Определение оптимальных координат переключения циклов обработки в эволюционной динамической системе резания Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 621.9.06

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПТИМАЛЬНЫХ КООРДИНАТ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯ ЦИКЛОВ ОБРАБОТКИ В ЭВОЛЮЦИОННОЙ ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ РЕЗАНИЯ

© 2014 г. В.Л. Заковоротный, В.П. Лапшин, А.А. Губанова

Заковоротный Вилор Лаврентьевич - д-р техн. наук, про- Zakovorotny Vilor Lavrent'evich - Doctor of Technical Sci-фессор, зав. кафедрой «Автоматизация производственных ences, professor, head of department «Factory Automation», процессов», Донской государственный технический универ- Don State Technical University. Ph. (863) 273-85-25. E-mai: ситет. Тел. (863) 273-85-25. E-mai: [email protected] [email protected]

Лапшин Виктор Петрович - канд. техн. наук, доцент, ка- Lapshin Viktor Petrovich - Candidate of Technical Sciences, федра «Автоматизация производственных процессов», assistant professor, department «Factory Automation», Don Донской государственный технический университет. E-mail: State Technical University. E-mail: i090206.lapshin@ [email protected] dex.ru

Губанова Александра Анатольевна - ст. преподаватель, Gubanova Alexandra Anatolevna - senior lector, department кафедра «Автоматизация производственных процессов», «Factory Automation», Don State Technical University. E-mail: Донской государственный технический университет. E-mail: [email protected] [email protected]

Формулируется задача выбора оптимальных координат переключения циклов обработки, при которых производительность управляемого процесса обработки является максимальной. Это некоторое уточнение задачи оптимального быстродействия применительно к процессам обработки резанием для случая, когда имеет место управление режимами обработки, обеспечивающими стабилизацию тех или иных условий резания. Приводится типичный пример такой задачи, связанный с необходимостью переключения циклов обработки для операции сверления глубоких отверстий спиральными сверлами. В работе доказано необходимое условие оптимальности, которому соответствуют равные между собой минимальные значения скоростей. На этой основе предлагается методика вычисления этих скоростей, требующих минимум времени. Приводится конкретный пример для случая сверления глубоких отверстий малого диаметра (диаметр - 2,15 мм, глубина отверстия - 140 мм). Полученные результаты обобщаются на случай, когда решается задачи управления любой эволюционной системой обработки резанием.

Ключевые слова: оптимальное по быстродействию управление; процесс резания; эволюционная система.

We formulate the task of selecting the optimal coordinate switching cycles at which the performance of managed processing is maximum. This is a refinement of optimal control problem applied to machining processes for the case when there is a control treatment regimens, providing stabilization of various cutting conditions. Is a typical example of such a problem, due to the necessity of switching cycles for deep hole drilling operation twist drills. We prove necessary optimality condition , which correspond to equal between the minimum velocity values. On this basis, a method of calculating these rates, delivering a minimum of time. A concrete example in the case of deep hole drilling of small diameter (diameter - 2,15 mm, hole depth - 140 mm). The obtained results can be generalized to the case when the problem is solved any evolutionary system control machining.

Keywords: optimal control; the cutting process; evolutionary system.

Постановка проблемы некоторыми координатами состояния, неизменно

т-т , , приходит к своему терминальному состоянию: потере

Процесс обработки на металлорежущих станках * j г j г

характеризуется эволюционной изменчивостью, Устойчивости траекторий, досгажш™ Енструшжкш

связанной с работой, совершаемой при резании [1]. своего критического износа, достает™ отл, дейст-

Эволюционные изменения, проявляющиеся в измене- вующих на инстиметт св°их критических зшченш

нии параметров динамической связи, формируемой и пр. В результате при выборе траекторий, при шго-

процессом обработки, в развитии износа инструмента, рых минимизируются приведенные затраты на изго-

в изменениях параметров качества изготовления товление партии деталей, возникает проблема опреде-

деталей и пр., требуют управления процессом. Однако ления моментов или координат переключения циклов

и в этом случае процесс обработки, характеризуемый обработки из условия оптимальности системы в целом.

Особенно наглядно эта проблема может быть проиллюстрирована на примере сверления глубоких отверстий спиральными сверлами. При создании автоматизированного оборудования для этого процесса приходится считаться с тем, что за счет накопления стружки в стружкоотводящих канавках инструмента наблюдается монотонное в пределах каждого единичного заглубления изменение параметров динамической связи процесса резания [2 - 4]. В этом случае для предотвращения поломки инструмента и его заклинивания необходимо монотонно уменьшать скорость подачи.

