомной цепочки с взаимодействием между ближайшими соседями.
Исследования выполнены в рамках гранта Российского научного фонда № 14-11-00782.
Литература
1. Lakes R. Experimental methods for study of Cosserat elastic solids and other generalized elastic continua // Contin. Model. Mater. Microstructure. - 1996. - No. 1. - P. 1-22.
2. Liebold C., Muller W.H. Applications of strain gradient theories to the
size effect in submicro-structures // Exp. Analysis Elastic Mater. Parameters. - 2015. - V. 19. - No. 1. - P. 45-55.
3. Maranganti, Sharma P. A novel atomistic approach to determine strain-
gradient elasticity constants: Tabulation and comparison for various metals, semiconductors, silica, polymers and the (Ir) relevance for nanotechnologies // J. Mech. Phys. Solids. - 2007. - V. 55. - No. 9. -P. 1823-1852.
4. Shodja H.M., Zaheri A., Tehranchi A. Ab initio calculations of characteristic lengths of crystalline materials in first strain gradient elasticity // Mech. Mater. - 2013. - V. 61. - P. 73-78.
5. Gusev A.A., LurieS.A. Strain-gradient elasticity for bridging continuum and atomistic estimates of stiffness of binary Lennard-Jones crystals // Adv. Eng. Mater. - 2010. - V. 12. - No. 6. - P. 529-533.
6. Lurie S., BelovP., Volkov-Bogorodsky D., TuchkovaN. Nanomechanical
modeling of the nanostructures and dispersed composites // Comp. Mater. Sci. - 2003. - V. 28(3-4). - P. 529-539.
7. Lurie S., Belov P., Tuchkova N. The application of the multiscale models for description of the dispersed composites // Int. J. Comp. Mater. Sci. A. - 2005. - V. 36(2). - P. 145-152.
8. Lurie S., Belov P., Volkov-Bogorodsky D., Tuchkova N. Interphase layer
theory and application in the mechanics of composite materials // J. Mater. Sci. - 2006. - V. 41(20). - P. 6693-6707.
9. Volkov-Bogorodsky D.B., Evtushenko Yu.G., Zubov VI., Lurie S.A. Calculation of deformations in nanocomposites using the block multipole method with the analytical-numerical account of the scale effects // Comp. Math. Math. Phys. - 2006. - V. 46(7). - P. 1234-1253.
10. Lurie S.A., Kalamkarov A.L. General theory of continuous media with conserved dislocations // Int. J. Solids Struct. - 2007. - V. 44. -No. 22-23. - P. 7468-7485.
11. Gusev A.A., Lurie S.A. Symmetry conditions in strain gradient elasticity // Math. Mech. Solids. - 2015. - P. 1-9.
12. Mindlin R.D. Micro-structure in linear elasticity // Arch. Ration. Mech. Anal. - 1964. - V. 16. - P. 51-78.
13. Lurie S., Volkov-Bogorodsky D., Zubov V., Tuchkova N. Advanced theoretical and numerical multiscale modeling of cohesion/adhesion interactions in continuum mechanics and its applications for filled nanocomposites // Comp. Mater. Sci. - 2009. - V. 45(3). - P. 709-714.
14. Lurie S., Volkov-Bogorodsky D., Leontiev A., Aifantis E. Eshelby's inclusion problem in the gradient theory of elasticity. Applications to composite materials // Int. J. Eng. Sci. - 2011. - V. 49. - P. 15171525.
15. Lurie S.A., Solyaev Y.O. Identification method of gradient models parameters of inhomogeneous structures based on discrete atomistic simulations // PNRPU Mech. Bull. - 2014. - No. 3. - P. 89-111.
16. Лурье С.А., Посыпкин М.А., Соляев Ю.О. Метод идентификации масштабных параметров градиентной теории упругости на основе численных экспериментов для плоских композитныж структур // Int. J. Open Information Technol. - 2015. - Т. 3. - № 6. - С. 1-6.
17. Shen L., Chen Z. An investigation of the effect of interfacial atomic potential on the stress transition in thin films // Model. Simul. Mater. Sci. Eng. - 2004. - V. 12. - No. 4. - P. S347-S369.
18. Mayo S.L., Olafson B.D., Goddard W.A.I. DREIDING: A generic force field for molecular simulations // J. Phys. Chem. - 1990. -V. 101. - No. 540. - P. 8897-8909.
19. White A. Intermolecular Potentials of Mixed System: Testing the Lo-rentz-Berthelot Mixing Rules with Ab Initio Calculations. - Australia: Defense Science and Technology Organization, 2000. - DSTO-TN-0302.
20. Лурье С.А., Тучкова Н.П. Континуальные модели адгезии для де-формируемыж твердыж тел и сред с наноструктурами // Композиты и наноструктуры. - 2009. - Т. 2. - № 2. - С. 25-43.
Поступила в редакцию 03.11.2015 г.
Сведения об авторах
Лурье Сергей Альбертович, д.т.н., проф., гнс, зав. лаб. ИПРИМ РАН, внс ИПМех РАН, [email protected] Соляев Юрий Олегович, к.ф.-м.н., снс ИПРИМ РАН, ВЦ РАН, [email protected]