Функции изменения скорости подачи во времени или в пространстве формируют множество V(X) = {V1, V2,..., Vn }Т e Ф, которым обеспечивается постоянство крутящего момента. Выбор координат X = {X1, X2,..., Xn}T переключения выполняется исходя из требования: время обработки при заданных траекториях скорости подачи в пределах каждого единичного заглубления должно быть минимальным, т. е. Тъ (X1, X2,...Xn) = min.

При этом глубина сверления L = Xn задана (рис. 1). Время обработки Тъ определяется временем рабочих заглублений TP, которое зависит от фазовых траекторий V(X) = {V1,V2,...,Vn}Т еФ (рис. 1), и временем, потребным на ввод инструмента в зону резания и его вывод, т. е. суммой времен на вспомогательные перемещения инструмента Тв .

Рис. 1. Фазовая траектория рабочих заглублений инструмента

В дальнейшем величину каждого единичного заглубления удобно рассматривать независимо, т. е. х1 = Х1 - Х1 _1. Таким образом,

I=п х ^

Тъ (х1, х2,..., хп ) = ТР + Тв + ^^ хп ),(1)

i=1 0

V ©

где п - количество заглублений. В частности, справедливо приближенное равенство

Тв(хи x2,..., хп) = АТп,

АТ - усредненное по ансамблю переключений время одного вспомогательного перемещения. Из (1) видно, что при увеличении количества переключений время на непосредственно рабочие заглубления уменьшается, так как при этом возрастает интегральная скорость

подачи. Одновременно при этом увеличивается время, потребное на вспомогательные перемещения. Поэтому существует компромисс между временем на рабочие заглубления и временем на вспомогательные перемещения, зависящий от количества переключений.

Кроме этого, необходимо организовать управление таким образом, чтобы за время Тъ отверстие было просверлено, т. е.

L = Xn =1 x .

i =1

(2)

В (1) и (2) каждое единичное заглубление отсчи-тывается от нуля. Таким образом, задача формулируется следующим образом. При заданных функциях Vi (xi) подобрать координаты переключения таким образом, чтобы Тъ = min и выполнялось условие (2).

Условие оптимальности переключений

Отметим следующие свойства системы: 1) на все компоненты вектора x = (x1, x2,..., xn)Т наложены

да

ограничения xi < xi 0, так как в (1) J Vi (E)d^ < xi 0;

о

2) в силу выполнения п. 1 существует минимальное значение n е N, при котором отверстие принципиально может быть обработано в классе управлений Vi (xi). Это аналог условий достижимости в принципе максимума.

Вначале будем считать в (1) и (2) n заданным и определим оптимальные координаты переключений для рабочих заглублений. Зафиксируем ТР (i) и рассмотрим все возможные комбинации (x1, x2,..., xn) е Rn , при которых ТР (i) = ^nst. Эти комбинации в пространстве Rn формируют некоторую выпуклую поверхность 3(i) (рис. 2), так как xi непрерывны и ограничены сверху. Каждому постоянному значению ТР (i) соответствует своя поверхность

3(i). Условие (2) в Rn определяет гиперплоскость К , проходящую через точку L по каждой оси. На пересечении К и 3(i) формируется множество, на котором ТР (i) = ^nst. На рис. 2 для наглядности показана

плоскость (Rn = R2) и полагается, что две координаты заглублений удовлетворяют условиям достижимости, сформулированным выше. На приведенной иллюстрации ТР (i - 1))7p (i))ТР (i +1). По мере уменьшения ТР (i) = ^nst множества 3 переходят от 3(i-1) к

3(i+1), и для 3(i) выполняются условия: время обработки является минимальным при обеспечении сверления заданной глубины L . При этом точки «2» и «3» преобразуются в единственную точку «1». Таким образом, в точке «1» выполняются условия ТР = min

и (x1 + x2) = L. Очевидно, что в Rn некоторые поверхности размерностью Rn-1 преобразуются в точку,

в которой выполняются условия касания гиперповерхности ) гиперплоскости К . Заметим еще раз, что размерность Евклидова пространства зафиксирована.

Рис. 2. Графическая интерпретация выбора оптимальных координат для п = 2

Из условия касания гиперповерхности рассматриваемой гиперплоскости получаем

дТр (x , Х2,..., хп ) dL( xl9 Х2,..., xn )

dxi

Так как

dxi

, i = 1,2,...,n .

d (I xi)

= 1

dx l

для всех i = 1,2,...n, то

1

1

- - 1, г - 1,2,...,п . Здесь приняты условия V (X,) V (0) ^ 7

определения производных от интегралов по верхнему

пределу. Обычно V, (0) - Ук (0), поэтому получаем

условие оптимальности координат переключения

циклов обработки V, (X,) - Ук (хк), т. е. оптимальным

координатам переключения циклов обработки соответствуют равные между собой минимальные скорости. Полученное условие позволяет существенно упростить алгоритм вычисления оптимальных координат переключения и физически реализовать оптимальную по быстродействию систему.

Методика синтеза оптимальной системы

Обычно при обработке глубоких отверстий спиральными сверлами количество заглублений есть величина большая. Например, при сверлении центрального отверстия в штуцере форсунки топливного насоса необходимо просверлить отверстие диаметром 2,15 мм на глубину 140 мм в стали 45. При этом количество заглублений в зависимости от состояния инструмента и свойств материала меняется в пределах (35 - 50). Поэтому при определении оптимальных координат можно воспользоваться методами статистических усреднений. Вначале рассмотрим выражение (2), которое можно переписать в виде

Ь - п ^ х1 / п - пх,

,-1

, - п

где X - ^ х1 / п , как очевидно, есть оценка математического ожидания. Ее можно вычислить: X - Ь / п. Пусть также задано множество траекторий V, (х,), каждая из которых отсчитывается от начала координат, начиная с точки V, (0) - Ук (0) - Г(0). Выполним усреднение V, (х,), , -1, 2,3,..., п по правилу (рис. 3 а): представим скорость в виде дискретного множества

V - {V(0), V(1),..., V(т) - 0}г .

к(°)

V(k) Л

x(k) x(m) x

V(min) <У

L / n

б

Рис. 3. Схема определения К(X) и оптимальной минимальной скорости

Для каждой скорости V) вычислим статистические характеристики соответствующих ей значений перемещений в виде их математических ожиданий X(г). Полученные оценки аппроксимируем зависимостью Г(X). Тогда определяем оптимальное значение

0

а

0

минимальной скорости V(шт), при которой необходимо осуществлять переключение циклов обработки (рис. 3 б). Причем это значение, как показано выше, является неизменным для всех координат переключения. Определяем также время обработки при заданном п.

V(min) = F(L / n);

L / n

тр,0(п) = n J

d %

Следовательно,

У(х) = К(0) - kx.

Следовательно, время единичного рабочего заглубления равно

' = J

dx 1, „ xk п

=--ln[1 -^77^] .

[F(0) - kx] k

I>(°)J

Приведенный алгоритм относится только к определению оптимальной минимальной скорости и времени обработки без учета времени вспомогательных перемещений при заданном «п». Для определения оптимальных координат переключения системы в целом с учетом времени на вспомогательные перемещения, т. е. для ТЕ = ТР + Тв в (1) можно воспользоваться следующим алгоритмом.

1. Выбираем п1 е N . Для него выполняем все вычисления, приведенные выше, т. е. для него вычисляем минимальное время рабочих заглублений Т_(1) и

Так как в нашем случае функция изменения скорости подачи в пределах каждого единичного заглубления остается неизменной, то условия (1) и (2) можно записать следующим образом:

Ту =- n ln[1 + пДТ ;

у k 1 1>(0)

L = nx.

В (3) -nln[1 > 0, так как [1 -

k J/(0)

xk

(3)

] e (0,1).

вычисляем общее время ТЕ() = Т() + п1АТ . При этом средняя величина рабочих заглублений равна х(1) = L / п1. Во всех случаях п - целое число.

2. Даем приращение п , т. е. выбираем п2 > п1, и выполняем указанные выше вычисления. Для них вычисляем ТЕ(2) и так далее. Получаем зависимость суммарного времени от числа циклов переключения. При этом для каждого числа циклов время является минимально возможным. Тем самым определяем минимально возможное время обработки и координаты переключения циклов, позволяющие аппаратно реализовать управление переключениями.

Пример определения оптимальных координат

Рассмотрим случай глубокого сверления топли-воподводящего отверстия в штуцере форсунки, на который было обращено внимание выше. Рассмотрим процедуру выбора оптимальных координат переключения циклов заглублений для условий стабилизации крутящего момента, действующего на сверло с учетом накопления стружки в стружкоотводящих канавках. Ранее показано [2], что в этом случае скорость подачи определяется законом

ГУ) = К(0) ехр(_Й),

где k - коэффициент, зависящий от крутизны нарастания момента, формируемого накоплением стружки.

Тогда путь х, пройденный инструментом в пределах единичного заглубления, равен

^ 1/(0) х^) = | К(0) ехр(-^)Л =-[1 - ехр(-^)].

Приведем пример определения оптимальных координат переключений в системе управления процессом глубоких отверстий (глубина сверления - 140 мм, диаметр сверла - 2,15 мм). На рис. 4 дана зависимость суммарного времени сверления от числа переключений для различных значений среднего времени на вспомогательные перемещения АТ .

Ту, с

600

450

300

150

Рис. 4. Пример зависимости времени сверления от количества заглублений при различных значениях среднего времени одного вспомогательного перемещения

На приведенной иллюстрации выделены оптимальные значения числа переключений. Как видно, при уменьшении времени на вспомогательные перемещения оптимальное число переключений возрастает. При этом оптимальная минимальная скорость, при которой осуществляются переключения, также увеличивается. Необходимо также отметить, что минимумы в рассматриваемых зависимостях являются пологими, поэтому неточность статистических усреднений при определении оптимальных координат не приводит к

0

существенным изменениям оптимальных скоростей, при которых осуществляются переключения циклов сверления.

Вывод

Процесс обработки резанием является принципиально эволюционным, так как мощность необратимых преобразований в зоне резания порождает изменения, вызывающие однонаправленную, связанную с накоплением работы необратимых преобразований эволюцию системы. Проявления эволюционных изменений разнообразны. Они обусловлены, в том числе, изменениями параметров динамической связи, формируемой в зоне обработки. В связи с этим при оптимизации процесса обработки возникает проблема изменения режимов в ходе функционирования системы резания [2]. Например, для обеспечения оптимальной интенсивности изнашивания инструмента необходимо уменьшать в ходе обработки скорость резания и соответствующую ей скорость подачи. При сверлении глубоких отверстий работа сил резания вызывает монотонное нарастание по пути момента, связанного с накоплением стружки в стружкоотводящих канавках. Поэтому для стабилизации крутящего момента необходимо уменьшать скорость подачи. В зависимости от цели управления существуют и другие факторы, определяющие состояние процесса резания и параметры качества изготовления деталей, которые приводят к необходимости уменьшения скорости подачи и (или) скорости резания. В связи с этим формируется проблема определения моментов переключения циклов обработки, в которых производительность процесса при изготовлении партии деталей будет максимально достижимой в заданных условиях. Принципиально это задача синтеза систем, оптимальных по быстродействию [5].

В статье доказано, что, например, при сверлении глубоких отверстий оптимальным координатам переключения, независимо от траектории монотонного уменьшения скорости подачи, соответствуют равные

Поступила в редакцию

между собой минимальные скорости, при которых необходимо осуществлять переключение циклов обработки. Это положение позволило разработать методику вычисления количества и оптимального значения минимальной скорости, при которой необходимо выводить инструмент из зоны резания для его очистки от стружки. Доказанное положение позволяет также существенно упростить физическую реализацию системы, обеспечивающей управление по критерию максимального быстродействия (максимальной производительности). При этом параметры состояния процесса резания и качества изготовления деталей за счет управления режимами остаются заданными. Необходимо подчеркнуть, что приведенный пример выбора оптимальных координат для сверления глубоких отверстий спиральными сверлами в равной мере распространяется на другие процессы обработки резанием.

Литература

1. Заковоротный В.Л., Лукьянов А.Д., Нгуен Донг Ань, Фам Динь Тунг. Синергетический системный синтез управляемой динамики металлорежущих станков с учетом эволюции связей. Ростов н/Д., 2008. 324 с.

2. Заковоротный В.Л., Лукьянов А.Д., Флек М.Б. Определение оптимальных траекторий формообразующих движений при обработке резанием // Вестн. ДГТУ. 2001. Т. 1, № 3. С. 86 - 97.

3. Заковоротный В.Л., Потапенко П.Н., Флек М.Б. Оптимизация вспомогательных перемещений пиноли силовой головки для сверления глубоких отверстий малого диаметра по критерию максимальной производительности. // Вестн. ДГТУ. 2003. Т. 3, № 1. С. 57 - 62.

4. Заковоротный В.Л., Санкар Е., Бордачев Е.В. Система оптимального управления процессом глубокого сверления отверстий малого диаметра // СТИН. М., 1994. № 12. С. 22 - 28.

5. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1969. С. 128 - 206.

20 декабря 2013 г.